19.4+函数的初步应用 课件2025-2026学年 冀教版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦函数的初步应用，核心知识点包括从实际情境识别变量与常量、建立函数关系及用表格图像解析式表示函数。课堂导入先回顾函数三种表示方法及区别，复习画函数图象步骤，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以温度转换、奥运五环填数等实际案例为载体，通过“发现变量关系—建立函数模型—利用模型求解”过程，培养学生模型意识与抽象能力。采用归纳总结明确函数表达式确定及自变量取值范围方法，助力学生形成应用意识，教师可借助实例提升教学效率。

第十九章　函　数 19.4　函数的初步应用 初中数学冀教版（2024）八年级下册 学 习 目 标 1 2 3 能从实际情境中识别变量与常量，建立函数关系，会用表格、图像、解析式表示函数，并能根据函数表达式解决实际计算问题 通过分析问题，经历 “发现变量关系 — 建立函数模型 — 利用模型求解” 的过程，提升数形结合能力和数学建模意识 体会函数在描述现实世界数量关系中的作用，感受数学与生活的紧密联系，增强用数学知识解决实际问题的信心 课堂引入 1.函数的三种表示方法：数值表法、图象法、表达式法. 2.函数三种表示方法的区别.   图象法 数值表法 表达式法 定义 用图象来表示两个变量间的函数关系的方法 通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法 用数学式子表示函数关系的方法 优点 直观地反映了函数随自变量的变化而变化的规律 具体反映了函数与自变量的数值对应关系 准确地反映了函数与自变量的数量关系 课堂引入 3.画函数图象的一般步骤： 第一步：列表——表中给出一些自变量的值及其对应的函数值； 第二步：描点——在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点； 第三步：连线——按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来. 获取新知 常用的温度计量标准有两种，一种是摄氏温度(℃)，另一种是华氏温度(℉). 想一想：华氏温度与摄氏温度是否具有函数关系呢？ 从温度计来看是一个对应一个，那么你能确定它们之间的表达式吗？ 知识点 表格法的初步运用 1 一起探究 已知摄氏温度值和华氏温度值有下表所示的对应关系： 摄氏温度/ºC 0 10 20 30 40 50 华氏温度/ºF 32 50 68 86 104 122 (1)当摄氏温度为30ºC时，华氏温度为多少？ 86 摄氏温度/ºC 0 10 20 30 40 50 华氏温度/ºF 32 50 68 86 104 122 (2)当摄氏温度为36ºC时，由数值表能直接看出华氏温度吗？试写出这两种温度计量之间关系的函数表达式，并求摄氏温度为36ºC时的华氏温度； 观察表格中数据，你发现了什么规律吗？ 解：不能由表格直接得出摄氏温度为36时对应的华氏温度. 若设摄氏温度为 t ºC，华氏温度为 f ºF，则 f =1.8t+32. 当 t=36时， f=1.8×36+32=96.8. 从这个问题中体会到数值表的局限性和建立函数表达式的必要性，所以说函数的三种表示方法可以相互补充. 例1　(课本P52一起探究)已知摄氏温度值和华氏温度值有如表所示的对应关系： (1)当摄氏温度为30 ℃时，华氏温度为多少？ 解　86 ℉. 摄氏温度/℃ 0 10 20 30 40 50 华氏温度/℉ 32 50 68 86 104 122 例1　(课本P52一起探究)已知摄氏温度值和华氏温度值有如表所示的对应关系： (2)当摄氏温度为36 ℃时，由数值表能直接求出华氏温度吗？试写出这两种温度计量之间关系的函数表达式，并求摄氏温度为36 ℃时的华氏温度； 解　不能.若设摄氏温度为t ℃，华氏温度为f ℉，则f ＝1.8t＋32.摄氏温度为36 ℃时，华氏温度为96.8 ℉. 摄氏温度/℃ 0 10 20 30 40 50 华氏温度/℉ 32 50 68 86 104 122 例1　(课本P52一起探究)已知摄氏温度值和华氏温度值有如表所示的对应关系： (3)当华氏温度为140 ℉时，摄氏温度为多少？ 解　当华氏温度为140 ℉时，摄氏温度为60 ℃. 摄氏温度/℃ 0 10 20 30 40 50 华氏温度/℉ 32 50 68 86 104 122 新知探究 问题探究一：温度的转换 常用的温度计量标准有两种，一种是摄氏温度，另一种是华氏温度.平时我们表示气温，用的就是摄氏温度. 已知摄氏温度值和华氏温度值有下表所示的对应关系: (1)当摄氏温度为时，华氏温度为多少? (2)当摄氏温度为时，由数值表能直接求出华氏温度吗?试写出这两种温度计量之间关系的函数表达式，并求摄氏温度为时的华氏温度. (3)当华氏温度为140时，摄氏温度为多少? 解：(1)当摄氏温度为时，华氏温度为 (2)当摄氏温度为时，由数值表不能直接求出华氏温度 设摄氏温度为x，华氏温度为y，可得两种温度计量之间的关系函数表达式为： . (3)当华氏温度为140时，把代入到中，求得. 即华氏温度为时，摄氏温度为 新知探究 问题探究二：奥运五环的奥秘 大家都熟悉奥运会的标志图案--五环图.在上面三个环中填入三个连续的偶数，在下面的两个环中填人两个连续的奇数，使得这三个连续偶数的和等于这两个连续奇数的和(如图中已经填好的2，4，6和5，7). (1)请按照要求再填写两组数.并谈谈你的想法 (2)如果用，，表示三个连续的偶数，用和表示两个连续的奇数，请写出与之间的函数表达式，并谈谈如何用这个函数表达式写出多组符合要求的数组， (1)例：上面填6,8,10，下面填11,13 上面填10,12,14，下面填17,19 想法：三个连续偶数的和必然是偶数，并且这个偶数一定能写成两个连续奇数的和， 这样就可以找到对应的数 (2)根据题意可得 整理得: 只要取为偶数，代入这个函数表达式中，就能得到多组符合要求的数组. 归纳总结 1. 当用函数表达式表示函数关系式时，在自变量的取值范围内任取一个值，即可确定相应的函数值，同样也可由函数值确定相应的自变量的值，方便为我们解决实际问题. 因此有时解决函数问题时，要先确定函数表达式. 全品初中 跟踪训练1　水龙头关闭不严会造成滴水.表格记录了30 min内7个时间点的漏水量，其中t表示时间，y表示漏水量. 解决下列问题： (1)结合表中数据写出滴水量y关于时间t的函数表达式为　　　　(不要求写自变量的取值范围)；  解　观察表格可得，漏水量是时间的3倍， 故函数表达式为y＝3t. 时间t/min 0 5 10 15 20 25 30 漏水量y/mL 0 15 30 45 60 75 90 跟踪训练1　水龙头关闭不严会造成滴水.表格记录了30 min内7个时间点的漏水量，其中t表示时间，y表示漏水量. 解决下列问题： (2)在这种漏水状态下，若不及时关闭水龙头，估算一天的漏水量约为多少mL？ 解　一天的漏水量约为y＝3×(24×60)＝4 320(mL). 时间t/min 0 5 10 15 20 25 30 漏水量y/mL 0 15 30 45 60 75 90 新知探究 用函数解决实际问题 很多实际问题和数学问题都表现为两个变量之间的函数关系，即函数关系广泛存在，我们可以根据两个变量之间的内在联系，列出或求出函数的表达式，根据表达式帮助我们分析和判断问题情境中的有关过程和结果，确定变量在一定条件下的特殊值或特定的范围，了解变量的变化趋势． 若 y 与 x 之间的函数表达式确定， 已知自变量 x 的值，则可通过求代数式的值，求出函数 y 的值 ; 若已知函数y的值，则可通过解方程，求出自变量 x 的值 . 新知探究 用函数解决实际问题的一般步骤 (1)审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系； (2)根据常量与变量之间的关系(例如，基本数量关系、公式等)确定函数表达式，同时确定自变量的取值范围； (3)运用函数的表达式(或图像)解决问题． 大家谈谈 （1）请按照要求再填两组数，并谈谈你的想法. 6+8+10=11+13； 10+12+14=17+19； 14+16+18=23+25； 18+20+22=29+31； …… 满足要求的数组有很多 大家谈谈 （2）如果用2x-2,2x,2x+2表示三个连续的偶数，用2y-1,2y+1表示两个连续的奇数，请写出与之间的函数表达式，并谈谈如何用这个函数表达式写出多组符合要求的数组. 依题意，得 6x=4y 即 你能确定自变量的取值范围吗？ ∵x,y都是整数 只有当x取偶数时，y才能为整数 ∴x取偶数 （x为偶数） 例2　(课本P53做一做第1题)一支20 cm长的蜡烛，点燃后，每小时燃烧5 cm.下面哪幅图能大致刻画出这支蜡烛点燃后剩下的长度h(cm)与点燃时间t(h)之间的函数关系？请说明理由. 解　图(3).理由：由题意得，这支蜡烛点燃后剩下的长度h(cm)与点燃时间t(h)之间的函数关系式为h＝20－5t，故图(3)符合要求. 跟踪训练2　(1)(课本P54习题A组第2题改编)根据生物学研究结果，青春期男女生身高增长速度呈现如图规律，由图可以判断： ①男生在13岁时身高增长速度最快； ②女生在10岁以后身高增长速度放慢； ③女生身高增长的速度总比男生慢； ④11岁时男女生身高增长速度基本相同. 以上说法错误的是　　　　.(填序号)  ③ 解析　①男生在13岁时身高增长速度最快，故正确； ②女生在10岁以后身高增长速度放慢，故正确； ③女生身高增长的速度在11岁前比男生快，故错误； ④11岁时男女生身高增长速度基本相同，故正确. (2)(课本P53做一做第2题)一等腰三角形的周长为12 cm，设其底边长为y cm，腰长为x cm. ①写出y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围； ②画出这个函数的图象. 解　①∵2x＋y＝12， ∴y＝12－2x， 由题意得12－2x>0，2x>12－2x， ∴3<x<6， ∴函数关系式为y＝12－2x(3<x<6). ②取值、描点并连线，函数图象如图所示. 即学即练 方法技巧 利用路程=速度×时间的基本公式，是解决行程类函数问题的通用思路. 结合实际意义判断时间、长度等非负量的自变量通常取t≥0 1.某人以4km/h的速度步行锻炼身体，请写出他的步行路程s(km)和步行时间t(h)之间的函数关系式，指出自变量的取值范围，并画出函数图象. 解：根据题意可得，， 步行时间一定为正，所以的取值范围为： 列表 即学即练 方法技巧 理解横纵坐标分别表示的的实际意义. 分析已知（看已知的是自变量还是因变量），在图象上找到对应的点，由点 的横坐标或者纵坐标的值读出要求的值 将“数”转化为“形”， 由“形”定“数” 2.某批发部对经销的一种电子元件调查后发现，一天的盈利y(元)与这天的销售量x(个)之间的函数关系的图象如图所示.请观察图象并解答下列问题. (1)一天售出这种电子元件多少个时盈利最多，最多盈利是多少元? (2)这种电子元件一天卖出多少个时不赔不赚? 解：(1)从图像中可以看出，当销售量个时，盈利达到最大值，为400元. (2)不赔不赚即盈利元。从图像中可知，当时，对应的销售量个. 归纳总结 2. 在实际问题中确定自变量的取值范围，主要考虑两个因素： ⑴自变量自身表示的意义．如时间、耗油量、速度等不能为负数；　　 ⑵问题中的限制条件． 此时多用不等式或不等式组来确定自变量的取值范围． 全品初中 课堂小结 $