2025-2026学年沪教版(五四制)八年级数学下册期末冲刺卷

**基本信息** 结合“空间大脑”技术、双曲线冷却塔等科技与工程情境，梯度设计考查数学抽象、几何直观与模型意识，适配八年级下册期末综合检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|多边形、函数图像、图形变换|第2题以机器人移动情境考查空间观念，第10题正方形折叠多结论判断体现推理能力| |填空题|6/18|矩形动态中点、反比例函数应用|第15题结合双曲线冷却塔工程背景，考查反比例函数建模| |解答题|8/52|函数综合、几何证明与探究|第24题正方形动态问题，融合证明与数量关系探究，发展创新意识|

2025-2026学年沪教版五四制八年级数学下册期末冲刺卷 一、单选题（本大题共10小题.每小题3分.共计30分） 1.从多边形的一个顶点引出的所有对角线，把这个多边形分成2024个三角形，则这个多边 形的边数是() A.2027 B.2028 C.2026 D.2025 2.2026年2月，北京大学董豪教授团队研发的“空间大脑”技术，让机器人能像人类一样理 解空间关系、距离和方位.搭载“空间大脑”技术的机器人从起始位置点O出发，按以下指令 移动：指令1：向北移动4米到点A；指令2：右转90°，向东移动3米到点B;指令3：右 转90°，向南移动2米到点C；指令4：右转90°，向西移动5米到点D.判断下列结论中 不正确的是（) 精确转动路位 A.直线OA与直线CD垂直 B.直线AB与直线CD平行 C.点D位于点0的北偏东45°方向 D.点0与点C之间的距离大于3米 3.小昆家、书店、游泳馆在一条直线上，小昆从家跑步到游泳馆游泳，再去书店看书，最 后散步回家.小昆离家距离y与时间x之间的关系如图所示，则下列结论错误的是() Ay/km 1.0 0.4 07 37455561x/min A.小昆游泳的时间是37分钟 B.小昆从家到游泳馆用了7分钟 C.书店到小昆家的距离是400米 D.小昆从游泳馆到书店平均每分钟走75米 4.如图，直线AB∥CD,点E,F在直线CD上（不与点C,D重合），且CE=DF,若 试卷第1页，共3页 △ACF的面积为8，则BDE的面积是() B D A.4 B.6 C.8 D.10 5.如图，取直线y=-x上一点A(x,),①过点4作x轴的垂线，交y=于点Ax,; ②过点4，作y轴的垂线，交y=-x于点A(x,y；如此循环进行，按照上面的操作，若点 4的坐标为1，-1)，则点Ao26的坐标是() A.(1,1 B.（-1,1 C.-1,-1 D.(1,-1 6.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点B、C在x轴上，点D的坐标是 (-2,2)，,点E是对角线AC的中点，且BE=√10，则点E横坐标为() A.1 B.√5-1 c.V10-2 D.2 7.已知不等式ax+b<0的解集是x>-2,下列有可能是函数y=ax+b的图象的是() 试卷第1页，共3页 8.己知正比例函数片=x与反比例函数5=上的图象相交于点Aa,b)、B(a,b),则下 列结论不正确的是() A.a b=ab2 B.点A,B关于原点对称 C.k2>0 D.若k>0,则反比例函数随x的增大而 减小 9.在平面直角坐标系中，将点A(0,5)沿箭头方向按如图所示规律移动，当点A首次位于x 轴上时，停止移动.甲、乙、丙三位同学的结论如下， 甲：点4的坐标为4,1)： 乙：若在直线y=c两侧的点（点A,A,,A)的个数相等，则k的取值范围为 lck 丙：直线y=x与折线A,一A,一A,相交于点P,P从A到A的运动中k的值先减小后增大. 则下列判断正确的是() 0 A.甲、乙正确B.甲、丙正确 C.乙、丙正确 D.甲、乙、丙都正确 1O.正方形ABCD中，将AB沿AE折叠，使得点B在AC上为点F,折痕为AE,连接EF、 GP,给出下列结论：4)∠B4E=225;(2)品-2：〈3)Sam=S.m:④医边形 BEFG为菱形；(5)若SA4oc=1,则正方形ABCD的面积为4+42.其中正确的结论是() D R G A A.(1)(4) B.(1)(2)(5) C.(1)(3)(4) D.(1)(4)(5) 试卷第1页，共3页 二、填空题（本大题共6小题.每小题3分.共计18分） 11.如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=3,E,F分别是边AD,CD上的动点，连接 BE,EF,G为BE的中点，H为EF的中点，连接GH,则GH的最大值是 B E H 12.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为1,3)，点B在x轴上，将△OAB沿x轴 向右平移得到△CDE,若四边形ABED的面积为6，则点D的坐标为 B 13.在平面直角坐标系x0y中，若函数y=(k<0)的图象经过点(a,l和(b,-2),则a+b 0(填“>“=”或“<”). 4 14.已知直线4：y=-。x+4与y轴于与A点，将该直线绕着A点逆时针旋转45°得到新的 3 直线，则直线的函数表达式为 15.火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却 塔（如图1），它的纵截面是如图2所示的轴对称图形，四边形ABCD是一个矩形，以AB所 在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，其中曲线DE和曲线CF分别 是两个反比例函数图象的一部分，若冷却塔的高度为110m,BC=20m,上口宽EF=16m ,则底部直径AB的长为m· 试卷第1页，共3页 YA B主 图1 图2 16.已知直线%=-x,乃=-2x+2，乃=行x+3.若无论取何值，y总取%，片，⅓中 3 的最大值，则y的最小值是一 三、解答题 17.在平面直角坐标系中，三角形ABC经过平移得到三角形A'B'C',位置如图所示 34x (1)分别写出A,4的坐标：A,A-: (2)请说明三角形A'B'C'是由三角形ABC经过怎样的平移得到； (3)若M(m,4-n)是三角形ABC内部的一点，经过平移后，点M在三角形A'B'C'中的对应点 M'的坐标为2m-8,n-4),求m和n的值 18.如图，在等边ABC中，D,E分别为边AB,AC的中点，连接BE,CD交于点O, F,G分别为OB,OC中点，连结DF,EG,DE,FG. G (1)求证：DG和EF互相平分； (2)若AB=6,求四边形DEGF的周长 试卷第1页，共3页 19.为了预防流感，大庆市第三十六中学对教室进行“药熏消毒”.己知药物燃烧阶段室内每 立方米空气中的含药量y(mg)与燃烧时间x(min)成正比例.燃烧完毕后，y与x成反 比例（如图).根据图中信息解答下列问题： Ay/mg 8 10 x/min (1)请求出药物燃烧时及药物燃烧后，y与x函数关系式及自变量的取值范围； (2)当每立方米空气中含药量低于1.6g时，对人体方能无毒副作用.那么从有人开始消毒， 至少经过多长时间后学生才可以回教室 20.如图、在平面直角坐标系中，反比例函数y=《(x>0)的图象经过A0B的顶点A(2,3)和 顶点B,OM是AOB的中线， B (I)求反比例函数的表达式： (2)若点B的纵坐标为1，求△B0M的面积 21.国家体育总局等部门联合发布的《青少年科学健身普及和运动干预三年行动计划 (2026-2028年)》，旨在通过加强青少年科学健身普及和运动干预提升儿童和青少年的健康 素质，周末，小明从家出发匀速去体育馆锻炼身体后匀速返回家，如图是他离家的距离y(单 位：km)与离开家的时间x(单位：min)之间的关系，已知他在体育馆的时间为1小时. y/km 1.5 20 t 95 x/min 请根据相关信息，解答下列问题： (1)①填空：图中t= ②求小明返回家的过程中，y与x之间的函数关系式： 试卷第1页，共3页 (2)当小明离开体育馆后，离家的距离为0.6km时，他离开体育馆多长时间？ 22.在平面直角坐标系中，Am,6),B(n,0),其中m,n满足m-4+√n-8=0 D B B 图1 图2 (1)如图1，已知点C(-2,-5),求ABC的面积： (②)如图2，过点A向y轴作垂线，垂足为D,请问在x轴的上方是否存在点E,使△EAD与 △E0B的面积相等，且△EAB的面积是△EOD面积的3倍？若存在，求出E点坐标；若不存 在，请说明理由 23.如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y,=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两 点，一次函数y2=x+b的图象与x轴、y轴分别交于C,D两点，且与y=x+3的图象交于 点E(m,4).已知0D=20B. D B B AH O 图1 图2 (1)求k,b的值： (2)点G为线段CE上一点，连接BG,BDE和四边形COBG的面积分别记为S,S2.在线 段AE上有两动点PQ(点P在点Q的上方)，且PQ=√2，过点Q作QH⊥x轴于点H, 连接PG.当S2=4S,时，求GP+PQ+QH的最小值： (3)如图2，将BDE沿射线BA方向平移得到△B'DE',点M为平面内一点，当以D,A, 试卷第1页，共3页 E,M为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点D的横坐标. 24.己知，在正方形ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E是BD上一动点（不与点B, D,O重合)，作EF⊥AE交直线BC于点F. A D E B 备用图 (1)如图，当点E在线段0D上时. ①证明：AE=EF; ②用等式表示线段BE,BF,BC的数量关系并证明； (2)直接写出线段BE,DE,BF的数量关系. 试卷第1页，共3页 2025-2026学年沪教版五四制八年级数学下册期末冲刺卷 1、 单选题(本大题共10小题.每小题3分.共计30分) 1．从多边形的一个顶点引出的所有对角线，把这个多边形分成2024个三角形，则这个多边形的边数是（   ） A．2027 B．2028 C．2026 D．2025 【答案】C 【分析】根据多边形对角线分割三角形的个数规律，核心结论为从边形一个顶点引出所有对角线，可将多边形分成个三角形，代入已知三角形个数列方程即可求解． 【详解】设这个多边形的边数为， ∵从边形的一个顶点引出所有对角线，可把边形分成个三角形， 已知该多边形被分成2024个三角形， ∴，解得． 2．2026年2月，北京大学董豪教授团队研发的“空间大脑”技术，让机器人能像人类一样理解空间关系、距离和方位．搭载“空间大脑”技术的机器人从起始位置点出发，按以下指令移动：指令1：向北移动4米到点；指令2：右转，向东移动3米到点；指令3：右转，向南移动2米到点；指令4：右转，向西移动5米到点．判断下列结论中不正确的是（     ） A．直线与直线垂直 B．直线与直线平行 C．点位于点的北偏东方向 D．点与点之间的距离大于3米 【答案】C 【分析】根据题意作出示意图，再逐项判断即可． 【详解】解：如图，设与相交于点 则直线与直线垂直，故A正确，不符合题意； 直线与直线平行，故B正确，不符合题意； 点位于点的正西方向，故C错误，符合题意； 点与点之间的距离，故D正确，不符合题意． 3．小昆家、书店、游泳馆在一条直线上，小昆从家跑步到游泳馆游泳，再去书店看书，最后散步回家．小昆离家距离y与时间x之间的关系如图所示，则下列结论错误的是（     ） A．小昆游泳的时间是37分钟 B．小昆从家到游泳馆用了7分钟 C．书店到小昆家的距离是400米 D．小昆从游泳馆到书店平均每分钟走75米 【答案】A 【详解】解：由图像得，小昆游泳的时间是，故A选项符合题意； 小昆从家到游泳馆用了7分钟，故B选项不符合题意； 书店到小昆家的距离是，即，故C选项不符合题意； 小昆从游泳馆到书店的平均速度为，故D选项不符合题意． 4．如图，直线，点E，F在直线上（不与点C，D重合），且．若的面积为8，则的面积是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】过点A作与点G，再根据同高等底进行求解即可． 【详解】解：如图，过点A作与点G， ∵， ∴是的高， ∵，且， ∴， ∵， 又∵， ∴的面积是8． 5．如图，取直线上一点，①过点作x轴的垂线，交于点；②过点作y轴的垂线，交于点；如此循环进行，按照上面的操作，若点的坐标为，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可以写出点、、、、的坐标，从而可以发现各点的变化规律，从而可以写出点的坐标． 【详解】解：如图， ∵点的坐标为， ∴点的横坐标为1， ∴点的坐标为， ∴点的纵坐标为1， ∴点的坐标为， ∴点的横坐标为， ∴点的坐标为， 同理，点的坐标为， ……， ∴四个点一个循环， ∴， ∴点的坐标与点的坐标相同，即． 6．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B、C在x轴上，点D的坐标是，点E是对角线的中点，且，则点E横坐标为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的性质，两点间的距离公式，坐标与图形，矩形的邻边垂直，对边平行，结合点D的坐标可得点C的坐标为，点A的纵坐标为，矩形的对角线相等且互相平分，则，设出点E的横坐标，利用两点间的距离公式建立方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵顶点B、C在x轴上，点D的坐标是， ∴点C的坐标为，点A的纵坐标为， ∵点E是对角线的中点，且， ∴，点E的纵坐标为， 设点E的横坐标为a，则， 解得或， ∵点E在点C右侧，即 ∴， 故选：A． 7．已知不等式的解集是，下列有可能是函数的图象的是（     ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的定义进行判断即可． 【详解】解：不等式的解集是， 直线与轴交点为且随增大而减小，即C选项符合题意． 8．已知正比例函数与反比例函数的图象相交于点、，则下列结论不正确的是（    ） A． B．点，关于原点对称 C． D．若，则反比例函数随的增大而减小 【答案】D 【分析】根据交点特征、函数性质逐一判断选项，找出错误结论即可． 【详解】解：∵ 正比例函数与反比例函数的图象相交于点、， ∴，故A选项结论正确． ∵ 正比例函数与反比例函数的图象都关于原点中心对称， ∴ 两个函数的交点A，B关于原点对称，故B选项结论正确． ∵ 两个函数图象有交点，说明与同号， ∴，故C选项结论正确． 若，由可得，反比例函数的性质是：在每个象限内随x的增大而减小，并非整体随x的增大而减小，故D选项结论错误． 9．在平面直角坐标系中，将点沿箭头方向按如图所示规律移动，当点首次位于轴上时，停止移动．甲、乙、丙三位同学的结论如下， 甲：点的坐标为； 乙：若在直线两侧的点（点，，，）的个数相等，则的取值范围为； 丙：直线与折线相交于点，从到的运动中的值先减小后增大． 则下列判断正确的是（   ） A．甲、乙正确 B．甲、丙正确 C．乙、丙正确 D．甲、乙、丙都正确 【答案】A 【分析】根据题意可推出（k为正整数），，据此求出点的坐标为，则可判断甲；求出点的坐标为，则一共有10个点；再分别求出直线经过时k的值，则可判断乙；当点P在上时，逐渐变小，不变，则k逐渐变小，当点P在上时，逐渐变大，不变，则k逐渐变小，据此可判断丙． 【详解】解：由题意得，当n为奇数时，第n次移动为向下移动1个单位长度，当n为偶数时，第n次移动为向右移动一个单位长度， ∵， ∴，即（k为正整数）， ∴， ∵，， ∴点的坐标为，故甲说法正确； ∴点的坐标为， ∴一共有10个点； 同理可得， 当直线经过时，，解得 当直线经过时，，解得， ∴当时，在直线两侧的点（点，，，）的个数相等，故乙说法正确； ∵， ∴， 当点P在上时，逐渐变小，不变，则k逐渐变小， 当点P在上时，逐渐变大，不变，则k逐渐变小， 综上所述，从到的运动中的值逐渐变小，故丙说法错误． 10．正方形中，将沿折叠，使得点B在上为点F，折痕为，连接、，给出下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）四边形为菱形；（5）若，则正方形的面积为．其中正确的结论是（     ） A．（1）（4） B．（1）（2）（5） C．（1）（3）（4） D．（1）（4）（5） 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，折叠的性质，等腰直角三角形的性质以及菱形的判定与性质，根据正方形的性质，折叠的性质，等腰直角三角形的性质以及菱形的判定与性质逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得：，故（）正确； 由折叠的性质可得：，，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴，故（）错误； ∵平分， ∴点到的距离相等， 设点到的距离为， ∴，， ∵， ∴，故（）错误； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠性质可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形，故（）正确； ∴与平行， ∴， ∵正方形中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设，则， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的面积为，故（）正确． 二、填空题(本大题共6小题.每小题3分.共计18分) 11．如图，在矩形中，，，E，F分别是边，上的动点，连接，，G为的中点，H为的中点，连接，则的最大值是_______________． 【答案】 【分析】连接，，求出，，则求出的最大值即可． 【详解】解：如图，连接，． ∵在矩形中，，， ∴，，， ∵为的中点，为的中点， ∴（三角形的中位线定理）， ∴当取得最大值时，也取得最大值， ∵在是边上的动点，且， ∴当点与点重合时，的值最大，最大值为， ∴的最大值是． 12．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上，将沿轴向右平移得到，若四边形的面积为，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】根据平移的性质可得且，从而判定四边形为平行四边形，利用平行四边形的面积公式求出的长，进而根据平移规律求出点的坐标． 【详解】解：由平移的性质可知，且 四边形是平行四边形 点的坐标为 平行四边形边上的高为 四边形的面积为 平移的距离为 点是由点向右平移得到的 点的横坐标为，纵坐标为 点的坐标为 13．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则________（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】根据反比例函数的解析式，分别将两点坐标代入，用表示出和，计算后，结合的条件判断其与的大小关系即可． 【详解】解：将点代入，得，即， 将点代入，得，即， ∴． ， ， 即． 14．已知直线：与轴于与点，将该直线绕着点逆时针旋转得到新的直线，则直线的函数表达式为__________． 【答案】 【分析】设直线交轴于点，过点作的垂线，交于点，过点作轴于点，首先确定点坐标，易得；证明为等腰直角三角形，可知，进一步证明，由全等三角形的性质可得，进而确定点坐标；设直线的解析式是，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：如下图，设直线交轴于点，过点作的垂线，交于点，过点作轴于点， 对于直线：， 当时，可得，即， 当时，可得，解得，即， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∵轴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式是，将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式是． 15．火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图1)，它的纵截面是如图2所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，其中曲线和曲线分别是两个反比例函数图象的一部分，若冷却塔的高度为，，上口宽，则底部直径的长为____． 【答案】 【分析】设反比例函数的解析式为，代入得出反比例函数的解析式为： ，当时得出，得出，得出，由对称的性质，得，进而求得的长． 【详解】根据题意可知， ． 设反比例函数的解析式为 将点 代入，得 ． 反比例函数的解析式为： ∵， ∴当时， ． 解得．经检验，是分式方程的解． ∴ ． ∴． 由对称的性质，得． ∴ 16．已知直线，，．若无论取何值，总取，，中的最大值，则的最小值是____． 【答案】 【分析】画出三个函数的公共部分，最小值即求三个函数的公共部分的最小值． 【详解】解：由题意，画出三个函数的图象如下： ∵无论取何值，总取，，中的最大值， ∴的最小值是和的交点的纵坐标， 联立，解得， ∴的最小值为. 三、解答题 17．在平面直角坐标系中，三角形经过平移得到三角形，位置如图所示． (1)分别写出A，的坐标：A ， ； (2)请说明三角形是由三角形经过怎样的平移得到； (3)若是三角形内部的一点，经过平移后，点M在三角形中的对应点的坐标为，求m和n的值． 【答案】(1)， (2)向左平移2个单位长度，再向下移动3个单位长度 (3)， 【分析】（1）观察A，在坐标系中的位置即可； （2）根据A，的坐标可确定平移方式； （3）根据平移方式确定对应点的坐标，结合给出的坐标列方程，即可求解． 【详解】（1）解：由图可得，； （2）解：由的对应点为，得点A向左平移2个单位长度，再向下移动3个单位长度得到点， 三角形是由三角形向左平移2个单位长度，再向下移动3个单位长度得到的； （3）解：平移后对应点的坐标为，即， 又的坐标为， ，， 解得，． 18．如图，在等边中，，分别为边，的中点，连接，交于点，，分别为，中点，连结，，，． (1)求证：和互相平分； (2)若，求四边形的周长． 【答案】(1)证明：，分别为边，的中点， ∴是的中位线， 且， 同理且， 且， 四边形是平行四边形， 与互相平分 (2) 【分析】（1）根据三角形中位线定理可证且，且，从而得出且，进而可证结论成立； （2）由，分别为边，的中点，可得，，由是斜边的中点，可得，根据勾股定理求出即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：为等边三角形，， ∴， ∵，分别为边，的中点， ∴，， 由（1）可知，， 在中，是斜边的中点， ， 在中，， 由（1）可知边形是平行四边形， ∴， ， 四边形的周长为． 19．为了预防流感，大庆市第三十六中学对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段室内每立方米空气中的含药量y（）与燃烧时间x（）成正比例．燃烧完毕后，y与x成反比例（如图）．根据图中信息解答下列问题： (1)请求出药物燃烧时及药物燃烧后，y与x函数关系式及自变量的取值范围； (2)当每立方米空气中含药量低于时，对人体方能无毒副作用．那么从有人开始消毒，至少经过多长时间后学生才可以回教室． 【答案】(1)药物燃烧时；，药物燃烧后 (2)至少经过分钟后学生才可以回教室 【分析】（1）设，将点代入函数解析式求出即可；设，将点代入函数解析式求出即可； （2）令，然后结合图象进一步求解可得答案．． 【详解】（1）解：设， ∵函数经过点， ∴，， ∴； 根据函数图象可得 ∴药物燃烧时；， 设， ∵函数经过点， ∴，， ∴； 根据函数图象可得 ∴药物燃烧后； （2）解：∵当每立方米空气中含药量低于时，对人体方能无毒害作用， ∴当时，， 经检验，是原分式方程的解， 由函数图象可知，至少经过分钟后学生才可以回教室． 20．如图、在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过的顶点和顶点，是的中线． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点的纵坐标为，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）分别过点，点作轴的垂线，垂足分别为点，，由反比例函数的性质可知，根据，进而根据三角形中线的性质，即可求解． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ． 故反比例函数的表达式为． （2）点为反比例函数图象上的点，且纵坐标为， ， 点的坐标为． 如图，分别过点，点作轴的垂线，垂足分别为点，， ∵点，点， ，，，， ， 由反比例函数的性质可知 ∵ ∴， 是的中线， ． 21．国家体育总局等部门联合发布的《青少年科学健身普及和运动干预三年行动计划（2026-2028年）》，旨在通过加强青少年科学健身普及和运动干预提升儿童和青少年的健康素质．周末，小明从家出发匀速去体育馆锻炼身体后匀速返回家，如图是他离家的距离（单位：）与离开家的时间（单位：）之间的关系，已知他在体育馆的时间为1小时． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)①填空：图中_____； ②求小明返回家的过程中，与之间的函数关系式； (2)当小明离开体育馆后，离家的距离为时，他离开体育馆多长时间？ 【答案】(1)①80；② (2) 【分析】（1）①观察图象可得答案； ②设函数关系式为，再将点代入可得方程组，求出解即可； （2）将代入关系式求出，再减去离开体育馆的时间可得答案． 【详解】（1）解：①观察图象可知， 解得； ②设与之间的函数关系式为，由题意， 得 解得 与之间的函数关系式为； （2）解：令， 解得， ， 此时他离开体育馆． 22．在平面直角坐标系中，，，其中，满足． (1)如图1，已知点，求的面积； (2)如图2，过点向轴作垂线，垂足为，请问在轴的上方是否存在点，使与的面积相等，且的面积是面积的3倍？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)40 (2)存在，或 【分析】（1）利用绝对值与算术平方根的非负性可得，，如图，作梯形，其中，，，进一步利用割补法求解面积即可； （2）由题意可得：必在和之间，由，，，轴，可得：， ，再分两种情况：如图，当在四边形内时，且在右侧，如图，当在四边形左侧时，进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得，， ∴，， 如图，作梯形，其中，，， ∴ . （2）解：由题意可得：必在和之间， ∵，，，轴， ∴， ∴， 解得：， ∴ ， 如图，当在四边形内时，且在右侧， ∴，， ∴ ， ∵的面积是面积的3倍， ∴，解得； ∴， 如图，当在四边形左侧时， ∴， ， 同理：， 解得； ∴， 综上或． 23．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于两点，一次函数的图象与轴、轴分别交于两点，且与的图象交于点．已知． (1)求的值； (2)点为线段上一点，连接，和四边形的面积分别记为，．在线段上有两动点（点在点的上方），且，过点作轴于点，连接．当时，求的最小值； (3)如图，将沿射线方向平移得到，点为平面内一点，当以，，，为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点的横坐标． 【答案】(1)，； (2)的最小值为； (3)的横坐标为或或或． 【分析】（1）先求出一次函数的图象与轴、轴的坐标，结合题意求出、，再代入一次函数即可求解； （2）先根据一次函数、与坐标轴的交点，设点，分别求出，，根据即可求出点坐标，再作点关于一次函数的对称点，且与一次函数交于点，作轴交一次函数于点，与轴交于点，连接，过点作，且，作轴交一次函数于点，与轴交于点，过点作交于点，连接、、，当三点共线时，且轴时，有最小值，即有最小值，∴推出点与点重合，点与点重合，点与点重合，然后根据垂直平分线性质与平行的性质，推出轴，即可求出点、坐标，证明为等腰直角三角形，即可求出坐标，的最小值即可求解； （3）先根据题意，求所在直线的解析式：上，设，分别求出，分类讨论：情况一：，情况二：，情况三：，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴、轴分别交于两点， ∴当时，，当时，，即、， ∴， ∵， ∴，即， ∵在一次函数上， ∴，解得：，即， ∵、在一次函数上， ∴，解得：， ∴在一次函数的解析式为； （2）解：∵一次函数的图象与轴交于点， ∴当时，，即， ∵由（1）得，，， ∴， ∴， ∵点为线段上一点，即点在一次函数上， ∴设，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：，即， 如图，作点关于一次函数的对称点，且与一次函数交于点，作轴交一次函数于点，与轴交于点，连接，过点作，且，作轴交一次函数于点，与轴交于点，过点作交于点，连接、、， ∵点关于一次函数的对称点， ∴，，，， ∵轴，轴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵轴， ∴当三点共线时，且轴时，有最小值，即有最小值， ∴点与点重合，点与点重合，点与点重合， ∵由（1）得一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点， ∴， ∴， ∵轴， ∴轴， ∴， ∴， ∴轴， ∴， ∵点在一次函数上， ∴点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，即，解得：， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：设一次函数与一次函数平行，且经过点， ∴， ∵将沿射线方向平移得到， ∴点在上，设， ∵由（1）得，， ∴， ∴， ∴， 当以，，，为顶点的四边形是菱形时，进行分类讨论： 情况一：如图，， ∴， ∴，解得：， 情况二：如图，， ∴， ∴， 解得：，； 情况三：如图，， ∴， ∴， 解得：，(舍)； 综上，的横坐标为或或或． 24．已知，在正方形中，点O是对角线的中点，点E是上一动点（不与点B，D，O重合），作交直线于点F． (1)如图，当点E在线段上时． ①证明：； ②用等式表示线段，，的数量关系并证明； (2)直接写出线段，，的数量关系． 【答案】(1)①证明：过点E作于点M，点E作于点N， ∵正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ②解：线段，，的数量关系，理由如下： 连接， ∵正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴； (2)或． 【分析】（1）①过点E作于点M，点E作于点N，先证明四边形是正方形，得到，再证明，从而得出结论； ②连接，证明四边形是正方形，再证明，，可证，根据，即可得证． （2）分点E在线段上，点E在线段上两种情况，分别求解求得线段，，的数量关系． 【详解】（1）①略； ②略； （2）解：或．理由如下： 当点E在线段上时，过点E作于点G， ∵正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴． 当点E在线段上（不含O，B）时，过点E作于点J，于点G，的延长线交于点H，连接， ∵E在正方形的对角线上， ∴，，， ∴， ∴， 与（1）同理可证：， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 在正方形中，， 又， ∴四边形是矩形， ∴， ， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $