精品解析：北京市第一零一中学2025～2026学年下学期阶段测试八年级数学（6月）

初二年级数学月度调研 一、选择题（共30分，每题3分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、是最简二次根式，故符合题意； C、，故不符合题意； D、，故不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 2. 把方程化成一般式，则，，的值分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的一般形式为，其中叫做一次项，叫作一次项系数，解答即可． 本题考查了一元二次方程的一般形式及其相关概念，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：由， 得， ∴，，的值分别是，，， 故选：D． 3. 用配方法解方程，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法； 通过配方法将二次方程转化为完全平方形式，对比选项即可确定正确结果． 【详解】解：将常数项移到方程右边得：， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方得：， 方程左边可写成完全平方形式：， 故选：D． 4. 如图，在中，，E为上一动点，M，N分别为，的中点，则的长为( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质求出，再根据三角形中位线的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵M，N分别为，的中点， ∴． 5. 甲、乙两名同学在相同条件下射击打靶5次，每次命中的环数如下： 甲：7，8，8，8，9 乙：6，7，8，9，10 则这两组数据的方差的大小关系是（　　） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求方差，比较甲、乙两组数据的方差，需先计算各自的平均数，再利用方差公式计算方差，然后比较大小，据此进行分析计算，即可作答． 【详解】解：依题意，甲同学的平均数，乙同学的平均数， 则； 则； ∵， ∴， 故选：C． 6. 如图，长为、宽为的矩形空地，现计划要在中间修建3条等宽的小道，其余面积种植绿植，种植面积为，若设小道的宽为，则根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设小道的宽为，则6个小矩形可合成长为、宽为的矩形，然后利用矩形的面积公式列出关于x的一元二次方程即可． 【详解】解：设小道的宽为， 则根据题意，可列方程为， 故选：D． 7. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】分和两种情况讨论，利用一元二次方程根的判别式求解，即可得到的取值范围． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当时，原方程为，解得，方程有实数根，符合题意； ②当时，原方程是一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴根的判别式， 解得， 即此时的范围为且； 综合两种情况，可得的取值范围是． 8. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM交CD于点N．若S四边形MOND＝2，则BD的长为（　　） A. 2 B. C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用正方形的性质得到OD＝OB＝OC，∠COD＝90°，∠OCD＝∠ODA＝45°，利用等角的余角相等可证得∠CON＝∠DOM，则可判断△OCN≌△ODM，所以S△OCN＝S△ODM，从而得到S△ODC＝S四边形MOND＝2，然后利用等腰三角形的面积计算出OD即可． 【详解】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴OD＝OB＝OC，∠COD＝90°，∠OCD＝∠ODA＝45°， ∵ON⊥OM， ∴∠MON＝90°， ∵∠CON＋∠DON＝90°，∠DOM＋∠DON＝90°， ∴∠CON＝∠DOM， 在△OCN和△ODM中， ， ∴△OCN≌△ODM（ASA）， ∴S△OCN＝S△ODM， ∴S△OCN＋S△DON=S△ODM＋S△DON， 即S△ODC＝S四边形MOND＝2， ∵OD•OC＝2， 而OD＝OC， ∴OD＝2， ∴BD＝2OD＝4． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形．证明△OCN≌△ODM是解决问题的关键． 9. 点在第一象限内，且，点的坐标为．设的面积为S，则下列图象中，能正确反映S与x之间的函数关系式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点在第一象限内，且，点的坐标为，从而可以得到关于的函数关系式，从而可以解答本题． 【详解】解：点在第一象限内，且，点的坐标为， ，，可排除B、D选项， ，可排除A选项． 故选：C． 【点睛】本题考查函数图象、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系，利用数形结合的思想解答． 10. 如图，在中，，平分交于点D，交于点E，交于点F，有以下结论： ①四边形一定是平行四边形； ②保持的大小不变，改变的长度可使成立； ③保持的长度不变，改变的大小可使成立． 其中所有的正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定及性质，等腰三角形的判定，掌握相关知识是解题的关键． ①根据平行四边形的判定方法即可证明；②保持的大小不变，改变的长度，当时，可使成立．由平分和得到，从而，由平行四边形得到，从而．当时可得到，进而，从而．即可判断②．③改变的大小，保持的长度不变，由于，得到，从而，即可判断③． 【详解】解：①∵，， ∴四边形是平行四边形．故①正确． ②保持的大小不变，改变的长度，当时，可使成立． ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 当时，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴．故②正确． ③改变的大小，保持的长度不变，由于，则， 由②可得， ∴， ∵ ∴．故③错误． 故选：A． 二、填空题（共18分，每题3分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出一元一次不等式求解即可． 【详解】解：式子在实数范围内有意义， ， 移项得， 系数化为得． 12. 若一次函数的图象过点，请写出一个符合条件的函数解析式______． 【答案】y=x+3（答案不唯一） 【解析】 【分析】可设x的系数为1或其他不为0的数都可以，把点的坐标代入求b的值即可． 【详解】解：设一次函数的解析式为：y=x+b， 把（0，3）代入得b=3． ∴一次函数的解析式为：y=x+3， 故答案为：y=x+3（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，需注意应先确定x的系数，然后把适合的点代入求得常数项． 13. 某班有10名同学利用假期参与了社区志愿服务活动，他们的社区服务时长如下表所示． 服务时长（小时） 15 16 20 人数（人） 2 5 3 这10名同学社区服务的平均时长是______小时． 【答案】17 【解析】 【分析】根据加权平均数的公式直接代入数据计算即可． 【详解】解：这10名同学社区服务的平均时长是： =17（小时）． 故答案为：17． 【点睛】本题考查了加权平均数，正确理解加权平均数的概念是解题的关键． 14. 如图所示，的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则BD的长为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据题意求出的面积，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：由图形可知，，边上的高为3， 的面积， 由勾股定理得，， 则， 解得，， 故答案为：3 15. 如图，已知一次函数与正比例函数的图象交于点P．四个结论：①；②；③当时；④当时，．其中正确的是______． 【答案】②③ 【解析】 【分析】由一次函数图象与系数的关系以及一次函数与一元一次不等式的关系作答. 【详解】解：如图所示，正比例函数的图象经过点第二、四象限，则，故①错误； 一次函数与轴交于正半轴, 则, 故②正确; 根据正比例函数的图象知, 当时,,故③正确; 根据一次函数与正比例函数的图象交于点，点的横坐标是，则当时, 正比例函数的图象在一次函数的图象的上方, 即,故④错误. 故答案为: ②③. 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，两条直线相交或平行问题.体现了数形结合的思想方法. 16. 某周末，小明家有，，，四项家务要完成，已知完成每项家务都需两个阶段，工作要求如下： 每项家务的第二阶段须在第一阶段完成后进行且各阶段只能由一人或机器完成； 每人同一时间只能进行一项工作： “家务”与“家务”的第二阶段由机器完成； 每项家务的各阶段所需时间如下表所示： 家务类别 阶段用时 第一阶段用时（分） 第二阶段用时（分） 家务 家务 家务 家务 在不考虑其他因素的前提下，若由小明完成家务和家务，则至少需要______分钟；若由小明和哥哥合作完成四项家务，则至少需要______分钟． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了本题考查了逻辑推理与时间统筹，根据加工要求得出加工顺序是解题的关键． 因为家务的第二阶段可以由机器完成，小明在完成家务的第一阶段后，就可以开始完成家务，小明在完成家务的时间段内，机器可以完成家务的第二阶段，所以小明完成家务和家务，则至少需要分钟； 因为家务的第二阶段需要分钟，完成家务需要分钟，所以把家务和分为一组，家务的第二阶段需要分钟，而完成家务需要分钟，所以把家务和分为一组，这样一来，完成家务和需要分钟，完成家务和需要分钟，所以 这四项家务全部完成最少需要分钟． 【详解】解：小明先完成家务的第一阶段，用时分钟， 由机器完成家务的第二阶段，同时小明开始家务的第一阶段， 小明完成家务的第一阶段和第二阶段共用时分钟， 在小明完成家务（第一阶段和第二阶段）时间段内，机器完成了家务的第二阶段， 小明完成家务和家务，则至少需要分钟； 小明和哥哥合作完成四项家务，把和分为一组，和分为一组， 和分为一组，最少需要的时间是分钟， 和分为一组，最少需要的时间是分钟， 小明和哥哥合作完成四项家务，则至少需要分钟． 故答案为：，． 三、解答题（共52分） 17. 解下列关于的方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：对于方程， ， 利用求根公式得， 即． 【小问2详解】 解：， 整理得， 移项得， 因式分解得， 或， ． 18. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和点，与轴交于点C． （1）求该函数的解析式； （2）的面积为________． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）令直线交轴于点，求出，则，再由计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象经过点和点， ∴，解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，令直线交轴于点， 在中，当时，，即， ∴， ∴ ． 19. 下面是小明“作矩形”的尺规作图过程． 已知：四边形是平行四边形． 求作：矩形（点在上，点在上）． 作法：①以点为圆心，长为半径作弧，交于点； ②分别以点和点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点（点与点在异侧）； ③连接交于点； ④以点为圆心，长为半径作弧，交于点； ⑤连接． 则四边形为所求作的矩形． （1）根据作法补全图形，保留作图痕迹； （2）根据小明的作法完成下面的证明． 证明：连接． 四边形是平行四边形， ． ， 四边形是平行四边形． ， 四边形为___________， ______________________， ， 四边形AECF为矩形（___________）（填写推理依据）． 【答案】（1）见解析 （2）菱形，，有一个角是直角的平行四边形是矩形 【解析】 【分析】本题主要考查了基本的尺规作图——作矩形，平行四边形的性质，菱形的判定和性质，矩形的判定等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）利用矩形的判定定理进行尺规作图即可； （2）根据平行四边形的性质，先判定四边形是平行四边形，再判定出四边形为菱形，利用菱形的性质得出直角，然后根据矩形的定义即可得出结论． 【小问1详解】 解：四边形即为所求； 【小问2详解】 证明：连接． 四边形是平行四边形， ． ， 四边形是平行四边形． ， 四边形为菱形， ， ， 四边形AECF为矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形） 20. 为普及健康生活方式，倡导学生“合理运动，健康生活”，学校举办“健康使者”评比活动．每位同学需要参加科普知识、体育竞技和创意实践三项评比，每项评比成绩均按百分制打分．评委会将三项评比成绩按的比例计算出每人的总评成绩，在全校参加评比活动的学生中，随机选出名学生的成绩数据整理如下： 名学生总评成绩的频数分布直方图如下图所示：（数据分组，每组包含最小值，不包含最大值） 其中总评成绩在分的学生成绩如下：， 小聪和小明三项评比成绩及总评成绩如下： 科普知识成绩 体育竞技成绩 创意实践成绩 总评成绩 小聪 小明 根据以上信息，回答下列问题： （1）名学生总评成绩的中位数为________； （2）名学生中总评成绩在分的学生成绩的众数为________； （3）上表中________； （4）若总评成绩不少于97分的学生可获得“健康使者”奖章，则全校名参加此次评选活动的学生中约有________名学生可以获得奖章． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据中位数定义求解即可； （2）根据众数定义求解即可； （3）根据题意按照各个成绩占比计算总成绩即可； （4）计算出名学生中获奖同学比例，在计算名学生中获奖人数即可． 【小问1详解】 根据题意得：名学生总评成绩的中位数为第名同学的成绩， ∵， ∴ 第23名同学的成绩为成绩在分成绩的第一个，中位数为； 【小问2详解】 名学生中总评成绩在分的学生成绩中，出现的次数最多， ∴ 众数为； 【小问3详解】 根据三项评比成绩按的比例计算出每人的总评成绩， ∴分； 【小问4详解】 根据成绩的频数分布直方图，名学生中有名超过，获得“健康使者”奖章比例为， ∴全校名参加此次评选活动的学生中约有：名． 21. 近年来我国新能源汽车出口量快速增长，年出口量为万辆，年出口量为万辆．则新能源汽车出口量的年平均增长率为多少？ 【答案】 【解析】 【分析】初始量年平均增长率增长n年后的量，本题间隔为2年，据此列出一元二次方程，舍去不符合题意的负根后即可得到结果． 【详解】解：设年平均增长率为， 由题意，得， 整理，得， 开平方，得， 增长率， ， ， 新能源汽车出口量的年平均增长率为． 22. 已知：关于x的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）求证：无论m为何值（），方程总有一个固定的根． 【答案】（1）且 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根，解一元二次方程，熟练掌握相关知识并运用分类讨论的思想是解题的关键． （1）由方程有两个不相等的根，可得，由一元二次方程的定义可得，由此即可求得m的取值范围； （2）利用求根公式表示出方程的两个根，即可得证． 【小问1详解】 解：， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴且， ∴且， ∴的取值范围是且； 【小问2详解】 证明：∵， ∴由求根公式得 ， ∴， ， ∴无论为何值，方程总有一个固定的根是1 ． 23. 在平面直角坐标系中，函数的图象是函数的图象向上平移1个单位得到的． （1）直接写出k，b的值； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象的平移及一次函数与一次不等式的关系，解题的关键是数形结合思想的应用． （1）根据一次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”即可求解； （2）求出两直线交点坐标，数形结合解决问题． 【小问1详解】 解：函数的图象向上平移1个单位，可得， ∵函数的图象是函数的图象向上平移1个单位得到的， ∴，； 【小问2详解】 解：由（1）一次函数的解析式为， 当时，， 把点代入，得， 解得， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值， ∴． 24. 如图，在中，，是中点，，是的角平分线，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵，是中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（）由平行线的性质可得，又是的角平分线，则，故有，所以，然后通过直角三角形的性质得，再证明四边形是平行四边形，又从而求证； （）先证明是等边三角形，则，由平行四边形的性质得，所以，然后得出是等边三角形，则有，，再通过角度和差求出，最后由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 25. 函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展开探索．画函数的图象，经历分析解析式、列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示： … … … … 经历同样的过程画函数和的图象． （1）函数的自变量的取值范围________，对于函数，当________时，． （2）观察发现：三个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形；三个函数解析式中绝对值前面的系数相同，则图象的开口方向和形状完全相同，只有最低点和对称轴发生了变化． ①图象关于________对称． ②对于函数，当时，的取值范围________． （3）拓展应用：，是函数的图象上的任意两点，且满足时，，则的取值范围是什么． 【答案】（1）全体实数；； （2）①；②； （3） 【解析】 【分析】（1）（2）观察图象即可解决问题； （3）函数的对称轴为直线，系数，可得当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，再通过画图进行分类讨论求解即可． 【小问1详解】 解：由图可得，函数的自变量的取值范围为全体实数， 由图可得，当时，； 【小问2详解】 解：由图可得，图象关于对称， 由图可得，当时，， 当时，， ∴y的取值范围是； 【小问3详解】 解：由图可得，的顶点为，的顶点为，即顶点为， ∴当时，其顶点坐标为，对称轴为直线， ∵系数， ∴函数图象开口向上，且当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大， 当时，当都在函数对称轴的左边时或为顶点时，如图， 此时 解得； 当在函数对称轴的左边，在函数对称轴的右边时，如图， 此时， 根据题意得，， ∴，无法求出具体范围，故舍去； 当都在函数对称轴的右边时或为顶点时，如图， 此时，不符合题意舍去． 综上所述，的取值范围为． 26. 在中，，过点作，且，点与点在异侧，连接． （1）当时，如图，若，，求线段的长； （2）当时，点，分别为，的中点，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）线段的长为 （2）线段，，之间的数量关系为，证明如下： 过点作，交的延长线于点，过点作于点，如图， ， ， ， ， ， ， ， ． ，， 是等腰直角三角形， ， ， ，即． 连接，，，，如图， 点是的中点，， ， ， ， ， 点在的垂直平分线上． 点是的中点，， ， 点在的垂直平分线上， 是的垂直平分线， ． 取的中点，连接，，，如图， 点是的中点，点是的中点， ∴是的中位线， ，， ， ． ，， ， 点是的中点，点是的中点， ∴是的中位线， ， ， 在中，， ，即． 【解析】 【分析】（1）由勾股定理在中求得，过点作，交的延长线于点，证明，得到，，从而在中根据勾股定理即可求解； （2）作延长线于、于，证；由得为等腰直角三角形，推得．取中点，连接、，利用中位线性质与勾股定理，整理后得到线段关系． 【小问1详解】 解：，，， ． 过点作，交的延长线于点，如图， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， 在中，； 【小问2详解】 略 【点睛】本题核心技巧是一线三垂直全等模型与中位线转化法，通过作垂线构造全等三角形实现线段转移，结合中点构造中位线，用勾股定理建立线段数量关系．常见错误：全等对应角或边找错、中位线比例系数混淆、等式整理计算失误；避坑需牢记“等线段垂直优先构造一线三垂直全等”，中点问题优先联想中位线． 27. 在平面直角坐标系中，对于线段及线段上一点（不与，重合）给出如下定义：分别以，为底边作顶角均为的等腰三角形和等腰三角形，点为线段的中点．则称将点为线段关于点的“中顶点”． （1）如图1，点，，．在图中画出线段关于点的“中顶点”； （2）已知点，，若有且只有一条坐标轴上存在线段的“中顶点”，直接写出满足条件的的取值范围； （3）已知点，，点为线段上一动点，矩形的顶点坐标分别为，，，．若矩形的四条边（包含端点）上，都存在线段关于点的某个“中顶点”，直接写出的取值范围． 【答案】（1）见解析； （2）满足条件的的取值范围是； （3）的取值范围是或． 【解析】 【分析】（1）以 为边作等边三角形与等边三角形，以为边作等边三角形与等边三角形，根据等边三角形的判定和性质，以及菱形的判定和性质，可得点，，，的坐标，从而可得出线段关于点的“中顶点”； （2）根据“中顶点”的定义，结合三角形的内角和定理可得，可证得四边形为平行四边形，从而确定线段的“中顶点”的运动轨迹，分析运动过程，确定临界值，解三角形，即可得满足条件的的取值范围； （3）由“中顶点”的定义，结合的取值范围，以为底边，作顶角为的等腰三角形和等腰三角形，作等边三角形和等边三角形，确定线段关于点的某个“中顶点”的分布区域，随着的变化，“中顶点”的分布区域沿轴平移，解三角形，确定临界值，从而可得的取值范围． 【小问1详解】 解：∵，， ∴为等边三角形， 以 为边作等边三角形与等边三角形，连接，交于点， ∵是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵，， ∴为等边三角形， 以为边作等边三角形与等边三角形，连接，交于点， ∵是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴ ，， ∴的中点，的中点，的中点，的中点， 如图，点，，，为线段关于点的“中顶点”： 【小问2详解】 解：的中点记为，的中点记为，的中点记为，的中点记为， 延长，交于点，的中点记为点，的中点记为点， 延长，交于点，的中点记为点，的中点记为点， 根据“中顶点”的定义可知，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴点在线段上运动，且不与点，点重合， 同理可得，， 点在线段上运动，且不与点，点重合， 点在线段上运动，且不与点，点重合， 点在线段上运动，且不与点，点重合， ∵，， ∴，， ∴， 在延长线上截取，则，， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， 线段的垂直平分线交轴于点，连接，则， ∴， ∴， 当时，两条坐标轴上都存在线段的“中顶点”，不符合题意， 当时，只有轴上存在线段的“中顶点”，符合题意， 当时，两条坐标轴上都不存在线段的“中顶点”，不符合题意， ∴满足条件的的取值范围是． 【小问3详解】 解：∵，， ∴，线段的中点为， 以为底边，作顶角为的等腰三角形和等腰三角形，作等边三角形和等边三角形，为的中点，为的中点，为的中点，为的中点，为的中点，为的中点，为的中点，为的中点，阴影区域为线段关于点的某个“中顶点”的运动轨迹， ∵矩形的四条边（包含端点）上，都存在线段关于点的某个“中顶点”， ∴矩形的四条边与阴影区域有交点， 随着的变化，阴影区域沿轴平移，，，，， 当点在线段上时，， 当点在线段上时，， 当点在线段上时，， 当点在线段上时，， ∴的取值范围是或． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，平行四边形的判定和性质，勾股定理，菱形的判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二年级数学月度调研 一、选择题（共30分，每题3分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 把方程化成一般式，则，，的值分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 用配方法解方程，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，E为上一动点，M，N分别为，的中点，则的长为( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 不确定 5. 甲、乙两名同学在相同条件下射击打靶5次，每次命中的环数如下： 甲：7，8，8，8，9 乙：6，7，8，9，10 则这两组数据的方差的大小关系是（　　） A. B. C. D. 无法确定 6. 如图，长为、宽为的矩形空地，现计划要在中间修建3条等宽的小道，其余面积种植绿植，种植面积为，若设小道的宽为，则根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 8. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM交CD于点N．若S四边形MOND＝2，则BD的长为（　　） A. 2 B. C. 4 D. 2 9. 点在第一象限内，且，点的坐标为．设的面积为S，则下列图象中，能正确反映S与x之间的函数关系式的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，平分交于点D，交于点E，交于点F，有以下结论： ①四边形一定是平行四边形； ②保持的大小不变，改变的长度可使成立； ③保持的长度不变，改变的大小可使成立． 其中所有的正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（共18分，每题3分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 12. 若一次函数的图象过点，请写出一个符合条件的函数解析式______． 13. 某班有10名同学利用假期参与了社区志愿服务活动，他们的社区服务时长如下表所示． 服务时长（小时） 15 16 20 人数（人） 2 5 3 这10名同学社区服务的平均时长是______小时． 14. 如图所示，的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则BD的长为__________． 15. 如图，已知一次函数与正比例函数的图象交于点P．四个结论：①；②；③当时；④当时，．其中正确的是______． 16. 某周末，小明家有，，，四项家务要完成，已知完成每项家务都需两个阶段，工作要求如下： 每项家务的第二阶段须在第一阶段完成后进行且各阶段只能由一人或机器完成； 每人同一时间只能进行一项工作： “家务”与“家务”的第二阶段由机器完成； 每项家务的各阶段所需时间如下表所示： 家务类别 阶段用时 第一阶段用时（分） 第二阶段用时（分） 家务 家务 家务 家务 在不考虑其他因素的前提下，若由小明完成家务和家务，则至少需要______分钟；若由小明和哥哥合作完成四项家务，则至少需要______分钟． 三、解答题（共52分） 17. 解下列关于的方程： （1）； （2）． 18. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和点，与轴交于点C． （1）求该函数的解析式； （2）的面积为________． 19. 下面是小明“作矩形”的尺规作图过程． 已知：四边形是平行四边形． 求作：矩形（点在上，点在上）． 作法：①以点为圆心，长为半径作弧，交于点； ②分别以点和点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点（点与点在异侧）； ③连接交于点； ④以点为圆心，长为半径作弧，交于点； ⑤连接． 则四边形为所求作的矩形． （1）根据作法补全图形，保留作图痕迹； （2）根据小明的作法完成下面的证明． 证明：连接． 四边形是平行四边形， ． ， 四边形是平行四边形． ， 四边形为___________， ______________________， ， 四边形AECF为矩形（___________）（填写推理依据）． 20. 为普及健康生活方式，倡导学生“合理运动，健康生活”，学校举办“健康使者”评比活动．每位同学需要参加科普知识、体育竞技和创意实践三项评比，每项评比成绩均按百分制打分．评委会将三项评比成绩按的比例计算出每人的总评成绩，在全校参加评比活动的学生中，随机选出名学生的成绩数据整理如下： 名学生总评成绩的频数分布直方图如下图所示：（数据分组，每组包含最小值，不包含最大值） 其中总评成绩在分的学生成绩如下：， 小聪和小明三项评比成绩及总评成绩如下： 科普知识成绩 体育竞技成绩 创意实践成绩 总评成绩 小聪 小明 根据以上信息，回答下列问题： （1）名学生总评成绩的中位数为________； （2）名学生中总评成绩在分的学生成绩的众数为________； （3）上表中________； （4）若总评成绩不少于97分的学生可获得“健康使者”奖章，则全校名参加此次评选活动的学生中约有________名学生可以获得奖章． 21. 近年来我国新能源汽车出口量快速增长，年出口量为万辆，年出口量为万辆．则新能源汽车出口量的年平均增长率为多少？ 22. 已知：关于x的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）求证：无论m为何值（），方程总有一个固定的根． 23. 在平面直角坐标系中，函数的图象是函数的图象向上平移1个单位得到的． （1）直接写出k，b的值； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值，直接写出m的取值范围． 24. 如图，在中，，是中点，，是的角平分线，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 25. 函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展开探索．画函数的图象，经历分析解析式、列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示： … … … … 经历同样的过程画函数和的图象． （1）函数的自变量的取值范围________，对于函数，当________时，． （2）观察发现：三个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形；三个函数解析式中绝对值前面的系数相同，则图象的开口方向和形状完全相同，只有最低点和对称轴发生了变化． ①图象关于________对称． ②对于函数，当时，的取值范围________． （3）拓展应用：，是函数的图象上的任意两点，且满足时，，则的取值范围是什么． 26. 在中，，过点作，且，点与点在异侧，连接． （1）当时，如图，若，，求线段的长； （2）当时，点，分别为，的中点，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 27. 在平面直角坐标系中，对于线段及线段上一点（不与，重合）给出如下定义：分别以，为底边作顶角均为的等腰三角形和等腰三角形，点为线段的中点．则称将点为线段关于点的“中顶点”． （1）如图1，点，，．在图中画出线段关于点的“中顶点”； （2）已知点，，若有且只有一条坐标轴上存在线段的“中顶点”，直接写出满足条件的的取值范围； （3）已知点，，点为线段上一动点，矩形的顶点坐标分别为，，，．若矩形的四条边（包含端点）上，都存在线段关于点的某个“中顶点”，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $