2025-2026学年沪科版七年级数学下册期末冲刺卷

**基本信息** 沪科版七年级数学期末冲刺卷以核心素养为导向，通过规律探究（如算术平方根表格推理）、跨学科情境（光的反射角度计算）及新定义问题（k系数平衡角），融合代数运算与几何直观，实现基础巩固与创新应用的梯度考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|算术平方根、不等式性质、整式运算|第1题通过表格数据培养抽象能力，第5题结合对话推理考查运算能力| |填空题|6/18|分式方程、因式分解、平移性质|第15题甲、乙看错系数情境，强化推理意识与运算准确性| |解答题|8/72|类比探究（四次方根）、实际应用（书柜购买）、新定义（k系数平衡角）|第18题类比拓展培养创新意识，第19题构建方程模型体现应用意识，第24题新定义问题发展逻辑推理能力|

2025-2026学年沪科版七年级数学下册期末冲刺卷 1、 单选题(本大题共10小题.每小题3分.共计30分) 1．利用计算器计算出下表中各数的算术平方根如下： … … … 0.15 0.4743 1.5 4.743 … 根据以上规律，（     ） A．47.43 B．15 C．474.3 D．150 2．下列结论中成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，，垂足为C，．P是线段上一点，连接，的长不可能是（   ） A．2 B．3 C．3.5 D．4 5．两位同学在讨论一个一元一次不等式． 状状说：“不等式在求解的过程中系数化为1时需要改变不等号的方向．” 国国说：“不等式的解集为．” 根据上面对话提供的信息，他们讨论的不等式可以是（     ） A． B． C． D． 6．小李在计算时，发现其计算结果能被三个连续整数整除，则这三个整数是（    ） A．2024，2025，2026 B．2025，2026，2027 C．2023，2024，2025 D．2026，2027，2028 7．设是大于1925的正整数，使得为完全平方数的的个数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．定义运算符号，规则为．若，，且，则以下关系中，正确的是（     ） A． B． C． D． 9．对于正数，规定，例如：，，则的值为（    ） A． B．2023 C．2024 D． 10．如图，在科学《光的反射》活动课中，小明同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面的调节角的调节范围为，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线）的夹角，则反射光束CH与天花板所形成的角（）不可能取到的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共6小题.每小题3分.共计18分) 11．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x的值为16时，输出y的值为_________ 12．若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是_____． 13．已知：，则_____． 14．如图，在中，．将沿BC向右平移，得到，与交于点D，连接，若，，则图中阴影部分的面积为______． 15．甲、乙两人在分解因式时，甲看错了的值，分解的结果是；乙看错了的值，分解的结果是，则__________． 16．若关于的分式方程无解，则的值为___________． 三、解答题(本大题共8小题.每题9分.共计72分) 17．按要求完成下列各题： (1)解不等式组，并把解集表示在数轴上：； (2)分解因式：； (3)分解因式：． 18．类比探究： 小红同学在学习完平方根（二次方根）、立方根（三次方根）的知识后，想要类比探究四次方根、五次方根的相关知识： 若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根，记作，例如：16的四次方根记为． 请认真阅读上面的材料，回答下列问题： (1)①类似地，若____________，则叫的五次方根，记作____________； ②32的五次方根为____________； (2)若，则____________； (3)求的值：． 19．书香校园，书柜之约，在124中学，书香氤氲的梦想正在生长．为了安放新购置的万千卷册，让每一本书都能在合适的位置静候知音，学校计划购进甲、乙两种规格的书柜，如两位气质不同的待书使者，分层陈列，便于学子借阅与日常打理．后勤部门走访市场，细心询价，获得如下数据： ·若购甲种书柜个，乙种书柜个，共需元 ·若购甲种书柜个，乙种书柜个，共需元 (1)请你帮助学校算一算：甲种书柜与乙种书柜，每一座的单价各是多少元？ (2)如今，学校计划将这两种书柜共购个，携手立于廊下窗边．学校至多可拨付资金元，最多可以购买甲种书柜多少个． 20．如图1，两张边长分别为，的正方形纸片A，B，已知两张纸片的面积之和为34，将A，B两张纸片放置于一个大正方形的纸片上（无重叠无缝隙）． (1)如图2，若阴影部分的面积为30． ①求大正方形的边长；②求，两张纸片的边长差． (2)如图3，若已知，两张纸片的边长差为3，求阴影部分的面积． 21．先化简，再从不等式的正整数解中，选一个使原式有意义的数代入求值． 22．下面的分式化简题呈现了小薇的正确解答过程，但部分算式被遮挡． 解： (1)请求出被遮挡部分的代数式化为最简； (2)小薇认为“原算式的值不可能为”，请你回答下面的两个问题并说明理由：①你知道小薇为什么这样判断吗？②小薇的说法全面吗？ 23．如图，直线与交于点，在的内部，，平分． (1)求的度数； (2)过点作，求的度数． 24．在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“系数平衡角”．例如，，，有，则是的“系数平衡角”． (1)【概念理解】 若，则的“系数平衡角”是____； (2)【初步认识】 在平面内，，点为直线上一点，点为直线上一点．如图，点为平面内一点，连接，，，若是的“系数平衡角”，求的度数． (3)【问题解决】 连接，点为直线与直线间的动点（点不在直线上），，．是的“系数平衡角”，此时的度数为____． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年沪科版七年级数学下册期末冲刺卷 1、 单选题(本大题共10小题.每小题3分.共计30分) 1．利用计算器计算出下表中各数的算术平方根如下： … … … 0.15 0.4743 1.5 4.743 … 根据以上规律，（     ） A．47.43 B．15 C．474.3 D．150 【答案】A 【分析】先观察表格数据，总结被开方数与对应算术平方根的小数点移动规律，再根据规律计算所求结果. 【详解】解：由表格数据可得规律：被开方数的小数点向左或向右每移动2位，算术平方根的小数点向相同方向移动1位， ∵的小数点向右移动2位得到，且， ∴的结果是将的小数点向右移动1位，即. 2．下列结论中成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据等式的基本性质和不等式的基本性质进行判断即可． 【详解】解：选项：当时，一定成立，但不一定等于，故错误； 选项：，两边同乘得，故错误； 选项：若，两边同时除以得，故错误； 选项：两边同时除以正数，不等号方向不变，，故成立． 3．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘除法则，积的乘方法则逐一判断． 【详解】解：A、，A错误； B、，B正确； C、，C错误； D、，D错误． 4．如图，，垂足为C，．P是线段上一点，连接，的长不可能是（   ） A．2 B．3 C．3.5 D．4 【答案】A 【分析】根据垂线段最短，求出的最小值，进行判断即可. 【详解】解：∵P是线段上一点， ∴当时，的长最小， ∵，， ∴当时，，即， ∴， 当点P与点B重合时，  的长最大，， ∴， 故的长不可能是2. 5．两位同学在讨论一个一元一次不等式． 状状说：“不等式在求解的过程中系数化为1时需要改变不等号的方向．” 国国说：“不等式的解集为．” 根据上面对话提供的信息，他们讨论的不等式可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式性质，系数化为1时改变不等号方向说明的系数为负数，再解各选项不等式，找出解集为的选项即可． 【详解】解：∵解不等式系数化为1时需要改变不等号方向， ∴的系数为负数，排除系数为正数的选项B． 分别求解剩余选项： 解选项A的不等式，不等式两边同除以，改变不等号方向，得，符合题意． 解选项C的不等式，不等式两边同除以，改变不等号方向，得，不符合题意． 解选项D的不等式，不等式两边同除以，改变不等号方向，得，不符合题意． 6．小李在计算时，发现其计算结果能被三个连续整数整除，则这三个整数是（    ） A．2024，2025，2026 B．2025，2026，2027 C．2023，2024，2025 D．2026，2027，2028 【答案】B 【详解】解： ， 故的计算结果能被2025，2026，2027整除． 7．设是大于1925的正整数，使得为完全平方数的的个数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方数的性质，设（N为完全平方数，，1，4，9，16，…，）则，进而得，和都是正整数，都是100的因数，依此即可求解． 【详解】解：设（N为完全平方数，，1，4，9，16，…，） 则， 所以， 即，和都是正整数，都是100的因数，N为完全平方数，，1，4，9，16，…， ∴当时，； 当时，此时不是整数； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，（舍去）； 故使得为完全平方数的n的个数是4． 故选：A． 8．定义运算符号，规则为．若，，且，则以下关系中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意易得，，则有，，，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：，，， ，， ，，，， ， ， ， ，， ， ， ，，，， ，， ，故A，B，C选项错误，D选项正确． 9．对于正数，规定，例如：，，则的值为（    ） A． B．2023 C．2024 D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的运算，根据题意找到规律是解题的关键． 利用函数性质 ，将求和中的项配对，每对和为1，最后单独计算 即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴有 ， 即， ， ， ， ， 这样的组合共有 对， 又 ， ∴ 原式 = ． 故选：A． 10．如图，在科学《光的反射》活动课中，小明同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面的调节角的调节范围为，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线）的夹角，则反射光束CH与天花板所形成的角（）不可能取到的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线和利用分类讨论的思想是解题的关键． 分和，分别利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：当时，如图1所示，过点C作， ∵， ∴， ∴， ∴， 由反射定理可知，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，如图2所示，过点C作， 同理可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，或． 故选B． 二、填空题(本大题共6小题.每小题3分.共计18分) 11．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x的值为16时，输出y的值为_________ 【答案】 【分析】先看懂数值转换器，若输入一个数，求出的这个数的算术平方根，若结果是有理数，再重新输入，若结果是无理数就输出．据此作答即可． 【详解】解：当输入是16时，取算术平方根是4，4是有理数； 再把4输入，4的算术平方根是2，2是有理数； 再把2输入，2的算术平方根是，是无理数， 所以输出y的值是． 12．若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】分别求出不等式组中每个不等式的解集，再根据一元一次不等式组解集的确定规则“同大取大”，结合已知解集得到关于的不等式，求解即可得到的取值范围. 【详解】解：解不等式得： 解不等式得： 不等式组的解集是， 根据“同大取大”可得， 解得 . 13．已知：，则_____． 【答案】 【分析】根据配方法把原式变成平方和的形式，根据非负数的性质可得，，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 14．如图，在中，．将沿BC向右平移，得到，与交于点D，连接，若，，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 8 【分析】利用平移的性质得到，，，从而可得，，然后根据梯形的面积公式计算． 【详解】解：∵将沿向右平移，得到，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴ ． 15．甲、乙两人在分解因式时，甲看错了的值，分解的结果是；乙看错了的值，分解的结果是，则__________． 【答案】1 【分析】先根据多项式乘多项式法则计算甲和乙的分解结果，从而得到、的值，再代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 16．若关于的分式方程无解，则的值为___________． 【答案】或 【分析】先将分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解a的值：一种是整理后整式方程中x的系数为0，整式方程无解，此时原分式方程无解；另一种是整式方程有解，但解为原分式方程的增根，此时原分式方程无解． 【详解】解：， 方程两边同乘最简公分母，得， 整理得， 当，即时，方程左边为，右边为，整式方程无解，因此原分式方程无解，符合题意． 当时，若原分式方程无解，则整式方程的解为原分式方程的增根． 分式方程的增根使最简公分母为0，即，得， 将代入，得， 解得． 综上，的值为或． 三、解答题(本大题共8小题.每题9分.共计72分) 17．按要求完成下列各题： (1)解不等式组，并把解集表示在数轴上：； (2)分解因式：； (3)分解因式：． 【答案】(1)，数轴见解析 (2) (3) 【分析】（1）先分别求出两个不等式的解集，再找出两个解集的公共部分得到不等式组的解集，最后在数轴上表示出解集即可； （2）先提取公因式，再运用完全平方公式进行因式分解即可求出答案； （3）利用平方差公式分解后，提取公因式，化简即可得到结果． 【详解】（1）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以原不等式组的解集为：， 把解集在数轴上表示出来如图： （2）解： （3）解： 18．类比探究： 小红同学在学习完平方根（二次方根）、立方根（三次方根）的知识后，想要类比探究四次方根、五次方根的相关知识： 若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根，记作，例如：16的四次方根记为． 请认真阅读上面的材料，回答下列问题： (1)①类似地，若____________，则叫的五次方根，记作____________； ②32的五次方根为____________； (2)若，则____________； (3)求的值：． 【答案】(1)① ，；② (2) (3)或 【分析】本题类比已学的二次方根、三次方根、四次方根的定义，探究五次方根的相关知识，整体解题思路为：先根据已知定义类比得到五次方根的概念，再结合非负数的性质、一元方程的求解方法，利用乘方与开方互逆运算计算各小题的结果． 【详解】（1）解：①根据题干给出的二次方根、三次方根、四次方根的定义，类比可得，若 ，则x叫a的五次方根，记作． ②∵， ∴32的五次方根为2． （2）解：∵，，且， ∴，， 解得，， ∴， ∵， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴ ∴， ∴， 解得，． 19．书香校园，书柜之约，在124中学，书香氤氲的梦想正在生长．为了安放新购置的万千卷册，让每一本书都能在合适的位置静候知音，学校计划购进甲、乙两种规格的书柜，如两位气质不同的待书使者，分层陈列，便于学子借阅与日常打理．后勤部门走访市场，细心询价，获得如下数据： ·若购甲种书柜个，乙种书柜个，共需元 ·若购甲种书柜个，乙种书柜个，共需元 (1)请你帮助学校算一算：甲种书柜与乙种书柜，每一座的单价各是多少元？ (2)如今，学校计划将这两种书柜共购个，携手立于廊下窗边．学校至多可拨付资金元，最多可以购买甲种书柜多少个． 【答案】(1)甲种书柜单价元，乙种书柜单价元 (2)个 【分析】（1）根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）根据题意列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设甲种书柜单价x元，乙种书柜单价y元， ， 解得 ， 答：甲种书柜单价元，乙种书柜单价元； （2）解：设购买甲种书柜m个，购买乙种书柜（）个， ， ． 答：最多可以购买甲种书柜个． 20．如图1，两张边长分别为，的正方形纸片A，B，已知两张纸片的面积之和为34，将A，B两张纸片放置于一个大正方形的纸片上（无重叠无缝隙）． (1)如图2，若阴影部分的面积为30． ①求大正方形的边长；②求，两张纸片的边长差． (2)如图3，若已知，两张纸片的边长差为3，求阴影部分的面积． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①由题意得，再求出大正方形的面积，即可得出答案；②根据求出 ，则此题可解； （2）先根据 求出，再根据得出答案． 【详解】（1）解：①由题意得：， ，， ，即， ， ； ②，，且， ， ， ； （2）解：由题意得：，， ， ， ， ． 21．先化简，再从不等式的正整数解中，选一个使原式有意义的数代入求值． 【答案】，当时，原式（或当时，原式）． 【分析】根据分式的混合运算法则进行化简，然后求出不等式的正整数解，找到一个使分式有意义的值代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴其正整数解为，，，， ∵且， ∴当时，原式， 或当时，原式． 22．下面的分式化简题呈现了小薇的正确解答过程，但部分算式被遮挡． 解： (1)请求出被遮挡部分的代数式化为最简； (2)小薇认为“原算式的值不可能为”，请你回答下面的两个问题并说明理由：①你知道小薇为什么这样判断吗？②小薇的说法全面吗？ 【答案】(1) (2)①假设原算式的值为时，则，解得， 但当时，原分式中的分母，分式无意义，故假设不成立；所以小薇认为“原算式的值不可能为5”． ②小薇的说法不全面，理由如下： 要使分式有意义，需满足且， 且， 当时，，故原式的值也不可能为4， ∴小薇的说法不全面． 【分析】（1）由减法的意义列式，然后利用分式的加减运算法则计算并约分即可； （2）①②利用分式的意义进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意可知： ． （2）解：①略；②小薇的说法不全面，理由略． 23．如图，直线与交于点，在的内部，，平分． (1)求的度数； (2)过点作，求的度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了角的和差，角平分线定义，平角定义，垂直定义， 对于（1），设，则，可得.再根据平角定义得，然后根据平角定义可得，求出，可得答案； 对于（2），分两种情况：当在直线的下方时，由（1）得，即可求出，再根据得出答案； 当在直线的上方时，由（1）得，再根据得出答案． 【详解】（1）解：设，则， . 平分， ， 则， 解得， ； （2）解：当在直线的下方时， ， ． ， ，； 当在直线的上方时， ， ， ， ． 故或． . 24．在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“系数平衡角”．例如，，，有，则是的“系数平衡角”． (1)【概念理解】 若，则的“系数平衡角”是____； (2)【初步认识】 在平面内，，点为直线上一点，点为直线上一点．如图，点为平面内一点，连接，，，若是的“系数平衡角”，求的度数． (3)【问题解决】 连接，点为直线与直线间的动点（点不在直线上），，．是的“系数平衡角”，此时的度数为____． 【答案】(1)； (2)； (3)或 【分析】（1）设的“系数平衡角”是，由“系数平衡角”定义列方程即可得出； （2）过点作直线，利用平行线的内错角相等得出，是的“系数平衡角”，推出，再结合，求解即可； （3）根据，，设，，，， 再根据是的“系数平衡角”，可得，然后分类讨论：①当点在直线异侧时，过点作直线，过点作直线，②当点在直线同侧时，过点作直线，过点作直线，结合平行线的性质列出方程，即可求解． 【详解】（1）∵设的“系数平衡角”为， ∴根据题意，， ∵， ∴； （2）如图，过点作直线， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵是的“系数平衡角”， ∴根据题意，，即， ∵， ∴，解得：； （3）∵，， ∴设，，，， ∵是的“系数平衡角”， ∴， 分类讨论：①如图，当点在直线异侧时，过点作直线，过点作直线， ∵， ∴， ∴，， ，， ∴，， ∴， ， ∵， ∴，解得：， ∴； ②如图，当点在直线同侧时，过点作直线，过点作直线， ∵， ∴， ∴，， ，， ∴， ， ∵， ∴，解得：， ∴； ∴综上，为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $