江苏南通市如皋市长江高级中学2025-2026学年高一下学期数学冲刺期末综合练习2

**基本信息** 整合高一数学核心知识，通过多题型综合训练，培养数学眼光、思维与语言，强化知识间逻辑联系与应用能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数|单选1-2、8-10、13-16|复数运算、向量关系、三角函数图像与性质|从概念生成到性质应用，如向量模与夹角推导、三角函数周期与零点分析| |几何|单选3-7、11-12、14、17-19|立体几何空间角、解三角形、斜二测画法|从空间想象到逻辑推理，如线面垂直证明、异面直线角计算，结合正弦定理与余弦定理应用|

高一数学备课组 对核心概念及方法理解感悟内化 江苏省如皋市长江高级中学2025-2026学年度第二学期高一数学冲刺期末综合练习2 1、 单选题 1．已知复数满足，其中为虚数单位，则对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（    ） A． B． C． D． 3.在中，，点平分线段．设，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 5．若将一个表面积为的铁球熔铸成一个高为9cm的实心圆锥（熔铸过程中损耗忽略不计），则该圆锥的底面半径为（    ） A．2cm B． C．3cm D． 6.在中，角，，的对边分别是，，，且满足，，则外接圆的半径为（   ） A． B．3 C． D．6 7．已知正四棱锥的底面边长和侧棱长相等，记异面直线与所成角为，侧棱与底面所成角为，侧面与底面所成的二面角为，则（    ） A． B． C． D． 8．已知平面向量，，均为单位向量，若与的夹角为60°，则的最大值为（    ） A． B．4 C． D．5 2、 多选题 9．下列选项中，正确的是（   ） A．若两个相等的非零向量的起点相同，侧它们的终点可能不同 B．若向量，则 C．若向量，满足，则或 D．若非零向量与共线，则，，三点共线 10.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的有（   ） A． B．的图象关于直线对称 C．不等式的解集为 D．的图象向左平移个单位长度得到函数的图象 11.如图，圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为，点为下底面圆周上一点，为上底面圆周上一点，则（    ） A．该圆台的体积为 B．该圆台的内切球的半径为 C．直线与直线所成角的最大值为 D．直线与平面所成角的正切值最大为 3、 填空题 12.如图，平行四边形为利用斜二测画法画出的水平放置的四边形的直观图，若，则四边形的面积为______． 13.若，则的值为______. 14.在锐角中，若，则_____；的取值范围是_____. 4、 解答题 15.已知向量满足，，，向量满足． (1)求实数的值； (2)求与的夹角． 16.已知函数，，其图象相邻的两个对称中心间的距离为. (1)求，的值； (2)若在区间上有且只有一个零点，求的取值范围. 17.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，是正三角形，E为线段的中点，F为线段的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)若平面平面，求异面直线与所成角的余弦值． 18.记的内角，，的对边分别为，，.已知向量，，. (1)求； (2)若，，选择为表示平面内所有向量的一组基底，用表示向量，并求面积的最大值： (3)若是锐角三角形，且，求的取值范围. 19．如图1，在直角梯形中，，，，A是的中点.现沿把折起，使得（如图2所示），，分别为，的中点，是线段上一点. (1)求证：平面平面； (2)若是线段的中点，求与平面所成的角； (3)若平面，求的值. 江苏省如皋市长江高级中学2025-2026学年度第二学期高一数学冲刺期末综合练习2 解析版 5、 单选题 1．已知复数满足，其中为虚数单位，则对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B【详解】因为， 所以复数对应的点为，位于第二象限.故选：B 2．（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】.故选：B. 3.在中，，点平分线段．设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，即，又点平分线段， 所以. 故选：D. 4．已知，表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D【详解】如图，在正方体中：    因为平面，平面，且与为异面直线，故A错误； 因为平面，，但平面，而非平面，故B错误；因为平面，平面平面，但平面，而非平面，故C错误；对D：若，，则，故D正确.故选：D 5．若将一个表面积为的铁球熔铸成一个高为9cm的实心圆锥（熔铸过程中损耗忽略不计），则该圆锥的底面半径为（    ） A．2cm B． C．3cm D． 【答案】B 【详解】设所求为，铁球的半径为，则，解得， 所以，解得.故选：B. 6.在中，角，，的对边分别是，，，且满足，，则外接圆的半径为（   ） A． B．3 C． D．6 【答案】A 【详解】设外接圆的半径为. 在中，由余弦定理及可得，即， 即， 即，即. ∴由余弦定理可得. ∵，∴，∴由正弦定理可得，解得. 故选：A. 7．已知正四棱锥的底面边长和侧棱长相等，记异面直线与所成角为，侧棱与底面所成角为，侧面与底面所成的二面角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图： 不妨设.取和的交点为，中点，连接，，. 则，，. 因为，所以为异面直线与所成的角，为，所以，所以.因为平面，所以为直线与底面所成的角，所以，所以. 因为，，所以为侧面与底面所成的二面角，所以.因为，且在上单调递减.所以. 故选：A 8．已知平面向量，，均为单位向量，若与的夹角为60°，则的最大值为（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【详解】由题意：，. 因为. 又， 当时取“”.又，所以.所以.故选：C 6、 多选题 9．下列选项中，正确的是（   ） A．若两个相等的非零向量的起点相同，侧它们的终点可能不同 B．若向量，则 C．若向量，满足，则或 D．若非零向量与共线，则，，三点共线 【答案】BD 【详解】由相等向量定义可得：若两个相等的非零向量的起点相同，其终点一定相同，故选项A错误； 若向量，则，所以，故选项B正确； 由向量的定义可得向量，满足时，向量，可能共线也可能不共线，故选项C错误；若非零向量与共线，则，，三点共线，故选项D正确. 故选：BD. 10.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的有（   ） A． B．的图象关于直线对称 C．不等式的解集为 D．的图象向左平移个单位长度得到函数的图象 【答案】ACD 【详解】对于A，由图可得，而， 所以， 当时，取最小值，所以， 因为，所以，所以，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，， 解得， 所以不等式的解集为，故C正确； 对于D，的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，故D正确.故选：ACD. 11.如图，圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为，点为下底面圆周上一点，为上底面圆周上一点，则（    ） A．该圆台的体积为 B．该圆台的内切球的半径为 C．直线与直线所成角的最大值为 D．直线与平面所成角的正切值最大为 【答案】ABD 【详解】对于A选项，因为圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为， 所以，则A选项正确． 对于B选项，设上底面半径为，下底面半径为，若圆台存在内切球， 则必有轴截面的等腰梯形存在内切圆，如图（1）所示，梯形的上底和下底分别为2，4，高为， 易得等腰梯形的腰为，假设等腰梯形有内切圆， 则腰长，所以梯形存在内切圆， 故圆台存在内切球，且内切球的半径为，则B选项正确； 对于C选项，如图（2），过作垂直于下底面于点，则， 所以直线与直线所成角即为直线与直线所成角，即为所求， 而，由圆的性质得，， 所以， 因为，则C选项错误． 对于D选项，如图（3），平面即平面， 过点做交于点，因为垂直于下底面，而在底面内， 所以，又，且平面，所以平面， 所以直线与平面所成角即为，且． 设，则， 所以，所以， 当时，，当时， ，因为函数在上单调递增， 所以当时，有最大值，最大值为，所以D选项正确． 故选：ABD. 7、 填空题 12.如图，平行四边形为利用斜二测画法画出的水平放置的四边形的直观图，若，则四边形的面积为______． 【答案】 【详解】由四边形水平放置的平面图形为平行四边形，且， 结合斜二测画法的规则，可得四边形是平行四边形，如图所示， 且平行四边形的高为4，底为4，所以四边形的面积为． 故答案为：. 13.若，则的值为______. 【答案】 【详解】因为， 所以 .故答案为：. 14.在锐角中，若，则_____；的取值范围是_____. 【答案】 【详解】因为， 所以由正弦定理得， 因为 所以，又为锐角三角形，所以， ， 因为为锐角三角形， 所以，则，得， 所以，所以， 综上，，的取值范围是.故答案为：； 8、 解答题 15.已知向量满足，，，向量满足． (1)求实数的值； (2)求与的夹角． 【详解】（1）因为，即，则， 又，所以. （2）由（1）可得，则， 所以， 所以， 因为，所以，即与的夹角为. 16.已知函数，，其图象相邻的两个对称中心间的距离为. (1)求，的值； (2)若在区间上有且只有一个零点，求的取值范围. 【详解】（1）， 又，，所以，又图象相邻的两个对称中心间的距离为，所以，综上，. （2）由（1）知，， 在区间上有且只有一个零点， 所以，解得. 17.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，是正三角形，E为线段的中点，F为线段的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)若平面平面，求异面直线与所成角的余弦值． 【详解】（1） 连接，交于点，连接， 因底面是边长为2的菱形，则点是的中点， 又因F为线段的中点，则有， 平面，平面，可得平面. （2）因是正三角形，E为线段的中点，则有， 又，，即为正三角形，且， 因平面，则平面， 又因，故得平面. （3） 如图，取的中点，连接，则，且， 故即与所成角或其补角. 因，由余弦定理，， 又因平面平面，平面平面，，平面， 故平面，又平面，则，又,故， 由（2）已得平面，因平面，故，则， 又，则在中，由余弦定理，， 即异面直线与所成角的余弦值为. 18.记的内角，，的对边分别为，，.已知向量，，. (1)求； (2)若，，选择为表示平面内所有向量的一组基底，用表示向量，并求面积的最大值： (3)若是锐角三角形，且，求的取值范围. 【详解】（1），即，由正弦定理得， 因为，所以，故，即， 因为，所以； （2）， ，则， 即，解得， 由基本不等式可得， 即，解得，当且仅当时，等号成立， ， （3）由正弦定理得， 所以， 故 为锐角三角形，故， 解得，故 19．如图1，在直角梯形中，，，，A是的中点.现沿把折起，使得（如图2所示），，分别为，的中点，是线段上一点. (1)求证：平面平面； (2)若是线段的中点，求与平面所成的角； (3)若平面，求的值. 【详解】（1）证明：直角梯形中，，，，A是的中点，故，四边形为矩形，所以， 因为，，平面，所以平面． 又为边的中点，所以， 故为等腰直角三角形，， 故，． 又由平面，平面，得， 且，平面 所以平面， 而平面，故平面平面． （2）因为为的中点，为的中点， 所以， 所以与平面所成的角与与平面所成的角相等， 连接，点为线段的中点，交与点， 因为四边形为矩形，，点分别为线段的中点， 所以四边形为正方形，所以，即， 由（1）平面，平面， 所以，因为，平面， 所以平面， 所以与平面所成的角为， 设，则，，， 在中，，，， 所以，又， 所以，所以与平面所成的角为； （3）延长，交的延长线于点， 因为平面，又平面，平面平面， 所以，所以， 因为，故，又为线段的中点， 所以，又，为线段的中点， 所以，所以， 2 学科网（北京）股份有限公司 $