精品解析：2026年广东东莞市校际联盟初中毕业生学业水平考试数学模拟考试

2026年广东省初中毕业生学业水平考试 数学第三次模拟考试 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 中国国家统计局12月12日公布，2025年全国粮食产量亿斤，比上年增加亿斤，增长，稳定在万亿斤以上，实现增产丰收．其中数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，实数，在数轴上的位置如图所示，则（ ） A. B. C. D. 4. 如果边形每一个内角等于与它相邻外角的2倍，则的值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 如图，已知点在上，，直线与相切，切点为，且为的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知二次函数，若关于的方程的实数根为，且，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 式子有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》“盈不足”章第一题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？题目大意：几个人合伙买东西，若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱．合伙人数、物品的价格分别是多少？解：设人数为人，则下面列的方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 育才中学为了解学生体育锻炼的时间情况，随机调查部分学生一周平均每天的锻炼时间，统计结果如图所示．这些学生锻炼时间的中位数、众数分别是（ ） A. 9，7 B. 9，9 C. 1，1.5 D. 1，1 10. 如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接，若平分，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小体，每小题3分，共15分） 11. 若，则____． 12. 如图，在中，，，为圆周上三点，且，若，则的面积为_____． 13. 如图，四边形为正方形，点E为的中点，平分，交于点F．则的值为_____． 14. 函数中，自变量x的取值范围是_________． 15. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，为上一点，连接，，则的最小值等于_____． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分 16. 计算：． 17. 先化简后求值：，其中． 18. 如图，点在上，为线段的中点，，分别为，的平分线． （1）尺规作图：过点作的平行线； （2）若（1）中的直线交于点，交于点，试判断四边形的形状，并证明． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，，且，求的值． 20. 为落实“双减”工作，充分践行“五育并举”理念，根据惠州本土文化资源，惠州市某中学利用校内课后服务时间，开设了五个活动小组（每位学生只能参加一个小组）：A．东坡诗词诵读；B．客家剪纸手工；C．龙门农民画创作；D．校园编程；E．惠东渔歌学唱．为了解学生对以上活动小组的参与情况，学校随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图： 根据图中信息，解答下列问题： （1）①此次调查一共随机抽取了________名学生； ②补全条形统计图； ③扇形统计图中圆心角（对应组龙门农民画创作）＝________； （2）若该校共有1200名学生，请估计该校参加“校园AI编程”小组的学生人数； （3）请你结合上述统计数据，分析该校课后服务活动开展的现状，并为学校后续优化课后服务提出合理建议． 21. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点A，B，且B点坐标为． （1）求一次函数的解析式； （2）点P为线段上的一点，过P作y轴的垂线，垂足为H，与反比例函数的图象交于点C，当点C为中点时，求点C的坐标． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22. 如图1，在等腰Rt中，点为斜边的中点，以点为顶点作直角交，于点，点，连接，相交于点． （1）求证：； （2）当时，求的值； （3）如图2，以为边在右侧作正方形，连接，若的面积为8，求的长． 23. 已知在平面直角坐标系中，，点是直线上的动点，以为边作正方形，点，，，按顺时针方向排序． （1）如图，若点在轴上，求点的坐标； （2）当点不与原点重合时， ①连接，猜想与的数量关系，直接写出结论； ②过点作轴，垂足为，是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年广东省初中毕业生学业水平考试 数学第三次模拟考试 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意． 2. 中国国家统计局12月12日公布，2025年全国粮食产量亿斤，比上年增加亿斤，增长，稳定在万亿斤以上，实现增产丰收．其中数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此可得答案． 【详解】解：亿， 故选：C． 3. 如图，实数，在数轴上的位置如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数轴上点的位置确定的取值范围及符号，结合绝对值大小关系，利用有理数的加减乘除运算法则进行判断． 【详解】由数轴可知 ，， ，，且， ，，，， 故 A 选项正确，B、C、D 选项错误． 4. 如果边形每一个内角等于与它相邻外角的2倍，则的值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】利用多边形内角与相邻外角互补，任意多边形外角和为，先求出单个外角的度数，再利用外角和求出边数． 【详解】解：设这个边形的一个外角为，则相邻的内角为， ∵ 多边形的内角与相邻外角互补， ∴ ， 解得， ∵ 任意多边形的外角和为， ∴ ． 5. 如图，已知点在上，，直线与相切，切点为，且为的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，三角形内角和以及等腰三角形的性质，根据C为的中点，三角形内角和可求出，再根据切线的性质即可求解． 【详解】∵，为的中点， ∴ ∵ ∴ ∵直线与相切， ∴， ∴ 故选：A． 6. 已知二次函数，若关于的方程的实数根为，且，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定二次函数的开口方向与零点，再根据方程的几何意义判断交点横坐标的范围，即可得到结论． 【详解】解：∵二次函数，二次项系数为， ∴抛物线开口向上， 令，则有，解得，， ∴抛物线与轴交点为和， 根据开口向上的抛物线的性质，可得当时，， 方程的实数根是抛物线与直线交点的横坐标， ∵，即， ∴两个交点都落在区间内， 又， ∴． 7. 式子有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据题意，得， 解得． 8. 《九章算术》“盈不足”章第一题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？题目大意：几个人合伙买东西，若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱．合伙人数、物品的价格分别是多少？解：设人数为人，则下面列的方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 根据“若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱”，可列出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：∵若每人出钱，则会多出钱， 物品的价格为钱； 若每人出钱，则还少钱， 物品的价格为钱， 根据题意可列出方程． 故选：B． 9. 育才中学为了解学生体育锻炼的时间情况，随机调查部分学生一周平均每天的锻炼时间，统计结果如图所示．这些学生锻炼时间的中位数、众数分别是（ ） A. 9，7 B. 9，9 C. 1，1.5 D. 1，1 【答案】D 【解析】 【详解】解：由统计图可知：这些学生锻炼时间为1小时的人数最多，所以众数是1， ∵， ∴这些学生锻炼时间的中位数是第12和第13数据之和的平均数，即． 10. 如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接，若平分，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】证明，求得，再证明，设，，利用相似三角形的性质得到，设，即，求得，据此求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，， 则，则， 即， 设， ∴，即， 解得或（舍）， 经检验是原方程的解， ∴． 二、填空题（本大题共5小体，每小题3分，共15分） 11. 若，则____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查绝对值的非负性与算术平方根的非负性，根据几个非负数的和为，则每个非负数分别等于，求出，的值后代入代数式计算即可得到结果． 【详解】解：，且，， ，， 解得：，， ，代入得，． 12. 如图，在中，，，为圆周上三点，且，若，则的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据圆周角定理求出圆心角的度数，判定为等腰直角三角形，利用勾股定理求出半径的平方，最后利用圆的面积公式求解． 【详解】连接， 与分别是所对的圆周角和圆心角，  ， ， ， 为的半径，  ， 在中，由勾股定理得， 设的半径为，则， ∴， 的面积为． 13. 如图，四边形为正方形，点E为的中点，平分，交于点F．则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】设定正方形边长为定值简化运算，结合正方形性质与勾股定理求出线段长度，作垂直辅助线，利用角平分线的距离相等性质得到垂线段与FC相等，通过证明直角三角形全等得到，列方程求出的长度，在直角三角形内根据正切定义求出的正切值，结合角平分线等量代换得到的最终结果． 【详解】解：过点作，垂足为，连接，如图 设正方形边长为． 四边形为正方形． ，， 为的中点 在中，由勾股定理． ． ． ． 平分，， ， 在和中． ． ， 设． ． ． 在中，，． 由勾股定理． ． 在中，由勾股定理． ． 联立等式，得 ． 解得． ． 在中． ， 平分 ． 14. 函数中，自变量x的取值范围是_________． 【答案】且 【解析】 【分析】首先根据二次根式有意义的条件可得；接下来由分式有意义的条件可得，进而求解即可． 【详解】解：由题意得：且， 解得：且． 故答案为：且． 【点睛】本题主要考查的是求函数自变量的取值范围，解题的关键是掌握二次根式以及分式有意义的条件． 15. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，为上一点，连接，，则的最小值等于_____． 【答案】3 【解析】 【分析】解决本题的关键是正确添加辅助线，作点关于直线的对称点，连接．通过菱形的性质，和对称的性质，可知是等边三角形，是边的中线和高，点、关于对称，的最小值即为线段的长． 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，点关于直线的对称点为点，连接． ∵四边形是菱形，，，， ∴是等边三角形，平分， ∴ ，， ∵点、关于直线对称， ∴，且被平分， ∴， 在中，，，， ∴是等边三角形， ∵点是的中点，点是点关于的对称点， ∴点是线段的中点， ∴，的最小值即为线段的长， ∵， ∴，  ∴，  ， 三点共线， 在等边中，是边的中线和高， ∴． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 17. 先化简后求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解：原式 ，即 原式 18. 如图，点在上，为线段的中点，，分别为，的平分线． （1）尺规作图：过点作的平行线； （2）若（1）中的直线交于点，交于点，试判断四边形的形状，并证明． 【答案】（1） （2）四边形是矩形，证明如下： 连接，如图所示： ∵，分别为，的平分线， ∴， ∵， ∴， 即 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为线段的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）根据过直线外一点作已知直线的平行线，进行作图即可得出符合题意的直线； （2）根据角平分线的性质以及平行线的性质，得出，再结合等角对等边，以及根据为线段的中点，得出对角线互相平分，故四边形是平行四边形，再根据有一个角是90度的平行四边形是矩形，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，，且，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系． （1）只需要证明即可； （2）根据根与系数的关系得到，再根据建立方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 证明：由题意得， ， ∵， ∴， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解：∵关于的一元二次方程的两个实数根为，， ∴， ∵， ∴， ∴． 20. 为落实“双减”工作，充分践行“五育并举”理念，根据惠州本土文化资源，惠州市某中学利用校内课后服务时间，开设了五个活动小组（每位学生只能参加一个小组）：A．东坡诗词诵读；B．客家剪纸手工；C．龙门农民画创作；D．校园编程；E．惠东渔歌学唱．为了解学生对以上活动小组的参与情况，学校随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图： 根据图中信息，解答下列问题： （1）①此次调查一共随机抽取了________名学生； ②补全条形统计图； ③扇形统计图中圆心角（对应组龙门农民画创作）＝________； （2）若该校共有1200名学生，请估计该校参加“校园AI编程”小组的学生人数； （3）请你结合上述统计数据，分析该校课后服务活动开展的现状，并为学校后续优化课后服务提出合理建议． 【答案】（1）①；②统计图如图：；③ （2）该校参加“校园编程”小组的学生人数约为420人 （3）现状分析：校园编程和客家剪纸手工最受学生欢迎，合计占比，反映出科技类和简单易上手的动手类非遗课程最契合初中生兴趣． 具体建议：打造“惠州文化”融合课程：在热门的AI编程课中加入本土元素，如用编程制作东坡诗词动画、龙门农民画数字表情包，实现科技与文化的双向赋能．（言之有理即可） 【解析】 【分析】（1）①用B组的人数除以占比，即可得到抽取的人数； ②先计算出C组的人数，再补全统计图即可； ③计算出C组的占比，乘以即可； （2）计算出样本中，D组的占比，乘以全校学生人数即可； （3）结合数据和实际生活经验，进行分析和给出建议即可． 【小问1详解】 解：①由统计图可知，B组的学生有50人，占比为， ∴抽取的学生人数为（人）； ②C组的学生人数为（人）， 统计图如答案所示； ③， ∴； 【小问2详解】 解：（人）． 答：该校参加“校园编程”小组的学生人数约为420人． 【小问3详解】 略 21. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点A，B，且B点坐标为． （1）求一次函数的解析式； （2）点P为线段上的一点，过P作y轴的垂线，垂足为H，与反比例函数的图象交于点C，当点C为中点时，求点C的坐标． 【答案】（1） （2）点C的坐标为或 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合应用． （1）根据点B在一次函数的图象上，B点坐标为，将B点坐标代入中，可求出a的值，即求得一次函数的解析式； （2）先求出反比例函数的解析式，再设，根据点C为中点，轴，点H在y轴上，求得，最后根据点C在反比例函数图象上，求出x的值，最后求得点C坐标． 【小问1详解】 解：∵B点在一次函数的图象上，B点坐标为， ∴将B点坐标代入中，可得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：∵B点在反比例函数的图象上，B点坐标为， ∴将B点坐标代入中，可得：， ∴反比例函数的解析式为． ∵点P为线段上的一点， ∴设， ∵轴，与反比例函数的图象交于点C， ∴， ∵点C为中点，轴，点H在y轴上， ∴， ∴， ∵点C在反比例函数图象上， ∴， 即， 解得：，， ∴点C的坐标为或． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22. 如图1，在等腰Rt中，点为斜边的中点，以点为顶点作直角交，于点，点，连接，相交于点． （1）求证：； （2）当时，求的值； （3）如图2，以为边在右侧作正方形，连接，若的面积为8，求的长． 【答案】（1） 证明：∵在等腰Rt中，点为斜边的中点，以点为顶点作直角交，于点，点， ∴，，，，， ∴，即， ∴， ∴. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明即可. （2）证明，，可得. （3）如图，过作于，证明，，可得，，再进一步求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 【小问3详解】 解：如图，过作于， ∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 同理可得：， ∴， ∴，， ∵的面积为8， ∴， ∴， ∴. 23. 已知在平面直角坐标系中，，点是直线上的动点，以为边作正方形，点，，，按顺时针方向排序． （1）如图，若点在轴上，求点的坐标； （2）当点不与原点重合时， ①连接，猜想与的数量关系，直接写出结论； ②过点作轴，垂足为，是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）①或；②为定值， 【解析】 【分析】（1）先根据点D在x轴上的条件，轴，确定点B的坐标，再利用正方形的边长相等、对边平行的性质，直接推导出点C的横纵坐标，再根据求出点C的坐标； （2）①需分两种情况讨论：当点在第一象限时，由正方形性质得，由（1）知是等腰直角三角形得，结合∠推出；当点在第三象限时，先由三角形内角和求出，再由（1）得，两式相减得；②同样分两种情况：过作于，过作轴于，过作交于，先证四边形是矩形得，再证得，由在上知是等腰直角三角形得，从而，最后用勾股定理得，故为定值；第一象限时同理可证． 【小问1详解】 解：四边形是正方形， ， 点在轴上， 轴， 点， ， 点在上， 当时，， ， ， 点坐标为， 轴， 点的坐标为； 【小问2详解】 解：①猜想：或． 当点在第一象限时， 证明：四边形是正方形， ， ， 由（1）知， 在中，， ， ， ； 当点在第三象限时，， 如图，在中，， ， 中，由（1）知，即， ， ，即 ②是定值，．理由如下： 过点B作于点，过点作轴于点，过点A作交于点G， 当点B在第三象限时， ， 四边形是矩形， ，， 在正方形中，，， ，即， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 在中，在直线上， ，， ， ， ； 当点B在第一象限时，如图 ， 四边形是矩形， ， 同理可证，四边形是矩形， ，, 点在直线上， , ， ，即， ， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理， 综上，为定值，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $