20.1 一次函数（第1课时）课件2025-2026学年冀教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦正比例函数概念，涵盖定义（y=kx，k≠0）、待定系数法及简单应用。课堂导入通过京沪高铁行程、读书页数等实际情境，搭建学习支架，引导学生从具体数量关系抽象共性，衔接函数基础，自然引出新知。 其亮点在于以情境驱动和任务链设计，通过“观察实例—归纳概念—判断辨析—应用求解”流程，培养数学眼光（抽象实际问题）、数学思维（归纳推理）和数学语言（表达函数关系）。如用小刚骑车路程表归纳s=0.2t，任务三通过收割机问题强化应用。小结结构化呈现要点，助力学生系统掌握，教师可直接用于高效教学。

20.1 一次函数 （第1课时） 第二十章 一次函数 学 习 目 标 1 2 3 理解正比例函数的概念，能根据定义判断正比例函数并写出其一般形式（） 掌握待定系数法，能根据已知的一组 x,y 值求出正比例函数的解析式 能利用正比例函数解析式，进行已知自变量求函数值或已知函数值求自变量的计算 情景导入 京沪高速铁路全长1318公里，“复兴号”高铁从北京出发，如果以350 km/h的平均速度运行，在行程过程中，出发t h后距离北京350t公里，距离上海（1318-350t）公里. 高效课堂 任务一：理解正比例函数的概念，判断函数类型 m=20t w=0.5n 4 高效课堂 任务一：理解正比例函数的概念，判断函数类型 问题:这些函数的共同特点是什么? 归纳:这些函数的共同特点是都能写成y=kx的形式.其中,k为常数,且k≠0. 总结:一般地,我们把形如y=kx(k为常数,且k≠0)的函数,叫作正比例函数.其中,非0常数k叫作比例系数. y=30x 5 高效课堂 任务一：理解正比例函数的概念，判断函数类型 例1 下列函数,哪些是正比例函数? 请指出正比例函数的比例系数. 解:(1)(3)(5)(6)是正比例函数,比例系数分别是3,-,π,-.(2)和(4)不是正比例函数. 方法归纳:形式为y=kx(k是常数,且k≠0),没有其他项. 6 获取新知 观察与思考 小刚骑自行车去上学，行驶时间和路程的关系如下表： 时间t/min 1 2 3 4 5 … 17.5 路程s/km 0.2 0.4 0.6 0.8 1 … 3.5 知识点 正比例函数的定义 1 Administrator (A) - 经历由现实情境抽象出正比例函数的过程，感悟正比例函数模型，培养学生的抽象能力. （1）小刚行驶的时间和路程成正比例吗？ （2）如果用t(min)表示时间，s(km)表示路程，那么s与t之间的函数关系式具有什么特征呢？ 时间t/min 1 2 3 4 5 … 17.5 路程s/km 0.2 0.4 0.6 0.8 1 … 3.5 通过观察，不难发现两个量的比值不变 S与t的比值恒等于0.2，即S=0.2t 新知探究 问题探究：小明的上学路 小明骑自行车去上学，匀速行驶，行驶时间和路程之间的关系如下表: (1)小明行驶的路程和时间成正比例吗?为什么? (2)如果用表示时间，表示路程，那么s与t之间的函数关系式是什么? (1)通过验证我们可以发现 . 通过计算我们发现，无论时间如何变化，路程与对应时间的比值始终是 0.2，这个比值是恒定不变的。 所以，我们可以得出结论：小明行驶的路程和时间是成正比例的量。 (2)既然路程与时间的比值是 0.2，我们就可以用数学式子来表示这个关系： 将这个式子变形，就可以得到路程关于时间的函数关系式： 新知探究 观察思考与之间的函数关系式具有什么特征 从形式上看：它是一个关于自变量的整式，自变量 的次数是1 从结构上看：它可以写成 “因变量=常数×自变量”的形式，也就是， 这里的 从常数上看：这里的常数 不为0，它代表了小明骑车的速度，是导致路程随时间变化的“速率” 高效课堂 任务一：理解正比例函数的概念，判断函数类型 判断y=-x+1,y=-,y=,是否为正比例函数,并指出正比例函数的比例系数. y=-x+1,不是正比例函数. y=-,是正比例函数,比例系数是-. 判断y=,不是正比例函数. 11 高效课堂 任务二：写出正比例函数表达式，指出比例系数 问题:已知y是x的正比例函数,当x=4时,y=10,请写出y与x之间的函数关系式,并指出比例系数. 解析 正比例函数的形式是y=kx,将x=4,y=10代入,求解k的值. 解题步骤:先设表达式为y=kx,再代入已知点的坐标求出k,最后写出表达式,并指出比例系数. 解: (1)设y=kx(k≠0),把x=4,y=10代入得10=4k,解得k=. 所以y与x之间的函数关系式为y=x,比例系数是. 12 高效课堂 任务二：写出正比例函数表达式，指出比例系数 问题:每支铅笔0.5元,购买数量n(支),花钱总数w(元),写出w与n的函数关系式,并指出比例系数. 解：w=0.5n，比例系数为0.5. 13 2.小米去给学校运动会买奖品，每支铅笔0.5元.若购买铅笔的数量用n（支）表示，花钱的总数用w（元）表示，则用n表示w的函数表达式为_______； 1.小亮每小时读20页书，若读书时间用字母t (h)表示.读过书的页数用字母m（页）表示.则用t 表示m的函数表达式为_______； 3.拧不紧的水龙头每分钟滴100滴水，每滴水约0.05ml，设t min后，水龙头滴水V ml，则用t 表示V的函数表达式为_____； m=20t w=0.5n V=5t 做一做 全品初中 新知探究 做一做：归纳共性，提炼模型 1.小亮每小时读20页书.若读书时间用表示，读过书的页数用表示，则用表示的函数表达式为 . 2.小明去给学校运动会买奖品，每支铅笔元.若购买铅笔的数量用表示，花钱的总数用表示，则用表示的函数表达式为 . 3.某工程队维修一段公路的路面，每小时维修路面的长度为.若维修时间用表示，维修路面的长度用表示，则用表示的函数表达式为 . 它们的右边都是 “一个常数乘以自变量” 的形式 我们可以用一个统一的形式来表示它们 这里的是一个常数，并且不等于0 观察，，，，它们有什么共同点 新知探究 正比例函数 一般地，形如(是常数，)的函数，叫做正比例函数，其中叫做比例系数. (的常数) 正比例函数一般形式 比例系数 自变量 思考：为什么强调是常数， 呢？ 一般情况下，正比例函数自变量的取值范围是全体实数，但在实际问题中，还要使实际问题有意义 高效课堂 任务三：根据条件求函数表达式，解决实际问题 例2 有一块10公顷的成熟麦田,用一台收割速度为0.5公顷/时的小麦收割机来收割. (1)求收割面积y(公顷)与收割时间x(h)之间的函数关系式. (2)求收割完这块麦田需要用的时间. 解析 收割面积等于收割速度乘收割时间. 解:(1)y=0.5x. 答:y与x之间的函数关系式为y=0.5x. 17 高效课堂 任务三：根据条件求函数表达式，解决实际问题 (2)把y=10代入y=0.5x,得10=0.5x. 解得x=20,即收割完这块麦田需要20 h. 答:收割完这块麦田需要用20 h. 总结:利用正比例函数解决实际问题时，首先根据实际场景中的数量关系确定函数形式为y=kx(这里k是收割速度),然后代入已知条件求出y与x之间的函数关系式,最后将实际问题中的具体数值代入关系式求解. 18 认真观察以上出现的四个函数表达式，填写表格 这些函数表达式都是常数与自变量的乘积的形式！ 函数=常数×自变量 y k x ＝ 这些函数表达式有什么共同点？ 函数解析式 常数 自变量及它的指数 连接常数与自变量的运算符号 S=0.2t m=20t w=0.5n v=5t 0.2 20 0.5 5 t，指数1 t，指数1 n,指数1 t，指数1 × × × × 想一想 全品初中 上面出现过的函数表达式，s=0.2t，m=20t，w=0.5n，V=5t，它们都可以写成y=kx(k≠0)的形式. 一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． y = k x (k≠0的常数) 比例系数 自变量 正比例函数 一般形式 注: 正比例函数y=kx(k≠0)的结构特征 ①k≠0 ②x的次数是1 思考 为什么强调k是常数，k≠0呢？ Administrator (A) - 老师要点明正比例函数与小学学过的正比例关系是不完全相同的，正比例关系是正比例函数的一部分，两个量之间的比值是常数就行，而不一定是正数 即学即练 方法技巧 判断一个函数是否为正比例函数的方法：看两个变量的比是不是常数，即函数是不是形如y＝kx(k为常数，且k≠0)的函数. 1.下列函数，哪些是正比例函数?请指出正比例函数的比例系数. (1); (2); (3); (4); (5); (6) 解：(1)(3)(5)(6)是正比例函数， 比例系数分别为，，， 新知探究 求正比例函数表达式 1.确定正比例函数表达式，就是确定正比例函数表达式中常数的值. 2. 求正比例函数表达式的步骤：设→代→求→还原， 即： (1)设：设出正比例函数表达式； (2)代：将已知条件代入函数表达式； (3)求：求出的值； (4)还原：写出正比例函数表达式. 1.(1)已知函数y=3x,当x=3时,y=_____. (2)已知函数y=x,当y=3时,x=_____. (3)已知函数y=kx,当x=-2时,y=10,则k=_____. 2.下列函数哪些是正比例函数?是正比例函数的指出比例系数. (1)y=-4x;(2)y=3x-1;(3)y=;(4)y=;(5)y=-0.9x. (1)是正比例函数,比例系数是-4.(2)不是正比例函数.(3)是正比例函数,比例系数是.(4)不是正比例函数.(5)是正比例函数,比例系数是 -0.9. 课堂评价 9 4 -5 23 3.已知y与x成正比例,当x=3时,y=6. (1)求出y与x之间的函数关系式. (2)当x=5时,求y的值. (3)当y=-4时,求x的值. 解：(1)设y=kx(k≠0),把x=3,y=6代入得6=3k,解得 =2. 所以y与x之间的函数关系式为y=2x. (2)当x=5时,y=2x=2×5=10. (3)当y=-4时,2x=-4,解得x=-2. 课堂评价 24 判断一个函数是否为正比例函数的方法：看两个变量的比是不是常数,即函数是不是形如y＝kx(k为常数，且k≠0)的函数. 方法总结 全品初中 变式练习 1.回答下列问题： (1)若y=(m-1)x是正比例函数，m取值范围是 ； (2)当n 时，y=2xn是正比例函数； (3)当k 时，y=3x+k是正比例函数. m≠1 =1 =0 全面的掌握正比例函数的概念，不仅指数是1，同时系数不能是0；后续相关函数概念的学习也是多方面的要求的同时满足才成立 即学即练 方法技巧 已知 y 是 x 的正比例函数，先设 y=kx，再代入已知条件求 k. 已知 x 求 y：直接代入解析式计算. 已知 y 求 x：代入后解方程求 x 2.已知y是x的正比例函数，当时，. (1)写出y与x之间的函数关系式. (2)当x=5时，求y的值. (3)当y=5时，求x的值. 解： (1). (2)当时，. (3)当时，，解得 . 课堂总结 1.通过本节课的学习,你学到了哪些内容? 2.学习了本节课你有何感受?请畅所欲言. 28 课堂小结 正比例函数的概念 形式：y=kx（k≠0） 求正比例函数的解析式 利用正比例函数解决简单的实际问题 1.设 2.代 3.求 4.写 EV录屏3.9.7软件录制 Lavf58.12.100 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制，www.ieway.cn $