江苏省扬州市（广陵区、邗江区、江都区）2025-2026学年七年级下学期期末数学练习卷

**基本信息** 江苏省扬州市七年级下学期期末数学练习卷，以传统文化（紫砂茶具、马扎）、科技（纳米材料）及生活实际为情境，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，考查图形性质、整式运算、方程与不等式等知识，培养抽象能力、推理意识与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/24|轴对称与中心对称、平方差公式、命题判断|马扎侧面示意图考查平行线性质，融合传统文化与几何直观| |填空题|10/30|科学记数法、反证法、多边形内外角、平移|纳米材料厚度考查科学记数法培养数感，折叠问题发展空间观念| |解答题|10/96|规律探究、几何证明、完全平方公式、租车方案|22题规律探究发展推理意识，27题租车问题体现模型意识，28题图形变换综合考查创新意识|

江苏省扬州市（广陵区、邗江区、江都区）2025-2026学年七年级下学期期末数学练习卷 总分:150分 考试时间：120分钟 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列算式不能用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 4．下列命题是真命题的是（    ） A．互补的两角一定是邻补角 B．同位角相等 C．如果，那么 D．对顶角相等 5．已知是方程的解，则a的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 6．平定紫砂茶具是山西传统手工艺品，制作平定紫砂茶具需要用到紫砂泥．已知制作1把茶壶和1个茶杯恰好用光2份紫砂泥；制作2把茶壶和4个茶杯恰好用光5份紫砂泥．若设制作1把茶壶需要x份紫砂泥，制作1个茶杯需要y份紫砂泥，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 7．马扎（图1）是中国传统手工艺制品，腿交叉，上面绷帆布或麻绳等，可以合拢，方便携带，图2为其侧面示意图.若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．有两个正方形A，，现将放在的内部得图甲，将A，并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，的边长之和为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9．计算：______． 10．在纳米级别的电子器件中，二氧化硅是应用最广泛、技术最成熟的绝缘材料，其厚度可低至．将数据用科学记数法表示为____． 11．用反证法证明“三角形的内角中最多有一个角是直角”时应假设：________． 12．若多边形的每一个外角都是其相邻内角的，这个多边形是_____边形． 13．若，则_____（填＞，＜）． 14．如图，将一个周长为的三角形沿射线方向平移到三角形的位置，若四边形周长为，则的长为_______． 15．已知关于x的不等式组有3个整数解，则m的取值范围是_______． 16．班级要用40元钱买、两种彩笔，两种彩笔必须都买，已知型彩笔每个6元，型彩笔每个4元，在钱全部用尽的情况下，购买方案有________种． 17．已知x，y满足方程组，则的值为________． 18．如图把三角形沿折叠，使点B落在点处．，，则_____度．    三、解答题(本大题共10小题 共96分) 19．(8分)计算： (1)； (2)． 20．(8分)求下列方程组的解及不等式组的解集． (1)解方程组； (2)解不等式组． 21．(6分)先化简，再求值：，其中． 22．(8分)观察下列式子： ， ， ， ， … (1)探索以上式子的规律，试写出第6个等式：________； (2)探索以上式子的规律，试写出第个等式，并说明第个等式成立． 23．(10分)分别求出下列式子的值 (1)已知：，，求： ①； ②． (2)如果，求x的值． 24．(10分)已知：如图，在中，，直线分别交的边、和的延长线于点、、． (1)，，求的度数； (2)求证：． 25．(10分)根据完全平方公式和完全平方公式的变式解决下列问题： (1)若，求的值； (2)如图，在正方形中，点在边上，，以为一边在上方分别作正方形和正方形，连接．若，求阴影部分的面积． 26．(12分)代数推理．下面是华师版七年级下册数学教材中的部分内容． 例2利用不等式的基本性质说明下列结论的正确性： 如果，，那么； 解：因为，所以．① 又因为，所以．② 由①②，可得． (1)请类比以上推理，利用不等式的基本性质说明下列结论的正确性： 如果a、b、c、d都是正数，、且，那么； (2)根据上述性质解决问题： ①若，，则的取值范围是________； ②若y是正数，且，，则________0．（填“”，“”或“”） 27．(12分)某校组织七年级师生共480人春游，现有25座和45座（均含司机座位）两种客车可供租用．已知25座客车的租金为205元/辆，45座客车的租金为370元/辆． (1)若单独租用一种客车，请通过计算说明租用哪种客车更合算． (2)该校决定这次春游同时租用这两种客车．若45座客车比25座客车少租3辆，则45座客车最少需租用多少辆？这样的租车方式比单独租用一种客车合算吗？请说明理由． 28．(12分)我们在七年级下册第9章学习了图形的变换，平移、轴对称和旋转是图形变换的基本形式．我们经常通过观察前后图形的关系，探求角的大小和线段的长短等问题． 某综合实践小组同学探究了下面几个问题： (1)如图a，和是两块完全一样的直角三角板，，，当沿射线的方向平移，在平移过程中，若和这两个角之间存在2倍的关系，请直接写出的度数． (2)是一张含的直角三角形纸片，，P为边上一定点，D为边上一动点，沿着折叠，点C落在点E处， ①如图b，若，请你帮小明求出的大小． ②聪明的小明发现：若，则存在异于图b的另一条折痕，请在图c中用无刻度直尺和圆规作出另一种情况的示意图，并求出此时的大小． (3)如图，在中，，，，，将绕点A顺时针旋转，点B、C的对应点分别是、，小组学生发现点和点都在以A为圆心的圆上运动，若点D为线段的中点，点E为线段上一动点．将绕点A旋转一周，线段的长度的范围为______． 第8页，共8页 第7页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省扬州市（广陵区、邗江区、江都区）2025-2026学年七年级下学期期末数学练习卷 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B B D B D C C 1．B 【知识点】中心对称图形的识别、轴对称图形的识别 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； B．即是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； 故选：B． 2．B 【知识点】同底数幂相乘、合并同类项、同底数幂的除法运算、幂的乘方运算 【分析】此题考查了整式的计算，正确掌握合并同类项法则，幂的乘方计算法则，同底数幂的乘除法计算法则是解题的关键．根据合并同类项法则，幂的乘方计算法则，同底数幂的乘除法计算法则分别计算并判断． 【详解】解：A、，故该选项不正确，不符合题意； B、，故该选项正确，符合题意； C、，故该选项不正确，不符合题意；； D、，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 3．B 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查的是平方差公式，熟知两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差是解答此题的关键． 根据平方差公式的特征对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A．，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意不合题意； B．，不能用平方差公式计算，故本选项符合题意不合题意； C．，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意不合题意； D．，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意不合题意；． 故选：B． 4．D 【知识点】判断命题真假、平方根概念理解、对顶角相等、两直线平行同位角相等 【分析】本题主要考查命题与定理，根据邻补角的概念、同位角的概念、实数的平方、对顶角相等判断即可． 【详解】解：A、互补的两角不一定是邻补角，故本选项命题是假命题，不符合题意； B、两直线平行，同位角相等，故本选项命题是假命题，不符合题意； C、如果，那么，故本选项命题是假命题，不符合题意； D、对顶角相等，是真命题，符合题意； 故选：D． 5．B 【知识点】二元一次方程的解 【分析】根据二元一次方程解的定义，将已知的，的值代入原方程，解关于的一元一次方程即可求解． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得：． 6．D 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】提取题干中的两个等量关系，分别列出方程即可得到对应方程组． 【详解】解：根据“制作1把茶壶和1个茶杯恰好用光2份紫砂泥”，可得第一个方程：， 根据“制作2把茶壶和4个茶杯恰好用光5份紫砂泥”，可得第二个方程：， ∴可列方程组为． 7．C 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键；因此此题可根据“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和”进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故选C． 8．C 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】此题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 设正方形A的边长为，正方形的边长为，根据题意可得，，由即可解答． 【详解】解：设正方形A的边长为，正方形的边长为， 图1中阴影部分是边长为的正方形，因此图1中阴影部分的面积为， 图2中阴影部分是边长为的面积与正方形A，正方形的面积差，即，即， 所以， 即， 故选：C． 9．/ 【知识点】幂的乘方运算、积的乘方运算 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方，掌握这两个运算法则是关键；先计算积的乘方，再计算幂的乘方即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10． 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【详解】解： . 11．三角形中至少有两个内角是直角 【知识点】反证法证明中的假设 【分析】反证法需先假设原命题的结论不成立，只需找出原结论“三角形的内角中最多有一个角是直角”的否定即可得到结果. 【详解】解：“三角形的内角中最多有一个角是直角”的否定为“三角形中至少有两个内角是直角”. 因此用反证法证明时，应假设“三角形中至少有两个内角是直角”. 12．八 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、多边形内角和与外角和综合 【分析】设这个多边形的一个外角的度数为x，根据题意列出方程，即可求出x，再根据多边形的外角和是即可求出边数． 此题主要考查了多边形内角与外角，根据题意列出方程求出一个外角的度数是解题关键． 【详解】解：设这个多边形的一个外角的度数为x，则 ， 解得：， ， 答：这个多边形为八边形． 故答案为：8． 13．＜ 【知识点】不等式的性质 【详解】解：若，则，理由是不等式的性质3． 14．2 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】根据平移的性质得到，，结合三角形和四边形的周长进行求解即可． 【详解】解：∵沿射线方向平移到的位置， ∴，， ∵四边形的周长为， ∴， ∴， ∵周长为，即， ∴， ∴． 15． 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题主要考查解不等式组及不等式组的整数解，正确解出不等式组的解集，确定的范围，是解决本题的关键． 首先计算出不等式组的解集，再根据不等式组的整数解确定的范围即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， 不等式组的解集为：， ∵整数解共有3个， ∴整数解为：1，2，3， ， 故答案为：． 16．3 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题主要考查了二元一次方程的实际应用，设购买A型彩笔x个，购买B型彩笔y个，根据购买费用为40元建立关于x、y的方程，再求出方程的正整数个数即可得到答案． 【详解】解：设购买A型彩笔x个，购买B型彩笔y个， 由题意得，， ∴， ∴ ∵两种彩笔必须都买， ∴x、y都为正整数， ∴当时，； 当时，； 当时，； ∴一共有3种购买方案， 故答案为：3． 17．1 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查解二元一次方程组，通过将方程组中的两个方程相减，直接得到的值． 【详解】解： 得， 故答案为：1． 18． 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形折叠中的角度问题 【分析】本题考查的是三角形的外角的性质，结合图形，由三角形的外角性质可得，，由折叠可得，，结合已知条件，，可得关于的方程，求解即可． 【详解】解：如图，设与交于点F，    ∵，，由折叠可得，， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 故答案为：28． 19．(1) (2) 【知识点】负整数指数幂、幂的乘方运算、积的乘方运算、实数的混合运算 【分析】本题考查了乘方、零指数幂和负整数指数幂计算，积的乘方法则和幂的乘方法则，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用乘方、零指数幂和负整数指数幂计算即可； （2）利用积的乘方法则和幂的乘方法则计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 20．(1) (2) 【知识点】求不等式组的解集、加减消元法 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解不等式组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用加减消元法进行解方程，即可作答． （2）先分别解出每个不等式的解集，再取它们公共部分的解集，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴得， ∴， 解得， 把代入，得， 解得， ∴方程组的解为； （2）解：∵， ∴由得 ∴由得 ∴不等式组的解集为． 21．， 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、已知式子的值，求代数式的值、计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握完全平方公式、平方差公式、合并同类项法则和单项式乘多项式法则． 先根据完全平方公式、平方差公式、合并同类项法则和单项式乘多项式法则进行化简，再把代入化简后的式子进行计算即可． 【详解】解： 当时 原式． 22．(1) (2) 【知识点】运用平方差公式进行运算、数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类规律探索，平方差公式的应用，找到规律是解题的关键； （1）根据前几个式子的规律，写出第6个等式，即可求解； （2）根据规律得出第个等式，根据平方差公式进行证明，即可求解． 【详解】（1）解：第1个等式为：， 第2个等式为：， 第3个等式为：， 第4个等式为：， 第5个等式为：， 第6个等式为：， 故答案为：． （2）解：根据（1）中式子的规律，第个等式为： 左边 右边， 左边右边， ∴成立． 23．(1)①；② (2) 【知识点】幂的乘方的逆用、同底数幂除法的逆用、同底数幂乘法的逆用 【分析】（1）①先将变形为，再代入求值即可；②先将变形为，再代入求值即可； （2）由变形为，再求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴ ②． （2）解： ∴ ∴ ∴ ∴ 解得：． 24．(1) (2)见解析 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查三角形内角和定理，关键是掌握三角形内角和是． （1）由三角形内角和定理求出，得到； （2）由三角形内角和定理得到，，即可证明． 【详解】（1）解：， ， ； （2）证明：， ， ， ． 25．(1)的值为 (2)阴影部分的面积为16 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了完全平方公式的变形以及几何意义，熟练掌握完全平方公式的相关知识是解题的关键． （1）应用完全平方公式变形求解即可； （2）由得，阴影的面积等于正方形的面积减去正方形和正方形的面积和，即阴影部分的面积为． 【详解】（1）解： ，， ， ∴的值为； （2）解：，设，．， ， ， ， ∴阴影部分的面积为16． 26．(1)见详解 (2)①② 【知识点】不等式的性质 【分析】（1）由不等式的基本性质得，，即可得证； （2）：①由（1）得，即可求解； ②由不等式的基本性质得，，即可得证． 【详解】（1）解：a、b、c、d都是正数，、且， ，， ； （2）解：①由题意得， ； ②y是正数，且，， ，， ， ． 27．(1) 租用45座客车更合算 (2) 45座客车最少需租用6辆，这样的租车方式比单独租用一种客车合算，理由见解析 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，一元一次不等式的应用，理解题意得到各数量间的关系列出不等式是解题的关键． （1）通过计算单独租用25座和45座客车所需车辆数和总租金，比较得出更合算的方案即可； （2）设45座客车租用x辆，根据总座位数至少480人列出不等式，求解x的最小整数值，并计算租金，与单独租用方案比较即可． 【详解】（1）解：依题意得， 单独租用25座客车：，需20辆，租金为（元）； 单独租用45座客车：，需11辆，租金为（元）； ∵， ∴租用45座客车更合算， （2）解：设45座客车租用x辆，则25座客车租用辆， 则， 解得， ∵x为整数， ∴45座客车最少需租用6辆， 此时25座客车租用（辆）， 租金为（元）， ∵，， ∴这样的租车方式比单独租用一种客车合算， 答：45座客车最少需租用6辆，这样的租车方式比单独租用一种客车合算． 28．(1)或 (2)①；②作图见解析， (3) 【知识点】折叠问题、根据旋转的性质求解、三角形内角和定理的应用、作角平分线(尺规作图) 【分析】（1）连接，易证明，则，利用三角形内角和定理求出，分情况讨论：当或时，利用求解即可； （2）①延长交于点，利用平行线的性质求出的度数，根据折叠的性质得到、，求出的度数，从而求出的度数； ②由题意知，点E在下方，过点P作的垂线，以点P为圆心，为半径画弧与垂线交于点E，即，作的角平分线，与交于点D，连接，此时即为所求；利用平行线的性质和角平分线的定义求出的度数，再利用三角形内角和定理进行求解即可； （3）根据题意可知，当时，为最小值，当点与点重合时，有最大值，则点E在以点A为圆心，内半径为、外半径为8的圆环上运动，当D、A、E三点共线时，分情况讨论：若点A在点D、E之间，此时有最大值，若点D在点A、E之间，此时有最小值，据此求解即可． 【详解】（1）解：连接， 、， ， ， ， ， ， ， 当时，， 解得：， ， 当时，， 解得：， 综上所述，的度数为或； （2）解：①延长交于点， ， ， 由折叠的性质知，、， 在中，， ， ； ②如图，折痕即为所求， 由作图可知，、， 由①知，， ， ， ； （3）解：是的中点， ， 由旋转可知，、、， 过点作于点， ， ， 当点E与点P重合时，有最小值，即， 当点E与点重合时，有最大值，即， 根据题意得，点E在以点A为圆心，内半径为、外半径为8的圆环上运动， 当D、A、E三点共线时，有最大值或最小值， 如图，若点A在点D、E之间，此时有最大值， ， 的最大值为8， ； 若点D在点A、E之间，此时有最小值， ， 的最小值为， ， 综上所述，的取值范围为． 【点睛】本题考查平行线的性质、三角形内角和定理、折叠的性质、旋转的性质、平移的性质、角平分线的尺规作图，熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线是解题的关键． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $