专题突破与巩固(2) 一元二次方程及其应用-【锦上添花】2025-2026学年八年级下册数学期末卷（沪科版·新教材）

》》数学·八年级下 专题突破与巩固（二） K 高升无航 做好题考高分 一元二次方程及其应用 时间：120分钟 满分：150分 弥 题号 四 五 六 七 八 总分 得分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分.每小题都 咖 封 给出A,B,C,D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的) 1.下列四个方程中，是一元二次方程的是 A.x=1 B.x2-2=0 C.x+y=-1 D.x2+1=1 线 2.把一元二次方程(x+1)(x-1)=3x化成一般形式，正确的是 A.x2-3x-1=0 B.x2-3x+1=0 毁 C.x2+3x-1=0 D.x2+3x+1=0 内 3.用配方法解一元二次方程x2-6x=3,配方正确的是（ A.(x+3)2=12 B.(x-3)2=12 C.(x+3)2=3 D.(x-3)2=3 4.关于x的一元二次方程4x2-2x+14=0的根的情况是( 不 A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 5.如果关于x的一元二次方程2x2+3x+m=0有两个不相等的 实数根，那么实数m的取值范围为 得 A.m 8 B.m< 8 C.m>8 D.mcg 6.等腰三角形的两条边长是方程x2-8x+12=0的两个根，则这 个等腰三角形的周长为 ) 答 A.10 B.14 C.10或14 D.不能确定 7.嘉嘉在解关于x的一元二次方程ax2+bx+3=0(a≠0)时，不 小心将一次项系数写成了-b,解出其中一个根是x=1,现有 拼 以下两种说法： 架 甲：原方程必定有一个根是-1； 题 乙：当a≠3时，原方程有两个不相等的实数根. 则下列判断正确的是 A.甲对，乙错 B.甲错，乙对 C.甲、乙都对 D.甲、乙都错 8.如图，在一块长方形的劳动实践基地上有三条同宽的道路，横 向有一条，纵向有两条，除道路外，剩下的是种植面积.已知该 长方形基地的长为34米，宽为18米，种植面积为480平方米， 则劳动基地中的道路宽为 () 34米 18米 A.1米 B.1.5米 C.2米 D.2.5米 9.若x1,x2是关于x的方程x2+bx-2b=0的两个根，且x+x2= 12,则b的值为 () A.2 B.-6 C.2或-6 D.6或-2 10.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，下列说法：①若a +b+c=0,则b2-4ac≥0；②若方程ax2+c=0有两个不相等 的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；③若 c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成 立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则b2-4ac =(2a0+b)2,其中正确的 () A.①② B.①②④ C.②③④ D.②③ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.若关于x的方程(a-1)x2+ax-1=0是一元二次方程，则a 的取值范围是 12.北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛， 单循环比赛共进行了45场，设有x支队伍参加比赛，可列方 程为： 13.若x1,x2是关于x的一元二次方程的x2-（2k+3)x+k2+k= 0两个根，且x1+x2=7-x1x2,则k的值 14.对于两个不相等的实数a,b,我们规定符号max{a,b}表示a, b中较大的数，如：max{-1,3}=3, (1)方程x2-2x=max{0,-1}的解为 (2)方程max{2x+8,-x}=x2的解为 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.解方程：x2-4x=0. 16.若m是关于x的一元二次方程x2-7x+9=0的根，求代数式 (m+4)(m-4)-7(m-1)的值. 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.某水果店今年1月份的销售利润是2万元，2、3月份的销售 利润均有所增长，3月份的销售利润达到4.5万元.求该水果 店2、3月份的销售利润月平均增长率 18.设x1,x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关 系，求下列各式的值， (1)(x1+1)(x2+1); (2)1+1 X1 X2 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.已知：关于x的方程mx2+(m-3)x-3=0(m≠0). (1)求证：方程总有两个实数根； (2)如果m为正整数，且方程的两个根均为整数，求m的值 20.如图，学校准备在教学楼后面搭建一简易长方形自行车车棚， 一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为18m),另外三边利 用学校现有的总长36m的铁栏围成.已知车棚在平行于后墙 的一边留出2m宽的缺口作门，且铁栏无剩余 (1)若围成的面积为180m,试求出自行车车棚的长和宽； (2)能围成面积为200m的自行车车棚吗？如果能，请你给 出设计方案；如果不能，请说明理由。 18m 六、（本题满分12分） 21.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根， 且一个根比另一个根小1，那么称这样的方程为“邻根方程”. 例如：一元二次方程x2+x=0的两个根是x1=0,x2=-1,则 方程x2+x=0是“邻根方程”. (1)通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：x2-√17x +4=0; (2)已知关于x的一元二次方程x2-(k-3)x-3k=0(k是常 数)是“邻根方程”，求的值 七、（本题满分12分） 22.请阅读下列材料： 已知方程x2+x-3=0,求一个一元二次方程，使它的根分别 是已知方程根的2倍 解：设所求方程的根为y,则y=2x,所以x=子， 把x=方代入已知方程，得)+方-3=0， 化简，得y2+2y-12=0,故所求方程为y2+2y-12=0, 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根 法”。 (1)已知方程x2+x-2=0,求一个一元二次方程，使它的根 分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： (2)已知方程2x2-7x+3=0,求一个一元二次方程，使它的 根分别是已知方程根的倒数； (3)已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两 个实数根分别为3，-2，求一元二次方程ay2-(2a-b)y +a-b+c=0的两根， 八、（本题满分14分) 23.两块长为100cm,宽为40cm的长方形硬纸板 (1)如图1，把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正 方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒.若该收 弥 纳盒的底面积为1216cm2,求剪去的小正方形的边长； (2)如图2，把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小 长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒.若EF和HG 两边恰好重合且无重叠部分，该收纳盒的底面积为 702cm2.有一个玩具机械狗，其尺寸大小如图3所示，请 封 通过计算判断是否能把玩具机械狗完全放入该收纳盒， E(HY m 15 cm 21 cm 图1 图2 图3 线 内 不 得 答 ©® 参考答案 专题突破与巩固（一） 1.A2.B3.D4.A5.B6.C7.B8.B9.C 10.A【解析】由条件可知两个阴影小正方形的边长分别是 √28cm=2,√7cm,V√50cm=5,√2cm,∴.大正方形的边 长是(2万+5√2)cm,.大正方形的面积是(2√万+ 52)2=(78+20√14)cm2,.余下部分的面积=大正方 形的面积-阴影部分的面积=(78+20√14)-28-50 =20√14(cm2).故选：A. 11.8(答案不唯一)12.-√213.② 14.(1)22(2)-2 15.解：原式=3+3-√2-7=-2-1. 16.解：由数轴可知，-2<a<-1,2<b<3,.a+1<0,a+b >0,b-3<0,.原式=√(a+1)2+|a+b1+ √(b-3)2=|a+1+(a+b)+(3-b)=-a-1+a+b +3-b=2. 17.解：任务一：①； 任务二：原式=(3)2+23+(5)2-25+1=3+25 +3-25+1=7. 18.解：最简二次根式√3a+4与√19-2a是同类二次根 式，∴.3a+4=19-2a,解得a=3,.√4×3-3x+ √y-3=0,即√12-3x+√y-3=0,:√12-3x≥0， /y-3≥0，∴.12-3x=0,y-3=0,解得x=4,y=3, √xy=√4×3=√12=23 2x45=5=3. 19.解：(1)将h=45代入，得1=√20 答：从45m高空抛物到落地的时间t为3s; (2)将1=4代入，得√需=4，解得A=80 答：玩具抛出前离地面的高度h为80m. 20.解：(1)根据题意，得c-3≥0,3-c≥0，∴.c=3, .a-√2+√b-2=0,则a-V2=0,b-2=0,∴.a= 2,b=2; (2)当a是腰长，b是底边，2+√2>2，能构成三角形，则 等腰三角形的周长为2+2+2=2√2+2；当b是腰长， a是底边，2+2>2，能构成三角形，则等腰三角形的周 长为2+2+2=√2+4. 21.解：(1)3-√5，-2-√2： (2)m+5与5-√5是关于3的平衡数.理由如下：由题 意，得(m+5)(1-√5)=m-5m+5-5=(m-5)+ (-m+1)5,:(m+5)(1-5)=-7+3√5，.-7+ 35=(m-5)+(-m+1)5,.m-5=-7,.m=-2, .m+√5=-2+5，则-2+5+5-5=3，.m+√5与 5-√5是关于3的平衡数； (3)13. 2.解：(1)1+ 1 1 后+15+5t万+5+…++丽 月-145-5+万，5+…+2四=3× 2 2 2. 2 (5-1+5-万+…+11-9)=分×(-1+1四 =5; 2+1 (2)0:a2-i(2-1)(2+1 =2+1,a-1= 2,.(a-1)2=a2-2a+1=2,.a2-2a=1,.3a2-6a =3,∴.3a2-6a+2=5; ②1,3； 23.獬：(1)√4+23=√(3)2+23+12=√(3+1)2 =3+1; (2)√9-45=√(5)2-45+22=√(5-2)2=√5 -2; (3)(x+5y)2=x2+25xy+3y2,a+105=(x+5y)2, ÷a+103=2+23g+3列，{0，即 可aay为正整数{化时或化i当 Lxy=5, 时a=+3y=P+3x5=76:当时a= x2+3y2=52+3×12=28.综上所述，a的值为76或28. 专题突破与巩固（二） 1.B2.A3.B4.D5.B6.B7.C8.C9.A 10.B【解析】①根据根的判别式可知：若a+b+c=0,则方 程有一个根为x=1,则b2-4ac≥0，故①正确；②若方程 ax2+c=0有两个不相等的实根，则-4ac>0,则ax2+bx +c=0的判别式为b2-4ac>0,.方程ax2+bx+c=0必 有两个不相等的实根，故②正确；③若c是方程ax+bx +c=0的一个根，则ac2+bc+c=0,当c≠0时，ac+b+1 =0,故③错误；④若x。是一元二次方程的根，则。= -b±Y8=4ac,.2ao+b=±VB-4ac,B-4ac= 2a (2ax+b)2,故④正确.综上所述，正确的结论有①②④. 故选：B 11.a≠112.2(x-1)=4513.1 14.(1)x1=0,x2=2(2)x1=4,x2=-2【解析】(1)x2 -2x=max{0,-1}=0,.x2-2x=0,即x(x-2)=0,解 得名=0,6=2：(2)当2x+8>-,即x>-号时，mm {2x+8,-x}=2x+8,.2x+8=x2,即(x-4)(x+2)= 0,解得=4，=-2：当2x+8≤-，即≤-号时， mx{2x+8,-x}=-x,∴.-x=x2,即x(x+1)=0,解得 x1=0,x2=-1;不符合题意，舍去，综上所述，方程的解为 x1=4,x2=-2.故答案为：(1)x1=0,x2=2(2)x1=4, x2=-2. 15.解：提取公因式，得x(x-4)=0,因此，有x=0或x-4= 0,所以原方程的根是x1=0或x2=4. 16.解：：m是关于x的一元二次方程x2-7x+9=0的根， ∴.m2-7m+9=0,.m2-7m=-9,∴.(m+4)(m-4)- 7(m-1)=m2-16-7m+7=m2-7m-9=-9-9= -18. 17.解：设该水果店2、3月份的销售利润月平均增长率为x. 根据题意，得2(1+x)2=45.整理，得(1+)2=是解 方程，得名=分。=一子名=一多不合题意所以x 2=50%. 1 答：该水果店2、3月份的销售利润月平均增长率是50%， 18解：由根与系数的关系，得名+名=-子=-2， (①)原式=x西+x+3+1=二号-2+1=-号影 (2)原式=+华=-2=4 3=3 10=x,解得x=101故门的宽度（两扇门的和）AB为： 2 2 20A=2×101=101(寸).故选：C. 19.解：(1)证明：m≠0，.方程mx2+(m-3)x-3=0(m 2 ≠0)是关于x的一元二次方程，.△=(m-3)2-4m· 11.1012.45°13.1214.(1)241(2)5或11 (-3)=(m+3)2,(m+3)2≥0，即△≥0，.方程总有 15.证明：.CD⊥AB,所以∠ADC=∠BDC=90°，.AD=1, 两个实数根； BD=4,CD=2,∴.根据勾股定理，得AC2=AD2+CD=12+ (2)x=二（m-3》法(m+3》,=a名=-1，m 22=5,BC=CD+BD2=22+42=20,AB=AD+BD=1+ 2m 4=5,.AB2=25,.AC+BC2=AB2,.△ABC是直角三 为正整数，且方程的两个根均为整数，.m=1或3. 角形，.∠ACB=90° 20.解：(1)设AB=x米，则BC=(36+2-2x)米.根据题意， 16.解：(1)根据勾股定理，得c2=a2+62=82+152=289, 得x(38-2x)=180,解得x1=10,x2=9;当x=10,38-2x 172=289,.c=17; =18(米)；当x=9,38-2x=20(米)，而墙长18m,不合 (2)a:b=3:4,设a=3x,则b=4x,根据勾股定理，得 题意舍去. c2=a2+b2=(3x)2+(4x)2=25x2=(5x)2,.c=5x=10, 答：若围成的面积为180m2,自行车车棚的长为18米，宽 ∴.x=2,∴.a=3x=6,b=4x=8. 为10米； 17.证明：a2=(n2-1)2=m4-2n2+1,b2=4n2,c2=(n2+ (2)不能围成面积为200m2的自行车车棚.理由如下：根 1)2=n4+2n2+1,.a2+b2=n-2n2+1+4n2=n+2n 据题意，得x(38-2x)=200,整理，得x2-19x+100=0, +1=c2,.△ABC为直角三角形. △=(-19)2-4×100=-39<0，.方程无实数根， 18.解：(1)∠D=90°.理由如下：连接AC,图略，.·∠B=90° .∴.不能围成面积为200m2的自行车车棚： AB=20,BC=15,CD=7,AD=24,∴.在Rt△ABC中，AC 21.解：(1)由条件可知△=（-√17)2-4×1×4=1，.x= =AB2+BC=202+152=625,CD2=72=49,AD2=242= 2x,s+ /17±√1 2 ,为=7-1 576,.AC2=AD2+CD2,.△ADC是以AC为斜边的直角 .x1-x2= 2 三角形，∴.∠D=90°； 而+1_7-1=1，.方程x2-√7x+4=0是“邻 (2)由(1)可知△ADC是直角三角形，∴.S网边形ABcD=S△ABc 2 2 +Se=7AB,BC+74D.GD=7x20x15+2× 根方程”； (2)x2-(k-3)x-3k=0,因式分解，得(x-)(x+3)= 24×7=150+84=234,∴.四边形ABCD的面积为234. 0,所以，有x-k=0或x+3=0,解得x1=k,x2=-3,由 19.解：由题意可知，BC=50m,AC=130m.∴.在Rt△ABC中 条件可知k-（-3)|=1,解得k=-4或-2，即k的值 根据勾股定理，得AB2+BC2=AC2,.AB2+502=1302,解 得AB=120,∴.大巴车的速度为120÷4=30m/s=108 为-4或-2. 22.解：(1)y2-y-2=0; km/h,:108km/h>100km/h,.大巴车超速了. 所以x=，把x= 20.解：（1)∠C=90°，AC=4,AB=45,.BC= (2)设所求方程的根是y,则y=- y √AB2-AC=√(45)2-42=8，即BC的长为8； 代人方程2x2-7x+3=0,得2 -7.1 +3=0,化 (2)设AD=DB=x,由(1)知，BC=8,则DC=8-x,:∠C= 90°，AC=4,∴.在Rt△ACD中，根据勾股定理，得AD2=CD 简，得3y2-7y+2=0; +AC,x2=(8-x)2+4,解得x=5,即BD的长为5. (3)一元二次方程整理后，可得a(y-1)2+b(y-1)+c 21.解：(1)过点A作AE⊥CD于点E,图略，则AE=BD= =0,令y-1=x,.y=x+1,则方程a(y-1)2+b(y- 15m,AB=ED=1.5m,∠AEC=90°，在Rt△AEC中，根 1)+c=0的两根比ax2+bx+c=0(a≠0)两根大1，所以 据勾股定理，得CE2=AC2-AE2=17-152=64,.CE= 方程a(y-1)2+b(y-1)+c=0的两根分别是4，-1. 8,.CD=CE+ED=8+1.5=9.5(m). 23.解：(1)设剪去的小正方形的边长为xcm,则该收纳盒的 答：风筝离地面的垂直高度CD为9.5m; 底面是长为(100-2x)cm,宽为(40-2x)cm的长方形. (2)不能成功.假设能上升12m,如图，延长DC至点F,使 根据题意，得(100-2x)(40-2x)=1216.整理，得x2 CF=12m,连接AF,∴.EF=CE+CF=8+12=20(m),在 70x+696=0.解方程，得x1=12,x2=58.x2=58不合题 Rt△AEF中，根据勾股定理，得AF2=AE2+EF2=152+202 意，所以x=12. =625,.AF=25,AC=17m,余线仅剩7.5m,∴.17+7.5 答：剪去的小正方形的边长为12cm; =24.5<25,∴.不能上升12m,即不能成功. (2)不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒.理由如下：设 剪去的小长方形的宽为ycm,则该收纳盒的底面是长为 100-2y=(50-y)cm,宽为(40-2y)cm.根据题意，得 2 (50-y)(40-2y)=702,整理得y2-70y+649=0,解得 y1=11,y2=59(不合题意，舍去)，.50-y=50-11=39, 40-2y=40-2×11=18,∴.折成的有盖的长方体收纳盒 A E Bh D 的长为39cm,宽为18cm,高为11cm,39>21,18=18, 22.解：(1)根据题意，得AC+BC=8m,:∠A=90°，设AC 11<15,∴.不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒。 长为xm,则BC长为(8-x)m,在Rt△ABC中，根据勾股 专题突破与巩固（三） 定理，得AB2+AC2=BC2,即42+x2=(8-x)2,解得x= 1.B2.B3.C4.D5.A6.A7.D8.B9.B 3,故旗杆在距地面3m处折断； 10.C【解析】设OA=OB=AD=BC=x寸，过点D作DE⊥ (2)如图，点P距地面AP=3-1.25=1.75(m),∴.B'P MB于E,图略，则DE=100E=201寸，AE=(x =8-1.75=6.25(m),在Rt△AB'P中，根据勾股定理， 得B'A2+AP2=B'P2,即BA2+1.752=6.252,解得B'A= -1)寸.在Rt△ADE中，AE+DE2=AD2,即(x-1)2+ 6,则距离旗杆底部周围6m的范围内有被砸伤的风险，