精品解析：河南省叶县高级中学2025-2026学年高二下学期6月月考数学试题

数学试题 一、单选题 1. 曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先对函数求导，得到，再结合，即可得解． 【详解】，则，又， 则所求切线方程为，即． 故选：A． 2. 已知，则（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】D 【解析】 【详解】由组合数性质知， 所以，所以，得 3. 已知是公差不为0的等差数列，若成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】已知是公差不为0的等差数列，首项为，设公差为， 则， ， 已知成等比数列， 则， 展开整理得，解得（舍去）或， ， ． 4. 已知盒子中装有个红球和2个白球，从中任取3个球（取到每个球都是等可能的），用随机变量表示取到的红球个数，的分布列如下表所示，则（ ） 1 2 3 A. 4 B. 5 C. 6 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】由求出，再分别由求出，由期望公式求出，最后由期望性质求出. 【详解】由题意可得，解得或（舍去）. 因为，， 所以， 则. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用条件概率计算即可. 【详解】，则. 故选:C. 6. 设，这两个正态曲线如图所示.则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，两曲线分别关于和对称， 所以由图可知，所以A错误； 因为X的分布曲线“高瘦”，Y的分布曲线“矮胖”，所以 ，所以B错误； 由正态分布在区间上的概率的几何意义，有， C错误； ，D正确. 7. 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.9和0.1，假设发送信号0和1是等可能的.已知接收的信号为0，则发送的信号是1的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由全概率公式求出接收到的信号为0的概率，再利用条件概率公式计算即可求解. 【详解】设“发送的信号为0”， “接收到的信号为0”，则“发送的信号为1”， “接收到的信号为1”， 由题意得，，，，， ， ． 8. 已知函数，若恒成立，则正实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】不等式整理为，构造函数，利用单调性得到，再构造，进而得到，从而. 【详解】，，且， 两边加上得，， 设，则，所以单调递增， ，即， 令，则， 的定义域是， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 当时，取得极大值即为最大值，， ，. 故选：C． 【点睛】方法点睛：将等式两边整理为结构相同的形式，由此构造新函数，本题中将整理为，从而构造函数求解. 二、多选题 9. 已知某地10月份第x天的平均气温为y（单位：℃），x，y线性相关，由x，y的前7天样本数据求得的经验回归方程为，则下列说法正确的是（ ） A. x，y负相关 B. 第8天的平均气温为18℃ C. 前7天平均气温的平均数为19℃ D. 若剔除偏离经验回归直线最大的一个异常点，则相关系数变大 【答案】AC 【解析】 【分析】根据已知利用回归直线的性质依次判断各选项即可得出结果. 【详解】因为，所以A正确； 第8天的平均气温的预测值为18℃，但实际值不一定是18℃，B错误； 由，及在经验回归直线上，得，C正确； 因为x，y负相关，所以相关系数， 剔除偏离经验回归直线最大的一个异常点后，变大，但r变小，D错误． 故选:AC． 10. 若展开式中所有二项式系数之和为1024，且，则（ ） A. B. C. 能被200整除 D. 除以7所得的余数为2 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意得到，结合换元法得到；结合通项公式判断A；根据赋值法即可判断B；结合求导及赋值法判断C；结合赋值法及二项式定理判断D. 【详解】由题意知，，解得. 于是，， 令，则，代入得. 展开式的通项公式为. 对于A：令，则，所以，故，A正确. 对于B：令，则， 令，则， 所以，B错误. 对于C：对两边求导得，， 令，则， 故能被200整除，C正确. 对于D：令，则. ， 因为均能被7整除，所以只需判断的余数即可. 又，所以. 综上，除以7所得的余数为2，D正确. 11. 设函数，则（ ） A. 当时，有三个零点 B. 当时，是的极大值点 C. 存在a，b，使得为曲线的对称轴 D. 存在a，使得点为曲线的对称中心 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解. 【详解】A选项，，由于， 故时，故在上单调递增， 时，，单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，，则， 根据零点存在定理在上有一个零点， 又，，则， 则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确； B选项，，时，，单调递减， 时，单调递增， 此时在处取到极小值，B选项错误； C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴， 即存在这样的使得， 即， 根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为， 于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误； D选项， 方法一：利用对称中心的表达式化简 ，若存在这样的，使得为的对称中心， 则，事实上， ， 于是 即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确. 方法二：直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， ，，， 由，于是该三次函数的对称中心为， 由题意也是对称中心，故， 即存在使得是的对称中心，D选项正确. 故选：AD 【点睛】结论点睛：（1）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心 三、填空题 12. 设随机变量的概率分布列为，其中，那么的值为______. 【答案】 【解析】 【详解】根据分布列的性质可得，，解得. 13. 已知数列满足，，且.若是数列的前项积，求的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由且可推出，再求出，利用函数思想求其最大值即可. 【详解】解：因为，且，所以， 所以数列为等比数列，则数列， 所以， 因为， 又因为，所以当或时，取最大值， 所以 故答案为: 14. 初等数论中的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明.四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为四个自然数的平方和，例如正整数.设，其中，，，均为自然数，则满足条件的有序数组的个数为__________.（用数字作答） 【答案】48 【解析】 【分析】分类讨论四个数的组成后，由排列数公式与计数原理求解即可． 【详解】依题意，均为不超过6的自然数， 最大数为6的情况：，此时共有个有序数组； 最大数为5的情况：，此时共有个有序数组； 最大数为4的情况：，此时共有个有序数组； 当最大数为3时，，不满足题意， 由分类加法计数原理，满足条件的有序数组的个数是. 故答案为：48 四、解答题 15. 已知数列 . （1）令 ，证明数列 是等差数列，并求出通项公式； （2）求数列 的前 项和 . 【答案】（1）证明： ， 两端除以 ，得 ，即 ， 由 ，得 ， 所以数列 是以 4 为首项，3 为公差的等差数列， （2） . 【解析】 【分析】（1）由数列递推式变形后，利用等差数列定义证明并求出其通项公式； （2）先利用（1）的结论，求出，再由错位相减法即可求得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ，① 由①-②，得 ， . 16. 近年来，国家鼓励德智体美劳全面发展，舞蹈课是学生们热爱的课程之一，某高中随机调研了本校2023年参加高考的90位考生是否喜欢跳舞的情况，经统计，跳舞与性别情况如下表：（单位：人） 喜欢跳舞 不喜欢跳舞 女性 25 35 男性 5 25 （1）根据表中数据并依据小概率值的独立性检验，分析喜欢跳舞与性别是否有关联？ （2）用样本估计总体，用本次调研中样本的频率代替概率，从2023年本市考生中随机抽取3人，设被抽取的3人中喜欢跳舞的人数为X，求X的分布列及数学期望. 附：，. 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 【答案】（1）认为喜欢跳舞与性别有关联 （2） 0 1 2 3 . 【解析】 【分析】（1）计算出的值，对照卡方表完成检验； （2）分别计算出样本中喜欢跳舞和不喜欢跳舞的概率，根据二项分布即可求出随机变量的分布列和数学期望. 【小问1详解】 零假设：：喜欢跳舞与性别无关联， 由题意，， 依据小概率值的独立性检验，可推断不成立，即认为喜欢跳舞与性别有关联. 【小问2详解】 由题知，考生喜欢跳舞的概率，不喜欢跳舞的概率为 X的可能取值为0，1，2，3 ，， ， 所以X的分布列如下： 0 1 2 3 由，数学期望. 17. 在正三棱柱中，已知分别是棱的中点． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）根据面面平行的判定定理来证明 （2）先建立空间直角坐标系，再分别求出平面和平面的法向量，最后计算夹角的余弦值. 【小问1详解】 在矩形中，分别为的中点，连接，则， 在与中，易得，，因为，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理，，因为平面，平面，所以平面， 又因平面，故平面平面. 【小问2详解】 以中点为坐标原点，所在直线为x轴正方向，所在直线为y轴正方向， 过点 和平面垂直的直线为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 因，， 则，即令，则， 设平面的法向量为， 则，即令，则， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 18. 已知函数． （1）当时，求的最小值； （2）求函数的极值； （3）当时，不等式在上恒成立，求整数的最大值． 【答案】（1）； （2）当时，函数不存在极值； 当时，函数存在极大值，此时，不存在极小值. （3）4. 【解析】 【分析】（1）当时，，求出其导函数，通过判断导函数的正负区间，得到函数的单调性，进而可求得其最小值； （2）将函数代入，得的解析式，求出其导函数，通过讨论得范围，求出函数的单调区间，进而可得其极值； （3）代入得值，将问题转化为对任意恒成立，令，即恒成立，通过求导，判断其单调性，求得得最小值即可. 【小问1详解】 当时，，其定义域为， 则， 令，即，解得， 所以当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以，当时，函数取得最小值，即， 所以当时，的最小值为，此时. 【小问2详解】 由题意得，，其定义域为， 则， ①当时，恒成立，所以函数在上单调递增， 所以不存在极值； ②当时，令，解得， 所以当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以，当时，存在极大值，无极小值； 综上所述，当时，函数不存在极值； 当时，函数存在极大值，此时，不存在极小值. 【小问3详解】 由题意知，当时，不等式在上恒成立， 即，等价于在上恒成立， 设，即 则， 令，则， 当时，恒成立，则在上单调递增， 又，， 所以，使，即， 当，，即， 当，，即， 即在上单调递减，在上单调递增， 当，存在最小值，即， 由，得， ， 所以， 又，所以的最大值为4. 19. 椭圆：（）经过点，左、右焦点分别为，. （1）求椭圆的标准方程； （2）若椭圆的左顶点为，下顶点为，是椭圆在第一象限上的一点，直线与轴相交于点，直线与轴相交于点. （ⅰ）过点做椭圆的切线，当切线平行时，求：切线方程. （ⅱ）求面积的最大值. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）列关于的方程即可求解得到椭圆的标准方程. （2）（i）先求直线的斜率，设切线方程为，联立方程令 ，即可求解， （ⅱ）先证明，再证明四边形面积为定值2，所以的面积. 【小问1详解】 由题意可得， 又，解得， 故椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）可得：，， 设，，， 可知直线方程为：. 设切线方程为， 代入,得到 令，解得， 因 P 在第一象限，切线斜率为负，故 所以切线方程为：. （ⅱ）直线：，到直线的距离为 且， 当且仅当时等号成立. 因为在椭圆上，所以， 则：，令，， 则：，令，， 则， . 故四边形面积为定值2. 所以的面积， 所以面积的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 一、单选题 1. 曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 3. 已知是公差不为0的等差数列，若成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知盒子中装有个红球和2个白球，从中任取3个球（取到每个球都是等可能的），用随机变量表示取到的红球个数，的分布列如下表所示，则（ ） 1 2 3 A. 4 B. 5 C. 6 D. 9 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 设，这两个正态曲线如图所示.则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.9和0.1，假设发送信号0和1是等可能的.已知接收的信号为0，则发送的信号是1的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若恒成立，则正实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知某地10月份第x天的平均气温为y（单位：℃），x，y线性相关，由x，y的前7天样本数据求得的经验回归方程为，则下列说法正确的是（ ） A. x，y负相关 B. 第8天的平均气温为18℃ C. 前7天平均气温的平均数为19℃ D. 若剔除偏离经验回归直线最大的一个异常点，则相关系数变大 10. 若展开式中所有二项式系数之和为1024，且，则（ ） A. B. C. 能被200整除 D. 除以7所得的余数为2 11. 设函数，则（ ） A. 当时，有三个零点 B. 当时，是的极大值点 C. 存在a，b，使得为曲线的对称轴 D. 存在a，使得点为曲线的对称中心 三、填空题 12. 设随机变量的概率分布列为，其中，那么的值为______. 13. 已知数列满足，，且.若是数列的前项积，求的最大值为______. 14. 初等数论中的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明.四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为四个自然数的平方和，例如正整数.设，其中，，，均为自然数，则满足条件的有序数组的个数为__________.（用数字作答） 四、解答题 15. 已知数列 . （1）令 ，证明数列 是等差数列，并求出通项公式； （2）求数列 的前 项和 . 16. 近年来，国家鼓励德智体美劳全面发展，舞蹈课是学生们热爱的课程之一，某高中随机调研了本校2023年参加高考的90位考生是否喜欢跳舞的情况，经统计，跳舞与性别情况如下表：（单位：人） 喜欢跳舞 不喜欢跳舞 女性 25 35 男性 5 25 （1）根据表中数据并依据小概率值的独立性检验，分析喜欢跳舞与性别是否有关联？ （2）用样本估计总体，用本次调研中样本的频率代替概率，从2023年本市考生中随机抽取3人，设被抽取的3人中喜欢跳舞的人数为X，求X的分布列及数学期望. 附：，. 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 17. 在正三棱柱中，已知分别是棱的中点． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知函数． （1）当时，求的最小值； （2）求函数的极值； （3）当时，不等式在上恒成立，求整数的最大值． 19. 椭圆：（）经过点，左、右焦点分别为，. （1）求椭圆的标准方程； （2）若椭圆的左顶点为，下顶点为，是椭圆在第一象限上的一点，直线与轴相交于点，直线与轴相交于点. （ⅰ）过点做椭圆的切线，当切线平行时，求：切线方程. （ⅱ）求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $