第一章 二次根式 过关卷2025-2026学年浙教版数学八年级下册

**基本信息** 聚焦二次根式概念-性质-应用全链条，以定义辨析、运算技巧、数形结合为核心方法，系统覆盖中考高频考点 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|选择1-2|定义判断法（二次根式定义、最简二次根式特征）|从二次根式定义生成最简二次根式概念| |性质应用|选择5-8/填空13-15|性质迁移法（被开方数非负性、化简规则）|由性质推导成立条件及参数求解逻辑| |运算求解|选择3-4/解答17-18|运算法则融合（加减乘除混合运算技巧）|从基本运算到混合运算的递进关系| |几何与实际应用|选择10/解答19-23|数形结合与模型思想（矩形面积、摆钟周期、黄金矩形证明）|性质应用拓展至几何情境与实际问题解决|

2025学年八年级下学期数学单元测试卷 第一章 二次根式 单元测试（过关卷） 学校:___________姓名：___________班级：___________ 一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．下列式子中，是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式：①；②；③；④；⑤．最简二次根式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．计算：的结果是（    ） A． B． C．40 D．7 4．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 5．式子成立的条件是（ ） A． B． C． D． 6．已知为实数，则代数式的值为（   ） A．0 B． C． D．无法确定 7．若，把化成最简二次根式为（   ）． A． B． C． D． 8．已知，，为△ABC的三条边的长，则化简的结果是（    ） A． B．0 C． D． 9．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分的面积为，则空白部分的面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 11．若，则 ． 12．下列二次根式：①；②；③；④；⑤．其中不能与合并的是 （填序号）． 13．若最简二次根式和可以合并，则的值为 ． 14．若整数满足，则能使为整数的的值是 ． 15．已知，是实数，且满足，则的值为 ． 16．如图1，在△ABC中，．动点从的顶点出发，以的速度沿匀速运动回到点．图2是点运动过程中，线段的长度（单位：）随时间（单位：）变化的图象，其中点为曲线部分的最低点．则图2中的值为 ． 三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分） 17．计算：（1）     （2） 18．已知，求的值． 19．居民小区有块矩形绿地，绿地的长为米，宽为米．要在绿地内修建一个矩形小花坛（阴影部分），花坛的长为（）米，宽为（）米． (1)求绿地的周长；（参考数值：，，结果精确到1米） (2)除去修建花坛的地方，绿地的其余地方修建成通道．若通道要铺设造价为80元/米的地砖，铺设地砖需要花费多少元？ 20．观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)请写出第8个等式：___________； (2)请写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 21．摆钟的“滴答”声提醒着我们时光易逝，我们要珍惜当下，抓住每一秒，努力前行．某学习兴趣小组通过观察摆钟发现：摆球摆动的快慢与摆长有关系．他们通过查阅资料知道：摆钟的摆球来回摆动一次的时间叫做一个周期．它的计算公式是：，其中表示周期（单位：），表示摆线长（单位：），，是圆周率．（取3.14，摆线长精确到0.01米，周期精确到，参考数据：，） (1)若一个摆钟的摆线长为，它摆动一个周期的时间是多少？ (2)一个准确的摆钟的摆球的摆动周期为，求该摆钟的摆线长． 22．数学活动——黄金矩形．宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．下面我们折叠出一个黄金矩形： 第一步，在一张矩形纸片的一端，利用图1所示的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步，如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平； 第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处； 第四步，展平纸片，按照所得的点D折出，矩形（图4）就是黄金矩形． (1)求证：矩形是黄金矩形． (2)请判断图4中矩形是不是黄金矩形，并说明理由． 23．为了探索代数式的最小值，小明巧妙的运用了“数形结合”思想．具体方法是这样的：如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、．已知，，，设．则，则问题即转化成求的最小值． (1)我们知道当、、在同一直线上时，的值最小，于是可求得，的最小值等于________； (2)请你根据上述方法，试构图求出代数式的最小值． (3)若，为正实数，且．求的最小值． 2025学年八年级下学期数学单元测试卷 第一章 二次根式 单元测试（过关卷） 学校:___________姓名：___________班级：__________ 参考答案 一、选择题 1．【答案】B 解：A．∵，∴不是二次根式；     B．是二次根式；     C．的根指数是3，不是二次根式； D．当时，不是二次根式． 故选B． 2．【答案】B 解：∵ ① ，被开方数为质数，无平方因数，是最简二次根式； ② ，被开方数含分母，不是最简二次根式； ③ ，含平方因数，不是最简二次根式； ④ ，被开方数含分母，不是最简二次根式； ⑤ ，对于实数，且无法分解为完全平方与整数的乘积，无平方因数，是最简二次根式． ∴ 最简二次根式有①和⑤，共个. 故选：B． 3． 【答案】D 解： ． 故选：D． 4．【答案】B 本题考查二次根式的运算，掌握二次根式乘除法运算法则是解题关键． 利用二次根式的加减乘除法则逐一判断即可． 解：A、 ，计算错误，不符合题意； B、 ，计算正确，符合题意； C、  ，计算错误，不符合题意； D、 ，计算错误，不符合题意； 故选：B． 5．【答案】C 解：∵二次根式有意义的条件是被开方数为非负数， ∴要使成立，需满足， ∴解得． 故选：C． 6．【答案】B 根据二次根式有意义的条件确定的值，再代入代数式计算． 解：要使二次根式有意义，被开方数必须为非负数，则 由，得：． 将代入代数式： ． 故选：B． 7．【答案】C 解：∵二次根式有意义， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选C． 8．【答案】D 解：∵ 是 的三边， ∴ ，即 ， ∴ . 又 ∵，即， ∴. ∴ 原式   . 故选：D． 9．【答案】C 解：∵， ∴与互为相反数， ∴， ∴， ∴， 故选：． 10．【答案】A 因为重叠部分图形的长和宽都是两个小正方形的边长的和减去大正方形的边长，所以重叠部分也是正方形． 因为三个小正方形的面积分别为， 所以三个小正方形的边长分别为：，，． 由图知大正方形的边长为：， 所以． 故选：A． 二、填空题 11． 12．②⑤ 13．2 14．或3 解：由整数满足 得可取． 计算 ： 当 时，，不是整数； 当 时，，是整数； 当 时，，不是整数； 当 时，，不是整数； 当 时，，不是整数； 当 时，，不是整数； 当 时，，是整数． ∴能使 为整数的 的值是和 ； 故答案为：或． 15．1 本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 根据二次根式有意义条件，确定的值，进而求出的值，然后计算的值即可． 解：由二次根式有意义条件， 得 解得， 当时，． ∴． 故答案为：1． 16．． 解：由图象可知，当时，点与点重合， ∴， 当点在上，且时，最小，对应图象上的点，此时， 在中，， ∵，， ∴， ∴的周长为：， ∴； 故答案为：． 17． （1） （2）或 本题考查求二次根式的性质化简，化简绝对值，运用平方根解方程，解题的关键是熟练掌握相关运算法则． （1）先计算各部分，再进行加减计算即可； （2）对原方程进行整理，利用平方根的定义解方程即可． （1）解： （2）解： ∴， ∴， ∴或 ∴或 18．(1) (2) 本题主要考查二次根式加减乘除混合运算，掌握二次根式混合运算顺序和法则是解题的关键． （1）运用二次根式的乘除法法则进行计算即可； （2）先运用二次根式的乘除法法则化简，然后再按照二次根式的加减法则进行计算即可． （1）解： ； （2）解： ． 19．(1)绿地的周长约为42米 (2)8000元 本题考查二次根式的应用，长方形的周长和面积，平方差公式． （1）根据长方形的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算即可； （2）先计算出空白部分的面积，然后再用空白部分的面积乘以单价即可得出结论． （1）解：绿地的周长： （米）． ∴绿地的周长约为42米； （2）解： （平方米）． ∴购买地砖的花费为（元）． 20．(1) (2)，见解析 本题考查了规律探索，完全平方公式，二次根式的性质，理解题意从中获取相关信息是解题的关键． （1）观察规律得出结果即可； （2）观察规律得出，利用完全平方公式推理即可． （1）解：由题意可得第8个为：， 故答案为：； （2）解：第个等式为：， 证明：． 21．(1)； (2)该摆钟的摆长为 本题考查二次根式的化简和利用二次根式的性质求解． （1）将代入计算求出T，即可得解； （2）令求出l即可． （1）解：将代入得：， 答：它摆动一个周期的时间是； （2）令，即， 解得：． 答：该摆钟的摆长为． 22．(1) (2) 本题主要考查了二次根式有意义的条件，完全平方公式，绝对值的意义，熟练掌握二次根式有意义的条件，完全平方公式是解题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件可求出的值，从而得到的值，即可求解； （2）根据二次根式有意义的条件可求出，从而得到，再根据完全平方公式的变形，即可求解． （1）解：由题意得：， 解得：， ， ， ； （2）解：由题意得：， 解得：， ， ， ， ． 23．(1)证明见解析 (2)是，理由见解析 （1）设正方形的边长为，根据折叠可知，由勾股定理可得，易得出的值，再求的值即可判断； （2）先表示的长，再求出的值，即可判断． （1）证明：根据第一步，可知四边形是正方形，设正方形的边长为． 根据第二步，可知． 在中，根据勾股定理，得． 根据第三步，可知， ． ， 矩形是黄金矩形． （2）是． 理由如下：， ， 矩形是黄金矩形． 本题考查了黄金矩形，准确理解图中的折叠以及黄金矩形的定义是解决本题的关键． 24．(1)10 (2) (3) 本题主要考查了最短路线问题以及勾股定理应用，二次根式的混合运算，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键． （1）连接，根据两点之间线段最短，得到的最小值为的长，作，在中，利用勾股定理进行求解即可； （2）仿照题干方法，将代数式的最小值转化为两条线段和最小的问题，利用勾股定理进行求解即可； （3）根据，得到，进而将转化为，类比题干方法进行求解即可． （1）解：连接，作，由题意，得， ∴， 在中，由勾股定理，得； 故的最小值为10； （2）解：如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、．已知，，，设．则，． 连接，作，则，， ∴， 在中，由勾股定理，得； 故的最小值为； （3）解：∵， ∴， ∴， 如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、．已知，，，设．则，． 连接，作，则，， ∴， 在中，由勾股定理，得； 故的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $