河北省2025-2026学年高一下学期数学期末自编模拟卷04

**基本信息** 覆盖必修二第六章至第九章核心内容，通过分层设计考查空间观念、数据观念与推理能力，适配高一期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|复数运算、立体几何判定、统计量计算|多选第9题结合实习生考核情境，考查数据分析与逻辑推理| |填空题|3/15|复数模、三棱柱体积、向量表示|第13题以正三棱柱为载体，考查空间几何量计算| |解答题|5/77|立体几何证明、统计图表分析、解三角形、向量应用|第17题三选一条件设计，分层考查解三角形推理能力；第19题直三棱柱综合题，融合垂直证明、线面角与外接球问题，体现空间观念|

河北省2026年高一数学下学期期末模拟卷04 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修二 第六章—第九章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若复数满足（i为虚数单位），则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，则． 2．已知，，为三条不同的直线，，为两个不同的平面，则以下选项正确的是（    ） A．若，，，，则 B．若，，则，是异面直线 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】C 【分析】根据面面平行的判定定理、异面直线的定义，结合线面平行的性质、面面垂直的性质定理逐一判断即可. 【详解】A：只有当，相交时，才有，所以本选项说法不正确； B：当，时，，的位置关系为平行、相交、异面，所以本选项说法不正确； C：过作平面交于，则 ，过作平面交于，则，故， 又不在平面内，又平面，所以，而，故，故，故本选项说法正确； D：若， 如果或，则不能判断 ，故本选项说法不正确. 3．某校高二年级个班参加朗诵比赛的得分如下： 则这组数据的下四分位数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】比赛的得分升序排列为：， 由，可知下四分位数为第4项和第5项的平均数，即． 4．已知一组样本数据，，…，的方差为2，令，，2，…，n，则样本数据，，…，的方差为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【详解】由题可知，， 所以，， . 5．设向量，满足，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过平方的方法，结合完全平方公式和向量数量积运算律计算求解. 【详解】因为， ， 所以. 6．在中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若，则的形状一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰或直角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】由正弦定理边角互化，倍角公式结合三角函数性质可判断选项正误． 【详解】由三角形内角和 ，得 ， 因此原方程等价于 ，即 ， ， 则或，则是等腰或直角三角形． 7．内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在中，把，代入中化简， ， ， 结合基本不等式， ， 即，当且仅当时，取等号， 又，所以，为钝角，. ，,， 由二倍角公式，得，即. 8．已知正方体的棱长为2，点为的中点．过，，三点的平面与正方体的表面相交，则其交线围成的几何图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取中点，证明，即可判断平面为过，，三点与正方体表面相交的平面，求等腰梯形的面积即可. 【详解】解：取中点，连接，， 因为，所以为中位线，则， 又在正方体中，且，则四边形为平行四边形， 所以，则， 所以平面为过，，三点与正方体表面相交的平面，易知四边形为等腰梯形， 由正方体棱长为2，所以，， 在中，， 过点作，由四边形为等腰梯形，，所以， 所以在中，， 所以等腰梯形的面积， 即过，，三点的平面与正方体的表面相交，交线围成的几何图形的面积为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某公司欲对甲、乙、丙、丁四名实习生进行考核，考核规则为对连续五个工作日的工作情况进行打分，若每天的得分均不低于80分（所得分均为整数），则考核合格，否则视为不合格，四人连续五个工作日的得分记录如下. 甲:众数为83，平均数为82. 乙:中位数为82，众数为80. 丙:中位数为85，平均数为82. 丁:有个工作日得分为89，平均数为83，方差为9.2. 甲、乙、丙、丁四人中，考核一定合格的为（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】BD 【分析】分别结合甲、乙、丙、丁四人已知的众数、中位数、平均数、方差的统计性质，逐一验证是否存在得分低于分的可能性，由此判断哪名实习生一定满足五天得分均不低于分的合格要求. 【详解】对于A：若甲有四个工作日的得分为，则剩余的那个工作日的得分为， 故甲的考核不一定合格，A错误； 对于B：将得分排序后，第三个为，且至少有两个，这两个必然是最小的两个数， 因此所有得分均不低于，故乙的考核一定合格，B正确； 对于C：丙的中位数为，平均数为，其得分可以为， 故丙的考核不一定合格，C错误； 对于D，由于丁有一个工作日的得分为，且平均数为， 若有一个工作日的得分为，由， 可知其方差必超过了，所以丁连续五个工作日的得分均不低于， 故丁的考核一定合格，D正确. 10．在△ABC中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则△ABC为钝角三角形 C．若，且，则△ABC为直角三角形 D．在中，若，且满足条件，则动点经过△ABC的垂心 【答案】BD 【分析】A.由判断；B. 由，结合平方关系，利用正弦定理得到，再用余弦定理判断；C. 根据都是单位向量，且，得到角A的角平分线也是高线，再由得到判断；D. 由，得到，再由判断. 【详解】A. 当时，满足，则，不满足，故错误； B. 由，得，由正弦定理得，则，所以角为钝角，故正确； C. 因为都是单位向量，且，所以角A的角平分线垂直于BC，所以且，则，所以是等边三角形，故错误； D. 由，得， 则， 所以，即动点在△ABC的高线上，所以动点经过△ABC的垂心，故正确； 故选：BD 11．如图，在四棱锥中，分别是，，的中点，且，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面与平面的交线记为，则直线 D．三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则 【答案】BC 【分析】利用线面平行的判定推理判断AB；利用线面平行的判定性质推理判断C；利用锥体积体公式求出体积比判断D. 【详解】对于A，由题知相交，平面， 平面，所以与平面相交，故A错误； 对于B，如图，连接，因为分别是，的中点，所以，， 又因为且，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面，故B正确； 对于C，因为，因为平面， 平面，所以平面， 因为平面，平面平面，所以，故C正确； 对于D，因为分别是的中点， 所以，，所以， 所以，故D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设复数，满足，且，则____________． 【答案】 【分析】法一：设，，借助模长公式及复数加减运算法则计算即可得；法二：借助复数模长性质有，再利用模长公式计算即可得. 【详解】法一：设，，， 由，则， 则， 即，， 则，， 即， 故， 又， 则 . 法二：由复数模长性质可得， 则， 故. 13．如图，在正三棱柱中，．若二面角的大小为，则此三棱柱的体积为______． 【答案】/ 【详解】取中点，连接， 已知底面是正三角形，故， 又底面，故， 又，平面， 故平面，又平面， ，故即为二面角的平面角， 所以， 已知，则， 在中，， 解得， ． 14．中，为边中点，，，，则______（用，表示），若，，则_______ 【答案】 ； . 【分析】根据平面向量的线性运算，即可求得；结合平面向量的数量积运算及向量的垂直条件，即可求得. 【详解】由题意，可得， 又，所以， 又为边中点，所以，所以， 所以， 又，，所以. 因为，即，所以， 即，两边同乘得①， 又，， 所以，即， 即，两边同乘得②， 由②得③，代入①得， 即④， 又， 所以， 将③代入，得， 将④代入，得. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．如图，在长方体中，，点，分别是棱，的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【答案】(1)如图，连接，交于点，连接．    在长方体中，四边形是矩形， 因为对角线与交于点，所以为的中点， 又点是棱的中点，所以 ， 又平面 平面，所以平面． (2)连接． 在长方体中，四边形是矩形，所以 ， 因为点分别是棱的中点，， 所以 ，所以四边形是正方形，． 在长方体中，平面， 又平面，所以． 因为 平面， 所以平面． 【分析】（1）根据中位线得到线线平行，再根据线线平行证明线面平行； （2）先证明线线垂直，然后得到线面垂直． 【详解】（1）略 （2）略 16．某公司为了解客户对其旗下某产品的满意程度，随机抽取了200名客户进行满意度调查，并将评分（满分100分）按，，，，分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)求图中a的值，并估计这200名客户的满意度评分的平均数（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)已知样本中在内的评分的平均数为64.5，方差为14，在内的评分的平均数是74.5，方差是9，求落在内的评分的平均数与方差． 【答案】(1)，74.5． (2)平均数为70.5，方差为35 【详解】（1）根据题意，，解得． ， 估计这200名客户的满意度评分的平均数为74.5． （2）由频率分布直方图可知评分在，的频率比为， 则样本中在内的评分的平均数为， 样本中在内的评分的方差为 17．在中，． (1)求A的大小； (2)若，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求最长边上高线的长． 条件①：；条件②：的面积为；条件③：．（注：若选多个条件进行解答，按第一个解答计分．） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角公式求得，进而求得. （2）选择条件，然后根据正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式进行分析，从而求得正确答案. 【详解】（1）因为，所以， 所以，所以，， 因为，所以舍，所以，则； （2）选择① 因为，由正弦定理，代入，得； 法一：由余弦定理，代入得， 所以，所以或（舍），所以AC边最长； AC边上的高线； 法二：因为，，所以，所以，所以； 所以边为最长边，其高线； 选择② 因为，所以，因为，由余弦定理， 所以，所以或； 所以最长边上的高线； 若选择③，，，，由余弦定理， 所以或（舍）； 所以AC边最长，AC边上的高线； 18．如图1所示，在中，点在线段上，满足，是线段上的点，线段与线段交于点. (1)若，求实数，的值； (2)若，且满足， ①求实数的值； ②如图2，过点的直线与边，分别交于点，，设，，，）求的最小值. 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）根据向量的减法、向量相等及平面向量的基本定理求解即可. （2）①根据三点共线及平面向量基本定理可得所求值. ②由三点共线及平面向量基本定理得，再用基本不等式可得最小值. 【详解】（1）因为，所以，所以， 又，且与不共线，由平面向量基本定理得，. （2）①因为，，三点共线，所以存在实数使得， 所以， 因为，所以，所以. 又，所以. 因为与不共线，所以，解得，. ②由①可知，，且，， 所以， 因为，，三点共线，所以，且，， 所以 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 19．如图，在直三棱柱中，侧面是边长为2的正方形，，点D为的中点． (1)求证：⊥平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)若点A，B，C，D都在同一个球的表面上，求该球的表面积． 【答案】(1)在直三棱柱中，平面，又平面，所以， 因为，，由勾股定理得， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以．设与交于点E， 因为点D为的中点，在矩形中，，， 所以，又，， 所以，因为， 所以，所以，， 因为，，平面， 所以平面． (2) (3)． 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明平面，进而得到，再由，证明，结合线面垂直的判定定理即可得证. （2）由（1）可得平面平面，且平面平面， 所以点到平面的距离就是点到直线的距离d，由等面积法求得d，即可得解. （3）取CD的中点O，可证,即点A，B，C，D都在以O为球心的球O的表面上，该球的半径，即可求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）可得，平面，且平面， 所以平面平面，且平面平面， 所以点到平面的距离就是点到直线的距离d， 由（1）可得，，，， 所以， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． （3）因为，，，， 取CD的中点O，则， 取BC中点F，连接AF，OF，因为，F为BC的中点，所以， 在直棱柱中，平面ABC，又平面ABC，所以， 因为，，平面， 所以平面，又平面，所以，且，， 所以， 所以点A，B，C，D都在以O为球心的球O的表面上，该球的半径，表面积为． 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省2026年高一数学下学期期末模拟卷04 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修二 第六章—第九章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若复数满足（i为虚数单位），则为（    ） A． B． C． D． 2．已知，，为三条不同的直线，，为两个不同的平面，则以下选项正确的是（    ） A．若，，，，则 B．若，，则，是异面直线 C．若，，，则 D．若，，，则 3．某校高二年级个班参加朗诵比赛的得分如下： 则这组数据的下四分位数为（   ） A． B． C． D． 4．已知一组样本数据，，…，的方差为2，令，，2，…，n，则样本数据，，…，的方差为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 5．设向量，满足，，则等于（     ） A． B． C． D． 6．在中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若，则的形状一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰或直角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 7．内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且，则为（    ） A． B． C． D． 8．已知正方体的棱长为2，点为的中点．过，，三点的平面与正方体的表面相交，则其交线围成的几何图形的面积为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某公司欲对甲、乙、丙、丁四名实习生进行考核，考核规则为对连续五个工作日的工作情况进行打分，若每天的得分均不低于80分（所得分均为整数），则考核合格，否则视为不合格，四人连续五个工作日的得分记录如下. 甲:众数为83，平均数为82. 乙:中位数为82，众数为80. 丙:中位数为85，平均数为82. 丁:有个工作日得分为89，平均数为83，方差为9.2. 甲、乙、丙、丁四人中，考核一定合格的为（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 10．在△ABC中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则△ABC为钝角三角形 C．若，且，则△ABC为直角三角形 D．在中，若，且满足条件，则动点经过△ABC的垂心 11．如图，在四棱锥中，分别是，，的中点，且，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面与平面的交线记为，则直线 D．三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设复数，满足，且，则____________． 13．如图，在正三棱柱中，．若二面角的大小为，则此三棱柱的体积为______． 14．中，为边中点，，，，则______（用，表示），若，，则_______ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．如图，在长方体中，，点，分别是棱，的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面． 16．某公司为了解客户对其旗下某产品的满意程度，随机抽取了200名客户进行满意度调查，并将评分（满分100分）按，，，，分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)求图中a的值，并估计这200名客户的满意度评分的平均数（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)已知样本中在内的评分的平均数为64.5，方差为14，在内的评分的平均数是74.5，方差是9，求落在内的评分的平均数与方差． 17．在中，． (1)求A的大小； (2)若，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求最长边上高线的长． 条件①：；条件②：的面积为；条件③：．（注：若选多个条件进行解答，按第一个解答计分．） 18．如图1所示，在中，点在线段上，满足，是线段上的点，线段与线段交于点. (1)若，求实数，的值； (2)若，且满足， ①求实数的值； ②如图2，过点的直线与边，分别交于点，，设，，，）求的最小值. 19．如图，在直三棱柱中，侧面是边长为2的正方形，，点D为的中点． (1)求证：⊥平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)若点A，B，C，D都在同一个球的表面上，求该球的表面积． 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $