期末复习：裂项相消法、错位相减法专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

**基本信息** 聚焦数列求和两大核心方法，通过典例与变式系统覆盖裂项相消、错位相减的题型应用，强化从通项推导到求和运算的逻辑链条。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |裂项相消法|6题（3例+3变式）|分式型数列求和，需拆分通项为可相消形式|从数列性质证明（等差/等比）到通项公式推导，再应用裂项技巧求和| |错位相减法|6题（3例+3变式）|等差×等比型数列求和，含乘公比、错位相减步骤|先求等差/等比通项，构建乘积型数列，通过错位相减转化为等比数列求和|

期末复习：裂项相消法、错位相减法专项训练 期末复习：裂项相消法、错位相减法专项训练 考点目录 裂项相消法 错位相减法 考点一 裂项相消法 例1．（2026·江苏徐州·模拟预测）设是等比数列的前项和，已知，． (1)求和； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据已知条件列出等比数列基本量的方程，求解即得到数列的通项公式和前项和； （2）化简的表达式，利用裂项相消法求和. 【详解】（1）设的公比为，则，而，得， 已知，所以， 所以，则. （2）， ． 例2．（25-26高三下·河南·阶段检测）已知数列满足，，且数列是公差为4的等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据等差数列得到数列的通项公式，再累加求出数列的通项公式即可. （2）根据（1）以及裂项相消法求解即可. 【详解】（1）， 所以 ， 当时满足以上通项公式， 综上所述：的通项公式为； （2）， 当时，， 当时，， 综上所述：. 例3．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）已知数列满足，且 (1)求证：数列是等差数列，并求; (2)令，求数列的前n项和 【答案】(1)因，易得， 则， 即，则是以为首项，公差为的等差数列， 则 ; (2). 【分析】（1）可将化为，据此可完成证明并求出； （2）由（1）结合裂项求和法可得答案. 【详解】（1） 略 （2）由（1）, 则 . 变式1．（25-26高二下·河北衡水·阶段检测）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)已知，数列的前项和为，求当时的最小值． 【答案】(1) (2)16 【分析】（1）根据与的关系求解即可. （2）根据（1）求出，再利用对数的性质得到，进而求出的最小值. 【详解】（1）， ． ，．     当时，．     当时，．     经检验，当时，也符合此式， ． （2），     ．     又，，解得． ，的最小值为16． 变式2．（2026·江苏·模拟预测）设数列满足，，且．记． (1)证明：数列是等差数列，并求出的通项公式； (2)设数列的前项和为，试比较和的大小． 【答案】(1)∵， ∴， ∴，即 ∴数列是以为首项，1为公差的等差数列. ∴． (2) 【详解】（1）略 （2）由，解得， ∵， ∴， ∵，∴． 变式3．（25-26高二下·北京顺义·阶段检测）已知数列满足，且． (1)求证：数列是等差数列： (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）对已知递推式进行变形，根据等差数列的性质证明结论； （2）先求出的通项公式，进而求出的通项公式，再求出的通项公式，最后利用裂项相消法求出． 【详解】（1）已知，则， ， ，， 是首项为3，公差为的等差数列． （2）由（1）知，， ， ， ， ． 考点二 错位相减法 例1．（25-26高二下·江西景德镇·阶段检测）已知数列满足，，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)，； (2) 【详解】（1）由已知，， 可得，， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，则 数列是以为首项，2为公差的等差数列， 从而可以得到，； （2）由（1）可得， 设数列的前项和为， 所以， ， 错位相减得 ， 所以. 例2．（25-26高二下·河南洛阳·阶段检测）已知等差数列与公比为正数的等比数列满足，，. (1)求数列，的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）直接利用已知条件建立等量关系式求出数列的通项公式． （2）结合题意利用分组求和法与错位相减法求和即可. 【详解】（1）由题意，设等差数列的公差为， 等比数列的公比为，，则 解得， 所以数列的通项公式，的通项公式为. （2）由题意得， 则数列的前项和 ， 设， 则， 则 ， 所以，所以. 例3．（25-26高二下·辽宁大连·期中）已知数列的前项和为，，且. (1)求的通项公式； (2)设数列满足，记的前项和为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，利用与间的关系，即可求解； （2）根据条件和（1）可得，再利用错位相减法，即可求解. 【详解】（1）因为①，则②， 由①②得到，即， 又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 则. （2）由（1）知，又，所以， 则③， ④， 由③④得到， 所以. 变式1．（25-26高二下·广东江门·期中）已知数列满足，且． (1)证明：数列是等比数列； (2)求的前n项和． 【答案】(1) 证明见解析； (2) . 【分析】（1）由递推公式构造相关数列，再利用等比数列定义可完成证明； （2）由（1）结合错位相减法，分组求和法可得答案. 【详解】（1）因，则， 从而，则是以为首项，公比为2的等比数列； （2）由（1）可得：，则， 从而 ， 设，则， 从而， 又， 则. 变式2．（2026·湖北武汉·模拟预测）在数列中，，，，且数列是等差数列. (1)求的通项公式； (2)求的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用等差数列通项公式列式，再利用构造法，结合等比数列定义求解. （2）由（1）的结论，利用错位相减法求和即得. 【详解】（1）依题意，，则等差数列的公差， ，因此，数列是首项为，公比为的等比数列， ，即，所以数列的通项公式为. （2）由（1）得，则， 两式相减得， 所以. 变式3．（25-26高二下·重庆·期中）数列满足，，且． (1)证明是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）对给定递推式变形构造目标数列证明其为等比数列； （2）利用(1)中等比数列结论构造等差数列求出通项即可； （3）根据通项等差乘等比的结构用错位相减法求前n项和. 【详解】（1）已知 ， 移项可得 ， 又 ，，则 ， 因此 为常数， 故 是首项为3，公比为3的等比数列. （2）由（1）得 ， 两边同除以得， 因此是首项为，公差为的等差数列， 故，即知. （3）由（2）知， 所以 ，① 两边同乘3得 ，② ①-②得： ， ， 所以 ， 解得. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：裂项相消法、错位相减法专项训练 期末复习：裂项相消法、错位相减法专项训练 考点目录 裂项相消法 错位相减法 考点一 裂项相消法 例1.(2026江苏徐州·模拟预测)设Sn是等比数列{an}的前项和，已知S2=4,a=3a4· (1)求an和Sn; 2设，=，求数列b,}的前项和工. SS 例2.(25-26高三下·河南阶段检测)己知数列an}满足a,=1,a2=5,且数列{a1-a}是公差为4的等差数列. (1)求数列{an}的通项公式： ②求证：上+上+1++上< a az ds a 2 期末复习：裂项相消法、错位相减法专项训练 例3.2526高=下-河南南阳阶段检测)已知数列a,满足3a1-a,=1+a.o(neN),且a=号 (1)求证：数列 1 a-1 是等差数列，并求an; (2)令b,= (n∈N),求数列b,}的前n项和T, (n+2)2an 变式1.(25-26高二下·河北衡水阶段检测)已知数列{an}的前n项和为Sn,且(n+1)S。-n3-n2=0. (I)求数列{an}的通项公式： (2)已知b,=log,a,数列{b,}的前项和为T,求当T,<-5时的最小值. an+l 期末复习：裂项相消法、错位相减法专项训练 变式2.2026-江苏颅拟预测)设数列a,}满足a=名ae0受，且amac0·记6，=1ama, cosa (I)证明：数列{bn}是等差数列，并求出{bn}的通项公式； (2)设数列 1 的前n项和为Sn,试比较Sn和sin2an的大小. 3b,b 变式3.2526高二下北京顺义阶段检测D已知数列1Q,满是a且00 3+a 1 (1)求证：数列 是等差数列： a (2)若bn=an·an+1,求数列{bn}的前项和Sn. 期末复习：裂项相消法、错位相减法专项训练 考点二 错位相减法 例1.(2526高=下-江西录德镇阶段检测)已知数列口，.仙，}满足4-4=分，2a=30,+6,+2, 5 2bn+1=an+3bn-2. (I)求数列{an},{bn}的通项公式 (2)求数列{a,2-b2}的前n项和 例2.(25-26高二下·河南洛阳·阶段检测)已知等差数列{an}与公比为正数的等比数列{bn}满足b,=2a,=2, 42+b=10,4+b,=7 (1)求数列{an},{bn}的通项公式： (2)若cn=(an+I)(bn+1),求数列cn}的前n项和Sn 期末复习：裂项相消法、错位相减法专项训练 例3.2s26商=下-辽宁大连期中）已知数列a的前项和为，a=-}且3+3a+9=0 (I)求{an}的通项公式； (②)设数列{bn}满足3b,+(n-4)an=0(n∈N),记{bn}的前n项和为Tn,求. 变式1.(25-26高二下广东江门期中)己知数列{an}满足a,=-2,且a1=2an+3. (1)证明：数列{a,+3是等比数列； (2)求{an}的前n项和Sn. 期末复习：裂项相消法、错位相减法专项训练 变式2.206满北武汉模拟预测)在载列a中，a令4弓。-行且数 na 是等差数列 (I)求{an}的通项公式： (2)求{an}的前n项和Sn 变式3.(25-26高二下·重庆期中)数列{an}满足41=1，a2=6,且a+2=6a+1-9an· (1)证明{an+1-3an}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式an; (3)求数列{an}的前n项和Sn. 6