精品解析：2025年河南省周口市郸城县几校联考三模数学试题

2025年河南省郸城县中招联考模拟试卷（三） 数学 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共6页，满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一项是正确的） 1. 如图所示，数轴上各点表示的数中比小的点是（ ） A. M B. N C. P D. Q 2. 在我国历史文化中，“扇”与“善”谐音．扇子常被认为寓意着善良、善行，古时人们相信持扇者必为善人．因此现在人们进行设计时也经常使用扇形．如图是一个扇形的花灯，则它的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量为，一张普通唱片的容量为，则蓝光唱片的容量是普通唱片的多少倍？结果用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 将矩形纸片对折，使边与重合，折痕为，展开后在上取点P折叠，使点B的对应点恰好落在上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 为贯彻落实教育部《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》文件精神，某学校积极开展劳动教育课程，计划在果园多种一些果树．果园中原有樱桃树10棵，平均每棵树结1000颗樱桃，试验发现，如果每多种一棵，平均每棵樱桃树的产量就会减少5颗，如果要使产量增加，应多种多少棵樱桃树？设多种x棵樱桃树，则根据题意列出的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 观察下列式子：，，，…下列代数式中能表示其中蕴含规律的是（ ） A. B. C. D. 7. 关于的代数式，当分别取值时，对应的代数式的值如下表： 0 1 2 3 1 若，则的值是（ ） A. B. 3 C. D. 5 8. 如图，平行四边形中，点是边上的一点，连结交于点；若，的面积为4，则的面积是（ ） A. 10 B. 20 C. 25 D. 35 9. 已知关于x方程，则下列分析正确的是（　　） A. 当时，方程有两个相等实数根 B. 当时，方程有两个不相等的实数根 C. 当时，方程没有实数根 D. 方程的根的情况与p的值无关 10. 如图，抛物线y＝2x2﹣8x+6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y＝﹣x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 一个正方形的面积扩大为原来的9倍，它的边长变为原来的______倍． 12. 对于任意整数m，多项式都能被________整除．（填符合题意的最大整数） 13. 一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，在袋中放入3个与红球除了颜色外其余均相同的白球，记录下颜色后，放回袋中并摇匀，摸到白球的频率稳定在附近，则红球的个数为________． 14. 如图所示，在平面直角坐标系中，点，分别以点O，A为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点B，然后按如图所示的尺规作图得到边上的点M．若以点M为旋转中心，将绕点M逆时针旋转，则点A的对应点的横坐标是________． 15. 已知和都为等腰直角三角形，，，，连接，当时，若，，则的长为________． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中，． 17. 某校开展“校园科技节”活动，活动包括机器人设计、计算机编程两个项目．为了了解学生的计算机编程水平，从全校学生的计算机编程成绩中随机抽取部分学生的成绩（成绩为百分制，用x表示），并将其分成如下四组：，，，． 下面是抽取学生成绩的部分信息． a．的成绩为：81，81，82，82，83，83，84，84，84，85，86，86，86，87，88，88，88，89，89，89． b．计算机编程成绩的频数分布直方图如图所示． 根据以上信息解决下列问题： （1）所抽取学生的计算机编程成绩的中位数是 分； （2）请估计全校800名学生中计算机编程成绩不低于80分的人数； （3）根据活动要求，学校将机器人设计成绩、计算机编程成绩按的比例确定这次活动各人的综合成绩，其中甲、乙两位学生的成绩如表： 机器人设计 计算机编程 甲的成绩 94 90 乙的成绩 90 95 通过计算说明甲、乙两位同学中谁的综合成绩更高？ 18. 根据收集素材，探索完成任务． 探究太阳能热水器的安装 素材一 太阳能热水器是利用绿色能源造福人类的一项发明．某品牌热水器主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方，才能保证使用效果，否则不予安装． 素材二 某市位于北半球，太阳光线与水平线的夹角为α，冬至日时，；夏至日时，． ，， ，， ，， ，， 素材三 如图，该市甲楼位于乙楼正南方向，两楼东西两侧都无法获得太阳光照射．现准备在乙楼南面墙上安装该品牌太阳能板．已知两楼间距为54米，甲楼共11层，乙楼共15层，一层从地面起，每层楼高皆为3.3米，为某时刻的太阳光线． 问题解决 任务一 确定使用数据 要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，应选择________日（填冬至或夏至）时，α为________（填，，，中一个）进行计算． 任务二 探究安装范围 利用任务一中选择的数据进行计算，确定乙楼中哪些楼层不能安装该品牌太阳能热水器． 19. 如图，以BC为直径的⊙O交△ABC的边AB于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E，且AC＝BC． （1）求证：DE⊥AC； （2）若BC＝4cm，AD＝3cm，求AE的长． 20. 如图所示，双曲线 （）经过点 和点 ，经过双曲线上的点且平行于的直线与轴交于点，点在点左上方，设为轴、直线、双曲线 （）及线段之间的部分 （阴影部分），解决下列关于（不包括边界）内的整点（横、纵坐标都为整数）问题： （1）G内整点最多有 个； （2）若G内整点个数为4，求点B的纵坐标m的取值范围． 21. “双减”政策受到各地教育部门的积极响应，学校为增加学生的课外活动实践，现决定增购两种体育器材：购买3件A种器材、4件B种器材需要180元，购买4件A种器材、3件B种器材需要170元． （1）购买一件A种器材和一件B种器材各需要多少元？ （2）今年计划购买A、B两种体育器材共40件，且A种器材的数量不超过B种器材数量的3倍，那么购买A种器材和B种器材各多少件时花费最少？最少花费为多少元？ 22. 一次足球训练中，小华从球门正前方的A处射门，足球射向球门的运行路线呈抛物线，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高OB为，现以O为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求出抛物线的函数解析式并说明此次射门在不受干扰的情况下能否进球； （2）若防守队员小明跳起后能摸到的最大高度为2.25米，他此时站在离球门3米远的位置，求小明至少后退多少米才能防守住这次射门？ （3）在射门路线的形状、最大高度均保持不变情况下，适当靠近球门进球的把握会更大，小华决定将足球向球门方向移动一定距离后再射门，他最多可以向球门移动__________．（填序号即可，） ①； ②； ③． 23. 综合与实践 【问题发现】（1）如图1，在正方形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，连接， ①求证：． ②当正方形的边长为，时，则__________． 【类比探究】（2）如图2，在矩形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，且，连接，求的值． 【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，将E改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点M，连接．若，则当是直角三角形时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年河南省郸城县中招联考模拟试卷（三） 数学 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共6页，满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一项是正确的） 1. 如图所示，数轴上各点表示的数中比小的点是（ ） A. M B. N C. P D. Q 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了在数轴上找表示无理数的点的方法，无理数的估算．首先判断出的范围，然后根据数轴的特征，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴数轴上四点中，比小的点是点M． 故选：A． 2. 在我国历史文化中，“扇”与“善”谐音．扇子常被认为寓意着善良、善行，古时人们相信持扇者必为善人．因此现在人们进行设计时也经常使用扇形．如图是一个扇形的花灯，则它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】该题考查了三视图，根据左视图定义解答即可． 【详解】解：根据图象可得左视图是， 故选：B． 3. 科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量为，一张普通唱片的容量为，则蓝光唱片的容量是普通唱片的多少倍？结果用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，先把科学记数法表示的数还原，再计算，再利用科学记数法表示即可． 【详解】解：， 故选：C． 4. 将矩形纸片对折，使边与重合，折痕为，展开后在上取点P折叠，使点B的对应点恰好落在上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】题考查了翻折变换，矩形的性质，等边三角形的判定以及性质，由折叠的性质可得，可得是等边三角形，即可求．进一步得出． 【详解】解：如图，连接， ∵对折矩形的纸片，使与重合， ， ， ∵把再对折到， ， ， ∴是等边三角形， ， ， 故选：C． 5. 为贯彻落实教育部《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》文件精神，某学校积极开展劳动教育课程，计划在果园多种一些果树．果园中原有樱桃树10棵，平均每棵树结1000颗樱桃，试验发现，如果每多种一棵，平均每棵樱桃树的产量就会减少5颗，如果要使产量增加，应多种多少棵樱桃树？设多种x棵樱桃树，则根据题意列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用．设多种x棵樱桃树，则总棵数为棵，每棵产量为颗，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设多种x棵樱桃树，则总棵数为棵，每棵产量为颗，根据题意得： ． 故选：A 6. 观察下列式子：，，，…下列代数式中能表示其中蕴含规律的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查规律型：数字的变化，解题的关键是观察题目中的各式子的结果发现其中的规律，运用类比的数学思想得到类似的规律． 观察各算式中的乘数及乘积规律，发现两个乘数的十位数字相同，个位分别为4和6，乘积末两位恒为24，前几位为十位数字与其下一个数的乘积． 【详解】解：两个十位数字相同，个位数字分别为4和6的两位数相乘，设十位数字为，则两乘数分别为和． 计算乘积：， 验证选项A的等式成立，且符合所有例子中的规律． 其他选项展开后均无法匹配该规律， 故选：A． 7. 关于的代数式，当分别取值时，对应的代数式的值如下表： 0 1 2 3 1 若，则的值是（ ） A. B. 3 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】在表格任意选取两组数据代入ax+b中，即可确定a、b的值，进而求解． 【详解】解：当x=0时，ax+b=1， ∴b=1， 当x=1时，ax+b=-1， ∴a+1=-1， ∴a=-2， ∴-2x+1=5， -2x=4， x=-2． 故选：A． 【点睛】本题考查代数式求值以及解一元一次方程，掌握代数式求值的方法是解题的关键． 8. 如图，平行四边形中，点是边上的一点，连结交于点；若，的面积为4，则的面积是（ ） A. 10 B. 20 C. 25 D. 35 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质．由，得到，根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵的面积为4， ∴，， ∴，， ∴的面积是， 故选：D． 9. 已知关于x的方程，则下列分析正确的是（　　） A. 当时，方程有两个相等的实数根 B. 当时，方程有两个不相等的实数根 C. 当时，方程没有实数根 D. 方程的根的情况与p的值无关 【答案】B 【解析】 【分析】先将该方程整理成一般式，再求得其根的判别式为，再判断各选项的正确与否即可． 【详解】解：方程可整理为， ∴． 当时，， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选项A不符合题意； 当时，， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选项B符合题意； 当时，的正负无法确定， ∴无法判断该方程实数根的情况， 故选项C不符合题意； ∵方程的根的情况和的值有关， 故选项D不符合题意． 故选B． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式的应用能力，关键是能对该方程进行准确变形与计算． 10. 如图，抛物线y＝2x2﹣8x+6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y＝﹣x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象可以判断当直线y＝﹣x+m在过B和与C2相切之间时与两个抛物线有三个不同的交点，求出两个临界值即可． 【详解】由y＝2x2﹣8x+6可知，令y＝0，即2x2﹣8x+6＝0， 解得x＝1或3， ∴A（1，0），B（3，0）， 由于将C1向右平移两个单位得到C2， 则C2的解析式为y＝2（x﹣2）2﹣8（x﹣2）+6（3≤x≤5）， 由图象知当直线y＝﹣x+m在过B和与C2相切之间时与两个抛物线有三个不同的交点， ∴①当y＝﹣x+m与C2相切时， 令y＝﹣x+m＝2（x﹣2）2﹣8（x﹣2）+6， 即2x2﹣15x+30﹣m＝0， ∴△＝8m﹣15＝0，解得m=， ②当y＝﹣x+m'过点B时， 即0＝﹣3+m'，解得m'＝3， 综上，当时，直线y＝﹣x+m与C1、C2共有3个不同的交点， 故选B． 【点睛】本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 一个正方形的面积扩大为原来的9倍，它的边长变为原来的______倍． 【答案】3 【解析】 【分析】根据算术平方根的概念进行求解． 【详解】解：设该正方形的边长为a，则其面积是a2，其面积的9倍是9a2， ∵（3a）2=9a2， ∴变化后正方形的边长为3a， 故答案为：3． 【点睛】此题考查了运用算术平方根解决图形问题的能力，关键是能准确理解问题间的数量关系运用算术平方根知识列式求解． 12. 对于任意整数m，多项式都能被________整除．（填符合题意的最大整数） 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查因式分解，原多项式分解因式得到，进而可得结论． 【详解】解： ， ∵能被8整除， ∴多项式都能被8整除， 故答案为：8． 13. 一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，在袋中放入3个与红球除了颜色外其余均相同的白球，记录下颜色后，放回袋中并摇匀，摸到白球的频率稳定在附近，则红球的个数为________． 【答案】17 【解析】 【分析】根据口袋中有3个白球，利用小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可．此题主要考查了用样本估计总体，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等是解决问题的关键． 【详解】解：设红球的个数为x个，根据题意得： ∴ 解得：， 经检验是原方程的解， 则红球的个数为17个． 故答案为：17． 14. 如图所示，在平面直角坐标系中，点，分别以点O，A为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点B，然后按如图所示的尺规作图得到边上的点M．若以点M为旋转中心，将绕点M逆时针旋转，则点A的对应点的横坐标是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直平分线的尺规作图，旋转的性质，等边三角形的性质以及坐标与图形等知识． 过作轴于点E，连接，根据作图可知是等边三角形，过点M的直线垂直平分线段，即垂直平分线段，可得，根据旋转可知点A的对应点在所在的直线上，再结合等边三角形的性质、旋转的性质即可作答． 【详解】解：过作轴于点E，如图，连接， 根据作图可知是等边三角形，过点M的直线垂直平分线段， 即垂直平分线段， ∴， ∴根据旋转可知点A的对应点在所在的直线上， ∵， ∴， ∴在等边中，，， ∴， ∴在中，， ∵垂直平分线段，， ∴在等边中，， ∴， ∴根据旋转可得：， ∴， ∴， ∴点A对应点的横坐标是， 故答案为：． 15. 已知和都为等腰直角三角形，，，，连接，当时，若，，则的长为________． 【答案】5或 【解析】 【分析】根据题意得：，，则，，证明，则，可求；当时，分当在外部，当在内部两种情况，利用相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：∵和都为等腰直角三角形， ∴，， ∴，，即， ∴， ∴，即， 解得，； 当时，分当在外部，当在内部，两种情况求解； 当在外部时，，如图①，记的交点为， 由题意知，，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∴，， ∴； 当在内部时，，如图②，延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∴，即，，即， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴； 综上所述，的长为5或， 故答案为：5或． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，余弦，勾股定理等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，余弦是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）；（2），6． 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，涉及零指数幂、负整数指数幂，完全平方公式等知识点，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）分别计算零指数幂、负整数指数幂，立方根，化简绝对值，再进行加减计算； （2）先利用完全平方公式和单项式乘以多项式法则展开，再合并，最后代入求值即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， ， 当，时， 原式． 17. 某校开展“校园科技节”活动，活动包括机器人设计、计算机编程两个项目．为了了解学生的计算机编程水平，从全校学生的计算机编程成绩中随机抽取部分学生的成绩（成绩为百分制，用x表示），并将其分成如下四组：，，，． 下面是抽取学生成绩的部分信息． a．的成绩为：81，81，82，82，83，83，84，84，84，85，86，86，86，87，88，88，88，89，89，89． b．计算机编程成绩的频数分布直方图如图所示． 根据以上信息解决下列问题： （1）所抽取学生的计算机编程成绩的中位数是 分； （2）请估计全校800名学生中计算机编程成绩不低于80分的人数； （3）根据活动要求，学校将机器人设计成绩、计算机编程成绩按的比例确定这次活动各人的综合成绩，其中甲、乙两位学生的成绩如表： 机器人设计 计算机编程 甲的成绩 94 90 乙的成绩 90 95 通过计算说明甲、乙两位同学中谁的综合成绩更高？ 【答案】（1）83； （2）（人）； （3）甲的综合成绩比乙高． 【解析】 【分析】本题考查的是频数分布直方图，中位数，利用样本估计总体，加权平均数，掌握基础的统计知识是解本题的感觉． （1）先求解总人数，根据中位数的含义确定第25个，第26个数据的平均数即可得到中位数； （2）由总人数乘以80分（含80以上）的人数百分比即可得到答案； （3）根据加权平均数公式分别计算甲，乙二人成绩，再比较即可． 【小问1详解】 解：总人数为：（人） ∴50个成绩按照从小到大排列后，排在第25个，第26个数据分别是：83，83； ∴中位数为， 故答案为：83； 【小问2详解】 解：（人） 答：全校800名学生的计算机编程成绩不低于80分的人数为480人； 【小问3详解】 解：甲的成绩为（分）， 乙的成绩为（分）． ∵， ∴甲的综合成绩比乙高． 18. 根据收集的素材，探索完成任务． 探究太阳能热水器的安装 素材一 太阳能热水器是利用绿色能源造福人类的一项发明．某品牌热水器主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方，才能保证使用效果，否则不予安装． 素材二 某市位于北半球，太阳光线与水平线的夹角为α，冬至日时，；夏至日时，． ，， ，， ，， ，， 素材三 如图，该市甲楼位于乙楼正南方向，两楼东西两侧都无法获得太阳光照射．现准备在乙楼南面墙上安装该品牌太阳能板．已知两楼间距为54米，甲楼共11层，乙楼共15层，一层从地面起，每层楼高皆为3.3米，为某时刻的太阳光线． 问题解决 任务一 确定使用数据 要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，应选择________日（填冬至或夏至）时，α为________（填，，，中的一个）进行计算． 任务二 探究安装范围 利用任务一中选择的数据进行计算，确定乙楼中哪些楼层不能安装该品牌太阳能热水器． 【答案】任务一：冬至，；任务二：乙楼中7层（含7层）以下不能安装该品牌太阳能热水器 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，理解题意是解答的关键． 任务一：根据题意直接求解即可； 任务二：过E作于F，利用正切定义求得 【详解】解：任务一：根据题意，要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，只需为冬至日时的最小角度，即， 故答案为：冬至，； 任务二：过E作于F，则，米，， 在中，， ∴（米）， ∵（米）， ∴（米）， （层）， 答：乙楼中7层（含2层）以下不能安装该品牌太阳能热水器． 19. 如图，以BC为直径的⊙O交△ABC的边AB于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E，且AC＝BC． （1）求证：DE⊥AC； （2）若BC＝4cm，AD＝3cm，求AE的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）如图所示，连接OD，证明∠A=∠ODB，得到，再由DE是圆O的切线，即可得到∠DEA=∠ODE=90°，即DE⊥AC； （2）如图所示，连接OD，CD，由BC是圆O的直径，推出∠AED=∠ADC，即可证明△ADE∽△ACD，得到由此求解即可， 【小问1详解】 解：如图所示，连接OD， ∵OD=OB， ∴∠B=∠ODB， ∵AC=BC， ∴∠A=∠B， ∴∠A=∠ODB， ∴， ∵DE是圆O的切线， ∴∠ODE=90°， ∴∠DEA=∠ODE=90°，即DE⊥AC； 【小问2详解】 解：如图所示，连接OD，CD， ∵BC是圆O的直径， ∴∠BDC=90°， ∴∠ADC=90° ∴∠AED=∠ADC， 又∵∠A=∠A， ∴△ADE∽△ACD， ∴， ∵AC＝BC，BC＝4cm， ∴AC＝4cm， 即， ∴． 【点睛】本题主要考查圆切线的性质，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，平行线的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键． 20. 如图所示，双曲线 （）经过点 和点 ，经过双曲线上的点且平行于的直线与轴交于点，点在点左上方，设为轴、直线、双曲线 （）及线段之间的部分 （阴影部分），解决下列关于（不包括边界）内的整点（横、纵坐标都为整数）问题： （1）G内整点最多有 个； （2）若G内整点的个数为4，求点B的纵坐标m的取值范围． 【答案】（1）5个； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，结合图形求解是解题关键． （1）取点，观察函数图象，数出整点个数，即可求解； （2）根据题意求得的解析式，根据平行于，设的解析式为，根据内整点的个数为，找到特殊点，，待定系数法的求得的值，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，取点， ∵双曲线 （）经过点 点 ， ∴，反比例函数解析式为， ∴， 当点在的左侧时， 内整点的个数最多有共5个点 故答案为：． 【小问2详解】 ∵，设直线的解析式为，则 ∴， ∵平行于 设的解析式为 若内整点的个数为，则点在点的右侧，或与点重合，即 当经过点时，，解得： 当经过点时，，解得： ∵整点有4个，则不经过 ∴ 故答案为：． 21. “双减”政策受到各地教育部门的积极响应，学校为增加学生的课外活动实践，现决定增购两种体育器材：购买3件A种器材、4件B种器材需要180元，购买4件A种器材、3件B种器材需要170元． （1）购买一件A种器材和一件B种器材各需要多少元？ （2）今年计划购买A、B两种体育器材共40件，且A种器材的数量不超过B种器材数量的3倍，那么购买A种器材和B种器材各多少件时花费最少？最少花费为多少元？ 【答案】（1）购买一件A种器材需要20元，购买一件B种器材需要30元 （2）购买A种器材30件，购买B种器材10件时花费最少，最少花费为900元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式和一次函数的应用，理解题意并根据题意建立关系式是解题的关键． （1）购买一件A种器材需要x元，购买一件B种器材需要y元，根据“买3件A种器材、4件B种器材需要180元，购买4件A种器材、3件B种器材需要170元”列二元一次方程组，求解即可； （2）设购买A种器材a件，根据“A种器材的数量不超过B种器材数量的3倍”列一元一次不等式求自变量的取值范围，然后根据一次函数的增减性求解即可． 【小问1详解】 设购买一件A种器材需要x元，购买一件B种器材需要y元 由题意得：，解得： 答：设购买一件A种器材需要20元，购买一件B种器材需要30元． 小问2详解】 设购买A种器材a件，则购买B种器材件，总费用为w元． 由题意得：，解得：， 由题意得：， ∵，∴w随a的增大而减小， ∴当时，w的值最小，． 答：购买A种器材30件，购买B种器材10件时花费最少，最少花费为900元． 22. 一次足球训练中，小华从球门正前方的A处射门，足球射向球门的运行路线呈抛物线，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高OB为，现以O为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求出抛物线的函数解析式并说明此次射门在不受干扰的情况下能否进球； （2）若防守队员小明跳起后能摸到的最大高度为2.25米，他此时站在离球门3米远的位置，求小明至少后退多少米才能防守住这次射门？ （3）在射门路线形状、最大高度均保持不变情况下，适当靠近球门进球的把握会更大，小华决定将足球向球门方向移动一定距离后再射门，他最多可以向球门移动__________．（填序号即可，） ①； ②； ③． 【答案】（1），此次射门在不受干扰情况下能进球 （2）小明至少后退才可能防守住这次射门 （3）② 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的实际应用，二次函数的平移，根据抛物线的顶点式设出解析式是解题的关键． （1）根据题意设抛物线为．将代入解析式得到，令，得到，即可解题； （2）根据小明的最大起跳高度是，代入解析式求解，即可解题； （3）根据题意设小华带球向正前方移动b m，得到移动后的解析式为．将B代入求解，即可解题． 【小问1详解】 解：由题意，抛物线的顶点为， 可设抛物线为． 又抛物线过， ． ． 所求抛物线为． 又令， ． 此次射门在不受干扰的情况下能进球． 【小问2详解】 解：由题意，结合（1）， 抛物线的解析为， 又小明的最大起跳高度是， ． 或． 小明需要站在抛物线左侧防守， ， m,即小明至少后退才可能防守住这次射门． 【小问3详解】 解：由题意，设小华带球向正前方移动b m， 移动后的解析式为． 又B为， ． 或2.4（，舍去）． 小华最多可以向球门移动约． 故答案为：②． 23. 综合与实践 【问题发现】（1）如图1，在正方形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，连接， ①求证：． ②当正方形的边长为，时，则__________． 【类比探究】（2）如图2，在矩形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，且，连接，求的值． 【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，将E改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点M，连接．若，则当是直角三角形时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）①见解析②（2）（3）的长为或 【解析】 【分析】（1）①由证明，可得结论； ②先求出，利用全等得出，根据勾股定理求出结论即可； （2）通过证明，可得； （3）求出，设则，分三种情况解答，由勾股定理建立方程即可求出答案． 【详解】（1）①证明：四边形是正方形， ，，， ，， ， ，， ， ； ②四边形正方形， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 故答案为：； （2）解：，， ， 根据直径所对的圆周角是，可得点，点，点，点在为直径的圆上， 点，点，点，点四点共圆， ， ， ，， ， ， ， ， ； （3）解：①当在线段上时，由（2）知：， ， ， M为斜边的中点， ， 由（2）知， ， ， ∴当是直角三角形时，只能是，此时， ， ， 设，则， ，， ， ， ， ， ， 或， 当时，，不符合题设，舍去， ∴此时； ②如图，当在延长线上时， 同（2）可证：， ∴， ， ， 同（3）①可证：， ∴当是直角三角形时，只能是，此时， ， ， 设，则， ， ， ， 或， 当时，，不符合题设，舍去； ∴此时； ③如图，当点在延长线上时， 同（2）可证：， ∴， ， ， 同（3）①可证：， ∴当是直角三角形时，只能是，此时， ， ， 设，则， ， ， ， ， 或，均不符合题设，舍去； 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，同弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $