2025--2026学年人教版八年级下册期末数学复习试卷

**基本信息** 立足八年级下册核心知识，融合生活实践与文化传承，梯度设计考查数学抽象、推理及数据观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6题|二次根式运算、多边形内角和、一次函数性质等|以平板支架（勾股定理）、排球训练身高（统计）创设情境| |填空题|6题|二次根式意义、函数自变量范围、勾股数等|结合等腰三角形运动（几何直观）、方差比较（数据意识）| |解答题|11题|赵爽弦图验证勾股定理、一次函数应用、种植实践统计等|科学健身心率（模型观念）、旅行社收费（应用意识）、柴胡生长数据（数据分析）综合考查|

人教版八年级下册期末复习试卷 一．选择题（共6小题） 1．下列各式计算正确的是（　　） A． B． C．2 D．3 2．一个多边形内角和是外角和的2倍，它是（　　） A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 3．现有一个可调节角度的平板支架AOB放在桌面上，如图所示，其支撑臂OA长度固定，当点A到桌面的高度AC＝20cm时，OC＝15cm；当压低支撑臂OA到OA′的位置时，点A′到桌面的高度A′D＝7cm，则此时OD的长度为（　　） A．25cm B．24cm C．23cm D．20cm 4．对于函数y，当自变量x＝2.5时，对应的函数值是（　　） A．2 B．﹣2 C．±2 D．4 5．下列关于直线y＝﹣x﹣2的说法正确的是（　　） A．一定经过点（1，2） B．与x轴交于点（0，﹣2） C．y随x的增大而增大 D．图象经过二、三、四象限 6．为了更好地迎接庐阳区排球比赛，某校积极准备，从全校学生中遴选出21名同学进行相应的排球训练，该训练队成员的身高如下表： 身高（cm） 170 172 175 178 180 182 185 人数（个） 2 4 5 2 4 3 1 则该校排球队21名同学身高的众数和中位数分别是（单位：cm）（　　） A．185，178 B．178，175 C．175，178 D．175，175 二．填空题（共6小题） 7．若二次根式有意义，则实数x的取值范围是 　 　 ． 8．从六边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将六边形分成n个三角形，则2m﹣3n的值为　 　 ． 9．函数中自变量x的取值范围是　 　 ． 10．如图等腰三角形ABC的底边长为8cm，腰长为5cm，一动点P（不与B，C重合），在底边上从B向C以1cm/s的速度移动，当P运动　 　 秒时，三角形ACP是直角三角形． 11．若正比例函数y＝3x的图象经过点M（m，2m+1），则m的值是　 　 ． 12．在一次演讲活动中，一位选手的得分分别为：9，8，8，10，7，6，设这组数据的方差为，若去掉一个最高分和一个最低分后，方差为，则　 　 ．（填“＞”，“＜”或“＝”） 三．解答题（共11小题） 13．化简：． 14．求边长为的等边三角形的周长和面积． 15．小明在参观我国古代园林时，发现一个有趣的景观：一个正方形的莲花池，池中心有一支荷花高出水面1尺（如图）．一阵风吹过，荷花被吹倒，荷花顶端恰好到达池边的水面．如果荷花与水面相交点离池边2尺，请你帮小明算一算池塘的水深和荷花的长度．（注：1尺＝10寸，结果用尺表示） 16．如图，在菱形ABCD中，AE⊥CD，垂足为E，CF⊥AD，垂足为F．求证：DF＝DE． 17．北京到天津的路程约为120km，刘海涛和同学一起骑自行车从北京去天津旅游．如果他们骑车的速度是15km/h，出发t时后，距天津还有skm的路程，求s（km）与t（h）的函数表达式，并求出t的取值范围． 18．一般而言，把运动心率控制在最大心率的60%﹣80%（即“燃脂心率”区间），既能实现高效燃脂，又能保障运动安全．为助力大众科学健身，相关部门整理了正常情况下不同年龄段的最大心率参考数据（如下表所示），便于人们准确把握适宜自身的运动强度． 年龄（岁） … 20 25 30 35 40 … 最大心率（次/分钟） … 200 195 190 185 180 … 根据上表回答下列问题： （1）自变量是　 　 ，因变量是　 　 ； （2）正常情况下，随着年龄的增加，最大心率是怎样变化的？ （3）30岁的张老师运动时测得心率为123次/分钟，请通过计算帮助张老师判断他运动时的心率是否在“燃脂心率”区间． 19．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF＝BE，连接DF，AF与DE交于点O． （1）求证：四边形AEFD为矩形； （2）若AB＝6，OE＝4，∠BAE＝∠DEF，求BF、DF的长． 20．在平面直角坐标系xOy中，已知函数y1＝x+m和y2＝mx（m≠0）． （1）若这两个函数的图象交于点A，求证：点A一定不在直线x＝1上； （2）当x＜2时，对于x的每一个值，函数y1的值都大于y2的值，直接写出m的取值范围． 21．暑假期间，两位家长计划带领若干名学生去旅游，他们联系了报价均为每人500元的两家旅行社，经协商，甲旅行社的优惠条件是：两名家长全额收费，学生都按七折收费；乙旅行社的优惠条件是：家长、学生都按八折收费． （1）设学生数为x人，甲旅行社收费为y1元，则函数关系式y1＝　 　 ，设学生数为x人，乙旅行社收费为y2元，则函数关系式y2＝　 　 ． （2）什么情况下，选甲旅行社更优惠？ 22．第14届数学教育大会（ICME﹣14）会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形． 【知识探索】（1）请用图2验证勾股定理：c2＝a2+b2； 【知识迁移】（2）①如果满足等式a2+b2＝c2的a、b、c是三个正整数，我们称a、b、c为勾股数．已知m、n是正整数且m＞n．请证明2mn，m2+n2，m2﹣n2是勾股数； ②根据①中的结论，写出一组符合条件的勾股数　 　 ； 【知识应用】（3）鹿鸣社团计划在学校菜园上种青菜，使之构成如图2所示的“弦图”，已知这四个直角三角形的三边是勾股数，最短的边长为12米，种青菜要求：仅在三角形边上种青菜，每个三角形顶点处都种1棵青菜，各边上相邻两棵青菜之间的距离均为1米，那么这块菜园最少需要种植多少棵青菜？（直接写出结果，不必说明理由） 23．为弘扬中医药文化，某中学在学校的种植实验基地开展了主题为“校园百草园”的种植实践活动．从2025年1月1日起，某项目小组在“柴胡”种植区随机选取100株“柴胡”对其生长高度进行定期测量与记录，并将调查结果绘制成如下统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）“柴胡”株高月平均增长量在　 　 月最高，株高月平均增长量的中位数是　 　 cm； （2）若该校“柴胡”种植区共有1000株“柴胡”，全年均正常生长，请估计2025年12月底，株高达到A级与B级的“柴胡”共有多少株？ （3）该项目小组通过查阅资料得知：当“柴胡”株高月增长量不高于2cm时属于“缓慢生长期”，这时应减少灌溉频率，并注意防寒保温；当“柴胡”株高月增长量高于4cm时属于“快速生长期”，这时应及时进行中耕除草和追施氮肥，促进幼苗健壮生长．该项目小组结合统计图1提出了“柴胡”的下一年度新苗种植管理建议，下列所有正确建议的序号是　 　 ． ①在明年6月至8月，“柴胡”进入“快速生长期”，应及时进行中耕除草和追施氮肥，促进幼苗健壮生长； ②在明年9月至10月，“柴胡”同时满足“缓慢生长期”和“快速生长期”的管理要求，需要同时采取减少灌溉和中耕除草、追施氮肥的措施； ③在明年12月至后年3月，“柴胡”进入“缓慢生长期”，应减少灌溉频率，并注意防寒保温． 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 1．下列各式计算正确的是（　　） A． B． C．2 D．3 【分析】利用二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的乘法法则对B、C进行判断．根据二次根式的性质对D进行判断． 【解答】解：A、与不能合并，所以A选项的计算错误； B、原式，所以B选项的计算正确； C、原式＝2，所以C选项的计算错误； D、原式，所以D选项的计算错误． 故选：B． 2．一个多边形内角和是外角和的2倍，它是（　　） A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 【分析】多边形的外角和是360°，则内角和是2×360＝720°．设这个多边形是n边形，内角和是（n﹣2）•180°，这样就得到一个关于n的方程，从而求出边数n的值． 【解答】解：设这个多边形是n边形，根据题意内角和是（n﹣2）•180°得： （n﹣2）×180°＝2×360°， 解得：n＝6， 故选：B． 3．现有一个可调节角度的平板支架AOB放在桌面上，如图所示，其支撑臂OA长度固定，当点A到桌面的高度AC＝20cm时，OC＝15cm；当压低支撑臂OA到OA′的位置时，点A′到桌面的高度A′D＝7cm，则此时OD的长度为（　　） A．25cm B．24cm C．23cm D．20cm 【分析】利用勾股定理进行解答即可． 【解答】解：由题意得，∠ACO＝90°，∠A′DO＝90°， ∴在Rt△AOC中，， ∴OA′＝OA＝25cm， ∴在Rt△A′OD中，， 故选：B． 4．对于函数y，当自变量x＝2.5时，对应的函数值是（　　） A．2 B．﹣2 C．±2 D．4 【分析】根据自变量的值代入函数式计算即可． 【解答】解：当x＝2.5时，y2； 故选：A． 5．下列关于直线y＝﹣x﹣2的说法正确的是（　　） A．一定经过点（1，2） B．与x轴交于点（0，﹣2） C．y随x的增大而增大 D．图象经过二、三、四象限 【分析】根据一次函数的性质逐项验证即可得到答案． 【解答】解：y＝﹣x﹣2， A、∵当x＝1时，y＝﹣1﹣2＝﹣3≠2， ∴直线不经过点（1，2），原说法错误，不符合题意； B、∵令y＝0，得0＝﹣x﹣2，解得x＝﹣2， ∴与x轴交于点（﹣2，0），原说法错误，不符合题意； C、∵一次项系数k＝﹣1＜0， ∴y随x的增大而减小，原说法错误，不符合题意； D、∵k＝﹣1＜0，b＝﹣2＜0， ∴图象经过二、三、四象限，正确，符合题意． 故选：D． 6．为了更好地迎接庐阳区排球比赛，某校积极准备，从全校学生中遴选出21名同学进行相应的排球训练，该训练队成员的身高如下表： 身高（cm） 170 172 175 178 180 182 185 人数（个） 2 4 5 2 4 3 1 则该校排球队21名同学身高的众数和中位数分别是（单位：cm）（　　） A．185，178 B．178，175 C．175，178 D．175，175 【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据． 【解答】解：因为175出现的次数最多， 所以众数是：175cm； 因为第十一个数是175， 所以中位数是：175cm． 故选：D． 二．填空题（共6小题） 7．若二次根式有意义，则实数x的取值范围是 x≥4　 ． 【分析】根据二次根式有意义的条件得到x﹣4≥0，由此解不等式即可求解． 【解答】解：根据题意，得x﹣4≥0， 解得x≥4． 故答案为：x≥4． 8．从六边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将六边形分成n个三角形，则2m﹣3n的值为　﹣6　 ． 【分析】n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，它们把n边形分成（n﹣2）个三角形，由此即可计算． 【解答】解：∵从六边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将六边形分成n个三角形， ∴n＝6﹣2＝4，m＝6﹣3＝3， ∴2m﹣3n＝2×3﹣3×4＝﹣6， 故答案为：﹣6． 9．函数中自变量x的取值范围是x＞1　 ． 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围． 【解答】解：根据题意得：x﹣1＞0， 解得：x＞1． 故答案为：x＞1． 10．如图等腰三角形ABC的底边长为8cm，腰长为5cm，一动点P（不与B，C重合），在底边上从B向C以1cm/s的速度移动，当P运动　1.75或4　 秒时，三角形ACP是直角三角形． 【分析】先利用等腰三角形“三线合一”求出BD、CD以及BC边上的高AD，再分别讨论∠PAC和∠APC为直角的情况，利用勾股定理分别求出两种情况下PB的长，即可求出所需时间． 【解答】解：如图，作AD⊥BC， ∵BC＝8cm，AB＝AC＝5cm， ∴BD＝CD＝4cm， ， 当点P运动到与点D重合，即∠APC为直角时，△ACP是直角三角形， 此时BP＝4cm， ∴运动时间为4÷1＝4（秒）； 当∠PAC＝90°时，设PD＝x， ∴PA2＝PD2+AD2＝x2+32＝x2+9， 又∵PA2＝PC2﹣AC2＝（x+4）2﹣52＝x2+8x﹣9， ∴x2+9＝x2+8x﹣9， ∴x＝2.25， ∴BP＝4﹣2.25＝1.75， 1.75÷1＝1.75（秒）； 综上可得：在底边上从B向C以1cm/s的速度移动，当P运动4秒或1.75秒时，△ACP是直角三角形； 故答案为：1.75或4． 11．若正比例函数y＝3x的图象经过点M（m，2m+1），则m的值是　1　 ． 【分析】将点M（m，2m+1）代入正比例函数y＝3x的解析式，得到关于m的一元一次方程，解方程即可求得m的值． 【解答】解：由条件可知2m+1＝3m， 解得m＝1， 故答案为：1． 12．在一次演讲活动中，一位选手的得分分别为：9，8，8，10，7，6，设这组数据的方差为，若去掉一个最高分和一个最低分后，方差为，则　＞　 ．（填“＞”，“＜”或“＝”） 【分析】根据方差的意义解答即可． 【解答】解：去掉一个最高分和一个最低分后，数据的波动比原来小，即方差比原来小，即， 故答案为：＞． 三．解答题（共11小题） 13．化简：． 【分析】先根据二次根式有意义的条件求出m＜0，再根据二次根式的除法法则进行计算即可． 【解答】解：要使有意义，必须﹣m3≥0且0， 解得：m＜0， 所以 ＝3|m| ＝﹣3m． 14．求边长为的等边三角形的周长和面积． 【分析】等边三角形有边长可求其周长，再由勾股定理求三角形的高，进而可求解面积． 【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D， ∵等边三角形边长为， ∴其周长为； 在Rt△ABD中，BD， 由勾股定理，AD， ∴三角形的面积S＝BC•AD＝×25． 15．小明在参观我国古代园林时，发现一个有趣的景观：一个正方形的莲花池，池中心有一支荷花高出水面1尺（如图）．一阵风吹过，荷花被吹倒，荷花顶端恰好到达池边的水面．如果荷花与水面相交点离池边2尺，请你帮小明算一算池塘的水深和荷花的长度．（注：1尺＝10寸，结果用尺表示） 【分析】设池塘水深度AC为x尺，则荷花原长AD为（x+1）尺，由于荷花位于水池中央，所以BC为2尺，然后由勾股定理得AC2+BC2＝AB2，即（x+1）2＝x2+22，然后求出x的值即可． 【解答】解：设池塘水深度AC为x尺，则荷花原长AD为（x+1）尺，由于荷花位于水池中央，所以BC为2尺， 在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，即（x+1）2＝x2+22， 解得：x＝1.5． ∴池塘水深为1.5尺，荷花长度为1.5+1＝2.5， 答：池塘水深1.5尺，荷花长2.5尺． 16．如图，在菱形ABCD中，AE⊥CD，垂足为E，CF⊥AD，垂足为F．求证：DF＝DE． 【分析】由菱形的性质可得AD＝CD，再证明△AED≌△CFD（AAS），即可得证． 【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝CD， ∵AE⊥CD，CF⊥AD， ∴∠AED＝∠CFD＝90°． ∵∠D＝∠D， ∴△AED≌△CFD（AAS）， ∴DE＝DF． 17．北京到天津的路程约为120km，刘海涛和同学一起骑自行车从北京去天津旅游．如果他们骑车的速度是15km/h，出发t时后，距天津还有skm的路程，求s（km）与t（h）的函数表达式，并求出t的取值范围． 【分析】由路程＝速度×时间可求得其行驶的路程，则可求得s，可求其解析式，再由路程为120km可求得t的最大值，可求得t的取值范围． 【解答】解：由题意可知其行驶的路程为15t， ∴s＝120﹣15t， 由题意可知其行驶时间t的最大值为8， ∴t的取值范围为0≤t≤8； 18．一般而言，把运动心率控制在最大心率的60%﹣80%（即“燃脂心率”区间），既能实现高效燃脂，又能保障运动安全．为助力大众科学健身，相关部门整理了正常情况下不同年龄段的最大心率参考数据（如下表所示），便于人们准确把握适宜自身的运动强度． 年龄（岁） … 20 25 30 35 40 … 最大心率（次/分钟） … 200 195 190 185 180 … 根据上表回答下列问题： （1）自变量是　年龄　 ，因变量是　最大心率　 ； （2）正常情况下，随着年龄的增加，最大心率是怎样变化的？ （3）30岁的张老师运动时测得心率为123次/分钟，请通过计算帮助张老师判断他运动时的心率是否在“燃脂心率”区间． 【分析】（1）根据自变量，因变量概念分析求解，即可解题； （2）结合表格中数据变化情况分析即可； （3）根据运动心率在最大心率的60%﹣80%，即在“燃脂心率”区间，列式计算，并判断，即可解题． 【解答】解：（1）根据题意可知，自变量是年龄，因变量是最大心率； 故答案为：年龄；最大心率； （2）正常情况下，随着年龄的增加，最大心率在减小（或正常情况下，年龄每增加1岁，最大心率减小1次/分钟）； （3）根据运动心率在最大心率的60%﹣80%，即在“燃脂心率”区间，列式计算可得： ，即张老师的运动心率控制在最大心率的60%﹣80%， ∴张老师运动时的心率在“燃脂心率”区间． 19．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF＝BE，连接DF，AF与DE交于点O． （1）求证：四边形AEFD为矩形； （2）若AB＝6，OE＝4，∠BAE＝∠DEF，求BF、DF的长． 【分析】（1）先根据一组对边平行且相等证明四边形AEFD为平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可证明四边形AEFD为矩形； （2）先根据矩形的性质通过导角证明∠BAF＝90°，再用勾股定理解Rt△BAF求出BF，最后根据求出AE即可． 【解答】（1）证明：∵BE＝CF， ∴BE+CE＝CF+CE，即BC＝EF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴AD＝BC＝EF， 又∵AD∥EF， ∴四边形AEFD为平行四边形， ∵AE⊥BC， ∴∠AEF＝90°， ∴平行四边形AEFD为矩形； （2）解：∵四边形AEFD为矩形， ∴， ∴AF＝DE＝2OE＝8，OA＝OF＝OD＝OE， ∴∠DEF＝∠AFE， 又∵∠AEF＝90°， ∴∠EAF+∠AFE＝90°， 又∵∠BAE＝∠DEF，∠DEF＝∠AFE， ∴∠BAE+∠EAF＝90°， ∴∠BAF＝90°， 在Rt△BAF中，由勾股定理得：BF2＝AB2+AF2＝62+82＝100， ∴BF＝10， ∵， ∴， 解得AE＝4.8， ∴DF＝AE＝4.8． 20．在平面直角坐标系xOy中，已知函数y1＝x+m和y2＝mx（m≠0）． （1）若这两个函数的图象交于点A，求证：点A一定不在直线x＝1上； （2）当x＜2时，对于x的每一个值，函数y1的值都大于y2的值，直接写出m的取值范围． 【分析】（1）根据函数解析式求出交点横坐标，根据坐标特征进行证明； （2）根据题意得出（1﹣m）x+m＞0，然后分三种情况进行讨论，根据一次函数的性质等即可求解． 【解答】（1）证明：由x+m＝mx得， ∴两直线的交点的横坐标为， ∵m≠m﹣1， ∴， ∴点A一定不在直线x＝1上； （2）∵当x＜2时，对于x的每一个值，函数y1的值都大于y2的值， ∴x+m＞mx， ∴（1﹣m）x+m＞0， 当m＜1时，解（1﹣m）x+m＞0得，这与当x＜2时，x+m＞mx矛盾，这种情况不存在； 当m＝1时，1＞0恒成立，故m＝1满足题意； 当m＞1时，（1﹣m）x+m的值随x的增大而减小，需满足x＝2时值大于等于0，即2（1﹣m）+m≥0， 解得m≤2； ∴1≤m≤2． 21．暑假期间，两位家长计划带领若干名学生去旅游，他们联系了报价均为每人500元的两家旅行社，经协商，甲旅行社的优惠条件是：两名家长全额收费，学生都按七折收费；乙旅行社的优惠条件是：家长、学生都按八折收费． （1）设学生数为x人，甲旅行社收费为y1元，则函数关系式y1＝　350x+1000　 ，设学生数为x人，乙旅行社收费为y2元，则函数关系式y2＝　400x+800　 ． （2）什么情况下，选甲旅行社更优惠？ 【分析】（1）利用甲旅行社收费＝500×2+500×0.7×学生人数，可找出y1关于x的函数关系式；利用乙旅行社收费＝500×0.8×（2+学生人数），可找出y2关于x的函数关系式； （2）根据选甲旅行社更优惠，可列出关于x的一元一次不等式，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）根据题意得：y1＝500×2+500×0.7x＝350x+1000； y2＝500×0.8（x+2）＝400x+800． 故答案为：350x+1000，400x+800； （2）根据题意得：y1＜y2， 即350x+1000＜400x+800， 解得：x＞4． 答：当学生人数超过4人时，选甲旅行社更优惠． 22．第14届数学教育大会（ICME﹣14）会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形． 【知识探索】（1）请用图2验证勾股定理：c2＝a2+b2； 【知识迁移】（2）①如果满足等式a2+b2＝c2的a、b、c是三个正整数，我们称a、b、c为勾股数．已知m、n是正整数且m＞n．请证明2mn，m2+n2，m2﹣n2是勾股数； ②根据①中的结论，写出一组符合条件的勾股数　20，48，52　 ； 【知识应用】（3）鹿鸣社团计划在学校菜园上种青菜，使之构成如图2所示的“弦图”，已知这四个直角三角形的三边是勾股数，最短的边长为12米，种青菜要求：仅在三角形边上种青菜，每个三角形顶点处都种1棵青菜，各边上相邻两棵青菜之间的距离均为1米，那么这块菜园最少需要种植多少棵青菜？（直接写出结果，不必说明理由） 【分析】（1）用两种方法求正方形面积即可求证； （2）①分别求出（2mm）2＝4m2n2，（m2+n2）2＝m4+2m2n2+n4，（m2﹣n2）2＝m4﹣2m2n2+n4，则有（2mm）2+（m2﹣n2）2＝（m2+n2）2，从而求证； ②取m＝6，n＝4即可求解； （3）由m、n是正整数且m＞n，则要使勾股数最小则有m＝2，n＝1，得出最小勾股数为3，4，5，又最短的边长为12米，则直角三角形三边为12米，16米，20米，所以这块菜园最少种植青菜4×（16+20）﹣4＝140（棵），从而求解． 【解答】（1）证明：∵正方形的面积为c2， 或 ＝2ab+b2﹣2ab+a2 ＝a2+b2， ∴a2+b2＝c2； （2）①证明：∵（2mm）2＝4m2n2，（m2+n2）2＝m4+2m2n2+n4，（m2﹣n2）2＝m4﹣2m2n2+n4， ∴（2mm）2+（m2﹣n2）2＝（m2+n2）2， ∴2mn，m2+n2，m2﹣n2是勾股数； ②解：取m＝6，n＝4， ∴2mn＝48，m2+n2＝52，m2﹣n2＝20， ∴勾股数为20，48，52， 故答案为：20，48，52（答案不唯一）； （3）解：这块菜园最少需要种植140棵青菜．理由如下： ∵m、n是正整数且m＞n， ∴要使勾股数最小则有m＝2，n＝1， ∴最小勾股数为3，4，5， ∵最短的边长为12米， ∴直角三角形三边为12米，16米，20米， 则这块菜园最少种植青菜4×（16+20）﹣4＝140（棵）． 23．为弘扬中医药文化，某中学在学校的种植实验基地开展了主题为“校园百草园”的种植实践活动．从2025年1月1日起，某项目小组在“柴胡”种植区随机选取100株“柴胡”对其生长高度进行定期测量与记录，并将调查结果绘制成如下统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）“柴胡”株高月平均增长量在　7　 月最高，株高月平均增长量的中位数是　3　 cm； （2）若该校“柴胡”种植区共有1000株“柴胡”，全年均正常生长，请估计2025年12月底，株高达到A级与B级的“柴胡”共有多少株？ （3）该项目小组通过查阅资料得知：当“柴胡”株高月增长量不高于2cm时属于“缓慢生长期”，这时应减少灌溉频率，并注意防寒保温；当“柴胡”株高月增长量高于4cm时属于“快速生长期”，这时应及时进行中耕除草和追施氮肥，促进幼苗健壮生长．该项目小组结合统计图1提出了“柴胡”的下一年度新苗种植管理建议，下列所有正确建议的序号是　①③　 ． ①在明年6月至8月，“柴胡”进入“快速生长期”，应及时进行中耕除草和追施氮肥，促进幼苗健壮生长； ②在明年9月至10月，“柴胡”同时满足“缓慢生长期”和“快速生长期”的管理要求，需要同时采取减少灌溉和中耕除草、追施氮肥的措施； ③在明年12月至后年3月，“柴胡”进入“缓慢生长期”，应减少灌溉频率，并注意防寒保温． 【分析】（1）观察折线统计图可知最大值为5.2cm，再确定月份，然后根据中位数的定义解答； （2）用总株数乘以A和B级所占的百分比即可； （3）先确定“柴胡”在株高增长量不同的时期的管理建议，再结合折线统计图确定每个月的实际情况，并按照建议逐个判断即可． 【解答】解：（1）最大值为5.2cm，对应月份为7月．将12个数据从小到大排列：1.5，1.8，2，2，2.5，2.8，3.2，3.5，3.8，4.5，4.8，5.2．中位数为第6和第7个数据的平均数为； 故答案为：7，3； （2）A和B占比为100%﹣17.6%＝82.4%， ∴82.4%×1000＝824（株）． 答：估计株高达到A级与B级的“柴胡”共有824株； （3）12月，1月，2月，3月柴胡的增长量不高于2cm时，属于“缓慢生长期”应减少灌溉频率，并注意防寒保温；4月，5月，9月，10月，在2cm﹣4cm之间，没有具体要求；6月，7月，8月柴胡的增长量高于4cm时，属于“快速生长期”，应及时进行中耕除草和追施氮肥，促进幼苗健壮成长，可知①③正确． 故答案为：①③． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/6/13 14:26:01；用户：钟军；邮箱：13870756251；学号：41363517 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $