江苏南通市如皋市长江高级中学2025-2026学年高一下学期数学冲刺期末小题练习6

**基本信息** 聚焦高一数学核心模块，以题载法构建复数、向量、立体几何等知识网络，通过定义辨析、构造转化等方法培养数学思维与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |复数与逻辑|1题|定义法判断纯虚数与充要条件|复数概念→充分必要条件推导| |向量应用|2题|共线定理、投影向量公式|向量模与夹角→几何图形中的向量关系| |立体几何|4题|构造正方体、空间角计算、展开法求最值|空间几何体性质→空间角与距离转化| |解三角形|2题|正余弦定理、面积公式|边角关系→三角形面积范围求解| |三角函数|1题|公式化简与性质分析|三角函数式化简→周期性与对称性判断|

高一数学备课组 对核心概念及方法理解感悟内化 江苏省如皋市长江高级中学2025-2026学年度下学期高一数学冲刺期末小题练习6 1.已知，则“”是“复数为纯虚数”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.下列说法不正确的是（     ） A．单位向量的模一定相等 B．若，则 C．在等边三角形中，与的夹角为 D．若，则平面四边形一定是平行四边形 3.如图，在正方形纸片上剪下一个扇形和一个直径为2的圆，扇形的圆心为，圆与和扇形的弧均相切，若该扇形和圆恰好可作为某圆锥的侧面和底面（接缝处忽略不计），则（     ） A． B． C． D． 4.在中，边上的中线为的中点为，过点的一条直线与分别交于点．若，则（     ） A． B． C． D． 5.在中，，，，则（    ）． A． B． C． D． 6.已知棱长为1的正四面体的中心为，若球的球面与正四面体的棱有公共点，则球的半径的取值范围为（     ） A． B． C． D． 7.（多选）设函数，则下列结论正确的有（    ） A．的最小正周期是 B．的图象关于点对称 C．的图象过点 D．的图象的对称轴是， 8.（多选）在长方体中，为棱上一点，则（     ） A． B．长方体的外接球的表面积为 C．四棱锥的体积恒为24 D．的最小值为 9.已知向量，，若，则在方向上的投影向量的坐标是______． 10.如图，棱长为1的正方体中中，二面角的正切值为______． 11.如图，已知二面角的大小为，平面内的直线m与平面成的角为30°，与棱l所成的角为60°，则__________.    12.如图，在正方形中，，分别在边，上，且．设，，则___________． 13.如图，设的内角所对的边分别为，且．若点是外一点，，则四边形面积的取值范围为___________． 江苏省如皋市长江高级中学2025-2026学年度下学期高一数学冲刺期末小题练习5解析版 1.已知，则“”是“复数为纯虚数”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】当时，为纯虚数，故充分性成立； 当为纯虚数时，解得0，故必要性成立． 所以“”是“复数为纯虚数”的充要条件． 2.下列说法不正确的是（     ） A．单位向量的模一定相等 B．若，则 C．在等边三角形中，与的夹角为 D．若，则平面四边形一定是平行四边形 【答案】B 【详解】对于A，单位向量为模为1的向量，故A正确； 对于B，若，由于方向不确定，故不一定相等，故B错误； 对于C，在等边三角形中，与的夹角为，故C正确； 对于D，若，则平面四边形一定是平行四边形，故D正确． 3.如图，在正方形纸片上剪下一个扇形和一个直径为2的圆，扇形的圆心为，圆与和扇形的弧均相切，若该扇形和圆恰好可作为某圆锥的侧面和底面（接缝处忽略不计），则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，圆锥底面圆的半径为． 设扇形的半径为，则有，解得，因此圆锥的母线长为． 如图，设圆的圆心为，作于于，易知四边形为正方形， 点在上，， 所以，所以． 4.在中，边上的中线为的中点为，过点的一条直线与分别交于点．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得． 因为是的中点，所以． 因为三点共线，所以． 又因为，所以， 所以，消去，可得．    5.在中，，，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 根据正弦定理，结合条件，可得： ，即. 又已知，代入得：，因此. 由余弦定理，代入， ，因此. 6.已知棱长为1的正四面体的中心为，若球的球面与正四面体的棱有公共点，则球的半径的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由棱长为1的正四面体可以构造出棱长为的正方体，如图所示， 可知棱长为1的正四面体的外接球和棱长为的正方体的外接球相同， 设正四面体的外接球半径为， 则，所以． 由图可知与正四面体的各棱相切的球即为正方体的内切球， 设与正四面体的各棱相切的球半径为， 则．因为球的球面与正四面体的棱有公共点， 所以球的半径满足， 即球的半径的取值范围是． 7.（多选）设函数，则下列结论正确的有（    ） A．的最小正周期是 B．的图象关于点对称 C．的图象过点 D．的图象的对称轴是， 【答案】ACD 【详解】 . A：的最小正周期是，所以本选项结论正确； B：因为， 所以的图象关于点对称，因此本选项结论不正确； C：因为， 所以本选项结论正确； D：令， 所以本选项结论正确，故选：ACD 8.（多选）在长方体中，为棱上一点，则（     ） A． B．长方体的外接球的表面积为 C．四棱锥的体积恒为24 D．的最小值为 【答案】ABD 【详解】对于A，在长方体中，平面， 因为平面，故，故A正确； 对于B，长方体的外接球的直径为， 所以外接球的表面积为，故B正确； 对于C，因为平面平面， 故平面，所以， 过作于，    由等面积法得， 因为平面平面，故， 因为平面平面， 所以平面，所以， 即四棱锥的体积恒为12，故C错误； 对于D，将平面展开至与平面共面，得到如图的矩形， 所以， 所以的最小值为，故D正确．    9.已知向量，，若，则在方向上的投影向量的坐标是______． 【答案】 【详解】，， 因为，所以， 解得．所以，， 所以在方向上的投影向量的坐标为． 10.如图，棱长为1的正方体中中，二面角的正切值为______． 【答案】 【详解】取的中点为，连接, 由于正方体中,, 故，，故即为所求的二面角的平面角， 由于平面，平面，故， 因此, 故答案为： 11.如图，已知二面角的大小为，平面内的直线m与平面成的角为30°，与棱l所成的角为60°，则__________.    【答案】/ 【详解】如图所示，过上一点作于点，连接， 则为与平面所成的角，则， 过作于，连接，因，则，又平面， 则平面，因平面，则， 从而为二面角的平面角，即， 因，，， 则， 故. 故答案为：.    12.如图，在正方形中，，分别在边，上，且．设，，则___________． 【答案】1 【详解】设正方形的边长为，则， 所以． 因为，且， 所以，整理得， 所以． 13.如图，设的内角所对的边分别为，且．若点是外一点，，则四边形面积的取值范围为___________． 【答案】 【详解】由题意及正弦定理，得，即． 因为，所以． 又因为，则． 因为，所以， 所以， 所以四边形面积的取值范围为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $