2025-2026学年人教版七年级数学下学期：几何压轴题专项练习

**基本信息** 以“平行线性质”为核心，通过“作辅助线”“模型迁移”“动态探究”构建系统性解题方法，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平行线性质应用|6题|过拐点作平行线、角平分线性质迁移|从静态角关系（如“猪蹄模型”）到动态旋转中角的数量关系推导| |动态几何问题|5题|分类讨论、方程思想|结合三角尺/射线旋转，建立运动过程中几何量的变化规律| |实际情境应用|3题|抽象建模、性质应用|将台灯、光反射等现实问题转化为平行线角关系问题，发展应用意识|

2025—2026学年人教版七年级下学期： 几何压轴题专项练习 1. （20-21七年级下·河北保定·期末）（1）发现： 平行线是平面几何中最基本，也是最重要的图形．在解决某些平面几何问题时，若能依据问题的需要，添加适当的平行线，往往能使问题得以顺利解决． 请你根据上述思想解决下列问题： 如图，，点在内部时，则 （用“”、“”或“”填空） （2）探究： 如果（）中命题的题设和结论互换，写出互换后的命题，判断其真假，并说明理由． （3）拓展： 如图，已知，若点在直线外部时，，，满足怎样的数量关系？说明理由． 2. （25-26七年级下·新疆喀什·期中）如图，是小明同学用的一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找 到合适的照明角度．图①是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，，两支架和的夹角．如何求此时支架与底座的夹角的度数及灯头与水平线的夹角的度数呢？小明解决此问题的思路如下： (1)小明在解决问题时，过点C作如图②，则可以得到，其理由是： ． (2)如图②，根据小明的思路求和的度数； 3. （25-26七年级下·全国·期末）已知：如图1，直线，被直线所截，． (1)试说明：； (2)如图2，点E在，之间的直线上，P、Q分别在直线，上，连接、 ① 度； ②若平分，平分，猜想与之间的数量关系，并说明理由． 4. （25-26七年级下·安徽宣城·期末）已知：如图，，，垂足分别为D，F，．试说 明：平分． 解：因为，（已知）， 所以（垂直的定义）． 所以____________（___________）． 所以____________（两直线平行，内错角相等）， ____________（___________）． 因为（已知）， 所以____________（___________）． 所以平分（角平分线的定义）． 5. （25-26七年级下·全国·期末）在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开 展数学活动．如图1，已知两直线，，且和直角三角形相交，，． (1)在图1中，，则的度数为______； (2)如图2，创新小组的同学把直线向上平移，并把的位置改变，试说明和的数量关系； (3)竞赛小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，当平分时，此时发现和又存在新的数量关系，请直接写出和的数量关系． 6. （25-26七年级下·全国·期末）综合与实践 【问题情境】 在综合与实践课上，数学老师让同学们以“两条平行线，和一块含角的直角三角尺”为主题展开数学活动． 【探究发现】 如图1，小明把三角尺中角的顶点B放在上，边，与分别交于点D，E． (1)若，则的度数为_______________； (2)如图2，请你探究与之间的数量关系，并说明理由． 7. （25-26七年级下·陕西延安·期中）已知直线，直线分别交于点． 【问题提出】 (1)如图①，点在直线之间，连接，过点作．若，，，则直线的位置关系是______； 【问题迁移】 (2)如图②，，平分交于点，平分交于点，平分交于点，若，求的度数； 【问题拓展】 (3) 如图③，，平分交于点，平分交于点，点在直线上，平分交于点，探究和之间存在的数量关系． 8. （25-26七年级下·辽宁鞍山·期中）在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使 得，则称是的“系数平衡角”．例如，，，有，则是的“系数平衡角”． (1)【概念理解】 若，则的“系数平衡角”是____； (2)【初步认识】 在平面内，，点为直线上一点，点为直线上一点．如图，点为平面内一点，连接，，，若是的“系数平衡角”，求的度数． (3)【问题解决】 连接，点为直线与直线间的动点（点不在直线上），，．是的“系数平衡角”，此时的度数为____． 9. （25-26七年级下·浙江杭州·期末）如图1，直线与直线，分别交于C，D两点，点M在直线上，射线 平分交直线于点Q，． (1)试说明． (2)如图2，射线交直线于点F，交线段于点P，且． ①若，直接写出的度数． ②点N在射线上，满足，连接，请补全图形，探究与满足的等量关系，并说明理由． 10. （24-25七年级下·广西玉林·期中）在一次数学综合实践活动课上，同学们进行了如下探究活动：将一块等腰直 角三角板的顶点放置在直线上，旋转三角板． (1)如图1，在边上任取一点（不同于点，），过点作，若，求的度数； (2)如图2，过点作，请探索并说明与之间的数量关系； (3)将三角板绕顶点转动，过点作，并保持点在直线的上方，在旋转过程中，探索与之间的数量关系，并说明理由． 11. （16-17七年级下·江苏扬州·阶段检测）问题情境：如图1，，，，求 的度数． (1)小明的思路是：如图2，过作，通过平行线性质，可得______． 问题迁移： 如图3，，点在射线上运动，，． (2)当点在A、两点之间运动时，、、之间有何数量关系？请说明理由． (3)如果点在A、两点外侧运动时（点与点A、、三点不重合），请你直接写出、、之间有何数量关系． 12. （25-26七年级下·浙江宁波·期中）如图1，已知，是直线，外的一点，于点， 交于点，满足．    (1)求的度数； (2)如图2，射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向匀速旋转，当到达时立刻返回至，然后继续按上述方式旋转；射线从出发，以相同的速度绕点按顺时针方向旋转至后停止运动，此时射线也停止运动．若射线、射线同时开始运动，设运动时间为秒． ①当射线平分时，求的度数； ②当时，若直线与直线相交所成的锐角是，则_____． ③当时，直线与直线相交所成的锐角是定值吗？若是，求直接写出定值；若不是，说明理由． 13. （25-26七年级下·重庆·期中）如图，，A，B分别在直线上，且，若射线绕点 A逆时针旋转至后立即回转，射线绕点B顺时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点A，点B不停地旋转，若射线转动的速度是/秒，射线转动的速度是/秒，且a，b满足． (1)______，______． (2)若射线和射线同时旋转，至少旋转多少秒时，射线和射线互相垂直？ (3)若射线绕点A逆时针先转动12秒，射线才开始绕点B顺时针旋转，在射线到达之前，射线再转动多少秒，射线和射线互相平行？ 14. （22-23七年级下·广西南宁·阶段检测）学习了平行线的判定与性质后，某兴趣小组在练习中看到这样一道题“如 图1，平分，平分，．判断，是否平行，并说明理由”，试着“玩”起数学来： 【基础巩固】 (1)条件和结论互换，改成了：“如图1，平分，平分，，则．”小明认为这个结论正确，你认同他的想法吗？请说明理由． 【尝试探究】 (2)小明发现：若将其中一条角平分线改成的垂线，则“”这个结论不成立．请帮小明完成探究： 如图2，，平分，，是与的夹角，是与的夹角，若，求的度数． 【拓展提高】 (4) 如图3，若，，平分，试说明． 15. （21-22七年级下·重庆·期末）光的反射定律是由法国土木工程兼物理学家菲涅耳提出．他发现光的反射定律为： 反射光线与入射光线与法线在同一平面上（法线垂直于平面）；反射光线和入射光线分居在法线的两侧；如图反射角等于入射角． (1)如图1，与是互相垂直的两面平面镜，一束光线照射到平面镜上，经两次反射后从射出，已知三角形内角和等于．求证：； (2)如图2，与是两面平面镜，其中于点A，于点C，交于点B，交于点D；一束光线照射到平面镜上，经两次反射后从射出，已知交于点M，且，交于点H，若，求的度数； (3)如图3，已知，点E，M在线段上，点F，N在线段上，交于点G，且，，，射线绕着点M顺时针旋转后停止，旋转速度为秒，同时绕点G逆时针旋转，旋转速度为秒，当射线停止旋转时，也立即停止旋转；当所在直线与的边平行时，请直接写出对应时间t的所有值． 16. （24-25八年级上·河北保定·期末）已知直线，为平面内一点，点，分别在直线，上，连 接，． (1)如图，若点在直线，之间，求证：． (2)如图，若点在直线，之间，平分，平分，当时．求的度数． (3)如图，若点在直线的上方，平分，平分， 的反向延长线交于点，当时，求的度数． 17. （25-26八年级上·贵州毕节·期末）问题情境：如图1，，求的度数， 并指出与之间的数量关系． 小明的思路是：过点作，利用平行线的性质可求出的度数，得出与之间的数量关系． (1)问题初探：根据小明的思路，图1中的度数为___________度，与之间的数量关系为___________；（直接写出答案） (2)问题拓展：如图2，，若，则与之间有怎样的数量关系？请说明理由； (3)问题延伸：如图3，，和的平分线相交于点，分别作和的平分线相交于点，再分别作和的平分线相交于点．设，则与之间有怎样的数量关系？请直接写出结论，不必说明理由． 18. （25-26七年级上·江苏南京·期末）【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，，P是、之间的一点，连接、，试说明：；请将下面的说理过程补充完整： 说明：如图，过P作． ∵．（辅助线的作法） ∴．（ ） ∵．（已知） ∴．（ ） ∴．（ ） ∵．（角的和差定义） ∴ ．（等量代换） 【方法应用】 （2）如图2，若，，，则 ； 【变式探究】 （3）如图3，，点P在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由； 【拓展延伸】 （4） 如图4，若，的平分线和的平分线交于点Q，则 ． 19. （24-25七年级下·辽宁葫芦岛·阶段检测）材料一：如图，某数学兴趣小组的同学们在学习平行线的过程中，他 们发现一个点与一组平行线的位置关系有多种多样： 材料二：在研究的过程中同学们总结出：可以先过某一点作已知直线的平行线，再将角进行拆分或重组从而解决问题．为此，老师给出如下问题： 如图①，，，交于点Q，交于点P．请判断与有怎样的数量关系； 如图②，明明同学通过在点F处作，利用平行线的性质实现了角的转移，进而解决了问题； 如图③，欣欣同学受到了明明方法的启发，另辟蹊径，在点Q处作，同样也有着异曲同工之妙． 【问题解决】 （1）请判断与有怎样的数量关系，并选择一名同学的解题思路，写出证明过程； 【类比运用】 （2）如图④，，反向延长的平分线，交直线于点F，点H在直线上，连接，若，，求的度数； 【变式探究】 （3） 如图⑤，，平分，且，，请直接写出的度数． 20. （25-26八年级上·广东河源·期末）如图1，，为直线上的点，和交于点． (1)若，则的度数是___________． (2)求证：． (3)如图2，平分，平分，若，试用含的代数式表示的度数． 21. （25-26七年级上·福建福州·期末）在数学活动课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景 开展数学活动．如图，已知两直线，，且和直角三角形，， (1)在图1中，，求的度数； (2)如图2，在探究过程中组同学把图1中的直线向上移动，始终保持．并把的位置改变，发现，请说明理由； (3)如图3，组同学改变三角板的位置，将直角三角板的一边放在直线上，另一边在直线的下方．过点作射线，使，将图3中三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，设旋转时间为秒．当时，在旋转的过程中与始终满足关系（，为常数），求的值． 22. （25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，在直角三角尺中，，，过点E，F分别作 直线，，使． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，在的平分线上取一点Q，连接，若，求证平分； (3)如图3，作的平分线交于点M，点P是角平分线上位于直线下方的动点，点H是射线上的动点（不与点M重合），请直接写出，与之间的数量关系． 23. （25-26七年级上·江苏盐城·期末）七年级数学小组开展“三角尺中的数学”主题实践活动． 【动手操作】 （1）小勋同学发现通过一副三角尺可以拼出一些特殊度数的角，请问用一副三角板可以拼出的角吗？________．（填“能”或“不能”） 【问题探究】 （2）如图（1），把一副三角板拼在一起，边，在直线上，其中，．如图（2），三角板固定不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转，设三角板运动时间为秒． ①当________时，； ②在转动过程中，三角板一直在的内部，当为何值时，？ 【拓展延伸】 （4） 在（2）的条件下，在三角板绕点旋转过程中，若三角板同时以每秒的速度绕点逆时针旋转，且，当时，请直接写出的值，为________． 24. （25-26七年级上·江苏南京·期末）阅读下列材料，完成探究任务： 【材料一】光的反射是生活中常见的现象，图1是光的反射示意图．（反射角等于入射角且法线与平面镜垂直，垂足为入射点） 【材料二】 我们把右侧后视镜及汽车车身抽象成数学模型，如图2，用线段表示右侧的后视镜，用长方形表示汽车的部分车身，司机在车内点处，，后视镜与形成的为，司机观察车右侧后视镜的视角的度数不大于，点为线段上的任意一点，且点为入射点． 【材料三】 当驾驶员坐在驾驶位置上时，由于视角的限制以及车位的遮挡，会形成我们常说的汽车盲区．如图3，小汽车的车头、车尾盲区，以及两侧后视镜的可见区域．一辆小汽车在平直的公路上匀速行驶，小汽车车尾盲区为正后方长为5米的长方形区域，在小汽车的正后方跟随着一辆匀速行驶的摩托车．若此时小汽车司机紧急刹车，那么摩托车司机也随即刹车，但摩托车司机有一个1.2秒的反应时间．已知小汽车从开始刹车到完全停住的滑行距离为22米，摩托车从开始刹车到完全停住的滑行距离为32米． 【问题解决】（提示：“三角形的内角和为”可直接使用．） (1)若，则图2中入射角_____； (2)图2中，我们把称为司机观察车右侧的“给力角”，当入射点与点重合时，“给力角”最大．请求出图2中“给力角”的最大值为_____． (3)已知在行驶过程中的某一时刻，测得小汽车与摩托车之间相距45米，如图4是根据题意画出的线段示意图； ①线段表示的实际意义是_____ ②如果此时小汽车司机刚好紧急刹车，为了保证摩托车不闯入小汽车的车尾盲区，则摩托车行驶的最大速度为：_____米/秒． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年人教版7年级下学期： 几何压轴题专项练习 1. （20-21七年级下·河北保定·期末）（1）发现： 平行线是平面几何中最基本，也是最重要的图形．在解决某些平面几何问题时，若能依据问题的需要，添加适当的平行线，往往能使问题得以顺利解决． 请你根据上述思想解决下列问题： 如图，，点在内部时，则 （用“”、“”或“”填空） （2）探究： 如果（）中命题的题设和结论互换，写出互换后的命题，判断其真假，并说明理由． （3）拓展： 如图，已知，若点在直线外部时，，，满足怎样的数量关系？说明理由． 【答案】（）；（）点在内部时，，则；是真命题；证明见解析；（），理由见解析． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，判断命题真假，平行公理推论，掌握知识点的应用是解题的关键． （）过作，则有，所以，，然后利用角度和差即可求证； （）过作，证明即可； （）设交于，过作，则有，所以，，，，然后利用角度和差即可求解． 【详解】解：（）过作，如图： ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； 故答案为：； （）（）中命题的题设和结论互换后的命题是：点在内部时，，则； 互换后的命题是真命题，理由如下： 过作，如图： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （），理由如下： 设交于，过作，如图： ∵， ∴， ∴，，，， ∴， ∴， ∴． 2. （25-26七年级下·新疆喀什·期中）如图，是小明同学用的一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找 到合适的照明角度．图①是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，，两支架和的夹角．如何求此时支架与底座的夹角的度数及灯头与水平线的夹角的度数呢？小明解决此问题的思路如下： (1)小明在解决问题时，过点C作如图②，则可以得到，其理由是： ． (2)如图②，根据小明的思路求和的度数； 【答案】(1)如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 (2)； 【分析】（1）根据平行公理进行解答即可； （2）根据平行线的性质得出，从而求出，再根据已知角求出，根据平行线的性质求出；根据平行线的性质得出，从而求出．再根据，求出结果即可． 【详解】（1）解：过点C作如图②，则可以得到，其理由是：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； （2）解：如图，∵， ， ∵， ， ∵， ， ∵， ∴， ； ∵， ， ∵， ． ∵， ； 3. （25-26七年级下·全国·期末）已知：如图1，直线，被直线所截，． (1)试说明：； (2)如图2，点E在，之间的直线上，P、Q分别在直线，上，连接、 ① 度； ②若平分，平分，猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：设与相交于点O，与交于点K， 因为，， 所以， 所以； (2)①360； ②．理由：过点E向右作， 因为， 所以， 所以，， 所以， 所以， 同理可证：． 因为，，，， 所以， 所以， 所以． 【分析】（1）根据对顶角以及同位角相等证明平行即可； （2）①过点E向右作，则，再由“两直线平行，同旁内角互补”求解即可；②过点E向右作，则，主要根据“两直线平行，内错角相等”，结合角平分线的定义求解即可． 【详解】（1）略 （2）①解：过点E向右作 因为， 所以， 所以， 所以 因为 所以； ②略 4. （25-26七年级下·安徽宣城·期末）已知：如图，，，垂足分别为D，F，．试说 明：平分． 解：因为，（已知）， 所以（垂直的定义）． 所以____________（___________）． 所以____________（两直线平行，内错角相等）， ____________（___________）． 因为（已知）， 所以____________（___________）． 所以平分（角平分线的定义）． 【答案】；；同位角相等，两直线平行；；；；；两直线平行，同位角相等；；；等量代换． 【分析】首先根据平行线的判定证明两条直线平行，再根据平行线的性质证明有关角相等，运用等量代换的方法证明所分的两个角相等，即可证明． 【详解】解：因为，（已知）， 所以（垂直的定义）． 所以（同位角相等，两直线平行）． 所以（两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同位角相等）． 因为（已知）， 所以（等量代换）． 所以平分（角平分线的定义）． 5. （25-26七年级下·全国·期末）在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开 展数学活动．如图1，已知两直线，，且和直角三角形相交，，． (1)在图1中，，则的度数为______； (2)如图2，创新小组的同学把直线向上平移，并把的位置改变，试说明和的数量关系； (3)竞赛小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，当平分时，此时发现和又存在新的数量关系，请直接写出和的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等求解即可； （2）过点作，根据两直线平行，内错角相等、同旁内角互补求解即可；　 （3）过点作，根据两直线平行内错角相等、角平分线定义求解即可． 【详解】（1）解：如图， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）如图， 过点作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图， ， 过点作， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 6. （25-26七年级下·全国·期末）综合与实践 【问题情境】 在综合与实践课上，数学老师让同学们以“两条平行线，和一块含角的直角三角尺”为主题展开数学活动． 【探究发现】 如图1，小明把三角尺中角的顶点B放在上，边，与分别交于点D，E． (1)若，则的度数为_______________； (2)如图2，请你探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)．理由如下： 过点C作交于点， ， ， ，， ， ， ∴． 【分析】（1）过点作交于点，根据平行线的性质计算即可； （2）过点作交于点，结合平行线的性质和平角的定义进行解题． 【详解】（1）解：如图，过点作交于点， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）略 7. （25-26七年级下·陕西延安·期中）已知直线，直线分别交于点． 【问题提出】 (1)如图①，点在直线之间，连接，过点作．若，，，则直线的位置关系是______； 【问题迁移】 (2)如图②，，平分交于点，平分交于点，平分交于点，若，求的度数； 【问题拓展】 (3)如图③，，平分交于点，平分交于点，点在直线上，平分交于点，探究和之间存在的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）求出，可得，可证明，从而可证明； （2）求出，由可得，由平分平分，求出，再根据三角形外角的性质可得结论； （3）分类讨论，过拐点作平行线：过R作，过Q作，然后设参，利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴； （3）解：设， 过R作，过Q作， 则，， 第一种情况：如图，当点Q在线段上时， 则，， 则， ∴，， ∴， ∴， ∴； 第二种情况：如图，当点Q在点E上方时， 此时， 则， ∴， ∵， ∴； 第三种情况：如图，当点Q在点F下方时， 则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上，或． 8. （25-26七年级下·辽宁鞍山·期中）在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使 得，则称是的“系数平衡角”．例如，，，有，则是的“系数平衡角”． (1)【概念理解】 若，则的“系数平衡角”是____； (2)【初步认识】 在平面内，，点为直线上一点，点为直线上一点．如图，点为平面内一点，连接，，，若是的“系数平衡角”，求的度数． (3)【问题解决】 连接，点为直线与直线间的动点（点不在直线上），，．是的“系数平衡角”，此时的度数为____． 【答案】(1)； (2)； (3)或 【分析】（1）设的“系数平衡角”是，由“系数平衡角”定义列方程即可得出； （2）过点作直线，利用平行线的内错角相等得出，是的“系数平衡角”，推出，再结合，求解即可； （3）根据，，设，，，， 再根据是的“系数平衡角”，可得，然后分类讨论：①当点在直线异侧时，过点作直线，过点作直线，②当点在直线同侧时，过点作直线，过点作直线，结合平行线的性质列出方程，即可求解． 【详解】（1）∵设的“系数平衡角”为， ∴根据题意，， ∵， ∴； （2）如图，过点作直线， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵是的“系数平衡角”， ∴根据题意，，即， ∵， ∴，解得：； （3）∵，， ∴设，，，， ∵是的“系数平衡角”， ∴， 分类讨论：①如图，当点在直线异侧时，过点作直线，过点作直线， ∵， ∴， ∴，， ，， ∴，， ∴， ， ∵， ∴，解得：， ∴； ②如图，当点在直线同侧时，过点作直线，过点作直线， ∵， ∴， ∴，， ，， ∴， ， ∵， ∴，解得：， ∴； ∴综上，为或． 9. （25-26七年级下·浙江杭州·期末）如图1，直线与直线，分别交于C，D两点，点M在直线上，射线 平分交直线于点Q，． (1)试说明． (2)如图2，射线交直线于点F，交线段于点P，且． ①若，直接写出的度数． ②点N在射线上，满足，连接，请补全图形，探究与满足的等量关系，并说明理由． 【答案】(1)平分， ， 又，． ， ； (2)①； ②或， 理由：如图3， ， ， ， ， ， ； 如图4， 由①可得， ，， ， ， 即：， ， ， ， 综上所述，与满足的等量关系为或． 【分析】（1）根据角平分线的定义以及平行线的判定进行解答即可； （2）①根据平行线的性质进行计算即可；②分两种情况画出相应的图形，根据图形中角的大小关系得出结论． 【详解】（1）略 （2）解：①， ，，， 平分， ， 又， ； ②略 10. （24-25七年级下·广西玉林·期中）在一次数学综合实践活动课上，同学们进行了如下探究活动：将一块等腰直 角三角板的顶点放置在直线上，旋转三角板． (1)如图1，在边上任取一点（不同于点，），过点作，若，求的度数； (2)如图2，过点作，请探索并说明与之间的数量关系； (3)将三角板绕顶点转动，过点作，并保持点在直线的上方，在旋转过程中，探索与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)解：，  理由如下： 如图，过点作， ， ， ，， ， ， ； (3)解：①当点在直线的上方时，；②当点在直线与直线之间时，；③当点在直线的下方时，． 理由如下： ①如图3-1中，当点在直线的上方时，过点作． ∵，， ， ，， ， ； ②当点在直线与直线之间时，由（2）可知，； ③当点在直线的下方时，过点作． ∵，， ， ，， ， ． 综上所述，①当点在直线的上方时，；②当点在直线与直线之间时，；③当点在直线的下方时，． 【分析】（1）根据平行线的性质可知，结合，可求出的度数； （2）过点作，得到，通过平行线的性质把和转化到上即可； （3）分三种情形：①如图3−1中，当点F在直线的上方时，②当点F在直线与直线之间时，．③当点F在直线的下方时，分别利用平行线的性质解决问题即可． 【详解】（1）解：如图1中， ∵， ，     ， ， ， 即； （2）略 （3）略 11. （16-17七年级下·江苏扬州·阶段检测）问题情境：如图1，，，，求 的度数． (1)小明的思路是：如图2，过作，通过平行线性质，可得______． 问题迁移： 如图3，，点在射线上运动，，． (2)当点在A、两点之间运动时，、、之间有何数量关系？请说明理由． (3)如果点在A、两点外侧运动时（点与点A、、三点不重合），请你直接写出、、之间有何数量关系． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)当点P在B、O两点之间时，点P在射线上时 【分析】（1）过作，先证明，再进一步证明即可； （2）过点作 ，可得，然后平行线的性质分别求出把和表示出来，再利用角的和差关系，即可求出结果； （3）分两种情况讨论：过点P作，则可得出，然后平行线的性质分别求出把 和 表示出来，则利用角的和差关系，即可得到结果． 【详解】（1）解：过作，∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴. （2）解：，理由如下： 如图，过点P作， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）解：当点P在B、O两点之间时，点P在射线上时；理由如下： 如图，过点P作， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴ ∴； 如图，当点P在B、O两点之间时，如图，过点P作， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵ ， ∴， ∴； 综上所述：或． 12. （25-26七年级下·浙江宁波·期中）如图1，已知，是直线，外的一点，于点， 交于点，满足．    (1)求的度数； (2)如图2，射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向匀速旋转，当到达时立刻返回至，然后继续按上述方式旋转；射线从出发，以相同的速度绕点按顺时针方向旋转至后停止运动，此时射线也停止运动．若射线、射线同时开始运动，设运动时间为秒． ①当射线平分时，求的度数； ②当时，若直线与直线相交所成的锐角是，则_____． ③当时，直线与直线相交所成的锐角是定值吗？若是，求直接写出定值；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)①或；②或；③当时，直线与直线相交所成的锐角不是定值，理由见解析 【分析】（1）设与的交点为，由平行线判定定理的推论可知，，则，从而计算出，由邻补角的性质可得； （2）①容易计算出，从从转到需，分段研究，当时，，解得，；当时，，解得，；当时，，解得，，不符题意； ②直线与直线的交点为，利用三角形内角和为可计算出，根据题意或，分别计算即可； ③由①可知，当时，，由②可知为定值；同理当时， ，此时不是定值；当时，不是定值；当时，直线与直线互相平行． 【详解】（1）解：如图，设与的交点为， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①根据题意，总的运动时间为， 从转到的时间为， ∵， ∴， 当时，从转向， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴， 解得，此时； 当时，从转向， ∴， ∵射线平分， ∴， 解得，此时； 当时，再次从转向， ∴， ∵射线平分， ∴， 解得，此时，不符合题意； 综上，或； ②设直线与直线的交点为， ∵直线与直线相交所成的锐角是， ∴或， 当时，如图， 由（1）可知，， 由①可知，，， ∴， ∵， ∴， 解得； 当时，如图， 同理可得，， 解得； 综上所述，或； ③设直线与直线的交点为， 当时，从转向，如图， 由①可知，，， ∴， 同理②可得，为定值； 当时，再次从转向，如图， 由①可知，， ∴， 同理，不是定值； 当时，如图， 此时，， ∵， ∴， ∴直线与直线无交点， 当时，如图， ∵，， ∴不是定值； 综上所述，当时，直线与直线相交所成的锐角不是定值． 13. （25-26七年级下·重庆·期中）如图，，A，B分别在直线上，且，若射线绕点 A逆时针旋转至后立即回转，射线绕点B顺时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点A，点B不停地旋转，若射线转动的速度是/秒，射线转动的速度是/秒，且a，b满足． (1)______，______． (2)若射线和射线同时旋转，至少旋转多少秒时，射线和射线互相垂直？ (3)若射线绕点A逆时针先转动12秒，射线才开始绕点B顺时针旋转，在射线到达之前，射线再转动多少秒，射线和射线互相平行？ 【答案】(1) (2)秒 (3)秒或秒或秒 【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性求解即可； （2）设至少旋转秒时，射线、射线互相垂直，设旋转后的射线、射线交于点，则，过点作，证明，得出方程，解方程即可； （3）求出，设射线再转动秒时，射线、射线互相平行，分三种情况分别画出图形并列出方程求解即可． 【详解】（1）解：， ∴ ∴； （2）解：设至少旋转秒时，射线、射线互相垂直，如图，设旋转后的射线、射线交于点，则，过点作， ∴， ∵，且射线转动的速度是秒，射线转动的速度是秒， ∴，，， ∴，， ∴， 解得：， 答：至少旋转秒时，射线和射线互相垂直； （3）解：∵，， ∴， ∴， 设射线再转动秒时，射线、射线互相平行， 设旋转后的射线、射线分别用射线、射线表示， ∵射线绕点逆时针先转动秒，转动了， ①当射线未到达时，如图， ∴，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 解得：； ②当射线到达后再返回时，如图， ∴，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 解得：； ③当射线到达后返回，再一次到达原位置后继续逆时针旋转，如图， ∴，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，在射线到达之前，射线再转动秒或秒或秒，射线和射线互相平行． 14. （22-23七年级下·广西南宁·阶段检测）学习了平行线的判定与性质后，某兴趣小组在练习中看到这样一道题“如 图1，平分，平分，．判断，是否平行，并说明理由”，试着“玩”起数学来： 【基础巩固】 (1)条件和结论互换，改成了：“如图1，平分，平分，，则．”小明认为这个结论正确，你认同他的想法吗？请说明理由． 【尝试探究】 (2)小明发现：若将其中一条角平分线改成的垂线，则“”这个结论不成立．请帮小明完成探究： 如图2，，平分，，是与的夹角，是与的夹角，若，求的度数． 【拓展提高】 (3)如图3，若，，平分，试说明． 【答案】(1)认同，理由见解析； (2)； (3)见解析． 【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补可得，结合根据角平分线的定义得到的，，即可证明； （2）先求出，再由两直线平行，同旁内角互补，求出，再根据角平分线的定义求出的度数即可； （3）先证明，，再结合，即可证明． 【详解】（1）解：认同，理由如下： ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （3）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 15. （21-22七年级下·重庆·期末）光的反射定律是由法国土木工程兼物理学家菲涅耳提出．他发现光的反射定律为： 反射光线与入射光线与法线在同一平面上（法线垂直于平面）；反射光线和入射光线分居在法线的两侧；如图反射角等于入射角． (1)如图1，与是互相垂直的两面平面镜，一束光线照射到平面镜上，经两次反射后从射出，已知三角形内角和等于．求证：； (2)如图2，与是两面平面镜，其中于点A，于点C，交于点B，交于点D；一束光线照射到平面镜上，经两次反射后从射出，已知交于点M，且，交于点H，若，求的度数； (3)如图3，已知，点E，M在线段上，点F，N在线段上，交于点G，且，，，射线绕着点M顺时针旋转后停止，旋转速度为秒，同时绕点G逆时针旋转，旋转速度为秒，当射线停止旋转时，也立即停止旋转；当所在直线与的边平行时，请直接写出对应时间t的所有值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或或或或 【分析】（1）根据反射定律可以推出镜面与反射光线的夹角以及镜面与入射光线的夹角也相等，推出，即可得证； （2）作，作，根据平行线的性质和反射定律进行求解即可； （3）分五种情况进行讨论即可． 【详解】（1）证明：∵反射角等于入射角， ∴反射角入射角， 即镜面与反射光线的夹角以及镜面与入射光线的夹角也相等， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵三角形内角和等于， ∴， ∴ ； ∴； （2）解：作，作， ∵于点A，于点C， ∴，， ∴， ∴，，， 由反射定律和（1）可知：，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）解：作，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 当所在直线与的边平行时，分四种情况： ①当时，如图，设交于点， 则， 由题意，， ∴，， ∴，解得； ②当时，如图，设交于点， 则，，， ∴， ∴， ∴，解得； ③当点旋转至上方，时，如图，延长交于点， 则， ∵， ∴， ∴，解得； ④当点旋转至上方，时，如图，延长交于点， 则， ∴，解得； ⑤当当点旋转至上方，时，如图，延长交于点， 则， ∴，解得； 综上：或或或或． 16. （24-25八年级上·河北保定·期末）已知直线，为平面内一点，点，分别在直线，上，连 接，． (1)如图，若点在直线，之间，求证：． (2)如图，若点在直线，之间，平分，平分，当时．求的度数． (3)如图，若点在直线的上方，平分，平分， 的反向延长线交于点，当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）过点作，可得，通过平行线的性质结合即可证明； （2）利用（1）的结论有，再由角平分线的性质得，，求得；过点作，可得，通过平行线的性质结合即可求解； （3）过点作，可得，通过平行线的性质结合等量代换可得；过点作，可得，由平行线的性质结合角平分线的性质可得，等量代换即可得解． 【详解】（1）证明：如图，过点作， ， ， ，； ， ； （2）解：由（1）知：，， ， 平分，平分， ，， ； 如图，过点作， ， ， ，， ； （3）解：如图，过点作， ， ， ，， ； 过点作， ， ， ，， ； 平分，平分， ， ； ． 17. （25-26八年级上·贵州毕节·期末）问题情境：如图1，，求的度数， 并指出与之间的数量关系． 小明的思路是：过点作，利用平行线的性质可求出的度数，得出与之间的数量关系． (1)问题初探：根据小明的思路，图1中的度数为___________度，与之间的数量关系为___________；（直接写出答案） (2)问题拓展：如图2，，若，则与之间有怎样的数量关系？请说明理由； (3)问题延伸：如图3，，和的平分线相交于点，分别作和的平分线相交于点，再分别作和的平分线相交于点．设，则与之间有怎样的数量关系？请直接写出结论，不必说明理由． 【答案】(1)100， (2)，见解析 (3) 【分析】（1）过点作，证明，利用平行线的性质求解即可； （2）过点作，证明，利用平行线的性质求解即可； （3）由（1）知，得到，由角平分线的定义求得，，由（2）知，同理，根据规律得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴； ∴； （2）解：过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴； （3）解：由（1）知， ∴， ∵和的平分线相交于点， ∴，， 由（2）知， 同理， ， ， ，即， ∴． 18. （25-26七年级上·江苏南京·期末）【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，，P是、之间的一点，连接、，试说明：；请将下面的说理过程补充完整： 说明：如图，过P作． ∵．（辅助线的作法） ∴．（ ） ∵．（已知） ∴．（ ） ∴．（ ） ∵．（角的和差定义） ∴ ．（等量代换） 【方法应用】 （2）如图2，若，，，则 ； 【变式探究】 （3）如图3，，点P在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由； 【拓展延伸】 （4）如图4，若，的平分线和的平分线交于点Q，则 ． 【答案】（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等；；（2）82；（3），见解析；（4）131 【分析】此题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． （1）过P作，根据“两直线平行，内错角相等”得，再根据“平行于同一条直线的两条直线互相平行”得，进而根据“两直线平行，内错角相等”得，由此可得； （2）过点P作（点N在点P的右侧），则，由此得，证明得，由此得，然后根据即可得出答案； （3）过点P作（点H在点P的右侧），则，证明得，然后根据即可得出，，之间的数量关系； （4）由角平分线定义设，，则，，进而得，，由（1）的结论得，，再根据得，进而得，据此即可得出的度数． 【详解】解：（1）如图，过P作， ∵，（辅助线的作法） ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，（已知） ∴，（平行于同一条直线的两条直线互相平行） ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，（角的和差定义） ∴．（等量代换） 故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等；； （2）过点P作（点N在点P的右侧），如图2所示： ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：82； （3），，之间的数量关系是：；理由如下： 过点P作（点H在点P的右侧），如图3所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即，，之间的数量关系是：； （4）∵的平分线和的平分线交于点Q， ∴设，， ∴，， ∴，， 由（1）的结论得：， ， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：131． 19. （24-25七年级下·辽宁葫芦岛·阶段检测）材料一：如图，某数学兴趣小组的同学们在学习平行线的过程中，他 们发现一个点与一组平行线的位置关系有多种多样： 材料二：在研究的过程中同学们总结出：可以先过某一点作已知直线的平行线，再将角进行拆分或重组从而解决问题．为此，老师给出如下问题： 如图①，，，交于点Q，交于点P．请判断与有怎样的数量关系； 如图②，明明同学通过在点F处作，利用平行线的性质实现了角的转移，进而解决了问题； 如图③，欣欣同学受到了明明方法的启发，另辟蹊径，在点Q处作，同样也有着异曲同工之妙． 【问题解决】 （1）请判断与有怎样的数量关系，并选择一名同学的解题思路，写出证明过程； 【类比运用】 （2）如图④，，反向延长的平分线，交直线于点F，点H在直线上，连接，若，，求的度数； 【变式探究】 （3）如图⑤，，平分，且，，请直接写出的度数． 【答案】（1），见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查平行线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）选择明明同学，由，，得，由平行线的性质得，，，进而即可证明；选择欣欣同学，由平行线的性质得，，推出，进而即可证明； （2）过点P作，根据平行线的性质求出和，进而即可求解； （3）过点P作，过点N作，延长交于点Q，则，根据平行线的性质得，，进而证明，根据推出，进而可得，再根据平行线的性质得，，通过等量代换即可求解． 【详解】解：（1）选择明明同学，证明过程如下： ，， ， ， ， ， ， ； 选择欣欣同学，证明过程如下： ， ， ， ， ， ， ， ； （2）如图 ，过点P作， 则， ， ， ， 平分， ， ，， ， ， ， ， 即的度数为； （3）如图 ，过点P作，过点N作，延长交于点Q， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ，， ， 即的度数是． 20. （25-26八年级上·广东河源·期末）如图1，，为直线上的点，和交于点． (1)若，则的度数是___________． (2)求证：． (3)如图2，平分，平分，若，试用含的代数式表示的度数． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理的应用，角平分线的定义，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型． （1）过点E作直线，进一步利用平行线的性质求解即可． （2）如图，过点作，进一步利用平行线的性质求解即可． （3）由（2）可知，进一步结合角平分线的定义求解即可． 【详解】（1）解：过点E作直线，    ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，过点作， ， ， ， ， 即； （3）解：．理由如下： 由（2）可知， 平分，平分， ， ， ， ∴． 21. （25-26七年级上·福建福州·期末）在数学活动课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景 开展数学活动．如图，已知两直线，，且和直角三角形，， (1)在图1中，，求的度数； (2)如图2，在探究过程中组同学把图1中的直线向上移动，始终保持．并把的位置改变，发现，请说明理由； (3)如图3，组同学改变三角板的位置，将直角三角板的一边放在直线上，另一边在直线的下方．过点作射线，使，将图3中三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，设旋转时间为秒．当时，在旋转的过程中与始终满足关系（，为常数），求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了根据平行线的性质求角的度数，根据平行线判定与性质证明，根据旋转的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）先利用平角的意义求得，再利用平行线的性质求得角的度数； （2）先利用平行线的性质得出，再根据两角的和得出，再证明，根据平行线的性质可得出，从而可得，再结合，得出； （3）先说明当时，在内部，再求得，从而可得，再根据，又，可得出，整理得：，根据等式与的大小无关，求得，再求得，从而可得出 【详解】（1）解：如图1， ∵，，， ∴ ∵， ∴； （2）解：如图2，过点作， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴； （3）解：如图： ∵，， ∴， 当时，旋转了，此时与重合， 当时，旋转了，此时与重合， ∴当时，在内部. ∵， ∴， ∵， 又∵ ∴， 整理得：， ∵等式与的大小无关， ∴， ∴， ∴， ∴ 22. （25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，在直角三角尺中，，，过点E，F分别作 直线，，使． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，在的平分线上取一点Q，连接，若，求证平分； (3)如图3，作的平分线交于点M，点P是角平分线上位于直线下方的动点，点H是射线上的动点（不与点M重合），请直接写出，与之间的数量关系． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，掌握平行线的性质与判定是解题的关键． （1）设，则，作，利用列式计算即可求解； （2）作，结合（1）的结论，求得，即可证明平分； （3）分两种情况讨论，作，利用平行线性质求解即可． 【详解】（1）解：设，则，作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴； （2）证明：作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， 由（1）知， ∴，即， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （3）解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， 当点在线段上时，作， ∴，， ∴即， ∴； 当点在射线上时，作， ∴，， ∴，即， ∴； 综上，或． 23. （25-26七年级上·江苏盐城·期末）七年级数学小组开展“三角尺中的数学”主题实践活动． 【动手操作】 （1）小勋同学发现通过一副三角尺可以拼出一些特殊度数的角，请问用一副三角板可以拼出的角吗？________．（填“能”或“不能”） 【问题探究】 （2）如图（1），把一副三角板拼在一起，边，在直线上，其中，．如图（2），三角板固定不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转，设三角板运动时间为秒． ①当________时，； ②在转动过程中，三角板一直在的内部，当为何值时，？ 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，在三角板绕点旋转过程中，若三角板同时以每秒的速度绕点逆时针旋转，且，当时，请直接写出的值，为________． 【答案】（1）不能；（2）①秒或秒；②；（3）秒或秒 【分析】本题考查了几何图形中角度的计算，一元一次方程的应用，垂直的定义，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式表示相关角的度数． （1）由三角板的特征可得，一副三角板中，两块三角板的角度分别为和，由均为的倍数，得到用一副三角板可以拼出的角的度数都为的倍数，即可解答； （2）①根据时，，再分在上方和下方两种情况讨论即可；②由，得，解方程即得； （3）分两种情况：当三角板在三角板左侧时，当三角板在三角板右侧时，再结合平行线的性质建立方程求解即可． 【详解】解：（1）一副三角板中，两块三角板的角度分别为和， ∵均为的倍数， ∴用一副三角板可以拼出的角的度数都为的倍数， ∵不是整数倍， ∴用一副三角板不能拼出的角， 故答案为：不能； （2）①∵， ∴， 由题意得， ∵， ∴， 当在上方时，如图（2）， 则，即， 解得； 当在下方时，如图（3）， 则，即， 解得； 综上，当秒或秒时，； 故答案为：秒或秒； ②由题意得，，则， ∴ ∵， ∴， 解得， ∴当t为时，； （3）如图（4），当三角板在三角板左侧时， ∵，， ∴， 由题意得， ∴，即， ∴； 如图（5），当三角板在三角板右侧时， ∵，， ∴， 由题意得， ∴，即， ∴； 综上，当时，的值为秒或秒． 故答案为：秒或秒． 24. （25-26七年级上·江苏南京·期末）阅读下列材料，完成探究任务： 【材料一】光的反射是生活中常见的现象，图1是光的反射示意图．（反射角等于入射角且法线与平面镜垂直，垂足为入射点） 【材料二】 我们把右侧后视镜及汽车车身抽象成数学模型，如图2，用线段表示右侧的后视镜，用长方形表示汽车的部分车身，司机在车内点处，，后视镜与形成的为，司机观察车右侧后视镜的视角的度数不大于，点为线段上的任意一点，且点为入射点． 【材料三】 当驾驶员坐在驾驶位置上时，由于视角的限制以及车位的遮挡，会形成我们常说的汽车盲区．如图3，小汽车的车头、车尾盲区，以及两侧后视镜的可见区域．一辆小汽车在平直的公路上匀速行驶，小汽车车尾盲区为正后方长为5米的长方形区域，在小汽车的正后方跟随着一辆匀速行驶的摩托车．若此时小汽车司机紧急刹车，那么摩托车司机也随即刹车，但摩托车司机有一个1.2秒的反应时间．已知小汽车从开始刹车到完全停住的滑行距离为22米，摩托车从开始刹车到完全停住的滑行距离为32米． 【问题解决】（提示：“三角形的内角和为”可直接使用．） (1)若，则图2中入射角_____； (2)图2中，我们把称为司机观察车右侧的“给力角”，当入射点与点重合时，“给力角”最大．请求出图2中“给力角”的最大值为_____． (3)已知在行驶过程中的某一时刻，测得小汽车与摩托车之间相距45米，如图4是根据题意画出的线段示意图； ①线段表示的实际意义是_____ ②如果此时小汽车司机刚好紧急刹车，为了保证摩托车不闯入小汽车的车尾盲区，则摩托车行驶的最大速度为：_____米/秒． 【答案】(1)40 (2)100 (3)①小汽车从开始刹车到完全停住的滑行距离为22米；②25 【分析】本题考查平行线的性质，角的和差关系，一元一次方程的实际应用： （1）根据平行线的性质，得到，三角形的内角和定理求出的度数，垂直得到，角的和差关系求出的度数即可； （2）当入射点与点重合时，的度数最大，为，同法（1）进行求解即可； （3）①根据题意，易得表示小汽车从开始刹车到完全停住的滑行距离；②设摩托车的行驶速度为米秒，当米时，摩托车的速度最大，根据线段的和差关系列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：如图①，因为且， 所以； 又因为， 所以； 因为， 所以； 所以． （2）解：如图②，当入射点与点重合时，的度数最大，为． 因为， 所以； 又因为， 所以； 因为，所以； 所以， 所以． （3）解：①由题意，表示小汽车从开始刹车到完全停住的滑行距离为22米． ②解：设摩托车的行驶速度为米秒， 当米时，摩托车的速度最大． 即， ∴， 解得； 故摩托车的行驶速度为米秒． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $