精品解析：2026年广东佛山容桂街道九年级6月模拟训练 数学

2025-2026学年九年级6月模拟训练 数学 本试卷共6页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号．用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的． 1. 下列各数中比小的数是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵， ∴比小的数是． 2. 下列几何图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. 等腰梯形 B. 等边三角形 C. 平行四边形 D. 圆 【答案】D 【解析】 【分析】轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，直线两侧能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形； 中心对称图形：把一个图形绕某个点旋转，如果旋转后的图形能够和原来的图形完全重合，这个图形就是中心对称图形． 【详解】解：A选项：等腰梯形为轴对称图形，不是中心对称图形； B选项：等边三角形为轴对称图形，不是中心对称图形； C选项：平行四边形为中心对称图形，不是轴对称图形； D 选项：圆既是中心对称图形，又是轴对称图形． 3. 是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务，其活跃用户数在上线21天后达到了3370万．将3370万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，解题时先将3370万化为普通整数，再确定和的值即可. 【详解】解：万. 4. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放在直尺上，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角板的角度计算问题． 直接根据平角的定义计算即可． 【详解】， 故选：C． 5. 计算的结果是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将非最简二次根式化为最简二次根式，再合并被开方数相同的二次根式即可得到答案． 【详解】解： ， ． 6. 若，则的值为（ ） A. B. C. 6 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先根据已知等式得到的值，再将所求代数式变形后代入计算即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴. 7. 已知直线与的交点为，则方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征求出交点坐标，即可得到方程组的解． 【详解】∵直线与的交点为， ∴把代入，得 ， 解得， ∴两直线的交点坐标为， ∵二元一次方程组的解就是对应两个一次函数图象的交点坐标， ∴方程组的解是． 8. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，为格点三角形，，与格线分别交于点，，图中阴影部分的面积为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，网格中三角形面积的计算，先求出，再证明，利用相似比求出，最后利用计算即可． 【详解】解：由图可知，在格线上，在格线上，且 观察网格可知，的底，高为3，对应的高为2 9. 如图，，，都是的半径，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理得到，然后结合得到，然后利用圆周角定理求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 10. 如图甲所示，在直角梯形中，，．动点从点出发，沿梯形的边由运动．设点运动的路程为，的面积为．把看作的函数，函数的图象如图乙所示，则的面积为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 分别分析当点在、、运动时，随的变化情况，结合函数图象即可确定、、的长，过点作于，可得四边形是矩形，在中，根据勾股定理可得的长，即可得到的长，最后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】由图可得： 当点在运动时，，为定值，则随的增大而增大； 当点在运动时，，和均为定值，则随的增大而保持不变； 当点在运动时，设点到线段的距离为，，为定值，随的增大而减小，则随的增大而减小； 由图乙知：当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而保持不变； 当时，随的增大而减小； ，，， ，， 如图，过点作于， ，， ， ， 四边形是矩形， ，， 在中，， ， ． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：_________． 【答案】 【解析】 【分析】直接提取公因式即可． 【详解】． 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解——提取公因式法，掌握知识点是解题关键． 12. 如图，在中，，，点在上，．将线段沿着的方向平移得到线段，点，分别落在边，上，则的周长为_________． 【答案】14 【解析】 【分析】直接利用平移的性质得出，进而得出，进而求出答案． 【详解】解：∵将沿的方向平移得到线段， ∴，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长为：． 13. 京剧是中国五大戏曲剧种之一．某校开展“京剧文化进校园”活动，设置了“唱、念、做、打”四种学习项目，每名学生只能选择参加一种项目，则甲、乙两名学生参加同种学习项目的概率是_________． 【答案】 【解析】 【分析】画树状图列举出所有可能的情况和甲、乙两名学生参加同种学习项目的情况，然后利用概率公式求解． 【详解】解：分别用A，B，C，D表示“唱，念，做，打”四种学习项目， 画树状图如下： 共有16种等可能的情况，其中甲、乙两名学生参加同种学习项目的情况有4种， ∴甲、乙两名学生参加同种学习项目的概率是． 14. 某同学用自制柱形密度计测量液体的密度，此密度计漂浮在不同的液体中时，浸在液体中的深度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：）的反比例函数．此密度计漂浮在密度为的甲液体中时，浸在液体中的深度为，此密度计漂浮在乙液体中时，浸在液体中的深度为，则乙液体的密度为______． 【答案】1.2 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，设h关于ρ的函数解析式为，将，代入求出解析式，把代入解析式即可得到结论． 【详解】解：设h关于ρ的函数解析式为， 将，代入解析式，得， ∴h关于ρ的函数解析式为， 将代入，得， 解得：， 即乙液体的密度为， 故答案为：1.2． 15. 如图，在矩形中，，，是边上一点，以为边作正方形，使经过点，则的值是_____． 【答案】 ##0.75 【解析】 【分析】证明，根据相似三角形的性质求出，根据勾股定理求出，最后根据正切的定义求解即可. 【详解】解：∵矩形中，，， ∴，， ∵正方形，使经过点， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 解得（负值舍去）， ∴， ∴. 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解不等式组并在数轴上表示解集． 【答案】， 【解析】 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示如下： 17. 在化简时，小颖的解法如下： ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 （1）小颖的解法中哪一步是通分？通分的依据是什么？ （2）判断小颖的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 【答案】（1）小颖的第一步是通分．通分的依据是分式的基本性质：分式的分子与分母同乘一个不等于0的整式，分式的值不变 （2）小颖的解答过程不正确，正确化简结果为 【解析】 【分析】（1）根据分式通分的定义与依据回答即可； （2）小颖的解答过程不正确．按照分式运算法则先通分，再进行运算即可． 【小问1详解】 小颖的第一步是通分．通分是把异分母分式化为同分母分式的过程，通分的依据是分式的基本性质：分式的分子与分母同乘一个不等于0的整式，分式的值不变． 【小问2详解】 解：小颖的解答过程不正确． 正确解答过程如下： ． 18. 为探究一个滴漏的水龙头造成的浪费情况，小明将水龙头拧到适当位置，造成滴漏现象，在水龙头下方放一个已经有少量水的量杯．每隔，记录一下量杯中的水量，得到下表中的一组数据： 时间 1 2 3 4 5 …… 总水量 …… （1）观察表中数据，求关于的函数表达式； （2）估计这个水龙头一天的漏水量是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）把，分别代入（1）中表达式求解即可． 【小问1详解】 解：观察表格，可发现每分钟增加的水， ∴随着时间的增加，总水量的变化是均匀的， ∴是t的一次函数， ∴设总水量关于时间的函数表达式为， 则， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：当时，， 当时，， ∴这个水龙头一天的漏水量是． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 【课本再现】 我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． （1）【定理证明】 为了证明该定理，小明同学画出了图形，并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．已知：如图，在中，对角线和相交于点，．求证：是菱形． （2）【知识应用】 如图，在中，对角线与相交于点，延长至点，使，连接交于点，若，，，求的值． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明是的垂直平分线，得证，继而证明结论． （2）取的中点，连接，根据平行四边形的性质得到对角线互相平分，根据勾股定理证明四边形是菱形，继而得到，通过证明为的中位线，得到，，通过证明，得到对应线段成比例，继而得到． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：如图，取的中点，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴为的中位线， ∴，且， ∴， ∴， ∴． 20. 阅读涵养心灵，书香润泽人生．某地区2026年3月就“初中生每天阅读时间”对七年级学生进行了抽样调查（设每天阅读时间为，调查问卷设置了四个时间选项：A．；B．；C．；D．），并根据调查结果制作了如图1所示的条形统计图．2026年3月该地区出台系列激励措施，力推学生阅读习惯养成．为了检测这些措施的效果，2026年5月该地区又对七年级学生进行了一次抽样调查，并根据调查结果制作了如图2所示的扇形统计图． 请根据提供的信息，解答下列问题． （1）2026年3月份抽样调查的七年级学生人数为_________人，“每天阅读时间不少于1小时”的人数占比约为_________； （2）估算该地区2026年5月份“每天阅读时间不少于1小时”的七年级学生的占比相对于3月份的增长率；（精确到） （3）根据两次调查结果，对该地区出台相关激励措施的做法进行评价． 【答案】（1）； （2） （3）出台激励措施后，每天阅读时间不少于1小时的学生占比明显提升，学生整体阅读时长增加，说明该激励措施对促进学生养成阅读习惯效果显著，值得继续推行．（合理即可） 【解析】 【分析】（1）根据条形统计图得出各组的人数，求和即得抽样的人数，再计算“每天阅读时间不少于1小时”的人数占比即可； （2）根据扇形统计图计算出5月份“每天阅读时间不少于1小时”的人数占比，再计算出增长率即可； （3）根据两次调查结果进行评价即可． 【小问1详解】 解：由条形统计图可知，3月份抽取的学生人数为（人）， “每天阅读时间不少于1小时”的人数占比为； 【小问2详解】 解：由扇形统计图可知，5月份“每天阅读时间不少于1小时”的人数占比为， ∴对于3月份的增长率为； 【小问3详解】 略 21. 如图①，要在一条笔直的路边上建一个燃气站，向同侧的A、B两个城镇分别发铺设管道输送燃气，试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． （1）如图②，作出点A关于的对称点，线与直线的交点C的位置即为所求， 即在点C处建气站， 所得路线ACB是最短的，为了让明点C的位置即为所求，不妨在直线上另外任取一点，连接，， 证明， 请完成这个证明． （2）如果在A、B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域请分别始出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由）， ①生市保护区是正方形区域，位置如图③所示 ②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示． 【答案】（1）证明见解析；（2）①见解析，②见解析 【解析】 【分析】（1）连接，利用垂直平分线的性质，得到，利用三角形的三边关系，即可得到答案； （2）由（1）可知，在点C处建燃气站，铺设管道的路线最短．分别对①、②的道路进行设计分析，即可求出最短的路线图． 【详解】（1）证明：如图，连接 ∵点A、关于l对称，点C在l上 ∴， ∴， 同理， 在中，有 ∴； （2）解：①在点C处建燃气站，铺设管道的最短路线是AC+CD+DB（如图，其中D是正方形的顶点）． ②在点C处建燃气站，铺设管道的最短路线是（如图，其中CD、BE都与圆相切）． 【点睛】本题考查了切线的应用，最短路径问题，垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握题意，正确确定点C的位置，从而确定铺设管道的最短路线． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22. 在菱形中，点是对角线上一点，连接，是的外接圆． （1）如图1，若点与点重合，求证：点，，三点共线； （2）如图2，若，求证：是的切线； （3）在（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】（1）证明：如图，连接交于点， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴直线是的垂直平分线， ∵是的外接圆， 又∵点与点重合， ∴点在的垂直平分线上， ∴点，，三点共线． （2）证明：如图，连接、，设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴，即， ∴是的切线． （3） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，由菱形的性质可知，直线是的垂直平分线，结合外接圆圆心的性质即可证明点，，三点共线； （2）连接、，设，由圆周角定理可得，，，由等腰三角形的性质可得，由菱形的性质可得，从而得到，因此是的切线； （3）连接交于点，设，，由菱形的性质可得，，由三角函数可得，利用勾股定理可以计算出，则，．在中，利用勾股定理构造方程，解得，因此． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接交于点，设，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理可得，， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴． 23. 已知抛物线经过点． （1）求抛物线的对称轴方程； （2）若，点和分别在抛物线和上（，与原点都不重合）． ①当，且时，的最小值为，求的值； ②当时，若是一个与无关的定值，求的值． 【答案】（1）抛物线的对称轴是直线 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用已知点坐标得到的关系，再求对称轴； （2）先根据的值确定抛物线解析式，①利用作差法得到的二次函数表达式，根据开口方向和对称轴与区间的位置关系分类讨论求解； ②整理已知条件得到关于的表达式，根据定值的要求令含的系数为0，求出． 【小问1详解】 解：把点代入得：， 整理得  抛物线对称轴公式为，代入得：  即抛物线的对称轴是直线； 【小问2详解】 解：①由题意得，设，且， 则  ∵该二次函数开口向上， 分三种情况讨论： 当时，函数在上随增大而增大， 最小值在处取得：， 解得，符合； 当时，函数最小值在处取得：， 解得，均不在范围内，舍去； 当时，函数在上随增大而减小， 最小值在处取得： ， 解得，不符合，舍去； 综上，； ②由题意得，， 因为与原点都不重合， 所以，， 已知，代入得：  两边同除以得：  整理得， 则：  因为是与无关的定值， 所以， 解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级6月模拟训练 数学 本试卷共6页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号．用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的． 1. 下列各数中比小的数是（ ） A. B. C. D. 1 2. 下列几何图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. 等腰梯形 B. 等边三角形 C. 平行四边形 D. 圆 3. 是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务，其活跃用户数在上线21天后达到了3370万．将3370万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放在直尺上，则的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 计算的结果是（ ）． A. B. C. D. 6. 若，则的值为（ ） A. B. C. 6 D. 2 7. 已知直线与的交点为，则方程组的解是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，为格点三角形，，与格线分别交于点，，图中阴影部分的面积为（ ） A. 1 B. C. D. 2 9. 如图，，，都是的半径，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图甲所示，在直角梯形中，，．动点从点出发，沿梯形的边由运动．设点运动的路程为，的面积为．把看作的函数，函数的图象如图乙所示，则的面积为( ) A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：_________． 12. 如图，在中，，，点在上，．将线段沿着的方向平移得到线段，点，分别落在边，上，则的周长为_________． 13. 京剧是中国五大戏曲剧种之一．某校开展“京剧文化进校园”活动，设置了“唱、念、做、打”四种学习项目，每名学生只能选择参加一种项目，则甲、乙两名学生参加同种学习项目的概率是_________． 14. 某同学用自制柱形密度计测量液体的密度，此密度计漂浮在不同的液体中时，浸在液体中的深度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：）的反比例函数．此密度计漂浮在密度为的甲液体中时，浸在液体中的深度为，此密度计漂浮在乙液体中时，浸在液体中的深度为，则乙液体的密度为______． 15. 如图，在矩形中，，，是边上一点，以为边作正方形，使经过点，则的值是_____． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解不等式组并在数轴上表示解集． 17. 在化简时，小颖的解法如下： ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 （1）小颖的解法中哪一步是通分？通分的依据是什么？ （2）判断小颖的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 18. 为探究一个滴漏的水龙头造成的浪费情况，小明将水龙头拧到适当位置，造成滴漏现象，在水龙头下方放一个已经有少量水的量杯．每隔，记录一下量杯中的水量，得到下表中的一组数据： 时间 1 2 3 4 5 …… 总水量 …… （1）观察表中数据，求关于的函数表达式； （2）估计这个水龙头一天的漏水量是多少？ 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 【课本再现】 我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． （1）【定理证明】 为了证明该定理，小明同学画出了图形，并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．已知：如图，在中，对角线和相交于点，．求证：是菱形． （2）【知识应用】 如图，在中，对角线与相交于点，延长至点，使，连接交于点，若，，，求的值． 20. 阅读涵养心灵，书香润泽人生．某地区2026年3月就“初中生每天阅读时间”对七年级学生进行了抽样调查（设每天阅读时间为，调查问卷设置了四个时间选项：A．；B．；C．；D．），并根据调查结果制作了如图1所示的条形统计图．2026年3月该地区出台系列激励措施，力推学生阅读习惯养成．为了检测这些措施的效果，2026年5月该地区又对七年级学生进行了一次抽样调查，并根据调查结果制作了如图2所示的扇形统计图． 请根据提供的信息，解答下列问题． （1）2026年3月份抽样调查的七年级学生人数为_________人，“每天阅读时间不少于1小时”的人数占比约为_________； （2）估算该地区2026年5月份“每天阅读时间不少于1小时”的七年级学生的占比相对于3月份的增长率；（精确到） （3）根据两次调查结果，对该地区出台相关激励措施的做法进行评价． 21. 如图①，要在一条笔直的路边上建一个燃气站，向同侧的A、B两个城镇分别发铺设管道输送燃气，试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． （1）如图②，作出点A关于的对称点，线与直线的交点C的位置即为所求， 即在点C处建气站， 所得路线ACB是最短的，为了让明点C的位置即为所求，不妨在直线上另外任取一点，连接，， 证明， 请完成这个证明． （2）如果在A、B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域请分别始出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由）， ①生市保护区是正方形区域，位置如图③所示 ②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22. 在菱形中，点是对角线上一点，连接，是的外接圆． （1）如图1，若点与点重合，求证：点，，三点共线； （2）如图2，若，求证：是的切线； （3）在（2）的条件下，若，，求的长． 23. 已知抛物线经过点． （1）求抛物线的对称轴方程； （2）若，点和分别在抛物线和上（，与原点都不重合）． ①当，且时，的最小值为，求的值； ②当时，若是一个与无关的定值，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $