河北衡水中学2025-2026学年高一下学期期末综合素质评价数学试题

2025-2026学年度高一年级下学期期末综合素质评价 数学学科 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知复数满足，则（ ） A． B． C．4 D．8 2．在中，是边的中点，是边上靠近点的三等分点，设，，则（ ） A． B． C． D． 3．一个正方体的展开图如图所示，若将它还原为正方体，则（ ） A． B． C． D． 4．某校高一有500名学生，为了培养学生良好的数学素养，学校要求高一学生从《九章算术》《数书九章》《缀术》《海岛算经》中选一本阅读，其中有人选《九章算术》，人选《数书九章》，人选《缀术》，人选《海岛算经》．若按选书种类进行分层，用分层随机抽样的方法抽取50名学生分享读后感，则选《九章算术》和《数书九章》的学生抽取的人数共有（ ） A． B． C． D． 5．已知的内角，，的对边分别为，，，若，则是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 6．如图，点在圆锥的底面圆上，是直径，，，圆锥的母线与底面成的角为，则点到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 7．三棱柱中，是棱的中点，是棱上一点，，若平面，则实数的值为（ ） A． B．1 C．2 D．4 8．在体积为的三棱锥中，，，平面平面，，，若点，，，都在球的表面上，则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．为了关注学生的健康成长，某校开展了一次高一年级的学生身高的抽样调查，随机抽取了100名学生，将他们的身高划分成了，，，，五个层次，根据抽样结果得到如下统计图，则样本中（ ） A．身高在层次中的女生人数比男生多 B．身高在层次中的人数最多 C．身高在层次的女生，占女生人数的比例超过 D．身高在层次中的男生有3人 10．在中，，，，则（ ） A． B．的面积为 C．外接圆直径是 D．内切圆半径是 11．如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ） A．存在点使得 B．若点满足，则动点的轨迹长度为 C．若点满足平面时，动点的轨迹是正六边形 D．当点在侧面，且满足时，二面角的最大角的正切值为2 第II卷（共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分；） 12．已知向量，，若，则_________． 13．如图，在三棱锥中，，分别为，的中点，记三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则_________． 14．如图，某水平测试场地修建了一个实体圆锥形通信屏蔽罩，其高为，底面圆直径，且点满足．现在点处固定一枚无线电信标，且在点有一微型无人机（视为一点）．点在母线上，无人机先在空中以直线航迹从点飞行到处，随后紧贴屏蔽罩表面飞行到点，设飞行路径总长度为．则的最小值为_________． 四、解答题：（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．某校从全校随机抽取名学生参加奥运知识竞赛，并根据这名学生的竞赛成绩（总分为100分）绘制频率分布直方图（如图所示），其中分数在内的学生有6名． （1）求； （2）求； （3）样本中分数在内的学生有几名． 16．小明设计了一款无盖鱼缸，如图，它是由两个完全一样的长方体通过一个半径为0.1米，长度为0.3米的圆柱形玻璃管水平连通的． （1）小明至少需要多少平方米的玻璃（不考虑损耗）？ （2）小明欲将鱼缸注水至的高度，需要多少立方米的水？ 17．在中，，，，点在边上，且． （1）求的值； （2）求线段的长． 18．如图1，在等腰梯形中，，，将沿边翻折，使点翻折到点，连接，得到三棱锥，如图2，其中 （1）证明：平面． （2）求三棱锥的体积． （3）试问在侧棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 19．在三棱锥中，，，，三棱锥的各顶点均在表面积为的球的球面上，且，，，四点共面． （1）证明：平面平面； （2）当时，求球心到平面的距离； （3）求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 答案第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高一年级下学期期末综合素质评价 数学学科答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B C D C C A BCD ACD 题号 11 答案 ACD 11．ACD 【详解】对A：如图：    当点位于边上时，因为平面，所以，故A正确； 对B：如图：    当时，点轨迹为矩形，其中分别为，中点，所以动点轨迹的周长为：，故B错误； 对C：如图：    当平面时，点轨迹是正六边形，其中均为棱的中点，故C正确； 对D：如图：    当点在侧面上运动，且满足时，点轨迹是以为圆心，以1为半径的圆弧，则即为二面角的平面角，所以当与的中点重合时，二面角取得最大值，此时，因为，所以.故D正确. 故选：ACD 12．2. 13．# 14． 由题可知， 故该圆锥侧面展开图的圆心角，则连接可得， 又由题知，如图建立平面直角坐标系    则，由两点之间线段最短可得， 所以， 故答案为： 15．（1）由题意可得， 解得；----------4分 （2）由题意可知样本中分数在的频率为， 因为样本中分数在内的学生有6名，所以全校随机抽取的人数；----------8分 （3）样本中分数在的频率为， 所以样本中分数在内的学生有名.----------13分 16．（1）依题意，所用玻璃面积是一个长方体的侧面积加上其下底面积，再减去圆柱底面积的差的2倍，然后加上圆柱的侧面积， 因此所求面积为 ， 所以需要平方米的玻璃.----------7分 （2）由圆柱体距离鱼缸底部，得注水至0.3米时，圆柱体刚好注至一半的体积， ， 所以需要立方米的水.----------15分（分步写的注意给步骤分） 17．（1）解：在△ABC中，， 因为，，，所以.----------7分 （2） 解：由（1）知，， 所以，----------10分 在中，，由正弦定理可得，即， 解得.----------15分 18（1）如图1，在梯形ABCD中，取边AB的中点，连接CF． 因为，所以， 所以四边形AFCD是平行四边形，所以， 因为，所以，所以，----------2分 因为，且，所以， 所以，----------4分 因为平面平面PAC，且， 所以平面----------5分 （2）如图2，取棱AC的中点，连接PG， 由（1）可知平面PAC，且平面ABC，则平面平面ABC， 因为，且为线段AC的中点，所以， 因为平面平面，平面，所以平面， 则为三棱锥的高，----------7分 因为，所以，则 故三棱锥的体积．----------10分 （3）假设存在满足条件的点． 如图2，作，垂足为，作，垂足为． 由（2）可知平面平面ABC，又，且平面平面， 所以EH平面ABC， 因为平面ABC，所以， 因为，且平面，，所以平面EHK． 因为平面EHK，所以， 则为二面角的平面角．----------13分 设，则． 因为，且，所以，则． 易证，则，故．----------14分 由题意可得，则． 因为平面ABC，且平面ABC，所以， 所以， 则，解得，故．----------16分 因为在棱PC上，所以，所以假设不成立，即不存在点，使得二面角的余弦值为．----------17分 19．【详解】（1）设球的半径为，则，解得， 设的外接圆半径为，则， 因为四点共面，可知的外接圆圆心为， 取的中点，连接， 可知为等边三角形，则，----------2分 ， 又因为，则， 且，则，则，----------4分 因为，平面，则平面， 且平面，所以平面平面.----------5分 （2）若，则，， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，且平面，则， 在中，由余弦定理可得 ， 即，则， 在中，由余弦定理可得， 可知为钝角，且， 则，----------8分 设球心到平面的距离为， 因为，则，解得， 所以球心到平面的距离为.----------10分 （3）方法一：过点作，垂足为， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，且平面，则， 可知直线与平面所成角为，----------12分 设，则， 在中，由余弦定理可得 ， 即则， 则，----------14分 令，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以直线与平面所成角的正弦值的最大值.----------17分 方法二： 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $