河北省2025-2026学年高一下学期数学期末自编模拟卷01

**基本信息** 立足人教A版必修二（第六章—第九章），整合复数、立体几何、统计与解三角形，通过农业科技（邢麦43产量）、社会热点（电影票房）情境，分层考查数学眼光、思维与语言，适配高一期末综合测评。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|复数模、直观图面积、百分位数、空间向量、面面平行条件|单选基础巩固（如复数共轭模），多选综合辨析（如频率分布直方图众数）| |填空题|3题/15分|复数运算、三棱锥距离最值、解三角形|填空3考动态线段数量关系，体现数学思维的严谨性| |解答题|5题/77分|复数分类、统计应用、三角形面积、立体几何证明与线面角|16题结合农业统计数据，考查数据意识；19题四棱锥证明与线面角，体现空间观念与推理能力|

河北省2026年高一数学下学期期末模拟卷01 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修二 第六章—第九章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知为虚数单位，复数满足，则的共轭复数的模为（   ） A． B． C． D． 2．如图，为平面四边形用斜二测画法作出的直观图，其中，，，则四边形的面积为（   ）．    A． B． C．5 D． 3．已知一组数据：4，6，，10，12，14的平均数为9，则这组数据的第60百分位数为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 4．如图，在正方形中，为的中点，为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 5．设为的外接圆圆心.若，且，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 6．在△ABC中，若，且满足，则△ABC的面积等于（    ） A． B．2 C． D．1 7．如图，在长方体中，，点分别为的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 8．已知一个半径为的球内含于一个封闭的圆锥，该圆锥的侧面展开图是一个面积为的扇形，则的所有可能取值中最大的是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，，是不同的平面，，是不同的直线，则的一个充分条件有（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 10．据网络平台最新数据，截止到2025年4月20日14时10分，电影《哪吒之魔童闹海》总票房（含点映、预售及海外票房）已超149．81亿元，成为首部进入全球票房榜前六．登顶动画票房榜榜首的亚洲电影．一团队从观看该电影的所有观众中随机抽取10000人为样本，统计他们的年龄，并绘制如图所示的频率分布直方图，则（   ） A． B．观众年龄的众数估计为35 C．观众年龄的平均数估计为30.2 D．观众年龄的第70百分位数估计为38 11．(多选)如图，已知正八边形的边长为2，点是正八边形边上的动点，则下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．存在点，使得 C．的最大值为 D．若函数，则函数的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知复数，则______ 13．在三棱锥中，平面，，，，点是空间内的一个点，且，则点到平面的距离的最大值为______. 14．已知中，角的对边分别为，且，点在线段上，且， ，则的值为_____ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知是虚数单位，复数． (1)若是实数，求的值； (2)若是纯虚数，求的值； (3)若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 16．邢麦43是邢台市农业科学研究院选育的半冬性、高产抗病、中强筋小麦新品种，是冀中南水地区域主推优质高产品种之一、某研究机构对A地100亩邢麦43的亩产量（单位：）进行了统计调查，将得到的数据按，，，分为4组，画出频率分布直方图，如图所示． (1)求的值． (2)估计A地100亩邢麦43的亩产量的70%分位数． (3)若某地100亩邢麦43的平均亩产量不低于，则认为该地是邢麦43的优秀种植地．请估计A地100亩邢麦43的平均亩产量，并以此为依据，判断A地是否是邢麦43的优秀种植地．（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表） 17．如图，已知中，，，，，为线段上两点（包括端点），且． (1)若，求的值； (2)设，试将的面积表示为的函数，并求其最大值． 18．如图，在直三棱柱中，E、F分别为、的中点，，. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 19．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，垂足为，，交于点，点是的中点． (1)求证：平面． (2)求证：平面． (3)求直线与平面所成角的大小． 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省2026年高一数学下学期期末模拟卷01 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修二 第六章—第九章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知为虚数单位，复数满足，则的共轭复数的模为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题设，则. 2．如图，为平面四边形用斜二测画法作出的直观图，其中，，，则四边形的面积为（   ）．    A． B． C．5 D． 【答案】C 【详解】四边形为直角梯形，且，，，，    3．已知一组数据：4，6，，10，12，14的平均数为9，则这组数据的第60百分位数为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】C 【分析】根据平均数求得，结合百分位数的定义得到结果． 【详解】由题知，解得， 所以这组数据为，，，，，. 又因为，所以这组数据的第百分位数为第四个数. 4．如图，在正方形中，为的中点，为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在中和中，根据向量三角形加法法则建立等量关系即可表示出. 【详解】解：由向量三角形加法法则可知，在中，， 在中，，又为的中点，为的中点， 所以，，因此， 又因为，所以. 5．设为的外接圆圆心.若，且，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量等式推出外心是中点，因此为直径，角为直角，再由线段相等得出是等边三角形，从而确定各角大小，最后利用几何关系算出向量投影，得到结果. 【详解】如图所示，由知，为中点，即为外接圆直径， 故，为直角三角形. 又，且为中点，故，为等边三角形，，. 过点作，垂足为点，则向量在向量上的投影向量为， 又因为点为线段的中点，则，向量在向量上的投影向量为.    6．在△ABC中，若，且满足，则△ABC的面积等于（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【分析】先根据正弦定理及余弦定理求出，从而得到，再根据数量积的定义得到，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】由， 则由正弦定理有，即 则由余弦定理有， 又在△ABC中，，则， 又，即， 所以△ABC的面积为． 7．如图，在长方体中，，点分别为的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示，取的中点，连接，，， 在长方体中，，因为，分别是，，所以，所以，所以直线和所成角是锐角， 因为，所以，所以， 因为为的中点，所以，所以，所以，， 在中，由余弦定理得， 所以异面直线和所成角的余弦值为. 8．已知一个半径为的球内含于一个封闭的圆锥，该圆锥的侧面展开图是一个面积为的扇形，则的所有可能取值中最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】使用圆锥的侧面积公式得到，通过分析圆锥的轴截面面积，使用三角形的面积公式将的函数关系式写出来，利用基本不等式求解. 【详解】设圆锥母线长为，底面半径为，高为， 因为圆锥的侧面展开图是一个面积为的扇形， 所以，得，，， 最大时，球为圆锥的内切球，此时圆锥的轴截面如图： ，即， 将代入化简得：， 因为，所以，，令，， 则，设，则， ， 因为，当且仅当时等号成立， 所以， 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，，是不同的平面，，是不同的直线，则的一个充分条件有（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】AC 【分析】根据空间中线面垂直、面面垂直的判定与性质，结合充分条件的定义逐一分析每个选项. 【详解】在A选项中，已知，，根据线面垂直的性质可得： ，又已知，因此可得，可以推出结论，是充分条件, 在B选项中，，时，和可以平行，也可以相交， 若与相交，无法推出，不是充分条件， 在C选项中，已知，，， 根据面面垂直的性质定理：这里和相交于，且都垂直于， 因此可直接推出，是充分条件, 在D选项中，，，， 当在平面内时，可以推出， 但题目条件并未限定在平面内（例如也可能在平面内），故无法保证结论成立，不是充分条件. 10．据网络平台最新数据，截止到2025年4月20日14时10分，电影《哪吒之魔童闹海》总票房（含点映、预售及海外票房）已超149．81亿元，成为首部进入全球票房榜前六．登顶动画票房榜榜首的亚洲电影．一团队从观看该电影的所有观众中随机抽取10000人为样本，统计他们的年龄，并绘制如图所示的频率分布直方图，则（   ） A． B．观众年龄的众数估计为35 C．观众年龄的平均数估计为30.2 D．观众年龄的第70百分位数估计为38 【答案】BD 【分析】根据频率之和为1求判断A；根据众数定义判断B，根据频率直方图求平均值判断C，根据百分位数的求法判断D. 【详解】由题意知，解得，故A错误； 观众年龄的众数估计是，故B正确； 估计这10000名观众年龄的平均数为，故C错误； 前3组的频率之和为， 前4组的频率之和为， 故第70百分位数位于第4组，设其为， 则，解得， 即第70百分位数为38，故D正确． 故选：BD 11．(多选)如图，已知正八边形的边长为2，点是正八边形边上的动点，则下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．存在点，使得 C．的最大值为 D．若函数，则函数的最小值为 【答案】ACD 【分析】先建立直角坐标系，对于A，需要将用、表示出来，进而求出的值；对于B，取中点，通过极化恒等式判断；对于C，根据向量数量积的坐标运算求的最大值；对于D，利用坐标进行化简，再根据模的坐标计算公式求出其最小值. 【详解】我们先建立平面直角坐标系，根据正八边形边长为2的性质，得到各顶点坐标： ， ， ， ， ，， ， . 设， 对于A： 由 得 ， 解得 ，故A正确； 对于B：取的中点，，故B错误； 对于C：， 当点在上时，，故C正确； 对于D：则，当横坐标为0时其模取得最小值，等于纵坐标的绝对值，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知复数，则______ 【答案】 【详解】可知， 则，所以. 13．在三棱锥中，平面，，，，点是空间内的一个点，且，则点到平面的距离的最大值为______. 【答案】 【分析】利用等体积法求得点到平面的距离，进而可求得点到平面的距离的最大值. 【详解】因为平面，，平面，所以，， 又，，所以，又， 所以，因为，， 所以，所以，设到平面的距离为， 等体积法可得，即，解得， 所以点到平面的距离为， 又，所以点到平面的距离的最大值为. 14．已知中，角的对边分别为，且，点在线段上，且， ，则的值为_____ 【答案】/ 【分析】利用正弦定理化简已知条件，结合角平分线定理、余弦定理求得. 【详解】，由正弦定理得，则， 由于，所以，而，所以．    由题意，是角平分线，，设，则， 由，所以，， 由得，，解得， 所以． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知是虚数单位，复数． (1)若是实数，求的值； (2)若是纯虚数，求的值； (3)若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 【答案】(1) 或 (2) (3) 【详解】（1）因为为实数，所以，即，所以或； （2）因为为纯虚数，所以，即，所以； （3）若在复平面内对应的点位于第二象限,所以，即，所以. 16．邢麦43是邢台市农业科学研究院选育的半冬性、高产抗病、中强筋小麦新品种，是冀中南水地区域主推优质高产品种之一、某研究机构对A地100亩邢麦43的亩产量（单位：）进行了统计调查，将得到的数据按，，，分为4组，画出频率分布直方图，如图所示． (1)求的值． (2)估计A地100亩邢麦43的亩产量的70%分位数． (3)若某地100亩邢麦43的平均亩产量不低于，则认为该地是邢麦43的优秀种植地．请估计A地100亩邢麦43的平均亩产量，并以此为依据，判断A地是否是邢麦43的优秀种植地．（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表） 【答案】(1) (2) (3)平均亩产量为kg，地是邢麦的优秀种植地 【分析】（1）根据频率分布直方图所有矩形面积和为1，列出等式求出即可； （2）先根据各组频率判断70%分位数落在，设70%分位数为，建立频率为的等量关系，即可求出70%分位数； （3）求平均亩产量即求出加权平均数，从而判断A地是否是邢麦43的优秀种植地. 【详解】（1）解：由频率分布直方图所有矩形面积和为1可得，， 解得； （2）由（1）知，则的频率为， 的频率为，的频率为， 的频率为，又， ，所以70%分位数落在内， 设70%分位数为，则，又，代入得， 解得，所以70%分位数为； （3）各组区间中点值分别为：，，，， 由（2）知各组的频率分别为：，，，， 则平均亩产量， 因为，所以A地是邢麦43的优秀种植地. 17．如图，已知中，，，，，为线段上两点（包括端点），且． (1)若，求的值； (2)设，试将的面积表示为的函数，并求其最大值． 【答案】(1) (2)，最大值为 【分析】(1)由直角三角形边角关系求出，利用数量积的定义计算； (2)用正弦定理表示，，代入面积公式，通过三角恒等变换化简，利用正弦函数的有界性求最值. 【详解】（1）由题意可知，，， ，则，，， ． （2），则，，， 在中，由正弦定理可得， 则， 在中，，则， 可得 ， 因为，则， 当，即时，取到最大值． 18．如图，在直三棱柱中，E、F分别为、的中点，，. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）取中点，可得四边形是平行四边形，再由线面平行的判定定理可得答案； （2）利用相等可得答案. 【详解】（1）取中点，连接，则，， 又，，所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面； （2）由（1）点是中点，连接， 因为平面，平面，所以， 又，且，平面， 所以平面，平面，所以， 所以，，， 所以，， 所以为等腰三角形，则，且， 所以， 设点到平面的距离为，由得， 所以，所以，即点到平面的距离为. 19．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，垂足为，，交于点，点是的中点． (1)求证：平面． (2)求证：平面． (3)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据中位线定理及线面平行的判定定理证明即可. （2）根据线面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理证明即可. （3）根据线线平行及线面角的定义，在三角形中求解即可. 【详解】（1）证明：因为底面是正方形，，为对角线，所以为中点， 又点是的中点，所以. 又平面，平面，所以平面. （2）证明：因为平面，，平面， 所以，，且为直角三角形. 因为底面是正方形，所以. 又，平面，，所以平面， 因为平面，所以. 在中，，点是的中点，所以. 又，平面，，所以平面. （3）正方形中，， 所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角， 又平面，所以即为直线与平面所成角，也即直线与平面所成角. 在中，，点是的中点，所以，， 所以. 故直线与平面所成角为. 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $