江苏省如皋市长江高级中学2025-2026学年高一下学期数学冲刺期末综合练习3

**基本信息** 以三角函数、立体几何、向量、解三角形为核心模块，通过综合题型构建知识网络，突出逻辑推理与直观想象的核心素养。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角函数|单选3、解答15|图像解析式求解、三角恒等变换|从图像周期参数到定义应用，形成“图像-性质-运算”链条| |立体几何|单选4/5/7、多选9、解答17/19|线面关系证明、空间角计算、外接球问题|以线面垂直为基础，推导面面关系，延伸至空间几何量计算| |平面向量|单选4、多选10、解答16|投影向量、共线与夹角|从线性运算到数量积，结合几何意义解决位置关系问题| |解三角形|单选6、多选11、填空14、解答18|定理应用、面积与周长最值|以正余弦定理为工具，关联三角恒等变换与不等式求最值|

高一数学备课组 对核心概念及方法理解感悟内化 江苏省如皋市长江高级中学2025-2026学年度第二学期高一数学冲刺期末综合练习3 1、 单选题 1．若，则（    ） A． B． C． D． 2.点在平面直角坐标系中位于 （    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3.函数（其中，，）的部分图象如图所示，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，点是的中点，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6.在中，，则的最小角为 （　　） A． B． C． D． 7．已知正四棱台的上、下底边长分别为和，高为，则该棱台外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 8.已知点是边长为3的正三角形所在平面内的一点，满足，过点的动直线分别交线段，于点，，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 2、 多选题 9.如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形为正方形，点，，，分别为，，，的中点，则在原四棱锥中（   ） A．平面平面 B．平面 C．平面 D．平面平面 10.角顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，点在的终边上，点，且，则与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 11．在中，，为中点，.以下结论正确的是（    ） A．若，则 B．的面积的最大值是 C． D．的周长可能是6 三、填空题 12.在直四棱柱中，底面ABCD为正方形，且边长为，与底面所成角的正切值为，则该四棱柱的侧棱长等于_____________. 13.设复数满足，且，则______. 14． 在锐角中，内角所对的边分别为，若，则的取值范围为______. 四、解答题 15.如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的顶点与原点重合，始边与边的正半轴重合，终边分别与单位圆交于两点，且． (1)的值； (2)若点的横坐标为，求的值. 16．已知平面向量. (1)求向量在向量方向的投影向量的坐标； (2)若，求实数k的值； (3)若与所成的角为锐角，求实数的取值范围. 17.如图，在四棱锥中，平面. (1)求证：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 18．在中，内角所对的边分别为，且满足. (1)求； (2)所在平面内一点满足，若，求的周长的最大值. 19.如图，在四棱锥中，和均为正三角形，，，为上一点，设平面与平面的交线为． (1)求证：面； (2)求证：面； (3)当平面时，面与交于，求的值． 江苏省如皋市长江高级中学2025-2026学年度第二学期高一数学冲刺期末综合练习2 解析版 3、 单选题 1．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若，则， 则.故选：A 2.点在平面直角坐标系中位于 （    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】(第四象限)，(第三象限). 第四象限中：第三象限中：点在平面直角坐标系中位于第三象限故选：C. 3.函数（其中，，）的部分图象如图所示，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由图象知函数周期，所以，所以， 又函数图象过点，，所以， 解得，又，所以，所以. 故选：A 4．如图，在中，点是的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】点是的中点，， ． 故选：D． 5．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【详解】 A，    若，则或，故该选项错误； B，若，则，故该选项正确； C，若，不能得出，故不能得出，故该选项错误； D，若，还需要加上相交才能得出，如果不一定平行，故该选项错误.故选：B. 6.在中，，则的最小角为 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知，在中，， 因为，所以的最小角为，所以， 又因为，所以.故选：C. 7．已知正四棱台的上、下底边长分别为和，高为，则该棱台外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为已知正四棱台的上、下底边长分别为和， 所以上下底面正方形外接圆半径依次为， 根据对称性可知，该棱台外接球的球心在棱台上下底面外接圆的圆心的连线上， 设该棱台外接球的球心到上底面的距离为，该棱台外接球的半径为， 所以，解得，故所求为. 故选：D. 8.已知点是边长为3的正三角形所在平面内的一点，满足，过点的动直线分别交线段，于点，，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】取的中点为，由，则， 所以，① 设，，，，， 则，② 所以结合①和②可得，整理得， 又，，则，得，且，解得， 又因为是边长为3的正三角形，则，， 则的面积为， 令，，则，， ，， 根据对勾函数的性质，当时，取得最大值，且最大值为， 所以面积的最大值为．故选：C． 4、 多选题 9.如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形为正方形，点，，，分别为，，，的中点，则在原四棱锥中（   ） A．平面平面 B．平面 C．平面 D．平面平面 【答案】ABC 【详解】把平面展开图还原为四棱锥如图所示，则， 又平面，平面，所以平面． 同理可证平面，又，，平面， 所以平面平面，故选项A正确； 平面，平面，平面，平面是四棱锥的四个侧面， 则它们两两相交，故选项D错误； ，平面，平面， 平面，同理平面，故选项B，C正确． 故选：ABC． 10.角顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，点在的终边上，点，且，则与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】又点P在的终边上，且，可设，所以， 又由，可得，则， 可得，当时，；当时，.故选：AC 11．在中，，为中点，.以下结论正确的是（    ） A．若，则 B．的面积的最大值是 C． D．的周长可能是6 【答案】BC 【详解】对于A：由题意有，在中，由余弦定理有， 在中，由余弦定理有，即，故A错误； 对于B：由，当时，等号成立，故B正确； 对于C：由， 所以，故C正确； 对于D：由C选项有，所以，所以， 当且仅当时，等号成立，又，所以，故D错误.故选：BC. 5、 填空题 12.在直四棱柱中，底面ABCD为正方形，且边长为，与底面所成角的正切值为，则该四棱柱的侧棱长等于_____________. 【答案】 【详解】由题意可得平面，所以是与底面所成角， 因为与底面所成角的正切值为，所以， 因为底面ABCD为正方形，且边长为，所以，则，所以故答案为： 13.设复数满足，且，则______. 【答案】 【详解】设，所以，由， 所以，因为， 所以， 故答案为：. 14．在锐角中，内角所对的边分别为，若，则的取值范围为______. 【答案】 【详解】因为，所以， 所以，由余弦定理有， 所以，所以， 所以 ， 因为三角形是锐角三角形，所以， 而，所以，所以，即， 因为三角形是锐角三角形， 所以，解得，设， ， 因为的取值范围是，所以的取值范围是， 由对勾函数性质可知在上单调递减， 所以的取值范围是， 由对勾函数性质可知，在上单调递增， 所以的取值范围是.故答案为：. 6、 解答题 15.如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的顶点与原点重合，始边与边的正半轴重合，终边分别与单位圆交于两点，且． (1)的值； (2)若点的横坐标为，求的值. 【详解】（1）因为，所以，， 所以； （2）因为点的横坐标为，所以，又为锐角，所以， ，所以. 16．已知平面向量. (1)求向量在向量方向的投影向量的坐标； (2)若，求实数k的值； (3)若与所成的角为锐角，求实数的取值范围. 【详解】（1）因为，所以，， 所以在方向的投影向量为. （2）由题意知：，， 因为，所以即，解得. （3），因为与所成的角为锐角， 所以，且与不共线， 由，解得， 当与共线时，由，解得， 因为与不共线，所以， 综上所述：实数的取值范围为. 17.如图，在四棱锥中，平面. (1)求证：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）平面平面，， ，又，平面， 平面，又平面，平面平面； （2）过点作交于点，连接， 则与平面所成角即为与平面所成角， 平面，为在平面上的射影， 为直线与平面所成角， ，四边形为平行四边形， ，， 在中，，在中，， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18．在中，内角所对的边分别为，且满足. (1)求； (2)所在平面内一点满足，若，求的周长的最大值. 【详解】（1）因为，所以由正弦定理得， 因为，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以，又因为，所以. （2）因为，所以， 所以，所以， 同理可得，所以点O是的垂心， 又因为，所以，在中，因为，即， 由余弦定理得，所以， 因为，所以， 所以， 所以，所以， 当且仅当时等号成立.所以， 所以的周长的最大值为. 19.如图，在四棱锥中，和均为正三角形，，，为上一点，设平面与平面的交线为． (1)求证：面； (2)求证：面； (3)当平面时，面与交于，求的值． 【详解】（1）由为正三角形且可知. 又因为，且，在中，由余弦定理得 ， 所以，所以，所以，即. 所以，又因为平面，平面， 所以面. （2）因为，平面，平面，所以面. 又面，面面，所以. 又面，面，所以面. （3） 设，如图，连接交于点，连接. 因为平面，平面，平面平面，所以. 在梯形中，，，， 所以有，所以. 因为，所以有，所以． 因为面与交于，面与交于，， 所以有平面平面. 又面，面，所以. 又，所以，， 所以，. 设梯形高为，则. 由，可知，所以. 又四棱锥与三棱锥高相等， 所以． 所以有． 2 学科网（北京）股份有限公司 $