19.3 函数的表示 课件 2025--2026学年冀教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦函数的表示方法，系统讲解列表法、表达式法、图像法及画函数图像的步骤。以声速与气温的实际情境导入，通过数值表引发思考，逐步过渡到表达式推导和图像绘制，搭建前后知识的学习支架。 其亮点在于以真实问题情境为载体，如弹簧长度与悬挂物体质量的关系分析，培养学生用数学的眼光观察现实世界的抽象能力和几何直观。通过例题解析、变式练习及知识梳理，帮助学生形成函数思想和数形结合思维，既提升学生的应用意识，也为教师提供结构化的教学资源，提高教学效率。

第十九章　函　数 19.3　函数的表示 初中数学冀教版（2024）八年级下册 学习目标 1.了解函数各种表示方法的特点，能选择适当的方法表示实际问题中的函数关系.(重点) 2.学会画函数的图象.(难点) 情景导入 我们知道，用数值表、图形和表达式等都可以表示两个变量之间的函数关系。现在，我们对这些表示方法作进一步的探究. 声音在空气中传播的速度(简称声速)与气温之间具有函数关系，某研究者通过实验得到了如下一组关于气温与声速对应的数值: 这是用数值表的形式来表达声速与气温之间的函数关系. 函数有不同的表达方式，可用来表达不同问题情境中两个变量之间的关系，帮助我们分析和解决问题。 用图形和表达式该如何表示声速和气温的表达方式呢？ 获取新知 人们发现，声音在空气中传播的速度（简称声速）与气温之间具有函数关系.某研究者通过实验得到了如下一组关于气温x与声速y对应的数值： x／℃ －10 －5 0 5 10 15 20 y／(m／s) 325.36 328.36 331.36 334.36 337.36 340.36 343.36 这是用数值表的形式来表达声速y与气温x之间的函数关系. 知识点 函数的表示方法 1 y（m/s） 100 200 300 400 o -15 -10 -5 5 10 15 20 x/℃ ● ● ● ● ● ● 一个函数的自变量x的值与对应的函数y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系中描点，所有这些点组成的图形就叫做这个函数的图像. x／℃ －10 －5 0 5 10 15 20 y／(m／s) 325.36 328.36 331.36 334.36 337.36 340.36 343.36 ● 全品初中 y关于x的函数关系式为： x／℃ －10 －5 0 5 10 15 20 y／(m／s) 325.36 328.36 331.36 334.36 337.36 340.36 343.36 2.观察表格中数值，思考： （1）气温每升高（或降低）1℃，对应的声速增加（或降低）多少？ （2）当x=0时，y的值是多少？ （3）如何用表达式表示声速y（m/s)与气温x( ℃）之间的关系. 列表格、图像、表达式三种方法使数与形统一起来，三种方法各有特点，有时又可相互转换. 知识梳理 函数的三种表示方法：数值表法、图象法、表达式法. 新知探究 函数的表达方式 函数的表示方法有三种： (1)用关于自变量的数学式子表示函数与自变量的方法叫做解析式法． (2)用表格表示函数关系的方法，叫做列表法． (3)用图像表示函数关系的方法．叫做图像法． 注意事项：1.并不是所有的函数都可以用这三种方法表示出来 . 如气温与时间的函数关系，只可用数值表法和图像法表示，而无法用表达式法表示； 2.在实际问题中 , 若纵轴和横轴上的点表示的是不同意义的量 , 则两轴可以取不同的单位长度. 3.特别需要注意的是不论用哪种表示方法都应使自变量的取值符合实际意义 . 新知探究 函数的图像 一般地，我们把一个函数的自变量的值与对应的函数的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在平面直角坐标系中描点，所有这些点组成的图形就叫作这个函数的图象，如图中的图形就是函数的图象. 例题讲解 例1 在直角坐标系中，画出函数y=2x+1的图像. (1)取值.根据函数表达式，取自变量的一些值，得出函数的对应值，按这些对应值列表： x -2 -1 0 1 2 y -3 -1 1 3 5 (2)描点.根据自变量和函数的数值表，在直角坐标系中描点. (3)连线.用平滑的曲线将这些点连接起来，即得函数的图像，如图所示. O x y 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 3 1 4 2 5 -2 -4 -1 -3 y=2x+1 全品文教初中 O x y 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 3 1 4 2 5 -2 -4 -1 -3 y=2x+1 当自变量的值越来越大时， 对应的函数值 . 画出的图像是一条 ， 直线 越来越大 观察 例1　在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，测得弹簧的长度y(cm)随所挂物体的质量x(kg)变化关系的图象如图. (1)图中反映哪两个变量之间的关系？ 解　反映了弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)的变化关系. 例1　在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，测得弹簧的长度y(cm)随所挂物体的质量x(kg)变化关系的图象如图. (2)根据图象，补全表格； 解　根据图象，补全表格. x/kg 0 1 2   5 7 y/cm     12 16     x/kg 0 1 2 4 5 7 y/cm 8 10 12 16 18 18 例1　在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，测得弹簧的长度y(cm)随所挂物体的质量x(kg)变化关系的图象如图. (3)弹簧长度是如何随悬挂物体质量的变化而变化的？ 解　由图象得， 当所挂物体的质量不超过5 kg时，所挂物体的质量x(kg)每增加1 kg，弹簧的长度增加2 cm； 当所挂物体的质量超过5 kg时，弹簧的长度为18 cm，不随所挂物体的质量x(kg)的变化而变化. 新知探究 函数三种表示方法的区别 通过列出自变量的值，与对应函数值的表格来表示函数关系的方法 用数学式子表示函数关系的方法 用图象来表示两个变量间的函数关系的方法 不需计算就可以直接查出自变量与它对应的函数值 准确地反映了函数随自变量的数量关系 直观、形象地把自变量与函数之间的关系表示出来 新知探究 函数三种表示方法的区别 缺点 由图像只能得到近似的数量关系 列出的对应值是有限的，而且在表格中．也不容易看出x与y之间对应的规律 求对应值时，往往要经过比较复杂的计算 第一步，列表——根据函数表达式，取自变量的一些值，得出_________ 并列表； 第二步，描点——在平面直角坐标系中，以自变量的值为 ，相应的函数值为 ，描出表格中数值对应的各点； 第三步：连线——用 将这些点连接起来，即得函数的图像. 函数的 对应值 横坐标 纵坐标 平滑曲线 归纳总结 画函数图像的一般步骤： 全品初中 输入数x 输出结果y 用计算器可以求出任何一个非负数的算术平方根，显示器显示的结果随输入数的变化而变化.设输入数为x显示的结果为y,程序如图所示： （1）请写出y与x之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围. 做一做 全品初中 （2）根据函数关系式填写表格. （3）借助这些对应的数值画出这个函数的图像. y 16 9 4 1 0 x x y 0 1 2 3 4 全品初中 反思感悟 三种函数的表示方法的优缺点：(1)用图象法表示函数关系，优点是能形象直观地显示出函数的变化规律，把抽象的函数概念形象化，为研究函数的性质提供方便；缺点是所画的图象是近似的，局部的. (2)用数值表法表示函数关系可以很具体的看出函数自变量的取值与函数的对应值；缺点是它只能把部分自变量的值和与之对应的函数值列出，不能反映出函数的变化过程. (3)用表达式法表示函数关系，可以方便地计算函数值，便于抽象应用；缺点是不够形象，且有的函数变化难以用表达式表示. 即学即练 用计算器可以求出任何一个非负数的算术平方根，显示器显示的结果随输人数的变化而变化.设输入的数为，显示的结果为，程序如图所示. (1)请写出y与x之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围. (2)根据函数关系式，填写表格: 解：与之间的函数关系式为：， 其中自变量的取值范围为： 0 1 2 3 4 即学即练 0 1 2 3 4 (3)借助这些对应的数值画出这个函数的图像. 知识点 从函数图像获取信息 2 例2 小莉的父母出去散步，从家走了 20 min到达离家900 m的一个报亭，母亲随即按原速度返回，父亲看了10 min报纸后，用了15 min返回家. 请根据关于父亲或母亲距家的路程y (m)和离家时间x (min)的函数图像回答： (1)哪幅图像表示父亲距家的路程 y 与离家时间x 的关系？ (2)哪幅图像表示母亲距家的路程 y 与离家时间x 的关系？ (3)余下的那幅图像是关于小莉的， 请讲述一段与之相符的故事. 如图是丽丽上学骑车途中速度v(千米/时)与时间t(分)的关系图象. (1)她上学共用了多长时间?最大速度是多少? 变式练习 从出发到结束一共用了40分钟,故她上学共用了40分钟,最大速度是20千米/时. 如图是丽丽上学骑车途中速度v(千米/时)与时间t(分)的关系图象. (2)开始出发的前10分钟她的速度有什么变化? 哪段时间匀速行驶?最后10分钟呢? 从图象中可以看出:开始出发的前10分钟,表示速度的线是上升的,所以这段时间是加速运动.从第10分钟至第30分钟,表示速度的线是水平的,所以这段时间是匀速运动.最后10分钟,表示速度的线是下降的,所以这段时间是减速运动,直到速度为0. 知识梳理 一般地，我们把一个函数的自变量x的值与________________分别作为点的横坐标和_______，在平面直角坐标系中描点，所有这些点组成的____就叫作这个函数的图象. 对应的函数y的值 纵坐标 图形 例3　(课本P46例题)在平面直角坐标系中，画出函数y＝2x＋1的图象. x … －2 －1 0 1 2 … y … －3 －1 1 3 5 … 解　 (1)取值.根据函数表达式，取自变量的一些值，得出函数的对应值，按这些对应值列表： (2)描点.根据自变量和函数的数值表，在平面直角坐标系中描点. (3)连线.用平滑的曲线将这些点连接起来，即得函数的图象，如图所示. 反思感悟 在画函数图象时，我们要注意自变量的取值范围. 课堂小结 1.本节课我们学习到了哪些知识？还有哪些困惑？ 2.在学习的过程中，你学到了哪些数学方法？ 函数思想 数形结合 课堂小结 函数的表示方法 表达式法：准确反映了函数与自变量之间的数量关系 列表法：具体反映了函数与自变量的数值对应关系 图象法：形象反映了函数随自变量的变化而变化的规律 画函数图像步骤： 列表-描点-连线 从函数图像获取信息 $