2025-2026学年沪科版八年级数学下册期末冲刺卷

**基本信息** 沪科版八年级数学期末卷，以文化传承（如马年纪念币、古算趣题）和生活实践（如风筝测量、粽子销售）为情境，通过动态几何、新定义问题等设计，考查抽象能力、推理意识与模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|实数运算、一元二次方程、多边形内角、统计|结合马年纪念币考多边形内角（文化情境）| |填空题|6/18|代数式求值、方程根的判别式、统计平均数、折叠问题|以简餐销售统计图考平均数（数据意识）| |解答题|8/72|勾股定理应用、动态几何、新定义探究、几何综合证明|粽子销售问题（模型观念）、等根值新定义（创新意识）|

2025-2026学年沪科版八年级数学下册期末冲刺卷 1、 单选题(本大题共10小题.每小题3分.共计30分) 1．在实数范围内，下列各式计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．若是一元二次方程的根，则代数式的值为（  ） A． B． C． D． 3．图1为中国人民银行于2025年11月26日发行的2026中国丙午（马）年贵金属纪念币中的一枚1公斤梅花形精制金质纪念币，它的轮廓可以近似看成如图2所示的图形．则图2中一个内角的度数为（     ） A． B． C． D． 4．李老师对本班名学生的A，B，O，四种血型作了统计，列出如下的统计表，则本班A型血的人数是（     ）个． 组别 A型 B型 型 O型 频数 频率 A．人 B．人 C．人 D．人 5．古算趣题：“笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭．有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足，借问竿长多少数，谁人算出我佩服．”若设竹竿的长为尺，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 6．已知整式，其中与为非负整数，为正整数，且，，下列说法： ①当时，满足条件的整式有3个； ②满足条件的所有整式中有4个单项式； ③当时，满足条件的所有整式的和再与整式相加后值为5． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．我们定义：．若，，则（   ） A．或 B．或 C．或 D． 8．如图，在的正方形网格图中，每个小正方形的顶点叫做格点，且每个小正方形的边长都是1个单位长度，以格点为顶点作三角形，下列说法错误的是（    ） A．可以画出三边长都是整数的直角三角形 B．可以画出三边长都是无理数的等腰直角三角形 C．可以画出三边长都是有理数的等边三角形 D．可以画出一个面积是8的正方形 9．如图，等腰直角的直角边长为1，正方形MNPQ的边长为2，C、M、A、N在同一条直线上，开始时点A与点M重合，让向右平移，当完全移出正方形MNPQ时停止，设三角形与正方形重合的面积为S，点A平移的距离为x，则S关于x的大致图象是（   ） A． B． C． D． 10．如图，在矩形中，，，点为边上一点，将翻折，使点落在边上的点处，折痕为．点为边上一点，将翻折，使点落在边上的点处，折痕为，则（     ） A． B．8 C． D． 二、填空题(本大题共6小题.每小题3分.共计18分) 11．已知，，则的值是______． 12．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是______． 13．某学校餐饮中心在课后服务时段，为学生提供三种简餐（每人限定一份），价格分别为10元，15元，20元.如图是该中心某日三种简餐销售情况统计图，则当日学生购买简餐费用的平均数为__________元． 14．若一元二次方程的两个根为，，则代数式的值为________． 15．如图，三角形纸片中，．沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则的长是__________． 16．如图，在正方形中，对角线与相交于点，点在上，且，延长交边于点，则的值为________． 三、解答题(本大题共8小题.每题9分.共计72分) 17．按要求解答问题： (1)计算：； (2)计算：； (3)解不等式组：． 18．小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 19．某景区管理处为了解景区的服务质量，现从该景区4月份的游客中随机抽取50人对景区的服务质量进行评分，评分结果用x表示（单位：分），将全部评分结果按以下五组进行整理，并绘制统计表，部分信息如下： 组别 A B C D E 分组 人数 3 3 17 a 10 请根据以上信息，完成下列问题： (1)________； (2)这50名游客对该景区服务质量评分的中位数落在________组； (3)若游客评分的平均数不低于75，则认定该景区的服务质量良好．分别用50，60，70，80，90作为A，B，C，D，E这五组评分的平均数，估计该景区4月份的服务质量是否良好，并说明理由． 20．每年的农历五月初五是端午节，有吃粽子（古称“角黍”）等习俗．某食品店零售单颗粽子．已知一个三角粽比一个牛角粽贵元，小杭曾在此食品店花元购买牛角粽的个数比花元购买三角粽的个数多个．现该食品店牛角粽已售完，食品店决定对剩余的三角粽打折出售．已知按原价出售，每天售出个三角粽，每降价元，每天多售出个． (1)求牛角粽的单价； (2)求现该食品店一天售出三角粽的数量（用含的代数式表示）； (3)若现该食品店一天实际销售额为元，求． 21．如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．    (1)用含t的式子表示______cm； (2)当t为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ 22．对于代数式，若存在实数n，使得当时，代数式的值等于n2，则称n为这个代数式的等根值．例如：对于代数式，当时，，因此0是该代数式的等根值． (1)基础计算 关于x的代数式的等根值是_____． (2)存在判断 关于x的代数式是否存在等根值？若有，请求出所有等根值；若没有，试说明理由． (3)综合应用 已知关于x的代数式． ①若此代数式仅有一个等根值，求实数k的值； ②若此代数式有两个不相等的等根值、，且为整数，求正整数k的所有可能值． 23．“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，阅读以下素材并解决问题． 素材一 【提出问题】求代数式的最小值． 素材二 【建立模型】如图1，可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，这时，问题就转为“在上求点B，使．最小”问题．    素材三 【解答过程】如图2，连接，交于点B，此时．的值最小，将延长至点H，使得，连接．∵，∴在中，，∴，∴的最小值是13．       (1)任务一：【解决问题】代数式的最小值为 ． (2)任务二：【知识运用】如图3，一条河的两岸平行，河宽，村庄A点到河岸的垂直距离为，村庄B点到河岸的垂直距离为，且点A，B到河岸的垂足之间的水平距离为．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从A到P，过桥，再从Q到B的路程最短，则最短路程为 ． (3)任务三：思维拓展：已知正数x满足，求x的值． 24．如图1，在等腰Rt中，点为斜边的中点，以点为顶点作直角交，于点，点，连接，相交于点． (1)求证：； (2)当时，求的值； (3)如图2，以为边在右侧作正方形，连接，若的面积为8，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年沪科版八年级数学下册期末冲刺卷 1、 单选题(本大题共10小题.每小题3分.共计30分) 1．在实数范围内，下列各式计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、在实数范围内，二次根式中被开方数须是非负数，无意义，错误，不符合题意； B、，错误，不符合题意； C、，错误，不符合题意； D、，正确，符合题意． 2．若是一元二次方程的根，则代数式的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简原方程，将代入方程得到关于的等式，变形求出，最后代入代数式计算结果． 【详解】解：，整理得：． ∵是该一元二次方程的根， ∴，移项得：， ∴． 3．图1为中国人民银行于2025年11月26日发行的2026中国丙午（马）年贵金属纪念币中的一枚1公斤梅花形精制金质纪念币，它的轮廓可以近似看成如图2所示的图形．则图2中一个内角的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正多边形内角和公式求解，即可解题． 【详解】解：由图知，该图形为正八边形，则图2中一个内角的度数为． 4．李老师对本班名学生的A，B，O，四种血型作了统计，列出如下的统计表，则本班A型血的人数是（     ）个． 组别 A型 B型 型 O型 频数 频率 A．人 B．人 C．人 D．人 【答案】A 【分析】利用所有分组的频率和为1，先求出O型血的频率，再计算A型血的频率，最后根据频数=总人数×频率得到A型血的人数. 【详解】∵本班总人数为，O型血的频数为， ∴O型血的频率为． ∵所有分组的频率和为， ∴A型血的频率， ∴本班A型血的人数为（人）． 5．古算趣题：“笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭．有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足，借问竿长多少数，谁人算出我佩服．”若设竹竿的长为尺，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题先根据题意得到门框的宽、高和对角线的长度，再利用勾股定理即可列出方程． 【详解】解：设竹竿的长为尺， ∵ 横放竹竿时比门框宽多尺， ∴ 门框的宽为尺， ∵ 竖放竹竿时比门框高多尺， ∴ 门框的高为尺， ∵ 斜放竹竿刚好顶住门框两个对角， ∴ 门框对角线长等于竹竿长尺， ∵ 门框是矩形，四个角为直角，根据勾股定理可得 ． 6．已知整式，其中与为非负整数，为正整数，且，，下列说法： ①当时，满足条件的整式有3个； ②满足条件的所有整式中有4个单项式； ③当时，满足条件的所有整式的和再与整式相加后值为5． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据题目条件，用枚举法分别判断三个说法的正误，结合整式化简求值得到结果。 【详解】解：已知条件：是非负整数，是正整数，且 。 判断①： 当时，共4个系数，若，最小和为，仅时有两组符合条件的系数： ，共2个整式，①错误； 判断②： 若是单项式，则仅有1个非零项，因均为正整数，仅存在两种情况：时（1个）， 时 （1个），共2个单项式，②错误； 判断③： 当时，枚举所有符合条件的系数组合： ， 所有整式的和， 加上得：总和 。 ， ，平方得， ， 代入得： ，③正确． 7．我们定义：．若，，则（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了新定义运算，一元二次方程解法，代数式求值，由题意得，，从而有，然后求出，的值，再代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得，则， 由题意得，则， ∴ ， ∴，，， 代入得：，，， ∴或， 故选：． 8．如图，在的正方形网格图中，每个小正方形的顶点叫做格点，且每个小正方形的边长都是1个单位长度，以格点为顶点作三角形，下列说法错误的是（    ） A．可以画出三边长都是整数的直角三角形 B．可以画出三边长都是无理数的等腰直角三角形 C．可以画出三边长都是有理数的等边三角形 D．可以画出一个面积是8的正方形 【答案】C 【分析】根据题意，画出图形进行解答即可． 【详解】解：A、可以画出三边长都是整数的直角三角形，如图，边长分别为3，4，5； B、可以画出三边长都是无理数的等腰直角三角形，如图，边长为、、 ； C、不可以画出三边长都是有理数的等边三角形； D、可以画出一个面积是8的正方形，边长为，如图， 9．如图，等腰直角的直角边长为1，正方形MNPQ的边长为2，C、M、A、N在同一条直线上，开始时点A与点M重合，让向右平移，当完全移出正方形MNPQ时停止，设三角形与正方形重合的面积为S，点A平移的距离为x，则S关于x的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形在移动过程中，重合面积和x之间的关系建立分段函数，利用分段函数确定函数的图象即可； 【详解】解：当0＜x＜a时，，此时为抛物线，排除B，D选项； 当时，为常数； 故选：C． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，掌握动点问题的函数图象是解题的关键. 10．如图，在矩形中，，，点为边上一点，将翻折，使点落在边上的点处，折痕为．点为边上一点，将翻折，使点落在边上的点处，折痕为，则（     ） A． B．8 C． D． 【答案】A 【分析】利用翻折的性质可得，推出，，设，中，由勾股定理求出，设，在中，由勾股定理求出，由此即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 由翻折的性质可知：，，，， ∴， 在中，， ∴， 设，在中有：， ∴， 设，在中，， ∴， ∴， ∴． 二、填空题(本大题共6小题.每小题3分.共计18分) 11．已知，，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的运算，利用已知条件计算代数式的值，通过计算和的值，再利用完全平方公式求，最后代入求值． 【详解】解：∵，， ∴， ， ∴， ∴． 故答案为：． 12．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是______． 【答案】 【分析】首先根据一元二次方程的定义确定二次项系数不为，再根据方程有两个相等的实数根得到根的判别式，联立计算即可求出的值． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ，即． 方程有两个相等的实数根 ， ， 其中，， ，代入得 ， 解得，满足． 13．某学校餐饮中心在课后服务时段，为学生提供三种简餐（每人限定一份），价格分别为10元，15元，20元.如图是该中心某日三种简餐销售情况统计图，则当日学生购买简餐费用的平均数为__________元． 【答案】14.5 【分析】根据扇形统计图获取各价格简餐的销售百分比，将其作为权重，代入加权平均数公式进行计算即可． 【详解】解：由扇形统计图可知， 价格为元、元、元的简餐销售占比分别为、、， 根据加权平均数的计算公式，得 ． 14．若一元二次方程的两个根为，，则代数式的值为________． 【答案】 【分析】首先根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系得到，，然后整体代入求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴，， ∴， ∴ ． 15．如图，三角形纸片中，．沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则的长是__________． 【答案】/ 【分析】根据折叠的性质证明，进而证明，然后利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． 16．如图，在正方形中，对角线与相交于点，点在上，且，延长交边于点，则的值为________． 【答案】 【分析】设正方形的边长为，则， ， ，，再根据对顶角和正方形的性质证明得，即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为， ∵四边形是正方形，， ∴ ，，， ∴，，， ∴，． 又， ， ∴ ， ∴． 三、解答题(本大题共8小题.每题9分.共计72分) 17．按要求解答问题： (1)计算：； (2)计算：； (3)解不等式组：． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解： 由①得： 由②得： ∴ 不等式组的解集为： 18．小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)21.6米 (2)8米 【分析】（1）勾股定理求出的长，再用求出的长即可； （2）求出下降后的长，再利用勾股定理求出此时的长，即可得出结果． 【详解】（1）解：由勾股定理得，（米）， ∵米， ∴（米）， 答：风筝的垂直高度为21.6米； （2）解：如图，设风筝沿方向下降12米后到达点，连接， 由勾股定理得： （米）， ∵（米）， ∴他应该往回收线8米． 19．某景区管理处为了解景区的服务质量，现从该景区4月份的游客中随机抽取50人对景区的服务质量进行评分，评分结果用x表示（单位：分），将全部评分结果按以下五组进行整理，并绘制统计表，部分信息如下： 组别 A B C D E 分组 人数 3 3 17 a 10 请根据以上信息，完成下列问题： (1)________； (2)这50名游客对该景区服务质量评分的中位数落在________组； (3)若游客评分的平均数不低于75，则认定该景区的服务质量良好．分别用50，60，70，80，90作为A，B，C，D，E这五组评分的平均数，估计该景区4月份的服务质量是否良好，并说明理由． 【答案】(1)17 (2)D (3)该景区的服务质量良好，理由见解析 【分析】本题主要考查了中位数，平均数的概念与计算． （1）根据参与评分的一共50人，结合表格数据，求得a的值； （2）根据参与评分的一共50人，结合中位数的定义，得出第25人和第26人评分的平均数即为中位数，再根据A组、B组、C组的总人数为：（人），即可求出这50名游客对该景区服务质量评分的中位数落在D组； （3）先计算出总分数，再计算游客评分的平均数，将平均数与75作比较，得出结论． 【详解】（1）解：∵参与评分的一共50人， ∴． （2）解：∵参与评分的一共50人， ∴将所有人的评分从低到高排列后，第25人和第26人评分的平均数即为中位数， ∵A组、B组、C组的总人数为：（人）， ∴这50名游客对该景区服务质量评分的中位数落在D组． （3）解：∵50名游客对该景区服务质量的总评分为： （分）， ∴游客评分的平均数为：（分）， ∵， ∴该景区4月份的服务质量良好． 20．每年的农历五月初五是端午节，有吃粽子（古称“角黍”）等习俗．某食品店零售单颗粽子．已知一个三角粽比一个牛角粽贵元，小杭曾在此食品店花元购买牛角粽的个数比花元购买三角粽的个数多个．现该食品店牛角粽已售完，食品店决定对剩余的三角粽打折出售．已知按原价出售，每天售出个三角粽，每降价元，每天多售出个． (1)求牛角粽的单价； (2)求现该食品店一天售出三角粽的数量（用含的代数式表示）； (3)若现该食品店一天实际销售额为元，求． 【答案】(1)5元 (2)个 (3)5或 【分析】（1）设购买一个牛角粽需元，则购买一个三角粽需元，根据小杭曾在此食品店花元购买牛角粽的个数比花元购买三角粽的个数多个，再建立方程求解即可． （2）表示降价量为元，进一步列代数式即可． （3）结合（2）可列方程，再解方程可得答案． 【详解】（1）解：设购买一个牛角粽需元，则购买一个三角粽需元， 由题意得， 解得（舍去），， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：购买一个牛角粽需元． （2）解：打折时，每个三角粽售价为元， 降价量为元， 多售出个， 总共售出个． （3）解：由（2）可列方程， 解得，， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：或． 21．如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．    (1)用含t的式子表示______cm； (2)当t为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ 【答案】(1) (2)当或时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形． 【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间，列出代数式即可； （2）分两种情况，结合平行四边形的性质，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴； 故答案为：； （2）解：过点作，则：，    ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 当直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形时，分两种情况： ①当四边形为平行四边形时：则：，    ∴， 解得：； ②当四边形为平行四边形时，则：，    ∴， 解得：； 综上：或． 22．对于代数式，若存在实数n，使得当时，代数式的值等于n2，则称n为这个代数式的等根值．例如：对于代数式，当时，，因此0是该代数式的等根值． (1)基础计算 关于x的代数式的等根值是_____． (2)存在判断 关于x的代数式是否存在等根值？若有，请求出所有等根值；若没有，试说明理由． (3)综合应用 已知关于x的代数式． ①若此代数式仅有一个等根值，求实数k的值； ②若此代数式有两个不相等的等根值、，且为整数，求正整数k的所有可能值． 【答案】(1) (2)不存在等根值．理由如下： 假设存在等根值，则， 化简得， ， 此关于的一元二次方程没有实数根， 关于的代数式不存在等根值； (3)①k或；② 【分析】（1）依据“等根值”定义列等式，消去二次项后解一元一次方程即可求出等根值． （2）假设存在等根值，列出方程，整理为一元二次方程，通过判别式正负判断实数根有无，确定是否存在等根值． （3）①先根据定义整理得，分两类讨论：时方程为一元一次方程，仅有一解；时一元二次方程有两个相等实数根，分别求k． ②利用韦达定理写出、，对代数式化简变形，结合式子为整数确定的整数值，再用判别式取舍，求出符合条件的正整数． 【详解】（1）解：由题意，得， 化简得， 解得； （2）略 （3）①由题意，得， 化简得， 代数式仅有一个等根值， 关于的方程有两个相等的实数根或． 当，一元二次方程有两个相等实数根时， ， 解得； 当时，即时，方程变为，是一元一次方程，仅有一个实根，符合题意． 或； ②代数式有两个不相等的等根值，，且为整数 ，k是正整数， ， 即， ，，， ， ， ， ， ， 为整数，k是正整数 ． 即或， 当时， ，符合题意； 当时， ，不符合题意，舍去． 综上，正整数． 23．“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，阅读以下素材并解决问题． 素材一 【提出问题】求代数式的最小值． 素材二 【建立模型】如图1，可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，这时，问题就转为“在上求点B，使．最小”问题．    素材三 【解答过程】如图2，连接，交于点B，此时．的值最小，将延长至点H，使得，连接．∵，∴在中，，∴，∴的最小值是13．       (1)任务一：【解决问题】代数式的最小值为 ． (2)任务二：【知识运用】如图3，一条河的两岸平行，河宽，村庄A点到河岸的垂直距离为，村庄B点到河岸的垂直距离为，且点A，B到河岸的垂足之间的水平距离为．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从A到P，过桥，再从Q到B的路程最短，则最短路程为 ． (3)任务三：思维拓展：已知正数x满足，求x的值． 【答案】(1) (2)25 (3)x的值为7.2 【分析】（1）仿照题干给定的方法进行求解即可； （2）将点A向上平移得到，连接，，则，，得到当三点共线时，此时的最小值为，此时总路程最短，进行求解即可； （3）构造，，垂足为D，，进而得到，勾股定理逆定理结合等积法求出的长即可． 【详解】（1）解：如图，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，，则，， ∴， ∴当三点共线时，最小， 作，则， ∴， ∴， ∴代数式的最小值为； （2）解：由题意，为总路程， ∵， ∴要求的最小值，只需求得的最小值． 如图1，将点A向上平移得到，连接，，则， ∴， ∴当三点共线时，此时的最小值为． 过点B作射线垂直河岸，过点A向右作水平线，两线交于点D． 由题意，可得，， ∴的最小值为， ∴最短路程为． （3）如图2，构造，，垂足为D，． 设，则， ∴． ∵， ∴， ∴，解得， ∴x的值为7.2． 24．如图1，在等腰Rt中，点为斜边的中点，以点为顶点作直角交，于点，点，连接，相交于点． (1)求证：； (2)当时，求的值； (3)如图2，以为边在右侧作正方形，连接，若的面积为8，求的长． 【答案】(1) 证明：∵在等腰Rt中，点为斜边的中点，以点为顶点作直角交，于点，点， ∴，，，，， ∴，即， ∴， ∴. (2) (3) 【分析】（1）证明即可. （2）证明，，可得. （3）如图，过作于，证明，，可得，，再进一步求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. （3）解：如图，过作于， ∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 同理可得：， ∴， ∴，， ∵的面积为8， ∴， ∴， ∴. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $