2025--2026学年沪科版数学八年级下册暑期巩固 专题6勾股定理的逆定理

**基本信息** 以“概念理解-应用求解-综合拓展”为主线，系统构建勾股定理逆定理的判断方法、应用技巧及与勾股定理的综合运用体系，强化逻辑推理与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |判断三边能否构成直角三角形|6题|两短边平方和与长边平方比较法；斜边分类讨论|从逆定理概念出发，通过数式验证巩固判定逻辑| |利用逆定理求解|5题|比例设元法；方程思想求边长|结合代数运算深化逆定理工具性，培养运算能力| |综合运用|5题|辅助线分割图形（连AC）；双定理联用|从三角形到四边形，构建“判定-计算-应用”链条，发展空间观念| |勾股数|4题|正整数条件筛选法；三维勾股数规律探究|拓展数与形的联系，提升抽象能力与创新意识|

沪科版（2024）八年级下册暑期巩固 专题6勾股定理的逆定理 目录 判断三边能否构成直角三角形 1 利用勾股定理的逆定理求解 2 勾股定理与勾股定理逆定理的综合运用 2 勾股数 4 判断三边能否构成直角三角形 1、判断下列三条线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形的是(　　) A.a＝4，b＝5，c＝3 B.a＝7，b＝25，c＝24 C.a＝40，b＝50，c＝60 D.a＝5，b＝12，c＝13 2、下列说法中，正确的有（   ） ①如果是直角三角形，那么 一定成立； ②如果不是直角三角形，那么 ③中，如果 那么是直角三角形； ④中， 如果 ，那么不是直角三角形. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3、以下各组数为三角形的三条边长，其中能作成直角三角形的是（ ） A.2，，4 B.4，5，6 C.2，3，4 D.1，， 4、在△ABC中，， ，，则△ABC是         三角形．. 5、若，，之间满足的等量关系是，则边长为，，的三角形是        ． 6、已知：如图，最大正方形的面积等于较小两个正方形面积的和． 求证：这三个正方形的边构成的是直角三角形． 利用勾股定理的逆定理求解 1、如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积是（ ） A. B. C. D. 2、已知：在中，，则的面积是（      ） A.4 B.5 C.6 D.7 3、勾股定理的逆定理的具体内容是                       ． 4、一个三角形的三边长的比为，且其周长为，则其面积为     ． 5、已知：△ABC中 AB=5，BC=2a+1，AC=12 （1） 求a的取值范围 （2） 如果a=6 那么请判断：△ABC是什么三角形？（友情提示：可以按角分类或按边分类） 勾股定理与勾股定理逆定理的综合运用 1、如图，李伯伯家有一块四边形田地，其中，，，，，则这块地的面积为（    ）    A. B. C. D. 2、某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形土地时，在BC上有一处古建筑D，使得BC的长不能直接测出，工作人员测得AB＝130米，AD＝120米，BD＝50米，在测出AC＝150米后，测量工具坏了，使得DC的长无法测出，请你想办法求出BC的长度为（　　） A.90米 B.120米 C.140米 D.150米 3、如图，一块四边形，已知，则这块地的面积为（    ）． A.24 B.30 C.48 D.60 4、禅城区某一中学现有一块空地ABCD如图所示，现计划在空地上种草皮，经测量，，若每种植1平方米草皮需要300元，总共需投入      元 5、如图，CD⊥AD，AB＝13，BC＝12，DC＝3，AD＝4，求由线段AB，BC，CD，DA围成的封闭图形的面积． 勾股数 1、若3、4、为勾股数，则a的值为（    ） A.－5 B.5 C.－5或 D.5或 2、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中，，，，则下列判断错误的是（    ） A. B. C. D. 3、若a，12，13是一组勾股数，则          ． 4、我们把满足方程的正整数，，，称之为“三维勾股数”，如：①，，，；②，，，；③，，，；④，，，；… （1）已知，，，是“三维勾股数”，请求出，的值． （2）若，，，是三维勾股数（为正整数），请直接用含的式子分别表示，． 沪科版（2024）八年级下册暑期巩固 专题6勾股定理的逆定理 判断三边能否构成直角三角形 1、判断下列三条线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形的是(　　) A.a＝4，b＝5，c＝3 B.a＝7，b＝25，c＝24 C.a＝40，b＝50，c＝60 D.a＝5，b＝12，c＝13 【答案】C 【解析】解：A、∵32+42=52，∴由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形，故本选项错误； B、∵72+242=252，∴由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形，故本选项错误； C、∵402+502≠602，∴由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形，故本选项正确； D、∵52+122=132，∴由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形，故本选项错误． 故选C． 2、下列说法中，正确的有（   ） ①如果是直角三角形，那么 一定成立； ②如果不是直角三角形，那么 ③中，如果 那么是直角三角形； ④中， 如果 ，那么不是直角三角形. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【解析】①如果是直角三角形，且是斜边，那么一定成立；故①不正确； ②不是直角三角形，则任何两边的平方和都不等于第三边的平方，故②正确； ③， ， 是直角三角形，故③正确； ④中，如果，且是最长边，那么不是直角三角形，故④不正确； 综上所述，正确的说法有2个， 故选：B． 3、以下各组数为三角形的三条边长，其中能作成直角三角形的是（ ） A.2，，4 B.4，5，6 C.2，3，4 D.1，， 【答案】D 【解析】解：A、∵22+（）2=6≠42，故此选项错误； B、∵42+52=41≠62，故此选项错误； C、∵22+32=13≠42，故此选项错误； D、∵12+（）2=3=（）2，故此选项正确． 故选D． 4、在△ABC中，， ，，则△ABC是         三角形．. 【答案】直角 【解析】∵32+72=58， ∴a2+b2=c2， ∴△ABC是直角三角形. 故答案为直角. 5、若，，之间满足的等量关系是，则边长为，，的三角形是        ． 【答案】直角三角形 【解析】因为， 所以边长为6，8，10的三角形是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 6、已知：如图，最大正方形的面积等于较小两个正方形面积的和． 求证：这三个正方形的边构成的是直角三角形． 【答案】∵最大正方形的面积等于较小两个正方形面积的和 ∴ ∴是直角三角形． 利用勾股定理的逆定理求解 1、如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：如图，连接AC． 在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=2， ∵AC2+CD2=AD2， ∴△CDA也为直角三角形， ∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB×BC+AC×CD=． 故四边形ABCD的面积是．故选B. 2、已知：在中，，则的面积是（      ） A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】C 【解析】∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴的面积是：． 故选：C． 3、勾股定理的逆定理的具体内容是                       ． 【答案】在一个三角形中，如果两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 【解析】勾股定理的逆定理的内容为：在一个三角形中，如果两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 故答案为：在一个三角形中，如果两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 4、一个三角形的三边长的比为，且其周长为，则其面积为     ． 【答案】/150平方厘米 【解析】三角形的三边长的比为， 设三角形的三边长分别为，，． 其周长为， ，解得， 三角形的三边长分别是15，20，25． ， 此三角形是直角三角形， ． 故答案为：． 5、已知：△ABC中 AB=5，BC=2a+1，AC=12 （1） 求a的取值范围 （2） 如果a=6 那么请判断：△ABC是什么三角形？（友情提示：可以按角分类或按边分类） 【答案】（1）解：∵△ABC中，AB＝5，BC＝2a＋1，AC＝12， ∴2a＋1＞12−5，2a＋1＜12＋5， 解得3＜a＜8； （2）解：当a＝6时，△ABC的三边分别是5、12、13， ∵52＋122＝25＋144＝169＝132，即AB2＋AC2＝BC2， ∴△ABC是直角三角形（或不等边三角形）． 勾股定理与勾股定理逆定理的综合运用 1、如图，李伯伯家有一块四边形田地，其中，，，，，则这块地的面积为（    ）    A. B. C. D. 【答案】A 【解析】连接，则在中，    ∵， ， 在中，，， ， ， ． 故答案为：A． 2、某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形土地时，在BC上有一处古建筑D，使得BC的长不能直接测出，工作人员测得AB＝130米，AD＝120米，BD＝50米，在测出AC＝150米后，测量工具坏了，使得DC的长无法测出，请你想办法求出BC的长度为（　　） A.90米 B.120米 C.140米 D.150米 【答案】C 【解析】如图，在，， ， ，即， 在中，AC=150，， ∴BC=BD+DC=50+90=140 故选：C． 3、如图，一块四边形，已知，则这块地的面积为（    ）． A.24 B.30 C.48 D.60 【答案】A 【解析】连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴这块地的面积为：， 故选：A． 4、禅城区某一中学现有一块空地ABCD如图所示，现计划在空地上种草皮，经测量，，若每种植1平方米草皮需要300元，总共需投入      元 【答案】10800 【解析】在中， ∵， ∴AC=5． 在中，，， 而， 即， ∴， 即： =． 所以需费用：（元）． 故答案为10800． 5、如图，CD⊥AD，AB＝13，BC＝12，DC＝3，AD＝4，求由线段AB，BC，CD，DA围成的封闭图形的面积． 【答案】解：连接AC，如图所示， ∵DC＝3，AD＝4，CD⊥AD， ∴AC＝＝＝5， ∵AB＝13，BC＝12， ∴AC2+BC2＝52+122＝132＝AB2， ∴△ACB是直角三角形，∠ACB＝90°， ∴由线段AB，BC，CD，DA围成的封闭图形的面积是： ＝＝30﹣6＝24， 即由线段AB，BC，CD，DA围成的封闭图形的面积是24． 勾股数 1、若3、4、为勾股数，则a的值为（    ） A.－5 B.5 C.－5或 D.5或 【答案】B 【解析】∵3、4、a为勾股数， 当4为直角边时， ∴a==5， 当4为斜边时， ∴a==，不是整数，舍去， 故选：B． 2、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中，，，，则下列判断错误的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：根据勾股定理得到：C与D的面积的和是F的面积；A与B的面积的和是E的面积；而E，F的面积的和是M的面积． 即A、B、C、D的面积之和为M的面积． ∴SE＝18，SF＝13，SM＝10+8+9+4＝31，故A、B、C选项正确， ∴SM－SE＝13，故D选项错误， 故选：D． 3、若a，12，13是一组勾股数，则          ． 【答案】5 【解析】解：①a为最长边， ，a不是整数，不能构成勾股数，不符合题意． ②13为最长边， ，三边都是正整数，符合题意； 故答案为5． 4、我们把满足方程的正整数，，，称之为“三维勾股数”，如：①，，，；②，，，；③，，，；④，，，；… （1）已知，，，是“三维勾股数”，请求出，的值． （2）若，，，是三维勾股数（为正整数），请直接用含的式子分别表示，． 【答案】（1） ，，，是“三维勾股数”， ， ， 由已知数据可知，第一个数比第四个数小2，且第一个数与第四个数的和是中间两数的积， ，且为正整数， ， 解得， （2）， ， 即， 令， 解得， ． 学科网（北京）股份有限公司 $