专题突破与巩固(1) 二次根式-【锦上添花】2025-2026学年八年级下册数学期末卷（沪科版·新教材）

® 参考答案 专题突破与巩固（一） 1.A2.B3.D4.A5.B6.C7.B8.B9.C 10.A【解析】由条件可知两个阴影小正方形的边长分别是 √28cm=2,√7cm,V√50cm=5,√2cm,∴.大正方形的边 长是(2万+5√2)cm,.大正方形的面积是(2√万+ 52)2=(78+20√14)cm2,.余下部分的面积=大正方 形的面积-阴影部分的面积=(78+20√14)-28-50 =20√14(cm2).故选：A. 11.8(答案不唯一)12.-√213.② 14.(1)22(2)-2 15.解：原式=3+3-√2-7=-2-1. 16.解：由数轴可知，-2<a<-1,2<b<3,.a+1<0,a+b >0,b-3<0,.原式=√(a+1)2+|a+b1+ √(b-3)2=|a+1+(a+b)+(3-b)=-a-1+a+b +3-b=2. 17.解：任务一：①； 任务二：原式=(3)2+23+(5)2-25+1=3+25 +3-25+1=7. 18.解：最简二次根式√3a+4与√19-2a是同类二次根 式，∴.3a+4=19-2a,解得a=3,.√4×3-3x+ √y-3=0,即√12-3x+√y-3=0,:√12-3x≥0， /y-3≥0，∴.12-3x=0,y-3=0,解得x=4,y=3, √xy=√4×3=√12=23 2x45=5=3. 19.解：(1)将h=45代入，得1=√20 答：从45m高空抛物到落地的时间t为3s; (2)将1=4代入，得√需=4，解得A=80 答：玩具抛出前离地面的高度h为80m. 20.解：(1)根据题意，得c-3≥0,3-c≥0，∴.c=3, .a-√2+√b-2=0,则a-V2=0,b-2=0,∴.a= 2,b=2; (2)当a是腰长，b是底边，2+√2>2，能构成三角形，则 等腰三角形的周长为2+2+2=2√2+2；当b是腰长， a是底边，2+2>2，能构成三角形，则等腰三角形的周 长为2+2+2=√2+4. 21.解：(1)3-√5，-2-√2： (2)m+5与5-√5是关于3的平衡数.理由如下：由题 意，得(m+5)(1-√5)=m-5m+5-5=(m-5)+ (-m+1)5,:(m+5)(1-5)=-7+3√5，.-7+ 35=(m-5)+(-m+1)5,.m-5=-7,.m=-2, .m+√5=-2+5，则-2+5+5-5=3，.m+√5与 5-√5是关于3的平衡数； (3)13. 2.解：(1)1+ 1 1 后+15+5t万+5+…++丽 月-145-5+万，5+…+2四=3× 2 2 2. 2 (5-1+5-万+…+11-9)=分×(-1+1四 =5; 2+1 (2)0:a2-i(2-1)(2+1 =2+1,a-1= 2,.(a-1)2=a2-2a+1=2,.a2-2a=1,.3a2-6a =3,∴.3a2-6a+2=5; ②1,3； 23.獬：(1)√4+23=√(3)2+23+12=√(3+1)2 =3+1; (2)√9-45=√(5)2-45+22=√(5-2)2=√5 -2; (3)(x+5y)2=x2+25xy+3y2,a+105=(x+5y)2, ÷a+103=2+23g+3列，{0，即 可aay为正整数{化时或化i当 Lxy=5, 时a=+3y=P+3x5=76:当时a= x2+3y2=52+3×12=28.综上所述，a的值为76或28. 专题突破与巩固（二） 1.B2.A3.B4.D5.B6.B7.C8.C9.A 10.B【解析】①根据根的判别式可知：若a+b+c=0,则方 程有一个根为x=1,则b2-4ac≥0，故①正确；②若方程 ax2+c=0有两个不相等的实根，则-4ac>0,则ax2+bx +c=0的判别式为b2-4ac>0,.方程ax2+bx+c=0必 有两个不相等的实根，故②正确；③若c是方程ax+bx +c=0的一个根，则ac2+bc+c=0,当c≠0时，ac+b+1 =0,故③错误；④若x。是一元二次方程的根，则。= -b±Y8=4ac,.2ao+b=±VB-4ac,B-4ac= 2a (2ax+b)2,故④正确.综上所述，正确的结论有①②④. 故选：B 11.a≠112.2(x-1)=4513.1 14.(1)x1=0,x2=2(2)x1=4,x2=-2【解析】(1)x2 -2x=max{0,-1}=0,.x2-2x=0,即x(x-2)=0,解 得名=0,6=2：(2)当2x+8>-,即x>-号时，mm {2x+8,-x}=2x+8,.2x+8=x2,即(x-4)(x+2)= 0,解得=4，=-2：当2x+8≤-，即≤-号时， mx{2x+8,-x}=-x,∴.-x=x2,即x(x+1)=0,解得 x1=0,x2=-1;不符合题意，舍去，综上所述，方程的解为 x1=4,x2=-2.故答案为：(1)x1=0,x2=2(2)x1=4, x2=-2. 15.解：提取公因式，得x(x-4)=0,因此，有x=0或x-4= 0,所以原方程的根是x1=0或x2=4. 16.解：：m是关于x的一元二次方程x2-7x+9=0的根， ∴.m2-7m+9=0,.m2-7m=-9,∴.(m+4)(m-4)- 7(m-1)=m2-16-7m+7=m2-7m-9=-9-9= -18. 17.解：设该水果店2、3月份的销售利润月平均增长率为x. 根据题意，得2(1+x)2=45.整理，得(1+)2=是解 方程，得名=分。=一子名=一多不合题意所以x 2=50%. 1 答：该水果店2、3月份的销售利润月平均增长率是50%， 18解：由根与系数的关系，得名+名=-子=-2， (①)原式=x西+x+3+1=二号-2+1=-号影 (2)原式=+华=-2=4 3=3 10=x,解得x=101故门的宽度（两扇门的和）AB为： 2 2 20A=2×101=101(寸).故选：C. 19.解：(1)证明：m≠0，.方程mx2+(m-3)x-3=0(m 2 ≠0)是关于x的一元二次方程，.△=(m-3)2-4m· 11.1012.45°13.1214.(1)241(2)5或11 (-3)=(m+3)2,(m+3)2≥0，即△≥0，.方程总有 15.证明：.CD⊥AB,所以∠ADC=∠BDC=90°，.AD=1, 两个实数根； BD=4,CD=2,∴.根据勾股定理，得AC2=AD2+CD=12+ (2)x=二（m-3》法(m+3》,=a名=-1，m 22=5,BC=CD+BD2=22+42=20,AB=AD+BD=1+ 2m 4=5,.AB2=25,.AC+BC2=AB2,.△ABC是直角三 为正整数，且方程的两个根均为整数，.m=1或3. 角形，.∠ACB=90° 20.解：(1)设AB=x米，则BC=(36+2-2x)米.根据题意， 16.解：(1)根据勾股定理，得c2=a2+62=82+152=289, 得x(38-2x)=180,解得x1=10,x2=9;当x=10,38-2x 172=289,.c=17; =18(米)；当x=9,38-2x=20(米)，而墙长18m,不合 (2)a:b=3:4,设a=3x,则b=4x,根据勾股定理，得 题意舍去. c2=a2+b2=(3x)2+(4x)2=25x2=(5x)2,.c=5x=10, 答：若围成的面积为180m2,自行车车棚的长为18米，宽 ∴.x=2,∴.a=3x=6,b=4x=8. 为10米； 17.证明：a2=(n2-1)2=m4-2n2+1,b2=4n2,c2=(n2+ (2)不能围成面积为200m2的自行车车棚.理由如下：根 1)2=n4+2n2+1,.a2+b2=n-2n2+1+4n2=n+2n 据题意，得x(38-2x)=200,整理，得x2-19x+100=0, +1=c2,.△ABC为直角三角形. △=(-19)2-4×100=-39<0，.方程无实数根， 18.解：(1)∠D=90°.理由如下：连接AC,图略，.·∠B=90° .∴.不能围成面积为200m2的自行车车棚： AB=20,BC=15,CD=7,AD=24,∴.在Rt△ABC中，AC 21.解：(1)由条件可知△=（-√17)2-4×1×4=1，.x= =AB2+BC=202+152=625,CD2=72=49,AD2=242= 2x,s+ /17±√1 2 ,为=7-1 576,.AC2=AD2+CD2,.△ADC是以AC为斜边的直角 .x1-x2= 2 三角形，∴.∠D=90°； 而+1_7-1=1，.方程x2-√7x+4=0是“邻 (2)由(1)可知△ADC是直角三角形，∴.S网边形ABcD=S△ABc 2 2 +Se=7AB,BC+74D.GD=7x20x15+2× 根方程”； (2)x2-(k-3)x-3k=0,因式分解，得(x-)(x+3)= 24×7=150+84=234,∴.四边形ABCD的面积为234. 0,所以，有x-k=0或x+3=0,解得x1=k,x2=-3,由 19.解：由题意可知，BC=50m,AC=130m.∴.在Rt△ABC中 条件可知k-（-3)|=1,解得k=-4或-2，即k的值 根据勾股定理，得AB2+BC2=AC2,.AB2+502=1302,解 得AB=120,∴.大巴车的速度为120÷4=30m/s=108 为-4或-2. 22.解：(1)y2-y-2=0; km/h,:108km/h>100km/h,.大巴车超速了. 所以x=，把x= 20.解：（1)∠C=90°，AC=4,AB=45,.BC= (2)设所求方程的根是y,则y=- y √AB2-AC=√(45)2-42=8，即BC的长为8； 代人方程2x2-7x+3=0,得2 -7.1 +3=0,化 (2)设AD=DB=x,由(1)知，BC=8,则DC=8-x,:∠C= 90°，AC=4,∴.在Rt△ACD中，根据勾股定理，得AD2=CD 简，得3y2-7y+2=0; +AC,x2=(8-x)2+4,解得x=5,即BD的长为5. (3)一元二次方程整理后，可得a(y-1)2+b(y-1)+c 21.解：(1)过点A作AE⊥CD于点E,图略，则AE=BD= =0,令y-1=x,.y=x+1,则方程a(y-1)2+b(y- 15m,AB=ED=1.5m,∠AEC=90°，在Rt△AEC中，根 1)+c=0的两根比ax2+bx+c=0(a≠0)两根大1，所以 据勾股定理，得CE2=AC2-AE2=17-152=64,.CE= 方程a(y-1)2+b(y-1)+c=0的两根分别是4，-1. 8,.CD=CE+ED=8+1.5=9.5(m). 23.解：(1)设剪去的小正方形的边长为xcm,则该收纳盒的 答：风筝离地面的垂直高度CD为9.5m; 底面是长为(100-2x)cm,宽为(40-2x)cm的长方形. (2)不能成功.假设能上升12m,如图，延长DC至点F,使 根据题意，得(100-2x)(40-2x)=1216.整理，得x2 CF=12m,连接AF,∴.EF=CE+CF=8+12=20(m),在 70x+696=0.解方程，得x1=12,x2=58.x2=58不合题 Rt△AEF中，根据勾股定理，得AF2=AE2+EF2=152+202 意，所以x=12. =625,.AF=25,AC=17m,余线仅剩7.5m,∴.17+7.5 答：剪去的小正方形的边长为12cm; =24.5<25,∴.不能上升12m,即不能成功. (2)不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒.理由如下：设 剪去的小长方形的宽为ycm,则该收纳盒的底面是长为 100-2y=(50-y)cm,宽为(40-2y)cm.根据题意，得 2 (50-y)(40-2y)=702,整理得y2-70y+649=0,解得 y1=11,y2=59(不合题意，舍去)，.50-y=50-11=39, 40-2y=40-2×11=18,∴.折成的有盖的长方体收纳盒 A E Bh D 的长为39cm,宽为18cm,高为11cm,39>21,18=18, 22.解：(1)根据题意，得AC+BC=8m,:∠A=90°，设AC 11<15,∴.不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒。 长为xm,则BC长为(8-x)m,在Rt△ABC中，根据勾股 专题突破与巩固（三） 定理，得AB2+AC2=BC2,即42+x2=(8-x)2,解得x= 1.B2.B3.C4.D5.A6.A7.D8.B9.B 3,故旗杆在距地面3m处折断； 10.C【解析】设OA=OB=AD=BC=x寸，过点D作DE⊥ (2)如图，点P距地面AP=3-1.25=1.75(m),∴.B'P MB于E,图略，则DE=100E=201寸，AE=(x =8-1.75=6.25(m),在Rt△AB'P中，根据勾股定理， 得B'A2+AP2=B'P2,即BA2+1.752=6.252,解得B'A= -1)寸.在Rt△ADE中，AE+DE2=AD2,即(x-1)2+ 6,则距离旗杆底部周围6m的范围内有被砸伤的风险，》数学·八年级下 高升无航 专题突破与巩固（一） 做好题考高分 二次根式 时间：120分钟 满分：150分 弥 题号 四 五 六 七 八 总分 得分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分.每小题都 咖 封 给出A,B,C,D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的) 1.下列二次根式中，是最简二次根式的是 A.5 B.3 C.√12 D.√50 线 2.若代数式4-m m-3 在实数范围内有意义，则实数m的取值范围 11 是 ( A.m≤4 B.m≤4且m≠3 C.m>4 D.m<4且m≠3 内 3.下列算式计算正确的是 A.2+3=5 B.2×5=5 C.3-√2=1 D.√2+32=4√2 不 4.已知7=a,√70=b,则4.9用a,b表示为 ) A岩 B.a-6 10 D.0+b 10 量 5.实数a在数轴上的位置如图所示，化简a-1+√(a-2)7= 得 A.2a-3 B.1 C.-3 D.-1 答 6估计3-2 ×5的值应在 A.-1和0之间 B.0和1之间 拼 C.1和2之间 D.2和3之间 7.若a+b=√3，ab=1,则a3b+2a2b2+ab3的值为 ,题 A.1 B.3 C.6 D.9 8.老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的 2A问 混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后 交给第二位同学，依次进行，最后完成计算.规则是每人只能看 到前一人传过来的式子.接力中，自己负责的式子出现错误的 是 ( 老师 小明 小丽 12+ W18 >w3 √12÷3+ 1 W18 ÷3 4+ 小红 小亮 1 2 1 2+ W36 6 A.小明和小丽 B.小丽和小红 C.小红和小亮 D.小丽和小亮 9.按如图所示的程序计算，若开始输入的n的值为3，则最后输 出的结果是 ( A.25 B.27 C.15+73 D.25+3 28 cm 否 输入n计算n(n+1) 是输出 >26 50cm 结果 第9题图 第10题图 10.如图，从一个大正方形中裁去面积为28cm2和50cm2的两个 小正方形，则余下部分的面积为 A.20√/14cm2 B.10/14cm2 C.78 cm2 D.(4√7+10√2)cm 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.能使√m-7在实数范围内有意义的m的值可以是 (写出一个即可) 12.计算3√18- 32的结果是 13.若a+√8=√18，则表示实数a的点会落在如图所示的数轴 上的 段 ① 14.定义：若两个二次根式a,b满足a·b=c,且c是有理数，则称 a与b是关于c的“共轭二次根式”. (1)若a与√2是关于4的“共轭二次根式”，则a= (2)若3+√3与6+√3m是关于12的“共轭二次根式”，则m 的值为 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.计算：327+2-3-√49. 16.实数a,b在数轴上的位置如图所示，化简√a2+2a+1+ |a+b+√(b-3)2. -2-10123 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.下面是小雷同学在做数学作业时的解答过程，老师批改时发 现解答过程有错误： 3(3+2)+(3-1)2 解：原式=(3)2+23+(3)2-1① =3+2V3+3-1② =5+2W3③ 任务一：小雷同学的解答过程是从第 步开始出现错 误的；（写步骤序号） 任务二：请你写出正确的解答过程 18.若最简二次根式√3a+4与√19-2a是同类二次根式，且 √4a-3x+√y-a=0,求√y的值. 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分) 19.安全问题，时刻警醒.高空坠物严重威胁着人们的“头顶安 全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用 时很短，常常避让不及造成伤害.经过查阅相关资料，小南同 学得到高空坠物下落的时间t(单位：s)和高度h(单位：m)近 似满足公式t=入g .（不考虑风速的影响，8=10N/kg) (1)求从45m高空抛物到落地的时间t; (2)若某玩具在高空被抛出后经过4s后落在地上.求玩具抛 出前离地面的高度h. 20.若实数a,b,c满足a-√2+√b-2=√c-3+√3-c. (1)求a,b,c; (2)若满足上式的α，b为等腰三角形的两边，求这个等腰三 角形的周长， 六、（本题满分12分） 21.若x+y=3,则称x和y是关于3的平衡数 (1)3与 是关于3的平衡数；5+√2与 是关 于3的平衡数； (2)已知m为整数，若(m+√5)(1-5)=-7+3√5，那么m +√5与5-√5是关于3的平衡数吗？请说明理由； (3)已知a=m+√5，ab=n+75,m,n为整数，a和b是关于 3的平衡数，则√m-n= 七、（本题满分12分） 卫小明在解决阿题：已知Q2十求2a-8a+1的值时，他 是这样分析与解的：a=,1 2-√3 =2 2+3(2+√3)(2-√3) V3,.a=2-5,(a-2)2=3,.a2-4a+4=3,a2-4a= -1,∴.2a2-8a+1=2(a2-4a)+1=2×(-1)+1=-1. 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)化简：1+一1+1 1 3+1√5+3√7+5√121+√119 (2若a2求 ①求3a2-6a+2的值； ②直接写出代数式的值：a3-3a2+a+2= ,2a2 -5a+2+3 八、（本题满分14分） 23.数学教育家波利亚曾说：对一个数学问题，改变它的形式，变 换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重 要原则.有这样一类题目：如何将双重二次根式√a±2b化 弥 简，如果你能找到两个数m,n,使m2+n2=a且mn=√b,则a} ±2b可变形为m2+n2±2mn,即(m±n)2,从而使Wa±2b得 以化简.例如：5+26=3+2+26=(V3)2+(2)2+22 ×3=(3+V2)2,.√5+26=√(3+2)2= 封 5+2=5+2. 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：W4+23; 线 (2)化简：√9-45； (3)若a+103=(x+√3y)2,且a,x,y为正整数，求a的值 内 不 得 答 题 i