江苏南通市如皋市长江高级中学2025-2026学年高一下学期数学冲刺期末综合练习5

**基本信息** 本综合训练聚焦高一数学核心知识，以三角函数、向量与解三角形、立体几何为主体，通过基础与综合题结合，系统覆盖期末高频考点，注重知识间逻辑联系与数学思维培养。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角函数与三角恒等变换|单选2,6,8/解答17|图像变换、恒等变换及函数最值问题|从图像变换到三角公式推导，再到函数性质应用| |向量与解三角形|单选3,4/多选10/填空13,14/解答15,19|向量运算、三角形形状判断及面积最值|向量投影与数量积运算，结合正余弦定理解决三角形综合问题| |立体几何|单选5,7/多选11/解答16,18|线面关系证明、体积及空间角计算|从空间位置关系判定到度量计算，培养空间观念与推理能力|

高一数学备课组 对核心概念及方法理解感悟内化 江苏省如皋市长江高级中学2025-2026学年度第二学期高一数学冲刺期末综合练习5 1、 单选题 1．已知，则（   ） A． B．1 C． D．2 2.为了得到函数的图象，可以将函数的图象（    ） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 3．已知向量，满足，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 4．在中，若，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 5．已知，，是三个不同的平面，l是一条直线，则下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 6．已知，则（   ） A． B． C． D． 7．已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，它的侧面展开图是圆心角为的扇环，则该圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 8.若函数在区间上恰有两个最大值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2、 多选题 9．下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 10.在所在的平面内有两点P，Q，满足，，且与交于点M，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 11．在正三棱柱中，，，M为BC的中点，点N在棱上，且，则（   ） A． B．平面 C．直线MN与平面所成角为 D．三棱锥的外接球表面积为 3、 填空题 12.一个正方体的体积为8，若一个球内切于该正方体，则此球的体积是________． 13．在中，，，，且，则 ． 14．在中，，的角平分线交于，，则面积的最小值为 ． 4、 解答题 15．已知向量，满足，，与的夹角为． (1)求； (2)若，求k的值． 16.如 图 所 示 ， 在 四 棱 锥中 ，底面，且四边形为 直角梯形，，，E为中点. (1)证明：平面； (2)若，，求直线与平面所成角的正弦值. 17．已知，． (1)求； (2)若，求的值． 18．一副三角板按如图所示的方式拼接，将折起，使得． (1)证明：平面平面； (2)求二面角的余弦值； (3)设BD，CD的中点分别为M，N，平面AMN与平面ABC的交线为l，求直线l与BD所成角的余弦值． 19．在平面四边形ABCD中，，，，． (1)若A，B，C，D四点共圆，求AC； (2)若为锐角，且四边形ABCD的面积为，求； (3)求BD的取值范围． 江苏省如皋市长江高级中学2025-2026学年度第二学期高一数学冲刺期末综合练习5 解析版 5、 单选题 1．已知，则（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【详解】由题意得， 由复数的模长公式得，故C正确.故选：C 2.为了得到函数的图象，可以将函数的图象（    ） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 【答案】D 【详解】. 故向左平移个单位长可以得到的图像.故选：D. 3．已知向量，满足，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由向量的夹角公式得， 由投影向量公式得在上的投影向量为，故D正确.故选：D 4．在中，若，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【详解】在中，因为，所以结合正弦定理可得， 则，可得， 由两角差的正弦公式得，因为，，所以， 可得，解得，即的形状是等腰三角形，故A正确.故选：A 5．已知，，是三个不同的平面，l是一条直线，则下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【详解】对于A，若，，则可能会相交也可能平行，故A错误， 对于B，若，，则可能会相交或平行，故B错误， 对于C，由线面垂直的性质得若，，则，故C正确， 对于D，若，，则或，故D错误.故选：C 6．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意结合诱导公式得， 由二倍角的余弦公式得，故B正确.故选：B 7．已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，它的侧面展开图是圆心角为的扇环，则该圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得圆台的上、下底面半径分别为1和2，因为圆台的侧面展开图是圆心角为的扇环，所以圆台的母线长度为，设圆台的高为，由勾股定理得，由圆台的体积公式得体积为，故A正确.故选：A 8.若函数在区间上恰有两个最大值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，， 因为函数在区间上恰有两个最大值点， 所以，解得，故选：D 6、 多选题 9．下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A，由两角和的正弦公式得 ，故A正确， 对于B，由二倍角的余弦公式得，故B错误， 对于C，由题意得， 由两角和的正切公式得， 则，代入可得 ，故C正确， 对于D，由题意结合两角差的正切公式得 ，故D错误.故选：AC 10.在所在的平面内有两点P，Q，满足，，且与交于点M，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由，及，得如图所示：    则，得，故A项正确； 由，则，故B项正确； 由与是同向共线的，故，故C项错误； ，故D项正确．故选：ABD 11．在正三棱柱中，，，M为BC的中点，点N在棱上，且，则（   ） A． B．平面 C．直线MN与平面所成角为 D．三棱锥的外接球表面积为 【答案】ABD 【详解】对于A：因为正三棱柱，所以平面,平面， 故,又因为三角形为正三角形，M为BC的中点，故, 因为,且平面，故平面， 又因为平面，所以，故选项A正确； 对于B：如图，连接两线相交于点O， 再连接OM，因为是正三棱柱，所以四边形为长方形， 故点O为直线的中点，又因为M为BC的中点，所以OM为三角形的中位线， 故,因为平面，平面，所以平面，故选项B正确； 对于C： 如图，找直线的中点H，直线AC的中点G，连接,因为， 所以点N是的四等分点，故点N为的中点，又因为M为BC的中点， 故,所以直线MN与平面所成角即为直线BH与平面所成角， 因为正三棱柱，所以平面，平面，故, 又因为三角形为正三角形，G为AC的中点，故,因为, 且平面，故平面，故即为所求线面角， 设线面角为，因为, 所以,故选项C错误； 对于D：因为正三棱柱，所以平面,所以球心到平面的距离为, 又因为三角形的外接圆圆心为，所以外接球半径,故，故选项D正确；故选：ABD 7、 填空题 12.一个正方体的体积为8，若一个球内切于该正方体，则此球的体积是________． 【答案】 【详解】由题设，正方体的棱长为2，则内切于该正方体的球体半径为1， 所以球体的体积为.故答案为： 13．在中，，，，且，则 ． 【答案】/ 【详解】由于，故,故, 又, 故, 故, 故，由于，故，故答案为： 14．在中，，的角平分线交于，，则面积的最小值为 ． 【答案】8 【详解】 设在中，角所对的边分别为. 因为，所以， 所以， 由正弦定理可得，故， 因为为的角平分线，所以. 由得， 整理得，即. 因为，所以，当且仅当时取等号， 所以，故面积的最小值为8.故答案为：8. 8、 解答题 15．已知向量，满足，，与的夹角为． (1)求； (2)若，求k的值． 【详解】（1）由可得，故， 故 （2）由于，故， 即，故，解得， 16. 如 图 所 示 ， 在 四 棱 锥中 ，底面，且四边形为 直角梯形，，，E为中点. (1)证明：平面； (2)若，，求直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）取的中点，连接， 因为E为中点，所以， 又因为，四边形为直角梯形，， 所以，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； （2）过作于，连接， 因为底面，又底面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面， 又，又平面，平面平面， 所以平面，所以在平面内的射影为， 所以为直线与平面所成的角， 因为，，所以， 因为，所以，解得， 又，所以， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17．已知，． (1)求； (2)若，求的值． 【详解】（1）因为， 所以， 化简得， 因为，所以， 所以，即，故. （2）由，得，且， 所以. 因为，所以， 由得， 所以， 所以. 18．一副三角板按如图所示的方式拼接，将折起，使得． (1)证明：平面平面； (2)求二面角的余弦值； (3)设BD，CD的中点分别为M，N，平面AMN与平面ABC的交线为l，求直线l与BD所成角的余弦值． 【详解】（1），又，平面， 故平面，又平面，故平面平面； （2）取中点为，过作于，连接， 由（1）知平面平面，且两平面的交线为, 由于,是的中点， 故,平面，故平面， 平面，则， 结合，平面， 故平面，平面，故， 因此为二面角的平面角， 设,则,故 （3）由于M，N分别为BD，CD的中点，故, 平面，平面，故平面, 平面,且平面与平面的交线为l，故， 故与所成的角即为直线l与BD所成角的角， 由于与所成的角为 故直线l与BD所成角的余弦值为． 19．在平面四边形ABCD中，，，，． (1)若A，B，C，D四点共圆，求AC； (2)若为锐角，且四边形ABCD的面积为，求； (3)求BD的取值范围． 【详解】（1）在中，由正弦定理可得, 结合，，故， 由于为的内角，所以，因此， 由于A，B，C，D四点共圆，故, 因此在中， （2）由（1）知，，，， 设，，则， 则四边形的面积为， 又， 因此， 故，结合， 可得，结合为锐角， 故，因此， 故, 因此,且,, 故‘ （3）由（2）可知， 由正弦定理可得， 所以， 在中，， 结合，故， 由于，所以， 故，因此 2 学科网（北京）股份有限公司 $