河南信阳市罗山县高级中学2025-2026学年高二下学期第3次教学质量评估数学试题

数学参考答案 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.B.2.A.3.B4.D5.B6.B7.B 8.【答案】B 【详解f)=e*(-品++1)=e*.t,f)=(（1+)e*在0,2上不单调， ∴f'(x)=0在(0,2)上有解，即x2+ax-a=0在(0,2)上有解， 当x=1时，1+a-a≠0：当x≠1时，a=二在(0,2)上有解， 支4 令h()=若则h')=2粒= (1-x)2 (1-x)21 函数h(x)在(0,1)，(1,2)上单调递增， 又h(0)=0,h(2)=-4,可画出函数h(x)图象的草图： 由图象可知要使a=兰在(0,2)上有解，则ae(m,4)u0,+o） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.AD 10.ACD 11.ABD 11.【详解】对于A,当a=-1时，f=1m-2,f)=1-2x,则f()=-1,f(①=-1， 故切线方程是y+1=-(x-1),即y=-x,故A正确： 对于B,当a=-1时，f()+x=lnr-x2+x, f()+1=1-2x+1=1-2x+x=-c-10(2x+ 当x>1,f'(x)+1>0,y=f(x)+x单调递增，当0<x<1,'(x)+1<0,y=f(x)+x单调递 减， 故f(x)+x≤f()+1=0,故B正确， 对于cD.令f国aax0,期0=是.记&因=，为g因=2n x3 第1页共7页 当x>e2,g'(x)>0,8(x)单调递增，当0<x<e2,g'w)<0,8()单调递减， 故g(x)≥ge2 -1 2e ,又0<x1,g(x》0,而x>Lg(x)<0, 故当a∈ 0时，此时直线y=a与8()=-有两个不相等的交点， 1 2e 当a= 2e 或a∈0，+m时，直线y=a与8()=-n有1个交点，故C错误，Di证 故选：ABD. v=g(x) 2e 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.84 13.17 14.2 81 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)解：(1)a2n=2an+1∴.a+(21-1)d=2[a,+(n-1)d]+1…2分) 又.∵a=1所以d=2 …(3分) 所以Sn=na1+ n-0.d=n2(4分） 2 an'bn= ∫T,n=1 [4,n=1 (2) =(3n-1)-2”(8分） Tn-Tn-1,n≥2(3n-1)-2",n≥2 所以4白=4 6=4 a2·b2=20 20444 b2= a 所以d=3,4=2.(11分) 得an=3n-1,因此bn=2”.(13分) 16.(15分)解：(1)H。:投篮得分与第一次投篮点的选择独立， x= 50×(300-50)225 25×25×30×203 >6.635 …4分 根据小概率值α=0.01的独立性检验，我们推断H。不成立，因此认为投篮得分与第 第2页共7页 一次投篮点的选择有关，此推断犯错误的概率不超过0.01 …5分 (2)设第一次选择在A点投篮记为事件A在B点投篮记为事件B,投中记为事件E, 则P(A)=0.5,P(B)=0.5,P(E)=0.7,P(EB)=0.3. (i)P(E)=P(A)·P(E|A)+P(B)P(E|B)=0.5 所以小明第一次投中的概率为0.5.…9分 (i)小明投篮总得分X可取0,2,3,4,6，则 21 =2=Rx=》品AX=-器 9 P(E)=P(X=0)= 1001 200,P(x=6= 200 所以X的分布列为 X 0 2 3 4 6 ◇ 21 7 3 49 9 100 20 20 200 200 49 912 所以E(X)=0x 21 +2x7 +3× +4× +6× …15分 10 20 20 200 200 5 17(15分)【答案】(1)证明见解析 (22 【详解】(I)因为PA=AB且PA L AB,.E为线段PB的中点，所以PB⊥AE, 又因为平面PAB⊥平面PBC,平面PABO平面PBC=PB,AEC平面PAB, 所以AE⊥平面PBC, 因为PCC平面PBC,所以AE⊥PC: …4分 (2)因为AE⊥平面PBC,BCC平面PBC,则AE⊥BC, 又AB⊥BC,ABI AE=A,AB,AEC面PAB,所以BC⊥平面PAB, 因为BCC平面ABCD,则平面PAB⊥平面ABCD,PA⊥AB, 平面PABO平面ABCD=AB,PAC平面PAB,所以PA⊥平面ABCD,·6分 D 如图分别以AB,AD,AP所在的直线为七，，轴， 不纺设H=A0=A01,则800，CL0,aL0.P@a.行0 A(0,0.0)BF=BC(0≤元s1),设F(xy2),BF=(x-1,y,z),BC=(0,10), 则(x-1,y)=(0,10),解得F(1元0) 第3页共7页 设平面法向是为元-(，小.正-行0》F-(0), 则AE元=0，AF.2=0, 1 25+23=0 所以+y=0，取片=-1，则=元3=九，即元=(2，-1-2)， …8分 设平面PCD的法向量为n,=(a,b,c),DC=(1,0,0),，PD=(01,-1), DC·n2=a=0 则 取2=(Q11), …10 PD.n =b-c=0 分 设平面AEF与平面PDC所成锐二面角的平面角为， -1- √21+ 则cosa v1+22√2 2N1+22 osa=. 1 21+2 所以 2V1+2元=2V2+2+1 ………12分 2+2- 1+ 222+1 所以 ,+ 1 9 t+ 2+8t2, 1,,91 -t+ =9 3 因为825号当取当2出，丽2时取等号 3 A=I 所以当“2时，即2时， (cosa)三2， (sina）mm=2 …15分 18(1)f()=nx-x,xe(0,+∞)，则f()=1-1=1-, 当x∈(0,1)时，f'(x)>0;当x∈(L,+o)时，f'()<0: 故f(x)在x∈(0,1)上递增，在x∈(L,+o)上递减， 所以f闭的极大值为f)=-1,无极小值：5分 第4页共7页 (2)由g(x)=ae-x+lna有意义可得a>0, 因为g'(x)=ae-l(a>0),令g'(x)>0得x>ln-,令g'()<0得-m<x<ln- 1 故g)在-o,ln递减，在n二，+∞上递增。 a a 故g(x)20对于x∈R恒成立， 则gIn≥0→1+2na≥0→a≥e: 10分 a (3)由关于x的方程f(x)=8()有两个实根，得nx=ae+lna有两个不等实根， 整理得lnx=e+aa+lna,则lnx+x=e+na+(x+lna), x+em*=extia+(x+Ina), 设函数h(x)=x+e,则上式为h(nx)=h(x+lna), 因为h(x)在R上单调递增，所以lnx=x+na,即lna=lnx-x, 令f(x)=lnx-x,x∈(0，+o), 由(1)可知f(x)在x∈(0,1)上递增，在x∈(L,+w)上递减， f(x)的最大值为fI)=-1, 又因为x→+0，f(x)→-0，x→0，f(x)→-0， 所以要想lna=lnx-x有两个根，只需要na<-1, 解得0<a<二，所以a的取值范围为0,1】 17分 19(17分)解：(1)由椭圆的定义可得△MEN的周长为4a,所以4a=4V2, 得a=√2 …2分 记椭圆C的半焦距为c,则离心率e=二= ,解得c=1,所以 a2 2 =a-c2=1,所以椭圆C的标准方程为 +y2=1. ……4分 由(1)可得点F2的坐标为(1,0)， 由OM⊥ON可得OM.ON=0 …5分 ①当直线MN的斜率不存在时，在椭圆C的方程中令x=1得 则0.oN-1号r0不将合8数 …6分 第5页共7页 ②当直线MN的斜率存在时，设直线N的斜率为k,则其方程为y=k(x-1),设 M(xy N(x2y2, [y=k(x-1) 联立得x+y2消去”并整理得(2k+x-4kx+2k-2=0△>0 2 4k2 则x十x2 2k2-2 2k2+16=2k2+i 所以 0M·0N=xx2+y2=xx2+k2(x-10x2-1)=(K2+10xx2-k2(x+x2)+k2 所以k=土2 …8分 当k=2时，+x +月=+-=5✉得-9 8 所 以点R的坐标起（传，5 同理可得，当k=片，点R的标是（传、5. 5 综上所述，点R的坐标是 4成42 5)或55 …10分 根据对称性知，△RST的面积与点R所在象限无关，所以不妨令点R的坐标为 号此时直线MN的方程可化为2r+y-V2=0,连接5NM loRk 3V2 5 设点S到直线MN的距离为d, 因为T为PN的中点，R为MN的中点，OM⊥ON,所以 20 …12分 0当直线1的刻率不存在时，点s的经标为0，此时点5到直费 第6页共7页 4W2 V2x+y-√2=0的距离d=5 +0-216 …13分 V2+1 15 ②当直线1的斜率存在时，如图，设直线1的方程为y=mr-+即 4 v2 y=mx-(-m- ),p(x3,y3)Q(x4,y4) 5 5 42 y=mx-(-m- 联立得 5 5,消去y,并整理得 2 +y2=1 (2m2+1）x2-4m 4 2 m- )2-2=0,△>0， 5 则x3十x4= 4m(4m-√2) ⅓+=m(6+无) 8m22_8m-2W2 5(2m2+1) 55 5(2m2+1) 所以点S的坐标为 2m(4m-√2) 4m-2 5(2m2+1)’5(2m2+1) 2×2m(4m-√2)_4m-V2 所以d= 5(2m2+1) 5(2m2+1 2W2(m+√2)2 3 5√3(2m2+1) 令fm)=m+V22 2m2+1,m∈R, 令t=m+√2，则m2=t-√22=2-2W2t+2. 当m=-√2，即t=0时，直线PQ与直线MN重合，此时△RST的面积为0： 当m≠-2，即10时，有y=2-4W21+55-4W2+2 1 1-22 ，从而当二= 即m5时，fm取得袋大值，为，时d-6 5 4 3 因为66 315 所以d= 3 ,则△RST面积的最大值为 W26-5 20310 …17分 第7页共7页绝密★启用前 ”一°一罗山县高级中学2025-2026学年度高二下期第3次教学质 量评估试题 数学 （考试时间：120分钟试卷满分：150分) 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号 条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题 卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，其中相关系数最小的是() A 珠 60 60 60-。 ●● 50 50 50.··· 40 40 ●。。 30 40-.: 30 30- 30·。· 20 201 20·· ● 20- 10 10H 10··· 10F 0102030405060元 0102030405060元 0102030405060元 0102030405060若 图①（相关系数） 图②（相关系数r2) 图③（相关系数3） 图④（相关系数r4) A. B. C.5 D.r 2.已知从点(-5,3)发出的光线，经x轴反射后，反射光线恰好平分圆：x2+y2-2x- 2y-3=0的圆周，则反射光线所在的直线方程为() A.2x-3y+1=0 B.2x-3y-1=0 C.3x-2y+1=0 D.3x-2y-1=0 3.在三棱柱ABC-AB,C中，设AA=a,AB=五，AC=C,M,N分别为AB,CC的 中点，则MN=() A.za+3b+d B.za-3B+c C.a-1B+c D.a+-b+c 2 2 2 2 4.城区某中学安排2位数学老师、4位英语老师到A,B两所乡村中学任教，要求两个 乡村中学各安排3位老师，其中A中学至少需要安排1位数学老师，那么有()种不 同的安排方式 A.9 B.12 C.14 D.16 第1页共4页 1 2an,0≤a.<2 若4，则a=（） 3 5.已知数列{an}满足an+= 1 2a。-12≤a<1 A.5 B. 6.已知定义在(0，+o)上的函数f(x)满足3f(x)+xf'(x)>0,则必有() A.f(10)>8f(20) B.f(10)<8f(20) C.8f(10)<f(20) D.f(10)<4f(20) 7.如图，圆锥PO的底面圆周上有A,B,C三点，AB为底面圆O的直径，点C是底面 直径AB所对弧的中点，点D是母线PA的中点，若AB=PO=2,则直线CD和平面PBC 所成角的正弦值为() B c.65 9 D.25 3 8.已知函数f(x)=(1+e*在(0,2)上不单调，则实数a的取值范围是() A.(-∞，-4U(0,+∞) B.(-∞，-4)U(0,+∞) C.(4,0) D.