2025--2026学年沪科版数学八年级下册暑期巩固 专题7 平行四边形

**基本信息** 以平行四边形概念为起点，通过性质应用、判定方法、综合问题及中位线定理的递进式训练，系统构建“概念-性质-判定-应用”逻辑链条，提炼方程思想与分类讨论等方法，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念与性质|12题|定义辨析、性质直接应用|从概念到边/角/对角线性质，夯实基础| |判定应用|8题|边/角/对角线判定法、反证法|性质与判定互逆，强化逻辑推理| |综合问题|10题|方程思想、分类讨论、坐标变换|动态与坐标结合，提升综合应用能力| |中位线定理|15题|性质迁移、面积转化|联结平行四边形与三角形，拓展知识网络|

沪科版（2024）八年级下册暑期巩固 专题7平行四边形 目录 平行四边形及其相关概念 1 由平行四边形的性质求边 2 由平行四边形的性质求角 3 由平行四边形的性质识别梯形 4 平行四边形性质的综合应用 4 两平行线之间的距离 5 添加条件判断是否为平行四边形 7 根据给出的条件判断是否为平行四边形 8 动点问题中判断平行四边形 9 坐标系中的平行四边形 11 平行四边形的判定和性质的综合运用 13 根据三角形中位线定理求边长 14 根据三角形中位线定理求角的度数 16 根据三角形中位线定理求面积 17 平行四边形及其相关概念 1、给定平面上不在同一直线上的三点、、，过这三点分别作对边的平行线，分别交于、、，图中的平行四边形有    个． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2、如图所示，四边形是平行四边形，那么下列说法正确的有(    ) 四边形是平行四边形，记做四边形是 把四边形分成两个全等的三角形 ，且 四边形是平行四边形，可以记做“” A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 3、停车场的三个车位如图所示，若四边形是平行四边形，，则图中平行四边形共有          个．  4、在四边形中，若，           ，则四边形为平行四边形． 由平行四边形的性质求边 1、如图，在中，，，、相交于点O，交于点E，则的周长为（    ）    A. B. C. D. 2、在平行四边形中，对角线，相交于点O，，，M为中点，则线段的取值不可能为（　　） A. B. C. D. 3、如图，在中，平分，交于点平分，交于点，则的长为        ．    4、如图，四边形是平行四边形，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，分别以点为圆心、大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交的延长线于点．若，，则的长为      ． 5、如图，在▱ABCD中，BE、CF分别是∠ABC、∠BCD的平分线，若AB＝6，BC＝10． （1）求线段DE长； （2）求∠BGC的度数． 由平行四边形的性质求角 1、如图，在中，过点C的直线，垂足为E，，则的度数为（   ） A. B. C. D. 2、在平行四边形中，，则的度数为（   ） A. B. C. D. 3、若平行四边形中两个内角的度数之比是1：2，则较小内角的度数是 　  　． 4、如图，在平行四边形中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF＝60°，求平行四边形各个内角的度数． 由平行四边形的性质识别梯形 1、下列图形中，属于梯形的是（ ）. A. B. C. D. 2、观察下图，图中共有（ ）个梯形. A.1 B.2 C.3 D.4 3、观察下图，梯形的两腰分别是         ，底角分别是          . 4、已知梯形ABCD，请你画出梯形的高. 平行四边形性质的综合应用 1、如图，在▱ABCD中，下列说法一定正确的是（　　） A.AC＝BD B.AC⊥BD C.AB＝CD D.AB＝BC 2、如图，平行四边形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是（0，2），（﹣4，﹣4），（4，﹣4），则顶点D的坐标是（　　） A.（﹣8，2） B.（8，﹣4） C.（4，2） D.（8，2） 3、如图在平面直角坐标系中将▱ABCD向右平移得到▱A1B1C1D1，其中点A坐标为（2，3），点C坐标（2，1），点D坐标（1，1），点C1坐标（5，1），则▱ABCD在平移过程扫过的面积即四边形ADC1B1的面积为 　　． 4、 如图，四边形ABCD是平行四边形，若平行四边形ABCD的面积是12，则阴影部分的面积＝　 　． 两平行线之间的距离 1、如图，两把直尺的长分别为，，宽分别为，，纸上画有，将两把直尺的一边缘沿的边摆放，两直尺的另一边的边缘的交点在的平分线上，则下列结论一定成立的是（   ） A. B. C. D. 2、如图，在▱ABCD中，过点C分别作边AB、AD的垂线CE、CF，垂足分别为E、F，则直线AB与CD的距离是（　　） A.CD的长 B.BC的长 C.CE的长 D.CF的长 3、如图，在▱ABCD中，AD＝12，AC＝26，∠ADB＝90°，则AD与BC间的距离为（　　） A.5 B.10 C. D.26 4、如图，在▱ABCD中，BC，∠A＝45°，AB与CD的距离为 　 　． 5、公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，绿地上要修几条笔直的小路，如图，AB＝15m，AD＝12m，AC⊥BC，求： （1）小路BC，CD，OC的长； （2）计算出绿地的面积； （3）AB、CD之间的距离． 6、如图，平行四边形的顶点G在平行四边形的边上，平行四边形的顶点B在平行四边形的边上．求证：． 添加条件判断是否为平行四边形 1、如下是不完整的推理过程： 证明∶∵， ∴． ∵_______________， ∴四边形 是平行四边形． 若要保证推理成立，在横线上添加的条件可以是（   ） A. B. C. D. 2、如图，已知AB∥CD，增加下列条件可以使四边形ABCD成为平行四边形的是（　　） A.∠1＝∠2 B.AD＝BC C.OA＝OC D.AD＝AB 3、如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，请补充一个条件 　           　，使四边形ABCD是平行四边形． 4、如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB＝CD，添加条件 　      　，可得四边形ABCD为平行四边形（只需添加一个条件）． 根据给出的条件判断是否为平行四边形 1、如图，，，、是线段上的两点，则以下条件不能判断四边形是平行四边形的是（    ）    A. B. C. D.， 2、如图，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A.， B.， C.， D.， 3、下列给出的条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是 　　（填序号）． ①AB＝CD，AD＝BC；②AD＝BC，AD∥BC；③AB＝CD，∠B＝∠D；④OA＝OC，OB＝OD． 4、已知如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，求证：四边形ABCD是平行四边形． 动点问题中判断平行四边形 1、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝9cm，BC＝6cm，点P在AD边上以每秒2cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒1cm的速度从点C向点B运动，几秒时，直线PQ在四边形ABCD内部截出一个平行四边形？（　　） A.2秒 B.2秒或3秒 C.2秒或4秒 D.4秒 2、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间t为（　　）秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形 A.1 B.1.5 C.1或3.5 D.1.5或2 3、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝6，BC＝9，点P从点A出发，沿射线AD以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点C出发，沿CB方向以每秒1个单位长度的速度向点B运动．当点Q到达点B时，点P，Q停止运动，设点Q运动时间为t秒．在运动的过程中，当t＝　    　时，使以P，D，C，Q为顶点的四边形为平行四边形？ 4、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6cm，BC＝12cm，点E为BC上一点，EC＝7，点P从A出发以1cm/s的速度向D运动，点Q从C出发以2cm/s的速度向B运动，两点同时出发，当点P运动到点D时，点Q也随之停止运动．当运动时间为t秒时，以A、P、Q、E四个点为顶点的四边形为平行四边形，则t的值是 　　． 5、如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点；直线过点和点，且轴．点从点出发以每秒个单位长度的速度沿射线方向运动，同时点从点出发以每秒个单位长度的速度沿射线方向运动，设点运动的时间为（秒）． (1)求直线的函数表达式及点的坐标； (2)运动秒后，点坐标为 ，点坐标为 ；（用含的式子表示） (3)若以为顶点的四边形为平行四边形，求的值． 6、（1）如图 ①，在中，D，E分别为，的中点．请说明与的数量关系；（不必说明理由） （2）如图②，O是所在平面内一动点，连接，，并将，，，的中点D，E，F，G依次连接．如果点D，E，F，G能构成四边形，判断四边形是不是平行四边形，并说明理由； （3）在图②中，连接，如图③所示；若，，，，求四边形的周长．    坐标系中的平行四边形 1、在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣2，4）、（﹣5，2），点M是x轴上的点，点N是y轴上的点，如果以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，那么符合条件的点M有（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 2、在平面直角坐标系中，以A（1，1），B（3，0），C（﹣1，0）为顶点构造平行四边形，下列各点不能作为平行四边形顶点的是（　　） A.（5，1） B.（0，﹣2） C.（﹣3，1） D.（1，﹣1） 3、如图，在平面直角坐标系中，以O（0，0）、A（1，﹣1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（　　） A.（3，﹣1） B.（﹣1，﹣1） C.（1，1） D.（﹣2，﹣1） 4、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（，0），B（1，1）．若平移点B到点D，使四边形OADB是平行四边形，则点D的坐标是　            　． 5、点A，B，C在坐标网格中的位置如图所示，已知点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为．    (1)求的面积； (2)若点D也在坐标网格中，且以点A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，写出所有符合条件的点D的坐标． 6、已知平面直角坐标系内三点A（2，1），B（3，﹣1），C（﹣2，2），在平面内求一点D，使以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，写出点D的坐标． 平行四边形的判定和性质的综合运用 1、如图，已知四边形ABCD的面积为8cm2，AB∥CD，AB＝CD，E是AB的中点，那么△AEC的面积是（　　） A.4cm2 B.3cm2 C.2cm2 D.1cm2 2、如图，在正方形中，分别是正方形各边的中点，则下列结论不正确的是（    ） A. B. C. D. 3、如图，AB＝CD＝3，∠A＝75°，∠B＝45°，∠D＝15°，则线段AD的长为（　　） A.4 B.2 C.2 D.2 4、如图，如果M，N分别是平行四边形ABCD的两条对边的中点，那么图中有　  　个平行四边形． 5、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝70°，∠C＝40°，DE∥AB交BC于点E．若AD＝5cm，BC＝12cm，则CD的长是　  　cm． 6、已知，如图，在等边△ABC中，D是BC边上一点，F为AB边上一点，且CD＝BF，以AD为边作等边△ADE，联结EF、FC．求证： （1）△ADC≌△CFB； （2）四边形EFCD是平行四边形． 根据三角形中位线定理求边长 1、如图，若DE是△ABC的中位线，△ABC的周长为1，则△ADE的周长为（　　） A.1 B.2 C. D. 2、如图，在等边中，，，，垂足分别为点D、E．G为中点，H为中点连接，则的值为（    ） A. B.1 C. D.2 3、如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AB的中点，F是对角线AC的中点，如果EF＝6，那么AD的长是（       ） A.24 B.18 C.12 D.6 4、如图，在四边形中，，E，F分别是，的中点，连接并延长，分别交，的延长线于点M，N，且，则的长为        ． 5、如图，在△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，若BF平分∠ABC，BC＝6，则BE的长为 　　． 6、如图，点D、E分别是△ABC的边BC、AC的中点，点F是边AB上一点，FG∥AD，交ED的延长线于点G，若DE＝4，BF＝5，求DG的长． 7、如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC上的中点，AB＝5，CD＝7．求四边形EFGH的周长． 根据三角形中位线定理求角的度数 1、如图，D、E、F分别是△ABC三边的中点，若∠A＝60°，∠B＝45°，则∠EDF的度数为（　　） A.45° B.60° C.75° D.80° 2、如图，在四边形中，E，F分别是边，的中点，若，，，，则的度数为（   ） A. B. C. D. 3、如图，在四边形中，、分别是边、的中点，且，，，若，则的度数是（    ） A. B. C. D. 4、如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、CA的中点，AH是边BC上的高．若∠AHF＝20°，∠AHD＝50°，则∠DEF的度数 　  　． 5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC外一点，使∠DAC＝∠BAC，E为BD的中点，∠ABC＝60°，求∠ACE的度数． 根据三角形中位线定理求面积 1、如图，EF是△ABC的中位线，点O是EF上一点，且满足OE＝2OF，则△ABC的面积与△AOC的面积之比为（　　） A.2：1 B.3：2 C.5：3 D.3：1 2、如图，在△ABC中，点D是BC边上任一点，点F，G，E分别是AD，BF，CF的中点，连接GE，若△FGE的面积为8，则△ABC的面积为（　　） A.32 B.48 C.64 D.72 3、如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，F，G为BC上的点，连接DG、EF，若AB＝5cm，BC＝8cm，FG＝4cm，则△HFG的面积为（　　） A.1cm2 B.1.5cm2 C.2cm2 D.3cm2 4、如图，△ABC中，D、E、F分别是BC、CA、AB的中点，G、M、N分别是线段AE、AF、BD上的点，且GM∥BC，GN∥AB，GN与EF交于点K，如果四边形FKGM面积是2，四边形EKND的面积是3，则△GKE的面积是 　　． 5、在梯形ABCD中，AB∥CD，EF为中位线，则的面积与梯形ABCD的面积之比是        6、在▱ABCD中，AB⊥AC，点O为AC的中点，点E、M分别为AB、CE上的点，连接MO并延长至点N，使MO＝NO． (1)判断四边形AMCN的形状，并加以证明； (2)当点M为CE中点时，请判断AC和MN之间的位置关系，并加以证明； (3)在（2）的条件下，若∠B＝60°，AB＝4，点E为AB中点，求四边形AMCN的面积． 沪科版（2024）八年级下册暑期巩固 专题7平行四边形（参考答案） 平行四边形及其相关概念 1、给定平面上不在同一直线上的三点、、，过这三点分别作对边的平行线，分别交于、、，图中的平行四边形有    个． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】共有三个平行四边形：▱，▱，▱．故选：． 2、如图所示，四边形是平行四边形，那么下列说法正确的有(    ) 四边形是平行四边形，记做四边形是 把四边形分成两个全等的三角形 ，且 四边形是平行四边形，可以记做“” A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】四边形是平行四边形，记做“四边形是”，错误． 把四边形分成两个全等的三角形，正确； ，且，正确； 四边形是平行四边形，可以记做“”，应该为：记做“”，错误． 故选B． 3、停车场的三个车位如图所示，若四边形是平行四边形，，则图中平行四边形共有          个．  【答案】  【解析】四边形是平行四边形，，四边形、四边形、四边形、四边形、四边形都是平行四边形，题图中平行四边形共有个． 4、在四边形中，若，           ，则四边形为平行四边形． 【答案】  【解析】由两组对边分别平行得四边形是平行四边形，得．故答案为： 由平行四边形的性质求边 1、如图，在中，，，、相交于点O，交于点E，则的周长为（    ）    A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：∵在中，O是对角线的交点，且，， 是对角线的中垂线，， ， 的周长为． 故选C 2、在平行四边形中，对角线，相交于点O，，，M为中点，则线段的取值不可能为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：延长，使，连接，如图所示： 四边形是平行四边形， ∴，， ∵M为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的长度不可能是， 故选：D． 3、如图，在中，平分，交于点平分，交于点，则的长为        ．    【答案】 【解析】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，且， ∴， 同理，，， ∴， ∴， 故答案为： ． 4、如图，四边形是平行四边形，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，分别以点为圆心、大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交的延长线于点．若，，则的长为      ． 【答案】 【解析】解：由作图可得，，为的角平分线， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5、如图，在▱ABCD中，BE、CF分别是∠ABC、∠BCD的平分线，若AB＝6，BC＝10． （1）求线段DE长； （2）求∠BGC的度数． 【答案】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝6，BC＝10， ∴AD＝BC＝10，AD∥BC， ∴∠AEB＝∠CBE， ∵BE是∠ABC的平分线， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴∠AEB＝∠ABE， ∴AE＝AB＝6， ∴DE＝AD﹣AE＝10﹣6＝4， ∴线段DE的长为4． （2）∵BE、CF分别是∠ABC、∠BCD的平分线， ∴∠CBE∠ABC，∠BCF∠BCD， ∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∴∠CBE+∠BCF（∠ABC+∠CBD）180°＝90°， ∴∠BGC＝180°﹣（∠CBE+∠BCF）＝180°﹣90°＝90°， ∴∠BGC的度数是90°． 由平行四边形的性质求角 1、如图，在中，过点C的直线，垂足为E，，则的度数为（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：∵在平行四边形中，过点的直线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 故选：A． 2、在平行四边形中，，则的度数为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， 故选：C．    3、若平行四边形中两个内角的度数之比是1：2，则较小内角的度数是 　  　． 【答案】60°． 【解析】∵平行四边形的对角相等，且两个内角的比是1：2， ∴该平行四边形的两个邻角的比是1：2， 设这两个内角中较小内角的度数是x°，则2x+2×2x＝360， 解得x＝60， ∴较小内角的度数是60°， 故答案为：60°． 4、如图，在平行四边形中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF＝60°，求平行四边形各个内角的度数． 【答案】解：在四边形AECF中，因为AE⊥BC，AF⊥CD，∠EAF＝60°， 所以∠C＝120° 又∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠B＝∠D，∠C＝∠BAD，∠B+∠C＝180° ∴∠BAD＝120°；∠B＝60°；∠C＝120°；∠D＝60°． 由平行四边形的性质识别梯形 1、下列图形中，属于梯形的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 解：根据梯形的定义：有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫作梯形.符合定义的只有选项A. 故选A. 2、观察下图，图中共有（ ）个梯形. A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】 解：根据梯形的定义：有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫作梯形.从图中可以看出，有梯形ABCD，有梯形AEFD，有梯形BCFE，符合题意的是选项C. 故选C. 3、观察下图，梯形的两腰分别是         ，底角分别是          . 【答案】 AB，DC；∠A，∠B，∠C，∠D 【解析】 解：根据梯形的定义：有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫作梯形.其中平行的一组对边称为梯形的底，不平行的一组对边叫梯形的腰，所以梯形的两腰分别为AB和DC; 梯形的四个内角叫作梯形的底角，所这个梯形的底角分别为∠A，∠B，∠C， ∠D.故答案为AB，DC；∠A，∠B，∠C，∠D. 4、已知梯形ABCD，请你画出梯形的高. 【答案】 解：梯形的高是指从它的上底或下底上的一点向对边所作的垂线段.如图，作AE⊥BC于E，作DF⊥BC于F.则线段AE或DF即为所求. 平行四边形性质的综合应用 1、如图，在▱ABCD中，下列说法一定正确的是（　　） A.AC＝BD B.AC⊥BD C.AB＝CD D.AB＝BC 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD； 故选：C． 2、如图，平行四边形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是（0，2），（﹣4，﹣4），（4，﹣4），则顶点D的坐标是（　　） A.（﹣8，2） B.（8，﹣4） C.（4，2） D.（8，2） 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB，CD∥AB， ∵▱ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是（0，2）、（﹣4，﹣4）、（4，﹣4）， ∴BC＝8，OA＝2， ∴顶点D的坐标为（8，2）． 故选：D． 3、如图在平面直角坐标系中将▱ABCD向右平移得到▱A1B1C1D1，其中点A坐标为（2，3），点C坐标（2，1），点D坐标（1，1），点C1坐标（5，1），则▱ABCD在平移过程扫过的面积即四边形ADC1B1的面积为 　　． 【答案】8． 【解析】∵点C（2，1），点C1（5，1）， ∴平移距离5﹣2＝3， ∵点A（2，3）， ∴点A1的坐标为（5，3）， ∵点C（2，1），点D坐标（1，1）， ∴点B的坐标为（3，3）， ∴B1（6，3）， 由平移性质得四边形ADC1B1是平行四边形， ∴四边形ADC1B1的面积＝（3﹣1）×（6﹣2）＝8， 故答案为：8． 4、 如图，四边形ABCD是平行四边形，若平行四边形ABCD的面积是12，则阴影部分的面积＝　 　． 【答案】3． 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，OB＝OD，， ∴∠ODE＝∠OBF，∠DEO＝∠BFO，， ∴△DOE≌△BOF（AAS）， ∴S△DOE＝S△BOF， ∴阴影部分的面积等于S△BOF+S△COE＝S△DOE+S△COE＝S△COD＝3． 故答案为：3． 两平行线之间的距离 1、如图，两把直尺的长分别为，，宽分别为，，纸上画有，将两把直尺的一边缘沿的边摆放，两直尺的另一边的边缘的交点在的平分线上，则下列结论一定成立的是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：过点分别作的垂线，垂足分别为， ∵点在的平分线上， ∴， 由平行线间间距相等可知，，， ∴， 由于和的长度未知，故二者不一定相等， 故选：． 2、如图，在▱ABCD中，过点C分别作边AB、AD的垂线CE、CF，垂足分别为E、F，则直线AB与CD的距离是（　　） A.CD的长 B.BC的长 C.CE的长 D.CF的长 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∵CE⊥AB于点E， ∴直线AB与CD的距离是CE的长， 故选：C． 3、如图，在▱ABCD中，AD＝12，AC＝26，∠ADB＝90°，则AD与BC间的距离为（　　） A.5 B.10 C. D.26 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，OA＝OC，OB＝OD， ∴OA＝13， 在Rt△ADO中，由勾股定理得， DO5， ∴BD＝2OD＝10， ∴AD与BC间的距离为10， 故选：B． 4、如图，在▱ABCD中，BC，∠A＝45°，AB与CD的距离为 　 　． 【答案】1． 【解析】过点D作DF⊥AB于F， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC， ∵∠A＝45°，DF⊥AB， ∴DF＝AF1， 故答案为：1． 5、公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，绿地上要修几条笔直的小路，如图，AB＝15m，AD＝12m，AC⊥BC，求： （1）小路BC，CD，OC的长； （2）计算出绿地的面积； （3）AB、CD之间的距离． 【答案】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AB＝CD，AO＝CO， ∴BC＝AD＝12m，CD＝AB＝15m， ∵AC⊥BC， ∴AC9（m）， ∴AO＝CO＝4.5m； （2）绿地的面积为：BC×AC＝12×9＝108（m2）； （3）设AB、CD之间的距离为xm， ∵绿地的面积为：108m2， ∴CD×x＝108， 解得：x＝7.2． 6、如图，平行四边形的顶点G在平行四边形的边上，平行四边形的顶点B在平行四边形的边上．求证：． 【答案】解：连接，，作，垂足M，作，垂足N． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴ ， ∵， ∴， ∴， 同理， ∴． 添加条件判断是否为平行四边形 1、如下是不完整的推理过程： 证明∶∵， ∴． ∵_______________， ∴四边形 是平行四边形． 若要保证推理成立，在横线上添加的条件可以是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：对边平行且相等的四边形是平行四边形， 故横线上添加的条件可以是， 故选∶C． 2、如图，已知AB∥CD，增加下列条件可以使四边形ABCD成为平行四边形的是（　　） A.∠1＝∠2 B.AD＝BC C.OA＝OC D.AD＝AB 【答案】C 【解析】可以使四边形ABCD成为平行四边形的是OA＝OC，理由如下： ∵AB∥CD， ∴∠1＝∠2， 在△AOB和△COD中， ， ∴△AOB≌△COD（ASA）， ∴AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故选：C． 3、如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，请补充一个条件 　           　，使四边形ABCD是平行四边形． 【答案】OB＝OD或AD∥BC或AB∥CD． 【解析】①当OB＝OD时，四边形ABCD是平行四边形，证明如下： ∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形； ②当AD∥BC时，四边形ABCD是平行四边形，证明如下： ∵AD∥BC， ∴∠OAC＝∠OCB，∠ODA＝∠OBC， 在△OAD和△OCB中， ， ∴△OAD≌△OCB（AAS）， ∴OD＝OB， 又∵OA＝OC， ∴四边形ABCD是平行四边形； ③AB∥CD时，四边形ABCD是平行四边形，证明如下： ∵AD∥BC， ∴∠OAB＝∠OCD，∠OBA＝∠ODC， 在△OAB和△OCD中， ， ∴△OAB≌△OCD（AAS）， ∴OB＝OD， 又∵OA＝OC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 综上所述：补充条件是OB＝OD或AD∥BC或AB∥CD． 故答案为：OB＝OD或AD∥BC或AB∥CD． 4、如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB＝CD，添加条件 　      　，可得四边形ABCD为平行四边形（只需添加一个条件）． 【答案】AB∥CD（答案不唯一）． 【解析】添加条件AB∥CD，可得四边形ABCD为平行四边形，理由如下： ∵AB＝CD，AB∥CD， ∴四边形ABCD为平行四边形， 故答案为：AB∥CD（答案不唯一）． 根据给出的条件判断是否为平行四边形 1、如图，，，、是线段上的两点，则以下条件不能判断四边形是平行四边形的是（    ）    A. B. C. D.， 【答案】C 【解析】解：连接，，    ，， 四边形是平行四边形， 连接交于， ，， ， ， 四边形是平行四边形，故A不符合题意； ， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形，故B不符合题意； ，故无法判定四边形是平行四边形，故C符合题意； ，， ， 以下的证明与B相同，故D选项不符合题意； 故答案为：C． 2、如图，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A.， B.， C.， D.， 【答案】A 【解析】解：A．，， 根据，，可能得出四边形可能是等腰梯形，不一定能推出四边形是平行四边形，故本选项符合题意； B．，， 根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，得出四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； C．，， 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得出四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； D．，， 根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意． 故选：A． 3、下列给出的条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是 　　（填序号）． ①AB＝CD，AD＝BC；②AD＝BC，AD∥BC；③AB＝CD，∠B＝∠D；④OA＝OC，OB＝OD． 【答案】③． 【解析】①∵AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意； ②∵AD＝BC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意； ③AB＝CD，∠B＝∠D不能判定四边形ABCD是平行四边形，符合题意； ④∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意； 故答案为：③． 4、已知如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，求证：四边形ABCD是平行四边形． 【答案】证明：∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠ABD＝∠CDB＝90°， 在Rt△ABD和Rt△CDB中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL）， ∴AB＝CD， 又AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 动点问题中判断平行四边形 1、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝9cm，BC＝6cm，点P在AD边上以每秒2cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒1cm的速度从点C向点B运动，几秒时，直线PQ在四边形ABCD内部截出一个平行四边形？（　　） A.2秒 B.2秒或3秒 C.2秒或4秒 D.4秒 【答案】B 【解析】设点P、Q运动的时间为t秒，依题意得， CQ＝t，BQ＝6﹣t，AP＝2t， PD＝9﹣2t， ①当BQ＝AP时，四边形APQB是平行四边形， 即6﹣t＝2t， 解得t＝2． ②当CQ＝PD时，四边形CQPD是平行四边形，即t＝9﹣2t， 解得，t＝3， 所以经过2秒或3秒后，直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形． 故选：B． 2、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间t为（　　）秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形 A.1 B.1.5 C.1或3.5 D.1.5或2 【答案】C 【解析】∵E是BC的中点， ∴BE＝CEBC＝8， 由题意可知：AP＝t，则DP＝6﹣t，CQ＝3t， ①当Q运动到E和B之间，设运动时间为t， ∴3t﹣8＝6﹣t， 解得：t＝3.5； ②当Q运动到E和C之间，设运动时间为t， ∴8﹣3t＝6﹣t， 解得：t＝1， ∴当运动时间t为1秒或3.5秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形， 故选：C． 3、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝6，BC＝9，点P从点A出发，沿射线AD以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点C出发，沿CB方向以每秒1个单位长度的速度向点B运动．当点Q到达点B时，点P，Q停止运动，设点Q运动时间为t秒．在运动的过程中，当t＝　    　时，使以P，D，C，Q为顶点的四边形为平行四边形？ 【答案】2或6． 【解析】由题意知，可分两种情况： ①当CD为平行四边形的边，则P在D点左侧，PD＝6﹣2t，CQ＝t， ∵PD＝CQ， ∴6﹣2t＝t， 解得t＝2； ②当CD为平行四边形的对角线，P在D点右侧，PD＝2t﹣6，CQ＝t， ∵PD＝CQ， ∴2t﹣6＝t， 解得t＝6， 综上所述，当t＝2或6时，以P，D，C，Q为顶点的四边形为平行四边形． 故答案为：2或6． 4、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6cm，BC＝12cm，点E为BC上一点，EC＝7，点P从A出发以1cm/s的速度向D运动，点Q从C出发以2cm/s的速度向B运动，两点同时出发，当点P运动到点D时，点Q也随之停止运动．当运动时间为t秒时，以A、P、Q、E四个点为顶点的四边形为平行四边形，则t的值是 　　． 【答案】． 【解析】①当点Q在线段CE上，AP＝QE时，以A、P、Q、E为顶点的四边形是平行四边形， 则有t＝7﹣2t，解得t， ②当Q在线段BE上，AP＝QE时，以A、P、Q、E为顶点的四边形是平行四边形， 则有t＝2t﹣7，解得t＝7＞6（不合题意舍去）， 综上所述，t时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形． 故答案为：． 5、如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点；直线过点和点，且轴．点从点出发以每秒个单位长度的速度沿射线方向运动，同时点从点出发以每秒个单位长度的速度沿射线方向运动，设点运动的时间为（秒）． (1)求直线的函数表达式及点的坐标； (2)运动秒后，点坐标为 ，点坐标为 ；（用含的式子表示） (3)若以为顶点的四边形为平行四边形，求的值． 【答案】（1）解：对于，当时，，当时，， ∴，， 把和代入，得 ， 解得：， ∴直线的函数表达式为：； （2）解：运动秒后，，， ∴点坐标为，点坐标为， 故答案为：，； （3）解：∵， ∴当时，以为顶点的四边形为平行四边形， ∵， ∴， 解得：． 6、（1）如图 ①，在中，D，E分别为，的中点．请说明与的数量关系；（不必说明理由） （2）如图②，O是所在平面内一动点，连接，，并将，，，的中点D，E，F，G依次连接．如果点D，E，F，G能构成四边形，判断四边形是不是平行四边形，并说明理由； （3）在图②中，连接，如图③所示；若，，，，求四边形的周长．    【答案】解：（1）∵D，E分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴； （2）四边形是平行四边形． 理由如下：∵D，G分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴且． ∵E，F分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴且， ∴且， ∴四边形是平行四边形．        （3）∵， ∴在中，， 由（2）知，， ∴， 同理可求，， ∴四边形DEFG的周长． 坐标系中的平行四边形 1、在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣2，4）、（﹣5，2），点M是x轴上的点，点N是y轴上的点，如果以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，那么符合条件的点M有（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】如图所示： 当AB平行且等于N1M1时，四边形ABM1N1是平行四边形； 当AB平行且等于N2M2时，四边形ABN2M2是平行四边形； 当AB为对角线时，四边形AN3BM3是平行四边形． 故符合题意的有3个点． 故选：C． 2、在平面直角坐标系中，以A（1，1），B（3，0），C（﹣1，0）为顶点构造平行四边形，下列各点不能作为平行四边形顶点的是（　　） A.（5，1） B.（0，﹣2） C.（﹣3，1） D.（1，﹣1） 【答案】B 【解析】如图所示： ①以AC为对角线，可以画出▱AFCB，F（﹣3，1）； ②以AB为对角线，可以画出▱ACBE，E（5，1）； ③以BC为对角线，可以画出▱ACDB，D（1，﹣1）； 故选：B． 3、如图，在平面直角坐标系中，以O（0，0）、A（1，﹣1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（　　） A.（3，﹣1） B.（﹣1，﹣1） C.（1，1） D.（﹣2，﹣1） 【答案】D 【解析】A、∵以O（0，0）、A（1，﹣1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形， 当第四个点为（3，﹣1）时， ∴BO＝AC1＝2， ∵A，C1，两点纵坐标相等， ∴BO∥AC1， ∴四边形OAC1B是平行四边形；故此选项正确； B、∵以O（0，0）、A（1，﹣1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形， 当第四个点为（﹣1，﹣1）时， ∴BO＝AC2＝2， ∵A，C2，两点纵坐标相等， ∴BO∥AC2， ∴四边形OC2AB是平行四边形；故此选项正确； C、∵以O（0，0）、A（1，﹣1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形， 当第四个点为（1，1）时， ∴BO＝AC1＝2， ∵A，C1，两点纵坐标相等， ∴C3O＝BC3， 同理可得出AO＝AB， 进而得出C3O＝＝AB，BC3＝AO， ∴四边形OABC3是平行四边形；故此选项正确； D、∵以O（0，0）、A（1，﹣1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形， 当第四个点为（﹣1，﹣1）时，四边形OC2AB是平行四边形； ∴当第四个点为（﹣2，﹣1）时，四边形OC2AB不可能是平行四边形； 故此选项错误． 故选：D． 4、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（，0），B（1，1）．若平移点B到点D，使四边形OADB是平行四边形，则点D的坐标是　            　． 【答案】（1，1）． 【解析】∵A（，0）， ∴OA， ∵四边形OADB是平行四边形， ∴BD＝OA，BD∥OA， ∵B（1，1）， ∴D（1，1）， 故答案为：（1，1）． 5、点A，B，C在坐标网格中的位置如图所示，已知点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为．    (1)求的面积； (2)若点D也在坐标网格中，且以点A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，写出所有符合条件的点D的坐标． 【答案】（1）解：的面积为：． （2）解：根据平行四边形的判定：在坐标网格中画出所有以点A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，如图所示：    则符合条件的点D的坐标为． 6、已知平面直角坐标系内三点A（2，1），B（3，﹣1），C（﹣2，2），在平面内求一点D，使以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，写出点D的坐标． 【答案】解：如图由图象可知，以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形时，点D坐标为（﹣1，0）或（﹣3，4）或（7，﹣2）． 平行四边形的判定和性质的综合运用 1、如图，已知四边形ABCD的面积为8cm2，AB∥CD，AB＝CD，E是AB的中点，那么△AEC的面积是（　　） A.4cm2 B.3cm2 C.2cm2 D.1cm2 【答案】C 【解析】∵AB∥CD，AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴S△ADC＝S△ABC8＝4， ∵E是AB的中点， ∴S△AECS△ABC4＝2cm2， 故选：C． 2、如图，在正方形中，分别是正方形各边的中点，则下列结论不正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：∵是正方形， ∴ ∵分别是正方形各边的中点 ∴ ∴，故A正确； ∵且 ∴四边形是平行四边形 ∴，故B正确； ∵ ∴ ∴ 即： 同理得 ∵ ∴ ∴ ∴，故C正确； 由以上推理过程可同理得： 由C得： ∵为的中点， ∴ ∴ 同理得： ∴ ∴，故D错误； 故选：D． 3、如图，AB＝CD＝3，∠A＝75°，∠B＝45°，∠D＝15°，则线段AD的长为（　　） A.4 B.2 C.2 D.2 【答案】C 【解析】过点D作DE∥AB，且DE＝AB，连接CE、BE，如图所示： 则四边形ABED是平行四边形，∠A+∠ADE＝180°， ∴DE＝AB＝3，AD＝BE，∠ABE＝∠ADE＝180°﹣75°＝105°，∠BED＝∠A＝75°， ∵∠ADC＝15°， ∴∠CDE＝90°， ∵AB＝CD， ∴DE＝CD， ∴CECD＝3， ∵∠ABC＝45°， ∴∠CBE＝60°， ∴∠BCD＝135°， ∴∠BCE＝90°， ∴BE2， ∴AD＝BE＝2； 故选：C． 4、如图，如果M，N分别是平行四边形ABCD的两条对边的中点，那么图中有　  　个平行四边形． 【答案】6 【解析】∵M，N分别是平行四边形ABCD的两条对边的中点， ∴AM＝BM＝DN＝CN，AB∥CD，AD∥BC，MN∥BC， ∴四边形AMND、四边形BCNM、四边形AMCN、四边形BNDM、四边形MQNP是平行四边形， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴图中有6个平行四边形； 故答案为：6． 5、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝70°，∠C＝40°，DE∥AB交BC于点E．若AD＝5cm，BC＝12cm，则CD的长是　  　cm． 【答案】7 【解析】∵在四边形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB， ∴四边形ABED是平行四边形， ∴BE＝AD＝5cm， ∴CE＝BC﹣BE＝12﹣5＝7（cm）， ∵∠DEC＝∠B＝70°，∠C＝40°， ∴∠CDE＝180°﹣∠DEC﹣∠C＝70°， ∴CD＝CE＝7cm． 故答案为：7． 6、已知，如图，在等边△ABC中，D是BC边上一点，F为AB边上一点，且CD＝BF，以AD为边作等边△ADE，联结EF、FC．求证： （1）△ADC≌△CFB； （2）四边形EFCD是平行四边形． 【答案】证明：（1）∵△ABC为等边三角形， ∴AC＝BC， ∠ACD＝∠B＝60°， ∵CD＝BF， ∴△ACD≌△CBF（SAS）； （2）四边形CDEF为平行四边形； ∵△ACD≌△CBF； ∴∠DAC＝∠BCF，CF＝AD； ∵△AED是等边三角形； ∴AD＝DE； ∴CF＝DE①； ∵∠ACG+∠BCF＝60°； ∴∠ACG+∠DAC＝60°； ∴∠AGC＝180°﹣（∠ACG+∠DAC）＝120°； ∴∠DGF＝∠AGC＝120°； ∵△AED是等边三角形； ∴∠ADE＝60°； ∴∠DGF+∠ADE＝180°； ∴CF∥DE②； 综合①②可得四边形CDEF是平行四边形． 根据三角形中位线定理求边长 1、如图，若DE是△ABC的中位线，△ABC的周长为1，则△ADE的周长为（　　） A.1 B.2 C. D. 【答案】C 【解析】∵DE是△ABC的中位线，△ABC的周长为1， ∴DE，AD，AE ∴△ADE的周长为． 故选：C． 2、如图，在等边中，，，，垂足分别为点D、E．G为中点，H为中点连接，则的值为（    ） A. B.1 C. D.2 【答案】C 【解析】解：取中点，连接， ∵G为中点，H为中点， ∴， ∵等边中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故选C． 3、如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AB的中点，F是对角线AC的中点，如果EF＝6，那么AD的长是（       ） A.24 B.18 C.12 D.6 【答案】C 【解析】∵E是边AB的中点， ∴AE=BE， ∵点F是BD的中点， ∴BF=DF， ∴EF是△ABD的中位线， ∵EF=5， ∴AD=2EF=12． 故选C． 4、如图，在四边形中，，E，F分别是，的中点，连接并延长，分别交，的延长线于点M，N，且，则的长为        ． 【答案】4.9 【解析】解：连接，取的中点G，连接、， ，G分别是，的中点， 为的中位线， ， ∵F，G分别是，的中点， 为的中位线， ， 为的中位线， ， ， 为的中位线， ， ， 又， ， ， ， ， ． 故答案为：4.9． 5、如图，在△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，若BF平分∠ABC，BC＝6，则BE的长为 　　． 【答案】3． 【解析】∴E，F分别是AB，AC的中点，BC＝6， ∴EF∥BC，EFBC6＝3， ∴∠EFB＝∠FBC， ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠FBC， ∴∠EFB＝∠ABF， ∴BE＝EF＝3， 故答案为：3． 6、如图，点D、E分别是△ABC的边BC、AC的中点，点F是边AB上一点，FG∥AD，交ED的延长线于点G，若DE＝4，BF＝5，求DG的长． 【答案】解：∵D、E分别是△ABC的边BC、AC的中点， ∴DE∥AB，AB＝2DE＝8， ∴AF＝AB﹣BF＝3， ∵DE∥AB，FG∥AD， ∴四边形AFGD是平行四边形， ∴DG＝AF＝3． 7、如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC上的中点，AB＝5，CD＝7．求四边形EFGH的周长． 【答案】解：∵E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC上的中点，AB＝5，CD＝7． ∴EF∥AB，GH∥AB，EF＝2.5，EH＝3.5， 同理EH∥CD，FG∥CD， ∴四边形EFGH为平行四边形， ∴四边形EFGH的周长＝2（EF+EH）＝2×6＝12． 根据三角形中位线定理求角的度数 1、如图，D、E、F分别是△ABC三边的中点，若∠A＝60°，∠B＝45°，则∠EDF的度数为（　　） A.45° B.60° C.75° D.80° 【答案】C 【解析】∵在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝45°， ∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠A＝180°﹣45°﹣60°＝75°． ∵D、E、F分别是△ABC三边的中点， ∵DE∥BC，DF∥AC， ∴四边形DFCE是平行四边形， ∴∠EDF＝∠C＝75°． 故选：C． 2、如图，在四边形中，E，F分别是边，的中点，若，，，，则的度数为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：连接，    ∵E、F分别是边，的中点， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 3、如图，在四边形中，、分别是边、的中点，且，，，若，则的度数是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：连接，    ∵、分别是边、的中点， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4、如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、CA的中点，AH是边BC上的高．若∠AHF＝20°，∠AHD＝50°，则∠DEF的度数 　  　． 【答案】70°． 【解析】∵AH是边BC上的高，点D、E、F分别是边AB、BC、CA的中点， ∴HD＝AD＝BD，HF＝AF＝CF，ED和EF都是△ABC的中位线 ∴∠DAH＝∠DHA＝50°，∠FAH＝∠FHA＝20°，ED∥AC，EF∥AB ∴∠DAF＝∠DAH+∠FAH＝70°，四边形DEFA为平行四边形 ∴∠DEF＝∠DAF＝70° 故答案为：70°． 5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC外一点，使∠DAC＝∠BAC，E为BD的中点，∠ABC＝60°，求∠ACE的度数． 【答案】解：延长AD、BC交于F． ∵在△ABC与△AFC中， ， ∴△ABC≌△AFC（ASA）， ∴BC＝FC，∠F＝∠ABC＝60°， ∴∠CAF＝30°， ∵E为BD的中点， ∴EC∥AF， ∴∠ACE＝∠CAF＝30°． 根据三角形中位线定理求面积 1、如图，EF是△ABC的中位线，点O是EF上一点，且满足OE＝2OF，则△ABC的面积与△AOC的面积之比为（　　） A.2：1 B.3：2 C.5：3 D.3：1 【答案】D 【解析】∵EF是△ABC的中位线， ∴EF∥BC，EFBC， ∵OE＝2OF， ∴OEBCBC， 设点A到BC的距离为h， 则S△ABCBC•h，S△AOCOE•hBC•hBC•h， ∴△ABC的面积与△AOC的面积之比＝3：1． 故选：D． 2、如图，在△ABC中，点D是BC边上任一点，点F，G，E分别是AD，BF，CF的中点，连接GE，若△FGE的面积为8，则△ABC的面积为（　　） A.32 B.48 C.64 D.72 【答案】C 【解析】∵G，E分别是BF，CF的中点， ∴GE是△BFC的中位线， ∴GEBC， ∵△FGE的面积为8， ∴△BFC的面积为32， ∵点F是AD的中点， ∴S△ABF＝S△BDF，S△FDC＝S△AFC， ∴△ABC的面积＝2△BFC的面积＝64， 故选：C． 3、如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，F，G为BC上的点，连接DG、EF，若AB＝5cm，BC＝8cm，FG＝4cm，则△HFG的面积为（　　） A.1cm2 B.1.5cm2 C.2cm2 D.3cm2 【答案】B 【解析】连接，作AK⊥BC于K． ∵AB＝AC， ∴BK＝CKBC8＝4， 在Rt△ABK中，AK3， ∵D、E分别是AB，AC的中点， ∴DE是中位线，即平分三角形的高且DE＝8÷2＝4， ∴DEBC＝FG， ∴△DEH≌△GFH，H也是DG，EF的中点， ∴△HFG的高是AK÷2＝1.5÷2＝0.75， ∴S△HFG＝4×0.75÷2＝1.5． 故选：B． 4、如图，△ABC中，D、E、F分别是BC、CA、AB的中点，G、M、N分别是线段AE、AF、BD上的点，且GM∥BC，GN∥AB，GN与EF交于点K，如果四边形FKGM面积是2，四边形EKND的面积是3，则△GKE的面积是 　　． 【答案】． 【解析】过A作AQ∥BC，延长DE交AQ于Q，延长NG交AQ于P，延长MG交QE于L， ∵D，E，F分别是BC，AC，AB的中点， ∴DE，EF是△ABC的中位线， ∴EQ∥FA，EF∥BC， ∴EF∥AQ， ∴四边形AFEQ是平行四边形， ∵ML∥BC，NG∥AB， ∴四边形AMGP，四边形GKEL是平行四边形， ∴△AFE的面积＝△AQE的面积，△AMG的面积＝△APG的面积，△KGE的面积＝△LGE的面积， ∴平行四边形MFKG的面积＝平行四边形QPGL的面积＝2， ∵NK＝BF，PK＝AF， ∵AF＝BF， ∴NK＝PK， ∴平行四边形PKEQ的面积＝平行四边形NDEK的面积＝3， ∴平行四边形GKEL的面积＝3﹣2＝1， ∴△GKE的面积． 故答案为：． 5、在梯形ABCD中，AB∥CD，EF为中位线，则的面积与梯形ABCD的面积之比是        【答案】1：4 【解析】解：过A作AG⊥BC，交EF与H， ∵EF是梯形ABCD的中位线， ∴AD+BC=2EF，AG=2AH， 设△AEF的面积为xcm2，即 EF•AH=xcm2， ∴EF•AH=2xcm2， ∴S梯形ABCD=（AD+BC）•AG=×2EF×2AH=2EF•AH=2×2xcm2=4xcm2． ∴△AEF的面积与梯形ABCD的面积之比为：1：4． 6、在▱ABCD中，AB⊥AC，点O为AC的中点，点E、M分别为AB、CE上的点，连接MO并延长至点N，使MO＝NO． (1)判断四边形AMCN的形状，并加以证明； (2)当点M为CE中点时，请判断AC和MN之间的位置关系，并加以证明； (3)在（2）的条件下，若∠B＝60°，AB＝4，点E为AB中点，求四边形AMCN的面积． 【答案】（1）解：∵四边形AMCN是平行四边形，理由如下： ∵点O为AC的中点 ∴OA=OC， ∵MO=NO， ∴四边形AMCN是平行四边形． （2）解：当点M为CE中点时，AC和MN之间的位置关系为AC⊥MN，证明如下： ∵M为CE的中点，点O为AC的中点 ∴OM为△ACE的中位线 ∴OMAB ∵AB⊥AC ∴OM⊥AC，即AC⊥MN． （3）解：∵AB⊥AC ∴∠BAC=90° ∵∠B=60° ∴∠ACB=90°-60°=30° ∵AB=4 ∴BC=2AB=8 ∴ ∵点E为AB中点 ∴AE=AB=2 ∵OM为△ACE的中位线 ∴OM=AE=1 ∵OM⊥AC ∴ ∴ ∴四边形AMCN的面积为． 学科网（北京）股份有限公司 $