期末培优：放回与不放回抽取的概率问题、比赛与游戏中的概率问题专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

**基本信息** 聚焦放回与不放回抽取、比赛与游戏概率两大模块，通过分层例题构建从基础模型到复杂情境的解题逻辑链，培养数学建模与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |放回与不放回抽取|3例+2变式|含超几何分布、二项分布对比及实际应用|从基础抽取模型到近似条件推导，构建概率计算体系| |比赛与游戏中的概率|3例+3变式|涵盖体育竞技、抽奖、模拟实验等情境|以规则解读为起点，通过事件分解培养动态概率思维|

期末培优：放回与不放回抽取的概率问题、比赛与游戏中的概率问题专项训练 期末培优：放回与不放回抽取的概率问题、比赛与游戏中的概率问题专项训练 考点目录 放回与不放回抽取的概率问题 比赛与游戏中的概率问题 考点一 放回与不放回抽取的概率问题 例1．（25-26高二下·重庆·期中）现有两个不透明的，箱子装有大小质地一样，只有颜色不同的若干小球，其中箱子中装有2个红球，1个白球，箱子中装有3个红球，3个白球．先从箱子采取不放回的方式依次取球，当箱子内的小球颜色只剩一种时，停止从箱子取球，并将箱子剩余的球混入箱子后再从箱中采取不放回的方式依次取球，当箱子内的小球颜色只剩一种时，停止从箱子取球，记为停止从箱子取球时，箱子内剩余的白球个数． (1)停止从箱子取球时箱子恰好剩一个球的概率； (2)停止从箱子取球时箱子不剩红球的概率； (3)求的分布列． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）按取球规则，需第一次取红球，则可以发生停止从箱子取球时箱子恰好剩一个球； （2）利用全概率公式求解； （3）先列出箱球的情况，再对应求箱子内剩余的白球个数对应的概率，最后列分布列. 【详解】（1）A箱原有2红1白共3个球：若第一次取出白球，A箱剩余2个红球， 只剩同色，停止取球，剩余2个球； 若第一次取出红球（概率为），A箱剩余1红1白，两种颜色都存在，需继续取球， 取1次后剩余1个球，停止，因此恰好剩1个球的概率为； （2）先分析A箱停止后的所有可能结果，概率分别为： 剩2个红球时：此时概率 ​，混入B箱后，B箱有5红球3白球； 剩1个红球：此时概率 ​，混入B箱后，B箱有4红球3白球； 剩1个白球：此时概率，混入B箱后，B箱有3红球4白球； B箱不剩红球等价于红球先被全部取完，剩余全为白球， 由排列的等可能性，该事件概率等于最后一个球是白球的概率，即白球数除以总球数， 即对R个红球W个白球，红球先取完（停止后不剩红球）等价于所有排列最后一个是白球，每个球等可能在最后一位，概率为； 由全概率公式可得停止从箱子取球时箱子不剩红球的概率 ； （3）A 箱三种情况 剩2红：，并入B：5 红 3 白 剩1红：，并入B：4 红 3 白 剩1白：，并入B：3 红 4 白 B 箱条件概率 5红3白： ，，，， 4红3白： ， ，，， 3红4 白：，，，，， 综上所述，的可能取值是0，1，2，3，4， ， ， ， ， ， 所以的分布列是 0 1 2 3 4 例2．（24-25高二下·浙江宁波·期中）嘟嘟玩一个游戏：一开始她准备了个罐子，，每个罐子里都放着红、黄、蓝三种颜色的球各一个.然后她在游戏的每一轮同时从两个罐子里随机地取出一个球交换位置，并观察经过该轮交换后两个罐子里球的颜色. (1)求经过轮交换后罐子里红球有个的概率； (2)经过轮交换后： ①求两个罐子里仍然是红、黄、蓝三种颜色的球各一个的概率； ②请直接写出罐子里有个黄球个蓝球的概率. 【答案】(1) (2)① ; ② 【分析】(1)经过两轮交换后,A罐子有红球个,需要两轮都交换红色球,或一轮交换红球,另一轮交换非红球,计算概率;(2)①经过轮交换后,两个罐子仍然是红,黄,蓝三种颜色的球各一个的概率为,构造等式进行求解; ②A罐子里有2个黄球1个蓝球的概率,,利用公式进行求解 【详解】（1）经过两轮交换后,A罐子有红球个,需要两轮都交换红色球,或一轮交换红球,另一轮交换非红球, 设一轮交换后, A罐子有红球个,记作, 则,,, 两轮都交换后A罐子里有红球记作的概率 , 故. （2）①经过轮交换后,两个罐子仍然是红,黄,蓝三种颜色的球各一个的概率为, 当时, ,则,而, 则, ②由对称性可得，. 例3．（24-25高二下·上海闵行·期中）一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球个，其余为黑球． (1)当盒中的白球数时有放回地依次取出3个球，求恰有一次取到黑球的概率． (2)当盒中的白球数时，从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，用A表示事件“第一次取到白球”，用B表示事件“第二次取到白球”，求与，并判断事件A与B是否独立． (3)某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中一次性随机抽取10个球，若其中恰有3个白球，则获奖，否则不获奖，要使参与者获奖的可能性最大、最小，该同学应该分别如何放置白球的数量n． 【答案】(1) (2)，不独立； (3)当时，获奖的可能性最大；当时，获奖的可能性最小. 【分析】（1）根据次独立重复试验中事件恰好发生次的概率公式求解即可； （2）根据给定条件，利用古典概率及条件概率公式求解，再利用全概率公式求出，利用相互独立事件定义判断即可. （3）求出获奖的概率，再构造函数，结合组合数公式探讨单调性确定概率最大、最小值. 【详解】（1）有放回的抽取，每次抽取到白球的概率为，取到黑球的概率为， 由次独立重复试验知，恰有一次取到黑球的概率为. （2）当时，盒中有6个白球，14个黑球，，， ， ，则，所以事件与相互不独立. （3）从20个球中取10个球，恰有3个白球的概率， 设，当时，， ，当时，， 当时，，因此， 而，则， 所以当时，参与者获奖的可能性最大；当时，参与者获奖的可能性最小. 变式1．（25-26高二下·福建福州·月考）甲和乙两个箱子中各装有N个大小、质地均相同的小球，并且各箱中是红球，是白球. (1)当时，分别从甲、乙两箱中各依次随机地摸出3个球作为样本，设从甲箱中采用不放回摸球得到的样本中红球的个数为X，从乙箱中采用有放回摸球得到的样本中红球的个数为Y，求，，，； (2)当时，采用不放回摸球从甲箱中随机地摸出5个球作为样本，设表示“第k次取出的是红球”，比较与的大小； (3)由概率学知识可知，当总量N足够多而抽出的个体足够少时，超几何分布近似为二项分布.现从甲箱中不放回地取3个小球，恰有2个红球的概率记作；从乙箱中有放回地取3个小球，恰有2个红球的概率记作.那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过0.003（即)的前提下认为超几何分布近似为二项分布？（参考数据：) 【答案】(1)，， (2) (3)195 【分析】（1）由题意可得，利用二项分布的期望公式和方差公式求解，X服从超几何分布，X的可能取值为1，2，3，求出相应的概率，从而可求出和； （2）利用独立事件概率公式和古典概率公式求出，，进行比较即可； （3）根据题意表示出，由化简得，解法1：转化为，构造函数，利用函数的单调性求解；解法2：直接解一元二次不等式即可. 【详解】（1）对于有放回摸球，每次摸到红球的概率为0.6，且每次试验之间的结果是独立的， 则 X服从超几何分布，X的可能取值为1，2，3，则 ， ， 或； （2），即采用不放回摸球，每次取到红球的概率都为： 又， 则. （3）因为， ， ，即， 即，即， 由题意知，从而， 化简得， 解法1： 又，，令， 则， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， (此处证单调性另解：为对勾函数， ，（当且仅当时取等）. 所以在上单调递减，在上单调递增)， 所以在处取得最小值，从而在时单调递增， 当时，，又，， 当时，符合题意 考虑到，都是整数，则N一定是5的正整数倍， 所以N至少为195时，在误差不超过0.003（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布. 解法2： 化简得， 或， N为整数，或 ，都是整数，则N一定是5的正整数倍， 所以N至少为195时，在误差不超过0.003（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布. 变式2．（2026·安徽合肥·模拟预测）现需要抽取甲､乙两个箱子的商品，检验其是否合格.其中甲箱中有9个正品和1个次品；乙箱中有8个正品和2个次品.从这两个箱子中随机选择一个箱子，再从该箱中等可能抽出一个商品，称为首次检验. 将首次检验的商品放回原来的箱子，再进行二次检验，若两次检验都为正品，则通过检验. 首次检验选到甲箱或乙箱的概率均为. (1)求首次检验抽到合格产品的概率； (2)在首次检验抽到合格产品的条件下，求首次检验选到的箱子为甲箱的概率； (3)将首次检验抽出的合格产品放回原来的箱子，继续进行二次检验时有如下两种方案：方案一，从首次检验选到的箱子中抽取；方案二，从另外一个箱子中抽取. 比较两个方案，哪个方案检验通过的概率大. 【答案】(1) (2) (3)方案一 【分析】（1）按照条件概率的计算公式即可得出答案； （2）按照贝叶斯逆向概率公式代入即可求解； （3）由前面的小问得出的结论分别计算两种方案在二次检验抽到合格品的概率，比较大小，从而选择决策方案. 【详解】（1）将首次检验选到甲箱记为事件，选到乙箱记为事件，首次检验抽到合格品记为事件. 则首次检验抽到合格品的概率 . （2）在首次抽到合格品的条件下，首次抽到甲箱的概率 . （3）将二次检验抽到合格品记为事件. 由上一小问可知，在首次抽到合格品的条件下，首次抽到甲箱的概率， 则在首次抽到合格品的条件下，首次抽到乙箱的概率. . 从而，在首次检验通过，即事件发生的条件下： ①若选择方案一，则，. 故此条件下在二次检验抽到合格品的概率. 所以在方案一下，检验通过的概率； ②若选择方案二，则，. 故此条件下在二次检验抽到合格品的概率. 所以在方案二下，检验通过的概率. 而，故选择方案一检验通过的概率更大. 考点二 比赛与游戏中的概率问题 例1．（25-26高二下·湖南长沙·期中）在11分制乒乓球比赛中，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立.某局在双方10:10平后，甲先发球，两人又打了个球该局比赛结束. (1)求； (2)记事件“且甲获胜”的概率为. ①求； ②求. 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】（1）求:需分析的比赛过程，即前两球各得1分，后两球连胜，分别计算概率再相乘. （2）为甲胜，即两球甲全胜，为甲胜，因无法领先2分，概率为0， 先分析比赛过程，得到，然后求出即可. 【详解】（1）由题可得：事件“”表示在双方10:10平后，甲先发球，两人又打了4个球，且这4个球分为前两球是甲、乙各得1分，后两个球均由甲得分，或均由乙得分， （2）①由题意可知， 事件“且甲获胜”为不可能事件，所以. ②由比赛规则可知： 当时，事件“且甲获胜”为不可能事件，则， 当时，事件“且甲获胜”，就是在双方10:10平后，甲先发球，两人又打了个球， 且这个球的得分情况为：前个球是每两个球甲、乙各得1分，最后第个球均由甲得分；记“比赛2球结果为平局”为事件B，则. 则， 又，. 综上， . 例2．（25-26高二下·贵州遵义·期中）甲、乙两人进行知识答题比赛，比赛方案为：①甲、乙两人各自从个问题中随机抽个．已知这个问题中，甲能正确回答其中的个，乙能正确回答每个问题的概率均为，甲、乙两人对每个问题的回答相互独立；②答对题目个数多的人获胜，若两人答对题目数相同，则由乙再回答一道题，答对则判乙胜，答错则判甲胜． (1)求甲、乙两人共答对个问题的概率； (2)试判断甲、乙谁更有可能获胜？并说明理由； (3)求乙答对题目数的分布列和期望． 【答案】(1) (2)乙胜出的可能性更大，理由见解析 (3)随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 期望. 【分析】（1）根据题意分别计算出甲乙答对题目数的概率，考虑甲答对道题，乙答对道题和甲答对道题，乙答对道题即可； （2）通过分情况和，先得出甲获胜的概率，从而得到乙获胜的概率，然后比较两者的概率即可； （3）根据题意，得出乙答对题目数的可能取值为，分别计算对应的概率即可，最后利用随机变量的期望公式即可求出期望. 【详解】（1）设甲答对的题目数为，乙答对的题目数为， 则甲答对的题目数的可能取值为，其概率分布如下： ，，， 乙答对的题目数服从二项分布，其概率分布如下： ，， ，， 因此甲、乙两人共答对个问题，即，可能的情况有： ①甲答对道题，乙答对道题，此时概率为， ②甲答对道题，乙答对道题，此时概率为， 由于. 因此甲、乙两人共答对个问题的概率为. （2）先计算的概率，根据题意， ， 由（1）得，， 在的情况下，甲获胜的概率为； 再计算的概率，即甲在前题中已经获胜的概率， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 因此，所以甲获胜的概率为 则乙获胜的概率为，因此乙更可能获胜. （3）乙答对的题目数包含两部分：前道题中答对的题目数以及在平局情况下额外答对的道题（答对概率，答错概率）， 因此乙答对的题目数的可能取值是， ①当时，由于，所以不可能加赛，因此只能是乙在前道题中答对的题目数， 所以； ②当时，可能情况为乙在前道题中答对的题目数且没有进入加赛、乙在前道题中答对的题目数且进入加赛并答错， 所以，代入数据得； ③当时，可能情况为乙在前道题中答对的题目数且没有进入加赛、乙在前道题中答对的题目数且进入加赛并答错， 乙在前道题中答对的题目数且进入加赛并答对， 所以，代入数据得； ④当时，可能情况为乙在前道题中答对的题目数且没有进入加赛、乙在前道题中答对的题目数且进入加赛并答错， 乙在前道题中答对的题目数且进入加赛并答对， 所以， 代入数据得； ⑤当时，可能情况为乙在前道题中答对的题目数且进入加赛并答对， 所以， 代入数据得； 因此乙答对的题目数的分布列为： 期望. 例3．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）乒乓球作为我国的“国球”，一直以来都深受广大人民群众的喜爱．某学校高三年级将要举办乒乓球比赛，为更好备战，甲、乙、丙三位选手练习打乒乓球，每局均分胜负，第一局甲、乙对打，丙轮空，此后每局的胜者与轮空者进行下一局对打，每局双方获胜的概率相同，每局的结果相互独立． (1)求前五局中甲恰好参与了四局的概率； (2)求第局为乙、丙对打的概率； (3)若至多进行12局练习，且如果有选手先获得6局胜利则提前结束练习，记总共练习局数为，求的分布列与期望． 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析， 【分析】（1）前五局中甲恰好参与了四局的情况列出来求解即可； （2）第局有甲参与的概率为，列出，  通过配凑出是等比数列，代入公式求解即可； （3）写出的取值并求出它所对应的概率，再列表格代入期望公式即可. 【详解】（1）记“前五局中甲恰好参与了四局”为事件，记某选手获胜为“√”，失利为“×”，轮空为“”，则前四局甲有以下四类情况为恰好参与了四局： ①，第五局一定参与，概率为； ②，第五局一定参与，概率为； ③，第五局一定参与，概率为； ④，第五局一定轮空，概率为； 故所求概率为． （2）记第局有甲参与的概率为，则第局有甲参与的概率为， 若第局有甲参与，则第局有甲参与的概率为； 若第局没有甲参与，则第局一定有甲参与，所以    即，因为，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即，         所以第局乙、丙对打，即没有甲参与的概率为． （3）依题意，记为总共练习局数，则可取    因为除第一局之外，任何选手轮空之前必为失利，获胜之后必不轮空，即“”在一名选手对局结果中会相邻出现（除第一局为“”和最后一局为“”之外）， 则丙不会在第6，8，10局结束之后刚好胜满6局（因为丙第一局为“”，最后一局需要丙自己获胜，则前面的对局过程必会有数对的相邻“”）， 同理甲、乙不会在第7，9，11局结束之后刚好胜满6局，且前11局至多只会有1人胜满6局． 故时是以甲或乙获胜结束（甲、乙情况相同）， （最后一局甲胜，前7局甲有连续两局为“”，且“”当局概率为1，其余均为“√”）， 同理，   时是以丙获胜结束， 同理， 所以，故的分布列如下： 6 7 8 9 10 11 12 期望为． 变式1．（25-26高二下·江苏·阶段检测）“三门问题”亦称为蒙提霍尔问题，问题名字来自1970年美国的一个电视游戏节目主持人蒙提·霍尔．游戏中，参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇门后面有一辆跑车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊，选中后面有车的那扇门可获奖赢得该跑车，主持人知道跑车在哪一扇门．当参赛者选定了一扇门但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出一只山羊．主持人随后会问参赛者要不要换另一扇仍然关闭的门．当时大部分的观众和参与者都支持不换门，认为换不换门获奖概率是一样的．然而当时智商最高的玛丽莲·沃斯·莎凡特给出了正确答案：应该换门． (1)请用所学概率知识解释玛丽莲·沃斯·莎凡特给出的答案； (2)当跑车门数不变，山羊门数增加，即总共门数是，其中只有一扇门后面有一辆跑车，证明：游戏中的参与者在主持人打开一扇山羊门后，换门都比不换门中奖概率更高； (3)如果有扇门，其中一扇门后有1万奖金，其他门后什么都没有，主持人知道哪一扇门后面有奖金．当参与者选中一扇门后（未打开），主持人问参与者是否愿意投入500元，帮他在剩余的门中打开一扇没有奖金的门，并允许参与者换门．问当门数n满足什么条件时，参与者投入500元是值得的？ 【答案】(1)如果不换门，则中奖的概率为，如果换门，则中奖的概率为，由于，所以换门中奖的概率大，所以玛丽莲·沃斯·莎凡特给出的答案是正确的，应该换门. (2)因为总共门数是，则山羊门数为，如果不换门，则中奖的概率为；如果换门，中奖的概率为.因为，所以换门都比不换门中奖概率更高. (3) 【分析】（1）分别求出换门和不换门中奖的概率，进行比较即可； （2）分别求出换门和不换门中奖的概率，进行比较即可. （3）求出换门和不换门所得奖金的均值，列不等式，解出即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（2）知不换门中奖的概率为，换门中奖的概率为.要想投入500元是值得的，须有：，整理得：， 结合，可得，即当时，参与者投入500元是值得的. 变式2．（25-26高二下·辽宁沈阳·开学考试）一口袋中装有10个小球，其中标有数字1，2，3，4，5的小球各两个，这些小球除数字外其余均相同． (1)某人从中一次性摸出4个球，设事件“摸出的4个球中至少有一个数字是5”，事件“摸出的4个球中恰有两个数字相同”；分别求事件和事件的概率； (2)现有一游戏，游戏规则是：游戏玩家每次有放回地从袋中随机摸出一球，若摸到5号球，则游戏结束；否则继续摸球，当摸到第个球时，无论摸出的是几号球游戏都结束．设表示摸球的次数， （i）求随机变量的分布列； （ii）求随机变量的期望，并比较期望与1的大小． 【答案】(1)，. (2)（i）的分布列如下 1 2 3 （ii），. 【分析】（1）求出从中一次性摸出4个球方法的数目，求出和，利用古典概率公式求得相应的概率； （2）（i）求出的取值，当时，求出，当时，求出，列出分布列；（ii）根据分布列求出，利用错位相减法化简，结合数列的单调性比较大小得解. 【详解】（1）从中一次性摸出4个球有种方法，，， 所以，. （2）（i）的取值可能为， 当时，，当时，， 所以的分布列为 1 2 3 （ii） ， 令， 则， 两式相减得 ， 所以， 又数列为递增数列，故. 变式3．（2026·湖南永州·一模）甲同学通过掷骰子的方式在边长为1个单位长度的正方形的场地上玩游戏，从起点出发，沿着正方形四边的顺序行走．若第，次抛掷得到的点数，记作，则甲从当前位置按顺序走个单位长度，下一次继续按照以上规则行走．记数列的前项和为次游戏之后甲的位置记为，并规定：当甲在处时，甲在处时，甲在处时，甲在处时． (1)当时，求的概率和的概率； (2)当时，求随机变量的概率分布列和期望； (3)若，设，试确定该展开式中各项系数与事件的联系，并求的概率． 【答案】(1)，； (2) 0 1 2 3 期望为； (3)， 事件表示40个相乘后得到的组合方式的数量， 表示第40次抛掷骰子后，甲在C处，那么，其方法数为对应式子中 时所有的数量之和， 所以， 令，可得，令得， 两式相加得①， 令， 则， 所以②， 所以①②可得， 即. 【分析】（1）根据题意分类讨论计算即可； （2）分类讨论的各种取值时对应情形，列出分布列结合期望公式计算即可； （3）利用二项式定理结合题意得出事件与展开式联系，利用赋值法及复数的周期性计算概率即可. 【详解】（1）易知，所以， 的情况有：，， 合计8种，所以； （2）易知可能取值为：， 由上知， 的情形有： ，9种， 则； 的情形有： ，9种， 则； 的情形有： ，10种， 则； 的分布列如下表： 0 1 2 3 期望； （3）略 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末培优：放回与不放回抽取的概率问题、比赛与游戏中的概率问题专项训练 期末培优：放回与不放回抽取的概率问题、比赛与游戏中的概率问题专项训练 考点目录 放回与不放回抽取的概率问题 比赛与游戏中的概率问题 考点一 放回与不放回抽取的概率问题 例1．（25-26高二下·重庆·期中）现有两个不透明的，箱子装有大小质地一样，只有颜色不同的若干小球，其中箱子中装有2个红球，1个白球，箱子中装有3个红球，3个白球．先从箱子采取不放回的方式依次取球，当箱子内的小球颜色只剩一种时，停止从箱子取球，并将箱子剩余的球混入箱子后再从箱中采取不放回的方式依次取球，当箱子内的小球颜色只剩一种时，停止从箱子取球，记为停止从箱子取球时，箱子内剩余的白球个数． (1)停止从箱子取球时箱子恰好剩一个球的概率； (2)停止从箱子取球时箱子不剩红球的概率； (3)求的分布列． 例2．（24-25高二下·浙江宁波·期中）嘟嘟玩一个游戏：一开始她准备了个罐子，，每个罐子里都放着红、黄、蓝三种颜色的球各一个.然后她在游戏的每一轮同时从两个罐子里随机地取出一个球交换位置，并观察经过该轮交换后两个罐子里球的颜色. (1)求经过轮交换后罐子里红球有个的概率； (2)经过轮交换后： ①求两个罐子里仍然是红、黄、蓝三种颜色的球各一个的概率； ②请直接写出罐子里有个黄球个蓝球的概率. 例3．（24-25高二下·上海闵行·期中）一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球个，其余为黑球． (1)当盒中的白球数时有放回地依次取出3个球，求恰有一次取到黑球的概率． (2)当盒中的白球数时，从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，用A表示事件“第一次取到白球”，用B表示事件“第二次取到白球”，求与，并判断事件A与B是否独立． (3)某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中一次性随机抽取10个球，若其中恰有3个白球，则获奖，否则不获奖，要使参与者获奖的可能性最大、最小，该同学应该分别如何放置白球的数量n． 变式1．（25-26高二下·福建福州·月考）甲和乙两个箱子中各装有N个大小、质地均相同的小球，并且各箱中是红球，是白球. (1)当时，分别从甲、乙两箱中各依次随机地摸出3个球作为样本，设从甲箱中采用不放回摸球得到的样本中红球的个数为X，从乙箱中采用有放回摸球得到的样本中红球的个数为Y，求，，，； (2)当时，采用不放回摸球从甲箱中随机地摸出5个球作为样本，设表示“第k次取出的是红球”，比较与的大小； (3)由概率学知识可知，当总量N足够多而抽出的个体足够少时，超几何分布近似为二项分布.现从甲箱中不放回地取3个小球，恰有2个红球的概率记作；从乙箱中有放回地取3个小球，恰有2个红球的概率记作.那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过0.003（即)的前提下认为超几何分布近似为二项分布？（参考数据：) 变式2．（2026·安徽合肥·模拟预测）现需要抽取甲､乙两个箱子的商品，检验其是否合格.其中甲箱中有9个正品和1个次品；乙箱中有8个正品和2个次品.从这两个箱子中随机选择一个箱子，再从该箱中等可能抽出一个商品，称为首次检验. 将首次检验的商品放回原来的箱子，再进行二次检验，若两次检验都为正品，则通过检验. 首次检验选到甲箱或乙箱的概率均为. (1)求首次检验抽到合格产品的概率； (2)在首次检验抽到合格产品的条件下，求首次检验选到的箱子为甲箱的概率； (3)将首次检验抽出的合格产品放回原来的箱子，继续进行二次检验时有如下两种方案：方案一，从首次检验选到的箱子中抽取；方案二，从另外一个箱子中抽取. 比较两个方案，哪个方案检验通过的概率大. 考点二 比赛与游戏中的概率问题 例1．（25-26高二下·湖南长沙·期中）在11分制乒乓球比赛中，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立.某局在双方10:10平后，甲先发球，两人又打了个球该局比赛结束. (1)求； (2)记事件“且甲获胜”的概率为. ①求； ②求. 例2．（25-26高二下·贵州遵义·期中）甲、乙两人进行知识答题比赛，比赛方案为：①甲、乙两人各自从个问题中随机抽个．已知这个问题中，甲能正确回答其中的个，乙能正确回答每个问题的概率均为，甲、乙两人对每个问题的回答相互独立；②答对题目个数多的人获胜，若两人答对题目数相同，则由乙再回答一道题，答对则判乙胜，答错则判甲胜． (1)求甲、乙两人共答对个问题的概率； (2)试判断甲、乙谁更有可能获胜？并说明理由； (3)求乙答对题目数的分布列和期望． 例3．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）乒乓球作为我国的“国球”，一直以来都深受广大人民群众的喜爱．某学校高三年级将要举办乒乓球比赛，为更好备战，甲、乙、丙三位选手练习打乒乓球，每局均分胜负，第一局甲、乙对打，丙轮空，此后每局的胜者与轮空者进行下一局对打，每局双方获胜的概率相同，每局的结果相互独立． (1)求前五局中甲恰好参与了四局的概率； (2)求第局为乙、丙对打的概率； (3)若至多进行12局练习，且如果有选手先获得6局胜利则提前结束练习，记总共练习局数为，求的分布列与期望． 变式1．（25-26高二下·江苏·阶段检测）“三门问题”亦称为蒙提霍尔问题，问题名字来自1970年美国的一个电视游戏节目主持人蒙提·霍尔．游戏中，参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇门后面有一辆跑车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊，选中后面有车的那扇门可获奖赢得该跑车，主持人知道跑车在哪一扇门．当参赛者选定了一扇门但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出一只山羊．主持人随后会问参赛者要不要换另一扇仍然关闭的门．当时大部分的观众和参与者都支持不换门，认为换不换门获奖概率是一样的．然而当时智商最高的玛丽莲·沃斯·莎凡特给出了正确答案：应该换门． (1)请用所学概率知识解释玛丽莲·沃斯·莎凡特给出的答案； (2)当跑车门数不变，山羊门数增加，即总共门数是，其中只有一扇门后面有一辆跑车，证明：游戏中的参与者在主持人打开一扇山羊门后，换门都比不换门中奖概率更高； (3)如果有扇门，其中一扇门后有1万奖金，其他门后什么都没有，主持人知道哪一扇门后面有奖金．当参与者选中一扇门后（未打开），主持人问参与者是否愿意投入500元，帮他在剩余的门中打开一扇没有奖金的门，并允许参与者换门．问当门数n满足什么条件时，参与者投入500元是值得的？ 变式2．（25-26高二下·辽宁沈阳·开学考试）一口袋中装有10个小球，其中标有数字1，2，3，4，5的小球各两个，这些小球除数字外其余均相同． (1)某人从中一次性摸出4个球，设事件“摸出的4个球中至少有一个数字是5”，事件“摸出的4个球中恰有两个数字相同”；分别求事件和事件的概率； (2)现有一游戏，游戏规则是：游戏玩家每次有放回地从袋中随机摸出一球，若摸到5号球，则游戏结束；否则继续摸球，当摸到第个球时，无论摸出的是几号球游戏都结束．设表示摸球的次数， （i）求随机变量的分布列； （ii）求随机变量的期望，并比较期望与1的大小． 变式3．（2026·湖南永州·一模）甲同学通过掷骰子的方式在边长为1个单位长度的正方形的场地上玩游戏，从起点出发，沿着正方形四边的顺序行走．若第，次抛掷得到的点数，记作，则甲从当前位置按顺序走个单位长度，下一次继续按照以上规则行走．记数列的前项和为次游戏之后甲的位置记为，并规定：当甲在处时，甲在处时，甲在处时，甲在处时． (1)当时，求的概率和的概率； (2)当时，求随机变量的概率分布列和期望； (3)若，设，试确定该展开式中各项系数与事件的联系，并求的概率． 2 学科网（北京）股份有限公司 $