[-4,0] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列结论正确的是（) A随机变量X服从二分布83》y=2X+1,剥Dn=3 B.相关系数r的值越小，两个变量之间的线性相关性越弱 C.在线性回归分析中，若值越小则模型的拟合效果越好 D.随机变量X服从正态分布N6a),且2<X<S)=a,则PX>8)-号a 10.已知数列{an},a,=1,an+1=2an+1n∈N),数列色n}满足bn=2log+a）-1。 若在数列bn}中去掉{an}的项，余下的项组成数列℃n},则 A.a+a2+43+a4=26 B.b=10 C.a4<b5<a5 D.G+C2+A+C10=170 第2页共4页 11.已知函数f(x)=ax2+nx,下列结论正确的是() A.当a=-1时，f(x)在(1，f(1)处的切线方程为y=-x B.当a=-1时，f(x)+x≤0恒成立 C.若f(x)恰有一个零点，则a∈[0，+o) D,若/因拾有两个零点，则0（六0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12 (n∈N)的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则展开式中x4 的系数为 13.如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点0出发，每次向左移动的概率为 向右移动的概率为写若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该须点位 于X的位置，则P(X>0)= 5-43-2-10123456元 14.若直线y=2x为曲线y=ea+b的一条切线，则b的最大值 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知数列{an}为等差数列，且满足a2m=2an+1n∈N*) (1)若a=1,求{an}的前n项和Sn: ②老藏列板满好名名子且发列瓶友拍前黄Z-B-小218 求数列bn}的通项公式。 16.(15分)某校举办定点投篮挑战赛，规则如下：每位参赛同学可在A,B两点进行投 篮，共投两次。第一次投篮点可在A,B两点处随机选择一处，若投中，则第二次投篮 点不变；若未投中，则第二次切换投篮点。在A点投中得2分，在B点投中得3分， 未投中均得0分，各次投中与否相互独立。 (1)在参赛的同学中，随机抽查50名的得分情况，得到如下2×2列联表 得分≥3分 得分<3分 合计 先在A点投篮 20 5 25 先在B点投篮 10 15 25 合计 30 20 50 依据小概率值=0.01的独立性检验，判断投篮得分与第一次投篮点的选择是否有 关？ 第3页共4页 (2)小明在A点投中的概率为0.7，在B点投中的概率为0.3 (i)求小明第一次投中的概率； (ⅱ)记小明投篮总得分为X,求X的分布列及数学期望。 参考公式：X= nad-bcp (a+bXc+d)a+cXb+d) o 0.1 0.05 0.01 0.001 Xa 2.706 3.841 6.635 10.828 17.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面PBC,底面ABCD为正方 形，PA=AB且PA⊥AB,E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点，BF=2BC (0≤元≤1) (I)证明：AE⊥PC; (2)求实数2的值，使得平面AEF与平面PDC所成锐二面角的平面角的正弦值最小. 18.(17分)已知函数f(x)=lnx-x,g(x)=ae-x+lna (1)求f(x)的极值： (2)若g(x)≥0对于x∈R恒成立，求实数a的取值范围： (3)若关于x的方程f(x)=g(x)有两个不等实根，求实数a的取值范围. x2,y2 19.(17分)已知椭圆C:示+示=1a>b>0)的离心率为 2 左、右焦点分别是 F,E,过F的直线与C交于M,N两点，△MEN的周长为4√2 (1)求C的标准方程； (2)若OM⊥ON(O为坐标原点)，记线段MN的中点为R。 (i)求R的坐标： (ii)过R的动直线l与C交于P,Q两点，PQ,PN的中点分别是S和T,求△RST 面积的最大值， 第4页共4页