专题突破与巩固(3) 勾股定理及其逆定理-【锦上添花】2025-2026学年八年级下册数学期末卷（沪科版·新教材）

》数学·八年级下 高升无航 专题突破与巩固（三） 做好题考高分 勾股定理及其逆定理 时间：120分钟 满分：150分 弥 题号 四 五 六 七 八 总分 得分 一 、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分.每小题都 r 封 给出A,B,C,D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的) 1.将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是 ) A.2,3,4 B.5,12,13 C.8,16,17 D.12,18,22 线 2.如图，古代埃及人用如图的方法画直角，把一根长绳打上等距 离的结，最后一个结与打的第一个结重合，这个结应标的数字 是 ( A.12 B.13 C.14 D.15 救 内 1 2 3 4567 8 B水平面 第2题图 第5题图 第7题图 不 3.在Rt△ABC中，斜边BC=4,则AB2+BC2+AC2的值为( A.12 B.22 C.32 D.无法计算 4.下列各图是以直角三角形各边为边，在三角形外部画正方形 得到的，每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积， 得 其中S的值恰好等于10的是 答 A B C D 5.如图，将长为8cm的橡皮筋放置在水平面上，固定两端A和 B,然后把中点C垂直向上拉升3cm至点D,则橡皮筋被拉长 荞 了 ( ) A.2 cm B.3 cm C.4cm D.6 cm 题 6.在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且(a+c)(a- c)=b2,则 2A可 A.∠A为直角 B.∠B为直角 C.∠C为直角 D.∠A是锐角 7.如图，将一扇卷闸门用一块两直角边分别为12cm和5cm的 直角三角形木板撑住，用这块木板最多可将这扇卷闸门撑起 A.5 cm B.7cm C.12 cm D.13 cm 8.直角三角形中，斜边长为10cm,周长为24cm,则它的面积 为 () A.12 cm2 B.24 cm2 C.30 cm2 D.30 cm2 9.如图，圆柱形玻璃杯，高为8dm,底面周长为30dm,在杯外壁 点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁的A处，则蚂 蚁到达蜂蜜的最短距离是 A.15 dm B.17 dm C.19 dm D.23 dm 10.《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去 阃（读kǔn,门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题 目大意是：如图1,2（图2为图1的平面示意图），推开双门， 双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为 1尺(1尺=10寸)，则AB的长是 ) 2寸 DC C 门槛B B 0 图1 图2 A.50.5寸 B.52寸 C.101寸 D.104寸 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）》 11.直角三角形两直角边分别为6cm,8cm,那么这个直角三角 形的斜边长为 cm. 12.如图，在正方形网格中，A,B,C,P是网格线的交点，且点P在 △ABC的边AC上，则∠PAB+∠PBA= 0 D 第12题图 第13题图 13.我国是最早了解勾股定理的国家之一，在《周髀算经》中记载 了勾股定理的公式与证明，相传是由商高发现，故又称之为 “商高定理”.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角 形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面 积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两条直角边长分 别为m,n,则mn= 14.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,BC=16,D是 AC上的一点，CD=3,点P从B点出发沿射线BC方向以每秒 2个单位的速度向右运动.设点P的运动时间为t,连接AP. (1)当t=3秒时，求AP= (2)过点D作DE LAP于点E.在点P的运动过程中，当t= 时，能使DE=CD. 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.如图，在△ABC中，CD⊥AB,垂足为D.AD=1,BD=4,CD= 2.求证：∠ACB=90°. 16.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C的边分别为a,b,c. (1)若a=8,b=15,求c; (2)若a:b=3:4,c=10,求a,b的值. 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.在△ABC中，a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n>1),试证明 △ABC为直角三角形. 18.如图，四边形ABCD中，AB=20,BC=15,CD=7,AD=24, ∠B=90. (1)∠D=90吗？请说明理由； (2)求四边形ABCD的面积. D 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.某条高速公路限速100km/h,如图，一辆大巴车在这条道路 上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪C处 的正前方50m的B处，过了4s,大巴车到达A处，此时测得 大巴车与车速检测仪间的距离为130m.问题：这辆大巴车超 速了吗？ --B 检测仪 20.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4,AB=45 (1)求BC的长度； (2)D是BC上的一点，并且AD=DB,求BD的长， 六、（本题满分12分） 21.在“欢乐周末·非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮 相，让过往游客、市民看花了眼、“迷”住了心.小明买了一个 年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下 的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离BD为15m;根据手 中余线长度，计算出AC的长度为17m;牵线放风筝的手到地 面的距离AB为1.5m.已知点A,B,C,D在同一平面内. (1)求风筝离地面的垂直高度CD; (2)在余线仅剩7.5m的情况下，若想要风筝沿射线DC方向 再上升12m,请问能否成功？请运用数学知识说明. 七、（本题满分12分） 22.如图，一根直立的旗杆高8m,因刮大风旗杆从点C处折断， 顶部B着地且离旗杆底部A的距离为4m. (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1.25m的 点P处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点P处吹 断，在距离旗杆底部5米处是否有被砸伤的风险？ 八、（本题满分14分） 23.【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图1），其中四个直角三角形较大的直角 边长都为a,较小的直角边长都为b,斜边长都为c,大正方形 的面积可以表示为c,也可以表示为4×2b+(0-b)2,由 弥 此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为 a,b,斜边长为c,则a2+b2=c2. 【探索求证】 (1)古今中外，勾股定理有很多种证明方法，如图2，Rt△ADE封 与Rt△EBC按如图所示位置放置，连接CD,其中∠A= ∠B=∠DEC=90°，请你利用图2推导勾股定理； 【问题解决】 (2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C,河边原 1 有两个取水点A,B,其中AB=AC,由于某种原因，由C到线 A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新 建一个取水点H(A,H,B在同一条直线上)，并新修一条 路CH,且CH⊥AB.测得CH=2.4千米，HB=1.8千米，求 新路CH比原路CA少多少千米？ 【延伸扩展】 内 (3)在第(2)问中若AB≠AC时，CH⊥AB,AC=5,BC=6, AB=7,设AH=x,求x的值， 不 图3 得 答 ! 题® 参考答案 专题突破与巩固（一） 1.A2.B3.D4.A5.B6.C7.B8.B9.C 10.A【解析】由条件可知两个阴影小正方形的边长分别是 √28cm=2,√7cm,V√50cm=5,√2cm,∴.大正方形的边 长是(2万+5√2)cm,.大正方形的面积是(2√万+ 52)2=(78+20√14)cm2,.余下部分的面积=大正方 形的面积-阴影部分的面积=(78+20√14)-28-50 =20√14(cm2).故选：A. 11.8(答案不唯一)12.-√213.② 14.(1)22(2)-2 15.解：原式=3+3-√2-7=-2-1. 16.解：由数轴可知，-2<a<-1,2<b<3,.a+1<0,a+b >0,b-3<0,.原式=√(a+1)2+|a+b1+ √(b-3)2=|a+1+(a+b)+(3-b)=-a-1+a+b +3-b=2. 17.解：任务一：①； 任务二：原式=(3)2+23+(5)2-25+1=3+25 +3-25+1=7. 18.解：最简二次根式√3a+4与√19-2a是同类二次根 式，∴.3a+4=19-2a,解得a=3,.√4×3-3x+ √y-3=0,即√12-3x+√y-3=0,:√12-3x≥0， /y-3≥0，∴.12-3x=0,y-3=0,解得x=4,y=3, √xy=√4×3=√12=23 2x45=5=3. 19.解：(1)将h=45代入，得1=√20 答：从45m高空抛物到落地的时间t为3s; (2)将1=4代入，得√需=4，解得A=80 答：玩具抛出前离地面的高度h为80m. 20.解：(1)根据题意，得c-3≥0,3-c≥0，∴.c=3, .a-√2+√b-2=0,则a-V2=0,b-2=0,∴.a= 2,b=2; (2)当a是腰长，b是底边，2+√2>2，能构成三角形，则 等腰三角形的周长为2+2+2=2√2+2；当b是腰长， a是底边，2+2>2，能构成三角形，则等腰三角形的周 长为2+2+2=√2+4. 21.解：(1)3-√5，-2-√2： (2)m+5与5-√5是关于3的平衡数.理由如下：由题 意，得(m+5)(1-√5)=m-5m+5-5=(m-5)+ (-m+1)5,:(m+5)(1-5)=-7+3√5，.-7+ 35=(m-5)+(-m+1)5,.m-5=-7,.m=-2, .m+√5=-2+5，则-2+5+5-5=3，.m+√5与 5-√5是关于3的平衡数； (3)13. 2.解：(1)1+ 1 1 后+15+5t万+5+…++丽 月-145-5+万，5+…+2四=3× 2 2 2. 2 (5-1+5-万+…+11-9)=分×(-1+1四 =5; 2+1 (2)0:a2-i(2-1)(2+1 =2+1,a-1= 2,.(a-1)2=a2-2a+1=2,.a2-2a=1,.3a2-6a =3,∴.3a2-6a+2=5; ②1,3； 23.獬：(1)√4+23=√(3)2+23+12=√(3+1)2 =3+1; (2)√9-45=√(5)2-45+22=√(5-2)2=√5 -2; (3)(x+5y)2=x2+25xy+3y2,a+105=(x+5y)2, ÷a+103=2+23g+3列，{0，即 可aay为正整数{化时或化i当 Lxy=5, 时a=+3y=P+3x5=76:当时a= x2+3y2=52+3×12=28.综上所述，a的值为76或28. 专题突破与巩固（二） 1.B2.A3.B4.D5.B6.B7.C8.C9.A 10.B【解析】①根据根的判别式可知：若a+b+c=0,则方 程有一个根为x=1,则b2-4ac≥0，故①正确；②若方程 ax2+c=0有两个不相等的实根，则-4ac>0,则ax2+bx +c=0的判别式为b2-4ac>0,.方程ax2+bx+c=0必 有两个不相等的实根，故②正确；③若c是方程ax+bx +c=0的一个根，则ac2+bc+c=0,当c≠0时，ac+b+1 =0,故③错误；④若x。是一元二次方程的根，则。= -b±Y8=4ac,.2ao+b=±VB-4ac,B-4ac= 2a (2ax+b)2,故④正确.综上所述，正确的结论有①②④. 故选：B 11.a≠112.2(x-1)=4513.1 14.(1)x1=0,x2=2(2)x1=4,x2=-2【解析】(1)x2 -2x=max{0,-1}=0,.x2-2x=0,即x(x-2)=0,解 得名=0,6=2：(2)当2x+8>-,即x>-号时，mm {2x+8,-x}=2x+8,.2x+8=x2,即(x-4)(x+2)= 0,解得=4，=-2：当2x+8≤-，即≤-号时， mx{2x+8,-x}=-x,∴.-x=x2,即x(x+1)=0,解得 x1=0,x2=-1;不符合题意，舍去，综上所述，方程的解为 x1=4,x2=-2.故答案为：(1)x1=0,x2=2(2)x1=4, x2=-2. 15.解：提取公因式，得x(x-4)=0,因此，有x=0或x-4= 0,所以原方程的根是x1=0或x2=4. 16.解：：m是关于x的一元二次方程x2-7x+9=0的根， ∴.m2-7m+9=0,.m2-7m=-9,∴.(m+4)(m-4)- 7(m-1)=m2-16-7m+7=m2-7m-9=-9-9= -18. 17.解：设该水果店2、3月份的销售利润月平均增长率为x. 根据题意，得2(1+x)2=45.整理，得(1+)2=是解 方程，得名=分。=一子名=一多不合题意所以x 2=50%. 1 答：该水果店2、3月份的销售利润月平均增长率是50%， 18解：由根与系数的关系，得名+名=-子=-2， (①)原式=x西+x+3+1=二号-2+1=-号影 (2)原式=+华=-2=4 3=3 10=x,解得x=101故门的宽度（两扇门的和）AB为： 2 2 20A=2×101=101(寸).故选：C. 19.解：(1)证明：m≠0，.方程mx2+(m-3)x-3=0(m 2 ≠0)是关于x的一元二次方程，.△=(m-3)2-4m· 11.1012.45°13.1214.(1)241(2)5或11 (-3)=(m+3)2,(m+3)2≥0，即△≥0，.方程总有 15.证明：.CD⊥AB,所以∠ADC=∠BDC=90°，.AD=1, 两个实数根； BD=4,CD=2,∴.根据勾股定理，得AC2=AD2+CD=12+ (2)x=二（m-3》法(m+3》,=a名=-1，m 22=5,BC=CD+BD2=22+42=20,AB=AD+BD=1+ 2m 4=5,.AB2=25,.AC+BC2=AB2,.△ABC是直角三 为正整数，且方程的两个根均为整数，.m=1或3. 角形，.∠ACB=90° 20.解：(1)设AB=x米，则BC=(36+2-2x)米.根据题意， 16.解：(1)根据勾股定理，得c2=a2+62=82+152=289, 得x(38-2x)=180,解得x1=10,x2=9;当x=10,38-2x 172=289,.c=17; =18(米)；当x=9,38-2x=20(米)，而墙长18m,不合 (2)a:b=3:4,设a=3x,则b=4x,根据勾股定理，得 题意舍去. c2=a2+b2=(3x)2+(4x)2=25x2=(5x)2,.c=5x=10, 答：若围成的面积为180m2,自行车车棚的长为18米，宽 ∴.x=2,∴.a=3x=6,b=4x=8. 为10米； 17.证明：a2=(n2-1)2=m4-2n2+1,b2=4n2,c2=(n2+ (2)不能围成面积为200m2的自行车车棚.理由如下：根 1)2=n4+2n2+1,.a2+b2=n-2n2+1+4n2=n+2n 据题意，得x(38-2x)=200,整理，得x2-19x+100=0, +1=c2,.△ABC为直角三角形. △=(-19)2-4×100=-39<0，.方程无实数根， 18.解：(1)∠D=90°.理由如下：连接AC,图略，.·∠B=90° .∴.不能围成面积为200m2的自行车车棚： AB=20,BC=15,CD=7,AD=24,∴.在Rt△ABC中，AC 21.解：(1)由条件可知△=（-√17)2-4×1×4=1，.x= =AB2+BC=202+152=625,CD2=72=49,AD2=242= 2x,s+ /17±√1 2 ,为=7-1 576,.AC2=AD2+CD2,.△ADC是以AC为斜边的直角 .x1-x2= 2 三角形，∴.∠D=90°； 而+1_7-1=1，.方程x2-√7x+4=0是“邻 (2)由(1)可知△ADC是直角三角形，∴.S网边形ABcD=S△ABc 2 2 +Se=7AB,BC+74D.GD=7x20x15+2× 根方程”； (2)x2-(k-3)x-3k=0,因式分解，得(x-)(x+3)= 24×7=150+84=234,∴.四边形ABCD的面积为234. 0,所以，有x-k=0或x+3=0,解得x1=k,x2=-3,由 19.解：由题意可知，BC=50m,AC=130m.∴.在Rt△ABC中 条件可知k-（-3)|=1,解得k=-4或-2，即k的值 根据勾股定理，得AB2+BC2=AC2,.AB2+502=1302,解 得AB=120,∴.大巴车的速度为120÷4=30m/s=108 为-4或-2. 22.解：(1)y2-y-2=0; km/h,:108km/h>100km/h,.大巴车超速了. 所以x=，把x= 20.解：（1)∠C=90°，AC=4,AB=45,.BC= (2)设所求方程的根是y,则y=- y √AB2-AC=√(45)2-42=8，即BC的长为8； 代人方程2x2-7x+3=0,得2 -7.1 +3=0,化 (2)设AD=DB=x,由(1)知，BC=8,则DC=8-x,:∠C= 90°，AC=4,∴.在Rt△ACD中，根据勾股定理，得AD2=CD 简，得3y2-7y+2=0; +AC,x2=(8-x)2+4,解得x=5,即BD的长为5. (3)一元二次方程整理后，可得a(y-1)2+b(y-1)+c 21.解：(1)过点A作AE⊥CD于点E,图略，则AE=BD= =0,令y-1=x,.y=x+1,则方程a(y-1)2+b(y- 15m,AB=ED=1.5m,∠AEC=90°，在Rt△AEC中，根 1)+c=0的两根比ax2+bx+c=0(a≠0)两根大1，所以 据勾股定理，得CE2=AC2-AE2=17-152=64,.CE= 方程a(y-1)2+b(y-1)+c=0的两根分别是4，-1. 8,.CD=CE+ED=8+1.5=9.5(m). 23.解：(1)设剪去的小正方形的边长为xcm,则该收纳盒的 答：风筝离地面的垂直高度CD为9.5m; 底面是长为(100-2x)cm,宽为(40-2x)cm的长方形. (2)不能成功.假设能上升12m,如图，延长DC至点F,使 根据题意，得(100-2x)(40-2x)=1216.整理，得x2 CF=12m,连接AF,∴.EF=CE+CF=8+12=20(m),在 70x+696=0.解方程，得x1=12,x2=58.x2=58不合题 Rt△AEF中，根据勾股定理，得AF2=AE2+EF2=152+202 意，所以x=12. =625,.AF=25,AC=17m,余线仅剩7.5m,∴.17+7.5 答：剪去的小正方形的边长为12cm; =24.5<25,∴.不能上升12m,即不能成功. (2)不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒.理由如下：设 剪去的小长方形的宽为ycm,则该收纳盒的底面是长为 100-2y=(50-y)cm,宽为(40-2y)cm.根据题意，得 2 (50-y)(40-2y)=702,整理得y2-70y+649=0,解得 y1=11,y2=59(不合题意，舍去)，.50-y=50-11=39, 40-2y=40-2×11=18,∴.折成的有盖的长方体收纳盒 A E Bh D 的长为39cm,宽为18cm,高为11cm,39>21,18=18, 22.解：(1)根据题意，得AC+BC=8m,:∠A=90°，设AC 11<15,∴.不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒。 长为xm,则BC长为(8-x)m,在Rt△ABC中，根据勾股 专题突破与巩固（三） 定理，得AB2+AC2=BC2,即42+x2=(8-x)2,解得x= 1.B2.B3.C4.D5.A6.A7.D8.B9.B 3,故旗杆在距地面3m处折断； 10.C【解析】设OA=OB=AD=BC=x寸，过点D作DE⊥ (2)如图，点P距地面AP=3-1.25=1.75(m),∴.B'P MB于E,图略，则DE=100E=201寸，AE=(x =8-1.75=6.25(m),在Rt△AB'P中，根据勾股定理， 得B'A2+AP2=B'P2,即BA2+1.752=6.252,解得B'A= -1)寸.在Rt△ADE中，AE+DE2=AD2,即(x-1)2+ 6,则距离旗杆底部周围6m的范围内有被砸伤的风险，