贵州部分学校2025-2026学年高二下学期6月学科素养训练数学试题

**基本信息** 本卷聚焦函数、几何等核心知识，通过生活与科技情境设计，分层考查抽象能力、推理意识与数据观念，适配月考诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|6题82分|函数单调性、立体几何体积、概率计算|以购物优惠为情境考查函数建模（数学语言），以卫星轨道为背景考查几何直观（数学眼光）|

高二数学学科素养训练 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 中 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 陈 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.已知复数之1=2十i,之2=1一2i,则之1十之2在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.若集合M={xx2<4),N={-2,0,1,4),则M∩N= A.{0,1} B.{-2,0} C.(0,1) D.(-2,0) 3.已知a,b,c∈R,若-2，a,b,c,一8成等比数列，则abc= A.32 B.±64 C.-64 D.64 封 4.已知向量a=(2,x2),b=(x-1,1),若(a+b)⊥b,则|2a-b|= A.3 B.√6 C.2√6 D.√26 5.已知a为钝角，且cos2a=- 则in(登+) 1 闲 号 B- 3 号 D.、 3 6.工程师对某种AI图象识别算法模型进行优化，该算法模型的准确率提升倍数A与数据投喂 量x(单位：GB)的关系式为A=k·28x,其中k为常数.已知数据投喂量为100GB时，算法 模型的准确率提升倍数为20；当准确率提升倍数A≥160时，该算法模型就能达到商用标准. 线 若要想达到商用标准，则数据投喂量至少应为 A.10GB B.105GB C.105 GB D.10GB 7.在正三棱台ABC-A1B1C1中，AB=4,A1B1=B,B=2,则该正三棱台外接球的表面积为 A.32π B.28π C.22π D.12π 8.如图，一个质点在外力的作用下，从原点出发，每次沿数轴随机向左或向右移动一个单位长 度.记Xn(n=1,2,3,…,16)为该质点第n次移动后所对应的数轴上的数，则满足X。=X16 =4的移动方法有 方之-i01234方 A.3360种 B.4480种 C.3150种 D.4200种 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.舞龙表演时，龙身上下起伏的姿态可以近似看作右图，若此图象为函数 f(x)=Asin(wx十p)(A>0,w>0,lp≤)图象的一部分，则 A.w=2 B.A=2 cp=晋 D,将函数g(x)=2sin2z的图象向左平移个单位长度可得到函数f(x)的图象 10已知R,R:分别是椭圆C:若+芳=1a>0)的左，右焦点，C的离心率为分若点P为C 上异于长轴端点的动点，则 A.C的长半轴长为2 B.△PF1F2的周长为6 C.|PF1的最大值为2 DC上存在点P,使得∠F,PF,=子 1.已知函数f的定义域为R,任意实数1，均满足f+),f-》=f1-)f,) 若f(1)=1,f'(x)是函数f(x)的导函数，则 A.f(x)为偶函数 B.f(x)是周期为4的函数 C.f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2026)=0 D.f'(3-x)+f'(3+x)=0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知随机变量X~N(150,a2),若P(140<X<160)=0.6,则P(X≥160)=▲_ 13,若双曲线6+若=1的渐近线方程为x土2y=0,则该双曲线的焦距为▲ 14.已知数列{an}满足a1=8,a3=20,且{an十n}为等差数列，则a2的值为▲ ;若数列 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分) 已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，且sinA=5a cos Bb (1)求B; (2)若a=2c,b=√3，求△ABC的面积. 16.(15分) 已知函数f(x)=e2一2x+2,g(x)=2x-alnx-2. (1)求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程； (2)设函数h(x)=f(x)十g(x),若h(x)在[1,4]上单调递增，求a的取值范围. 17.(15分) 某校在数学节上开展“数学知识闯关”活动，为提升趣味性和参与度，提供了两种不同的活动 内容. 活动一：共设置8道数学趣味题目，闯关者需从这8道数学趣味题目中随机抽取2道进行作 答，若2道题均答对，则可获得“数学达人”勋章，否则无法获得勋章。 活动二：共设置4道数学综合题目，闯关者需从第一题开始依次作答，若累计答对2道题，则 结束答题并获得“数学达人”勋章；若答完4道题后仍未能累计答对2道题，则结束答题且无 法获得勋章。 (1)小明参加活动一，已知他仅能答对这8道数学趣味题目中的5道题，求小明能获得“数学 达人”勋章的概率； (2小刚参加活动二，已知他答对每道数学综合题目的概率均为号，且各题作答结果相互独 立，记结束答题时小刚答题的个数为X,求X的分布列和数学期望 18.(17分) 如图，矩形ABB1A1为圆柱O01的轴截面，CC1是圆柱OO1中不与AA1,BB1重合的母 线，M为AA1的中点，AB=4√2，CC1=4, (1)证明：AC⊥平面BCB1. (2)设直线C1A与平面ABC所成的角为a,直线CB1与平面A1B,C所成的角为B,求 tan2a十tan2B的最小值， (3)若OC⊥AB,求平面MAC与平面MCB1所成二面角的正弦值 0 B 欧 19.(17分) 在平面直角坐标系中，将曲线上的每个点绕原点O沿逆时针方向旋转α角的变换，称为旋 转角为α的旋转变换.设点Q(x,y)经过旋转角α的旋转变换后变成点Q(x',y),则 (x'=xcos a-ysin a, y'=xsin a+ycos a. (1)在旋转角为的旋转变换下，使点Q(1,1)变成点Q,求点Q的坐标. 封 (2)若抛物线C在旋转角为牙的旋转变换下，得到的曲线方程为C:x2+y2+2x'y'+ 22x'-2√2y'=0. ()求C的方程； (iⅱ)在平面直角坐标系中，过点T(t,t)(0<t<2)的直线与C交于A,B两点，设C在 点A,B处的切线分别为l1和L2,已知l1与x轴交于点M,l2与x轴交于点N,设l1与 l2的交点为P,当P,M,N,T四点共圆时，设该圆的圆心H的坐标为(s,h),证明：s十 h号 线高二数学学科素养训练 答题卡 姓 名 班级： 考场号： 座位号： 贴条形码区 考生号： 生 号 1.答题前，考生须认真核对条形码上的个人信息，然 后将本人姓名、班级、考场号、座位号和考生号填写 0000000000 在相应位置。填写样例：①2☒④⑤6☑⑧回 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将对应题目的答案 ■ 卫 0 co D 注 标号涂黑，修改时用橡皮擦干净，再选涂其他答案 2 2 2习 意3.答非选择题时，必须使用05毫米的黑色字迹签字 ■ 笔书写，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫 事 米的黑色字迹签字笔描清楚，选做题必须用2B铅笔 项 将所选题号涂黑。要求字体工整，笔迹清晰。严格按 51 5 1 题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的 ■ 6 6) 6 6 6 答案无效：在试题卷、草稿纸上答题无效。 4.保持答题卡清洁、完整。严禁折叠，严禁在答题卡上 ■ I 做任何标记，严禁使用涂改液、胶带纸、修正带」 9999 9 9 9 9 考生 缺考考生由监考员贴条形 缺考标记 正确填涂 ■ 错误填涂 ☑ 禁填 码，并用2B铅笔填涂右面 0 的缺考标记。 ▣ 单项选择题（须用2B铅笔填涂） 1ABCD 4ABCD 7 ABCD 2ABCD 5ABCD 8 ABCD 3ABCD 6 ABCD 多项选择题（须用2B铅笔填涂） 9 ABCD 10ABCD 11ABCD 非选择题（须用0.5毫米的黑色字迹签字笔书写） 12 (5分) 13. (5分) 14 (2分) (3分) 请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效 请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！ 15.(13分) 请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！ 【高二数学答题卡第1页（共2页）】 请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！ 请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！ 请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！ 【高二数学答题卡第2页（共2页）】 请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！高二数学学科素养训练 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A C D B C A 1.由题意得x1十x2=2+i+1-2i=3-i.故选D. 2.由x2<4可得-2<x<2,所以M={x|一2<x<2},N={-2,0,1,4},所以M∩N={0, 1}.故选A 3.因为一2，a,b,c,一8成等比数列，所以由等比数列的性质可知ac=b2=(一2)×（一8）=16. 又a2=-2b,所以b<0,则ac=16,b=-4,所以abc=-64.故选C. 4.因为a=(2,x2),b=(x-1,1),所以a+b=(x+1,x2+1).因为(a+b)⊥b,所以(a+b)· b=x2-1+x2+1=0,解得x=0,所以a=(2,0),b=(-1,1),2a-b=(5,-1),|2a-b|= √52+(-1)2=√26.故选D. 5.因为cos2a=2cos。-1=-号，所以cosa=士怎又。为轮角，所以cosa=-日 3 故sinm(受+a)=osa-- 3·故选B 6.当x=100时，A=k·2g10=k·22=20,即k=5.当A≥160时，5·2gx>160,即2gx≥32= 2,则1gx≥5，即x≥105.故选C. 7.如图，设O1,O2分别为△A1B1C1,△ABC的外接圆圆心，O为正三 棱台ABCA1B1C1的外接球球心.设该外接球的半径为R,则OB= A OB1=R.因为△A1B1C1,△ABC均为正三角形，且AB=4,A1B1= 22W3 443 2,所以0B:-2sin6o-号，0，B=2sn60=3.又B,B=2,所 以0,0，=vB,B=0,B0B-2.设00，=，则在直角 三角形OO1B1和直角三角形OO2B中， +(2)-=R, 由勾股定理得 6,R=h+4=1 解得h=5 2)+)- 3-21 (h 所以该正三棱台外接球的表面积为4πR2=22π.故选C. 8.因为X。=4,所以X1o=一2或X1。=2.当X1。=一2，X16=4时，前10次向左移动6次，向右 【高二数学·参考答案第1页（共6页）】 移动4次，后6次全向右移动，所以有C1C8=210种移动方法；当X1。=2,X16=4时，前 10次向左移动4次，向右移动6次，后6次向左移动2次，向右移动4次，所以有CC%= 3150种移动方法.综上，移动方法共有210十3150=3360种.故选A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 题号 9 10 11 答案 ABD ABD BD 9.由西数图象得音是一子，则T=元因为。>0，所以a-华-2，A正确由图可知 的最大值为2，最小值为-2，所以A-2-（?2=2,B正确又2si(2×受十）=2，所以晋 2 十p=2+2kπ（∈Z),得p=5+2kπ(k∈Z).因为19≤，所以p=5,C错误.f(x)= 2sin(2x+),将g(x)的图象向左平移否个单位长度得到y=2sin[2(x+君)门=2sin(2x +）=f(x)的图象，D正确.故选ABD. 10.依题意，a=2c,a2=b2+c2,b=√3，所以a=2,c=1,A正确.△PF1F2的周长为2a+2c=4 十2=6，B正确.因为P为C上异于长轴端点的动点，所以a一c<|PF1|<a十c,即1< |PF1<3,C错误当P为C的短轴顶点时，△PF,F2为等边三角形，此时∠F,PF。=, D正确.故选ABD. 11.Vx1,x2∈R,f(x1十x2)=f(x1-x2)+2f(1-x1)f(x2).对于A,令x1=x2=0,得f(0) =f(0)十2f(1)f(0),所以2f(0)=0,故f(0)=0,令x1=0,x2=x,得f(x)=f(-x)十 2f(1)f(x),故f(一x)+f(x)=0,故f(x)为奇函数，图象关于原点对称，A错误.对于B, 令x1=1,x2=x,故f(1+x)=f(1一x),所以f(-x)=f(x+2),所以f(x)=-f(x十 2)=f(x十4)，故f(x)的周期T=4,B正确.对于C,令x1=x2=1,得f(2)=0,令x1=1, x2=2,得f(3)=f(-1)=-f(1)=-1,又f(4)=f(0)=0,则f(1)+f(2)十f(3)十 f(4)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2026)=506[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+ f(1)+f(2)=1,C错误.对于D,令x1=3,x2=x,得f(3十x)=f(3-x)+2f(-2)· f(x),又f(-2)=-f(2)=0,所以f(3+x)=f(3-x),求导可得，f'(3十x)=-f'(3 x),D正确.故选BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 题号 12 13 14 答案 0.2 45 14;-394 12.因为X~N(150,o2),P(140<X<160)=0.6,所以P(X≥160)= 1-P(140X<160) 2 =0.2. 【高二数学·参考答案第2页（共6页）】 18.由题意知<0，所以a=4,6=6,新近线方程为y=士名-士牙=士号，解得& 4 -4,b=2.由c=√a2+b2=2√5，得该双曲线的焦距2c=4√5 14.依题意，{am十n}为等差数列，则a1十1十a3十3=2(a2十2)，得32=2(a2+2),则a2=14, {am+n}的公差d=a2十2-(a1+1)=7,所以am十n=a1十1+(n-1)X7=7n+2,则am= 6m十2.因为b1=16,所以6：一61 1=1，=b-1 1 1 6a,b+=1-b+2 1-6n Ny 11 专b63a6E形宜6o 1 、1 2b=1-b2 1 =-2,所以6，)-个周期内的项为分，多，-2设6，=a6.=(6m中 2 2)bn,将数列{cn}按每3项为一组进行分组求和，对于第组，即n=3k一2,3k一1,3k,有 bag=号0a=号：=-2，则c1=au0a8=[8(3k-2》+2]×日=6k-9,同理 C31=27k一6，c张=一36k-4,则第组的和为c-2十c1十c4=一3- 3,S6= 8c+c1+c)=-3x2xg2+1-号×12=-394 2 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 1丘解，1咽为合2，由正弦定理，利黑合， cos B sin B' 2分 而A∈(0，x),即sinA≠0，则osB-3,即tanB=3 。…4分 又B∈0，m,所以B=于 …6分 (2)由(1)知B=号，所以cosB= 2 …7分 把a=2c,b=√3代入余弦定理b2=a2+c2-2 accos B,得3=4c2+c2-2c2=3c2,…9分 獬得C=1,Q=2,…11分 所△ADC的面积S-ocsin B-X1X2x- …13分 16.解：(1)由题意得f(x)=e2-2,f'(1)=e一2=e一2，…2分 f(1)=e一2十2=e,故切点坐标为(1，e),…3分 则切线方程为y一e=(e一2)(x一1)，整理得y=(e一2)x十2.…5分 (2)函数h(x)=f(x)+g(x)=e-2x+2+2x一alnx-2=ez一alnx, 所以'x)=e一是 …7分 【高二数学·参考答案第3页（共6页）】 由题意得'(x)≥0即e-≥0在[1,4]上恒成立， 则a≤xe2在[1,4幻上恒成立，即a≤(xe2)mim.…9分 令m(x)=xe,则m'(x)=e2十xe=e(1十x). 10分 因为x∈[1,4]，所以x十1>0且e>0,则m'(x)>0,…12分 m(x)=xe在[1,4幻上单调递增，所以m(x)m=m(1)=1·e=e.…14分 经验证a=e时满足题意，则实数a的取值范围为（一o∞，e].…l5分 17.解：(1)记事件A为小明获得“数学达人”勋章，则P(A)= Cg105 C8-28-14 …5分 (2)由题意，X的所有可能取值为2,3,4.… 6分 P(X=2)=()‘=若，P(X=3)=C×x(号) 24 1251 P(x=4)-Cx号×(}+cx(》°- 12分 所以X的分布列为 F 2 3 4 4 24 81 25 125 125 13分 r(X)=2x元+3x院+4×赏-需 000000000000t…00… 15分 18.(1)证明：因为AB是圆O的直径，所以ACBC.…1分 在圆柱OO1中，BB1⊥平面ABC,ACC平面ABC,所以BB1⊥AC.…3分 又BB1∩BC=B,BB1,BCC平面BCB1,所以AC⊥平面BCB1.·4分 (2)解：由CC1⊥平面ABC,CC1⊥平面A1B1C1,得∠CAC1=a,∠CB,C1=B,·5分 CC 4 所以tana=AC-AC,an月=B,C-i C-是所以ama+img=16(AC+B记)】 …7分 设AC=m,BC=n,则m2+n2=32, 所以是+》-(+)+)(+是+》≥+层)= 2, ………9分 当且仅当m=n=4,即AC=BC=4时，等号成立，故tana十tanB的最小值为2.… …10分 (3)解：以O为坐标原点，OC,OB,OO1所在直线分别为x,y,之轴建立如图所示的空间直 角坐标系， 则C(2√2,0,0)，B(0,2√2,0)，M(0,-2√2,2)，B1(0,2√2,4)， 所以MC=(22,2√2，-2)，CB1=(-2√2,22,4).… 11分 【高二数学·参考答案第4页（共6页）】 设平面MCB1的法向量为a=(x,y,之)，则 2 a.MC-2√2x+2√2y-2z=0, a.CB1=-2W2x+2W2y+4x=0, 令之=22，则a=(3,一1,2W2).… 13分 因为AC⊥BC,AA1⊥BC,AA1∩AC=A,所以BC⊥平面MAC, 所以BC=(2√2，-2√2,0)为平面MAC的一个法向量.·14分 设平面MAC与平面MCB1所成的二面角为O, 则|cos81=|cosa,Bt1=a·Bd 6√2+2√2 2 …16分 |aIBC√9+1+8X√8+8 3’ 所以血0=-(T-5. 即平面MAC与平面MCB,所成二面角的正弦值为 17分 z'=1Xcos至-1Xsin年， 19.(1)解：由题设中的变换方法 …1分 y=1Xsim至+1Xcos, (x=0, 解得y=反 故Q'的坐标为(0，W2).…3分 (2)(i)解：设C上一点为D(x,y),旋转后对应的点为D'(x',y'), '=xeos至-ysin 4 ' √2 22、 2y, 则 即 …0……4分 '=xsin+cos至 以② 2x十2y, x'十y=2x, 所以 ①… 5分 x'-y'=-2y. 因为x+y2+2x'y'+22x'-2√2y=(x'+y)2十2√2(x'-y')=0②，…6分 由①②整理得x2=2y,所以C的方程为x2=2y.…8分 （1)证明：设A(,),B(6,分)，由y-号得其号两数y=,所以，=a4=-6, 所以直线l1:y=ax 直线1y=bx-,令y=0,可得M(%,0),N(会，0. a2 …9分 82 y=ax- 2 x=a十b 2 由 62 得 ab 即P》 10分 y=bx- 2’ y 2, 【高二数学·参考答案第5页（共6页）】 因为点A(a,g),B(6,含)，T,)三点共线，所以k=,…11分 b2 a2 b2 b2 22 t2 b-a t-b i-b ,整理得(a十b一2)t=ab.…12分 设△PMN的外接圆方程为x2十y2+Dx+Ey十F=0, +F=0, b,D+F=0. 则4+2 ()°+（学+D++F=0, 2 餐得D=士，E=1,F- 2 4 …13分 所以外接圆方程为x2+y2_a十b,-1十ab, 2x- 2一3y十=O. 4 将T(t,t)的坐标代入该圆方程，整理得8t2-2(a十b)t+(1-2t)ab-2t=0. 2+7,ah=8-6r 又(a+b-2)1=a6,所以a十6=121-4，a 2t+1, …14分 所以=号中-器A=号-中2 4(2t+1), 15分 5 所以s+h=883,令2t+1=k∈(1,5)，化简得s十h= 4k …16分 令)合员易知了)-台在1,5止单调递增。 所以f)<f6)=号，即+h<号，得证 …17分 ▣回 【高二数学·参考答案第6页（共6页）】