函数与导数专题训练卷（三）导数几何意义与切线-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦导数几何意义与切线，通过基础到探究的题型梯度，系统覆盖切线方程求解、存在性及应用，强化运算与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|单选1/12题|直接求切线方程与斜率|以导数几何意义为核心，从概念到基础计算| |综合应用|单选6/13题|过点切线及位置关系|通过设切点列方程，连接导数与方程思想| |探究拓展|解答16/19题|切线条数讨论与面积应用|从存在性到量化分析，构建完整应用链条|

高三数学一轮复习函数与导数专题训练卷（三）导数几何意义与切线 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知函数 ，则曲线 在点 处的切线方程为（ ） A．　　　B．　　　C．　　　D． 2．已知函数 ，若曲线 在 处的切线与直线 垂直，则 的值为（ ） A．　　　B．　　　C．　　　D． 3．曲线 的一条切线经过点 ，则该切线的切点横坐标为（ ） A．　　　B．　　　C．　　　D． 4．若直线 是曲线 的切线，则 的值为（ ） A．　　　B．　　　C．　　　D． 5．已知函数 ，且 ，则曲线 在 处的切线斜率为（ ） A．　　　B．　　　C．　　　D． 6．从点 向曲线 作切线，若恰有两条不同的切线，则实数 的取值范围为（ ） A．　　　B．　　　C．　　　D． 7．曲线 在点 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为（ ） A．　　　B．　　　C．　　　D． 8．已知函数 ，若曲线 在 处的切线与 轴重合，则 的值为（ ） A．　　　B．　　　C．　　　D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知函数 ，则下列说法正确的是（ ） A．曲线 在 处的切线方程为 B．曲线 在 处的切线方程为 C．过点 的曲线 的切线只有一条 D．过点 的曲线 的切线有两条 10．设 为曲线 在点 处的切线，则下列结论正确的是（ ） A． 的斜率为 　　　B． 与 轴交点的横坐标为 C． 经过原点的充要条件是 　　　D． 可能与直线 平行 11．已知函数 ，则下列说法正确的是（ ） A．若 ，则曲线 的任意切线斜率均为正数 B．若 ，则曲线 存在与 轴平行的切线 C．曲线 在 处的切线经过点 的充要条件是 D．当 时，曲线 存在与直线 垂直的切线 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。把答案填在题中横线上） 12．曲线 在 处的切线方程为__________． 13．过点 且与曲线 相切的直线共有__________条． 14．若曲线 存在一条切线与直线 垂直，则实数 的取值范围为__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）已知函数 ． （1）求曲线 在 处的切线方程； （2）若曲线 的切线经过点 ，求所有满足条件的切线方程． 16．（15分）已知曲线 ，点 ． （1）写出曲线 在点 处的切线方程； （2）讨论过点 的曲线 的切线条数． 17．（15分）已知函数 ． （1）求曲线 在 处的切线方程； （2）若曲线 的一条切线经过点 ，求该切线的切点横坐标及切线方程； （3）证明：曲线 的任意切线均不在该曲线的上方． 18．（17分）已知函数 ，其中 ． （1）求曲线 在 处的切线方程； （2）证明：该切线与曲线 恰有两个不同的公共点，并求出另一个公共点的坐标； （3）若上述两个公共点之间的距离为 ，求 的值． 19．（17分）已知函数 ，其中 ． （1）求曲线 在 处的切线 的方程； （2）若切线 与两坐标轴围成的三角形面积为 ，求 的值； （3）若过点 存在曲线 的切线，求 的取值范围，并讨论满足条件的切线条数． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学一轮复习函数与导数专题训练卷（三）导数几何意义与切线（解析版） 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知函数 ，则曲线 在点 处的切线方程为（ ） A．　　　B．　　　C．　　　D． 【答案】A 【解析】因为 ，所以 ，又 ，故切线方程为 ，即 ． 2．已知函数 ，若曲线 在 处的切线与直线 垂直，则 的值为（ ） A．　　　B．　　　C．　　　D． 【答案】B 【解析】直线 的斜率为 ，与其垂直的直线斜率为 ．又 ，所以 ，解得 ． 3．曲线 的一条切线经过点 ，则该切线的切点横坐标为（ ） A．　　　B．　　　C．　　　D． 【答案】C 【解析】设切点横坐标为 ，则切线方程为 ．将点 代入，得 ，所以 ． 4．若直线 是曲线 的切线，则 的值为（ ） A．　　　B．　　　C．　　　D． 【答案】D 【解析】设切点横坐标为 ，则 ，得 ．此时 ，切线方程为 ，故 ． 5．已知函数 ，且 ，则曲线 在 处的切线斜率为（ ） A．　　　B．　　　C．　　　D． 【答案】A 【解析】由链式法则，，所以 ，即所求切线斜率为 ． 6．从点 向曲线 作切线，若恰有两条不同的切线，则实数 的取值范围为（ ） A．　　　B．　　　C．　　　D． 【答案】A 【解析】设切点横坐标为 ，曲线 在 处的切线为 ．该切线经过 ，则 ．要有两个不同实数 ，需 ． 7．曲线 在点 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为（ ） A．　　　B．　　　C．　　　D． 【答案】B 【解析】曲线在 处的切线斜率为 ，切线方程为 ，即 ．其与坐标轴交点为 、，面积为 ． 8．已知函数 ，若曲线 在 处的切线与 轴重合，则 的值为（ ） A．　　　B．　　　C．　　　D． 【答案】C 【解析】，所以 ．曲线在 处的切线为水平直线 ．若该切线与 轴重合，则 ，故 ． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知函数 ，则下列说法正确的是（ ） A．曲线 在 处的切线方程为 B．曲线 在 处的切线方程为 C．过点 的曲线 的切线只有一条 D．过点 的曲线 的切线有两条 【答案】ABC 【解析】．当 时，，，切线为 ，A正确；当 时，，，切线为 ，B正确．设切点横坐标为 ，切线在 轴上的截距为 ．过 时，，得 ，只有一条，C正确；过 时，，得 ，只有一条，D错误． 10．设 为曲线 在点 处的切线，则下列结论正确的是（ ） A． 的斜率为 　　　B． 与 轴交点的横坐标为 C． 经过原点的充要条件是 　　　D． 可能与直线 平行 【答案】ABC 【解析】曲线 在 处的切线斜率为 ，A正确；切线方程为 ，令 ，得 ，B正确；令 ，得 ，即 ，C正确；由于 ，而直线 的斜率为 ，故不可能平行，D错误． 11．已知函数 ，则下列说法正确的是（ ） A．若 ，则曲线 的任意切线斜率均为正数 B．若 ，则曲线 存在与 轴平行的切线 C．曲线 在 处的切线经过点 的充要条件是 D．当 时，曲线 存在与直线 垂直的切线 【答案】ABC 【解析】．若 ，则 ，A正确；若 ，令 可得 ，存在水平切线，B正确；在 处切线为 ，代入 ，得 ，即 ，C正确；当 时，，不可能出现斜率为 的切线，D错误． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。把答案填在题中横线上） 12．曲线 在 处的切线方程为__________． 【答案】 【解析】设 ，则 ，故 ，且 ，所以切线方程为 ． 13．过点 且与曲线 相切的直线共有__________条． 【答案】 【解析】设切点横坐标为 ，切线方程为 ．代入点 ，得 ，化简得 ，即 ．不同切点为 与 ，故共有 条切线． 14．若曲线 存在一条切线与直线 垂直，则实数 的取值范围为__________． 【答案】 【解析】直线 的斜率为 ，与其垂直的切线斜率应为 ．由 ，需存在 使 ，即 ，所以 ，即 ． 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）已知函数 ． （1）求曲线 在 处的切线方程； （2）若曲线 的切线经过点 ，求所有满足条件的切线方程． 【解析】 （1）由 ，得 ，又 ，故切线方程为 即 ． （2）设切点横坐标为 ，则切点为 ，切线斜率为 ，切线方程为 该切线经过点 ，所以 化简得 ，即 或 ． 当 时，切线方程为 ；当 时，切线方程为 ． 综上，所求切线方程为 或 ． 16．（15分）已知曲线 ，点 ． （1）写出曲线 在点 处的切线方程； （2）讨论过点 的曲线 的切线条数． 【解析】 （1）曲线 在 处的导数值为 ，故切线方程为 （2）若该切线经过 ，则 即 令 ，则 所以 在 上单调递增，在 上单调递减，且 ．当 从右侧趋近于 时， 趋近于 ；当 时，；当 趋向于正无穷时， 趋向于负无穷． 因此，当 时，无切线；当 时，有一条切线；当 时，有两条切线；当 时，有一条切线． 17．（15分）已知函数 ． （1）求曲线 在 处的切线方程； （2）若曲线 的一条切线经过点 ，求该切线的切点横坐标及切线方程； （3）证明：曲线 的任意切线均不在该曲线的上方． 【解析】 （1）由 ，得 ，且 ，故切线方程为 即 ． （2）设切点横坐标为 ，则切线方程为 即 该切线经过点 ，所以 从而 ．故切线方程为 （3）任取切点横坐标 ，对应切线为 令 则 ．当 时，；当 时，，所以 在 处取得最小值．又 ，故 ． 因此 ，即曲线 的任意切线均不在该曲线的上方． 18．（17分）已知函数 ，其中 ． （1）求曲线 在 处的切线方程； （2）证明：该切线与曲线 恰有两个不同的公共点，并求出另一个公共点的坐标； （3）若上述两个公共点之间的距离为 ，求 的值． 【解析】 （1）因为 所以 ，且 ．故曲线在 处的切线方程为 即 （2）联立曲线与切线，得 即 因为 所以交点横坐标为 或 ．因此该切线与曲线恰有两个不同的公共点． 除切点外，另一个公共点为 （3）两个公共点分别为 由 ，得 即 所以 解得 19．（17分）已知函数 ，其中 ． （1）求曲线 在 处的切线 的方程； （2）若切线 与两坐标轴围成的三角形面积为 ，求 的值； （3）若过点 存在曲线 的切线，求 的取值范围，并讨论满足条件的切线条数． 【解析】 （1）由 得 ，且 ．故切线 的方程为 即 （2）由（1）可知， 与 轴交于 ．当 时， 与 轴交于 ． 所以其与两坐标轴围成的三角形面积为 由 ，得 故 （3）设切点横坐标为 ，则切线方程为 若该切线经过 ，则 化简得 令 则 所以 在 上单调递减，在 上单调递增，且 ．当 从右侧趋近于 或趋向于正无穷时， 均趋向于正无穷． 因此 的值域为非负实数集．故过点 存在曲线 的切线的充要条件为 当 时，只有一条切线；当 时，有两条切线． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $