9.2　用样本估计总体课件——2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“用样本估计总体”核心考点，覆盖百分位数、集中趋势（平均数、中位数、众数）、离散程度（方差、标准差）三大高考考查模块，对接高考评价体系，通过近五年真题分析明确百分位数计算、方差公式应用等高频考点权重，归纳频率分布直方图数字特征估计、分层抽样方差计算等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题溯源+技巧提炼+素养培养”，精选2024新高考Ⅱ卷、2025全国Ⅱ卷等真题，通过“学霸笔记”总结百分位数计算步骤、分层方差公式等应试技巧，以分层抽样方差计算实例培养学生数学思维与数据观念，帮助学生掌握答题逻辑，教师可依托课件精准定位考点，实现高效复习教学。

第二节　用样本估计总体 1 知识清单 1.百分位数 (1)一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有________的数据小于或等于这个值，且至少有________的数据大于或等于这个值． 如果将样本数据从小到大排列成一行，那么第k百分位数pk所处位置如图所示． p% (100－p)% 返回导航 2 (2)四分位数：25%分位数，50%分位数，75%分位数这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数． 剖析　50%分位数就是中位数，中位数是百分位数的特例，百分位数是中位数的推广． 返回导航 3 2．总体集中趋势的估计 (1)平均数：x＝_______________． (2)中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最________的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的________(当数据个数是偶数时)． (3)众数：一组数据中出现次数________的数据(即频数最大值所对应的样本数据)． (x1＋x2＋…＋xn) 中间 平均数 最多 返回导航 4 剖析　(1)平均数、中位数、众数分别从不同角度描述了一组数据的特征，刻画了一组数据的大致情况．平均数表示“一般水平”，中位数表示“中等水平”，众数表示“多数水平”． (2)一组数据的平均数、中位数都是唯一的．众数不一定唯一，且众数一定是原数据中的数，而平均数和中位数都不一定是原数据中的数． 返回导航 5 3．总体离散程度的估计 设一组数据x1，x2，…，xn的平均数为，这组数据的方差和标准差分别是s2＝2，s＝. 返回导航 6 【常用结论】 1．若数据x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2，则数据mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数为m＋a，方差为m2s2. 2．s2＝2＝，即方差等于各数平方的平均数减去平均数的平方． 返回导航 7 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对一组数据来说，平均数和中位数总是非常接近．(　　) (2)方差与标准差具有相同的单位．(　　) (3)如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不变．(　　) (4)在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数．(　　) × × √ √ 返回导航 8 2．(人教A版必修二P181练习T1)为了合理调配电力资源，某市欲了解全市50 000户居民的日用电量．若通过简单随机抽样从中抽取了300户进行调查，得到其日用电量的平均数为5.5 kW·h，则可以推测全市居民用户日用电量的平均数(　　) A．一定为5.5 kW·h B．高于5.5 kW·h C．低于5.5 kW·h D．约为5.5 kW·h 答案：D 解析：由样本的数字特征与总体的数字特征的关系，可知全市居民用户日用电量的平均数约为5.5 kW·h.故选D. 返回导航 9 3．(人教A版P203例2改编)某射击运动员7次的训练成绩分别为86，88，90，89，88，87，85，则这7次成绩的第80百分位数为(　　) A．88.5　 　 B．89 C．91　 　 D．89.5 答案：B 解析：因为7次训练的成绩从小到大排列为85，86，87，88，88，89，90，且7×80%＝5.6，所以第80百分位数为从小到大排列的数据中的第6个数据，即89.故选B. 返回导航 10 4．(人教A版必修二P216习题T2)甲、乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天生产的次品数分别为： 甲　0　1　0　2　2　0　3　1　2　4 乙　2　3　1　1　0　2　1　1　0　1 分别计算这两组数据的平均数和标准差，从计算结果看，__________机床的性能更好． 答案：乙 返回导航 11 解析：甲机床的平均数＝＝1.5，标准差s甲＝ ≈1.28； 乙机床的平均数＝＝1.2，标准差s乙＝ ≈0.87.比较发现乙机床的平均数较小而且标准差也较小，说明乙机床生产的次品数比甲机床生产的次品数少，而且更为稳定，所以乙机床的性能更好． 返回导航 12 命题点一　总体百分位数的估计 例1 (1)(2026·安阳模拟)2025年高考结束后，7款AI大模型产品挑战高考数学试卷，得分按照从高到低排列如下：146，144，144，140，139，136，134，则这7个数据的25%分位数为(　　) A．135 B．136 C．144 D．145 答案：B　 解析：将得分按照从低到高排列如下：134，136，139，140，144，144，146，由于25%×7＝1.75，故这7个数据的25%分位数为136.故选B. 返回导航 13 (2)某校对全校1 000名学生的物理成绩进行统计，分成[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图，若学校对成绩排名前15%的学生进行表彰，则被表彰的学生的物理成绩最低分数为(　　) A．86分 B．87.5分 C．88分 D．88.5分 答案：B 返回导航 14 解析：因为[90，100]的频率为0.1，[80，90)的频率为0.2，设被表彰的学生的物理成绩最低分数为x，由题意可得(90－x)×0.02＋0.1＝0.15，解得x＝87.5.故选B. 返回导航 15 学霸笔记：(1)计算一组n个数据第p百分位数的步骤： 第一步，按从小到大的顺序排列原始数据； 第二步，计算i＝n×p%； 第三步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数． (2)由频率分布直方图求第p百分位数的方法 确定要求的p%分位数所在分组[A，B)，由频率分布表或频率分布直方图可知，样本中小于A的频率为a，小于B的频率为b，所以p%分位数＝A＋组距×. 返回导航 16 跟踪训练　(1)(2026·武汉模拟)已知样本数据15，28，30，32，37，39，41，43，则这组样本数据的上四分位数是(　　) A．42 B．40 C．31 D．29 答案：B　 解析：8×75%＝6，所以这组数据的上四分位数是＝40.故选B. 返回导航 17 (2)(2026·贵阳模拟)据某调查机构统计数据显示，截至2024年6月，我国生成式人工智能产品的用户规模达2.3亿人，其中10岁至70岁之间各年龄段用户的占比情况如图所示．根据图中数据，估计其用户年龄的55%分位数约为(　　) A．20 B．25 C．30 D．35 答案：C 解析：因为(0.023＋0.032)×10＝0.55，故其用户年龄的55%分位数约为30岁．故选C. 返回导航 18 命题点二　总体集中趋势的估计 例2 (1)(链接·2024年新高考Ⅱ卷)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量(单位：kg)并整理得下表： 亩产量 [900， 950) [950， 1 000) [1 000， 1 050) [1 050， 1 100) [1 100， 1 150) [1 150， 1 200) 频数 6 12 18 30 24 10 返回导航 19 根据表中数据，下列结论中正确的是(　　) A．100块稻田亩产量的中位数小于1 050 kg B．100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例超过80% C．100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间 D．100块稻田亩产量的平均值介于900 kg至1 000 kg之间 答案：C　 返回导航 20 解析：对于A，因为6＋12＋18＝36<50，36＋30＝66>50，所以100块稻田亩产量的中位数不小于1 050 kg, 故A错误；对于B，因为100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田有66块，所占比例为66%<80%，故B错误；对于C，100块稻田亩产量的极差的最大值小于1 200－900＝300，最小值大于1 150－950＝200，所以极差介于200 kg至300 kg之间，故C正确；对于D，同一组中的数据都用中间值来估计，则这100块稻田亩产量的平均值的最小值为×(6×925＋12×975＋18×1 025＋30×1 075＋24×1 125＋10×1 175)＝1 067>1 000，所以平均值不介于900 kg至1 000 kg之间，故D错误．故选C. 返回导航 21 (2)(多选)(2026·哈尔滨模拟)有1 000人的某工厂举行知识竞赛，为了了解竞赛成绩(满分100分，90分及以上为优秀)，从中抽取50人的成绩进行统计，得到样本的频率分布直方图，则下列结论正确的是(　　) A．a＝0.016 B．估计该工厂竞赛成绩优秀的人数为40 C．估计该工厂竞赛成绩的中位数为75 D．估计该工厂竞赛成绩的众数为75 答案：ABD 返回导航 22 解析：对于A，由频率分布直方图性质可知(a＋0.032＋0.04＋0.008＋0.004)×10＝1，解得a＝0.016，故A正确；对于B，易知样本中优秀员工占比为0.004×10＝0.04，可估计全厂优秀员工的占比也为0.04，因此估计该工厂竞赛成绩优秀的人数为0.04×1 000＝40，故B正确；对于C，成绩在[50，70)分的频率为(0.016＋0.032)×10＝0.48<0.5，在[50，80)分的频率为(0.016＋0.032＋0.04)×10＝0.88>0.5，所以成绩的中位数在区间[70，80)内，设中位数为x，则(0.016＋0.032)×10＋(x－70)×0.04＝0.5，解得x＝70.5，可知估计该工厂竞赛成绩的中位数为70.5，故C错误；对于D，根据频率分布直方图中最高的矩形所对应成绩范围可知出现频率最高的数在[70，80)内，因此估计该工厂竞赛成绩的众数为75，故D正确．故选ABD. 返回导航 23 学霸笔记： (1)众数：公数的估计值最高矩形的底边中点的横坐标． (2)中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和应该相等． (3)平均数：平均数在频率分布直方图中等于各组区间的中点值与对应频率之积的和． 返回导航 24 　跟踪训练　(1)(2026·金华模拟)如图所示，下列频率分布直方图，根据所给图做出以下判断，正确的是(　　) A．平均数＝中位数＝众数 B．众数<中位数<平均数 C．平均数<众数<中位数 D．平均数<中位数<众数 答案：B　 返回导航 25 解析：众数是最高矩形底边中点对应的数值，位于左边第二个矩形底边中点，所有矩形的面积之和为1，显然前两个矩形的面积之和小于0.5，即众数＜中位数；又频率分布直方图呈现右拖尾形态，使得平均数受极端值影响会被拉向右侧，大于中位数，所以众数＜中位数＜平均数．故选B. 返回导航 26 (2)某市为了减少水资源的浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度．为了确定一个比较合理的标准，通过简单随机抽样，获得了100户居民的月均用水量数据(单位：吨)，得到如图所示的频率分布直方图．估计该市居民月均用水量的中位数为(　　) A．8.45 B．8.55 C．8.65 D．8.85 答案：A 返回导航 27 解析：由频率分布直方图可知，月均用水量在5.2吨以下的居民用户所占的比例为4×0.060＝0.24，月均用水量在9.2吨以下的居民用户所占的比例为4×(0.060＋0.080)＝0.56>0.5，故中位数落在区间(5.2，9.2)内，设样本的中位数为x，则0.24＋(x－5.2)×0.080＝0.5，解得x＝8.45，即样本的中位数为8.45，由样本估计总体的思想，估计该市居民月均用水量的中位数为8.45.故选A. 返回导航 28 命题点三　总体离散程度的估计 考向1　分层随机抽样的方差与标准差 例3 (2026·昆明一模)在对某中学高三年级学生体重(单位：kg)的调查中，按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取部分学生进行测量．已知抽取的男生有60人，其体重的平均数和方差分别为65，32，抽取的女生有40人，其体重的平均数和方差分别为55，12，则估计该校高三年级学生体重的方差为(　　) A．24 B．27 C．48 D．54 答案：C 返回导航 29 解析：记总样本的平均数为，则＝×65＋×55＝61，所以总样本的方差s2＝×[32＋(61－65)2]＋×[12＋(61－55)2]＝48，所以估计该校高三年级学生体重的方差为48.故选C. 返回导航 30 学霸笔记：设样本容量为n，平均数为，其中两层的个体数量分别为n1，n2，两层的平均数分别为，方差分别为，则这个样本的方差为s2＝＋]＋＋]. 返回导航 31 跟踪训练　为了解某高中学校学生每周阅读课外书籍的数量，按年级分层，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽取学生进行统计．现抽取高一学生25人，其每周阅读课外书籍数量的均值为3本，方差为3.2；抽取高二学生25人，其每周阅读课外书籍数量的均值为2本，方差为2.3.则该校高一、高二学生每周阅读课外书籍数量的总样本的方差是__________． 答案：3 返回导航 32 解析：因为高一抽取学生25人，样本均值为3；高二抽取学生25人，样本均值为2，根据分层随机抽样总样本均值公式＝＝2.5.根据分层随机抽样总样本方差公式可得 ×[3.2＋(3－2.5)2]＋[2.3＋(2－2.5)2]＝3. 返回导航 33 考向2　方差与标准差 例4 李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立)： 返回导航 34 (1)估计李明在主场比赛中的命中率； 答案：由表格可知，李明在主场命中次数为22×＋15×＋12×＋23×＋24×＝60，所以李明在主场比赛中的命中率为＝. 返回导航 35 (2)记为表中主场命中次数的方差为表中客场命中次数的方差．试比较与的大小． 答案：由(1)主场命中次数依次为12，12，8，8，20，平均数为＝12， 所以＝×[(12－12)2＋(12－12)2＋(8－12)2＋(8－12)2＋(20－12)2]＝， 客场命中次数依次为8，12，7，15，12，平均数为， ＝×[(8－)2＋(12－)2＋(7－)2＋(15－)2＋(12－)2]＝， 所以. 返回导航 36 学霸笔记：标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度．标准差(方差)越大，数据的离散程度越大；标准差(方差)越小，数据的离散程度越小． 返回导航 37 跟踪训练　(衔接·人教A版必修二P222复习参考题T7)在一个文艺比赛中，12名专业人士和12名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分．下面是两组评委对同一名选手的打分： 小组A　42　45　48　46　52　47　49　55　42　51　47　45 小组B　55　36　70　66　75　49　46　68　42　62　58　47 返回导航 38 (1)选择一个可以度量每一组评委打分相似性的量，并对每组评委的打分计算度量值． 答案：可以用样本方差作为度量每一组评委打分相似性的量，样本方差越小，相似程度越高．则＝(42＋45＋48＋46＋52＋47＋49＋55＋42＋51＋47＋45)≈47，所以A组的样本方差＝[(42－47)2＋(45－47)2＋(48－47)2＋(46－47)2＋(52－47)2＋(47－47)2＋(49－47)2＋(55－47)2＋(42－47)2＋(51－47)2＋(47－47)2＋(45－47)2]＝＝(55＋36＋70＋66＋75＋49＋46＋68＋42＋62＋58＋47)＝≈56，B组的样本方差为＝[(55－56)2＋(36－56)2＋(70－56)2＋(66－56)2＋(75－56)2＋(49－56)2＋(46－56)2＋(68－56)2＋(42－56)2＋(62－56)2＋(58－56)2＋(47－56) 2]＝≈139. 返回导航 39 (2)你能据此判断小组A与小组B中哪一个更像是由专业人士组成的吗？ 答案：由于专业人士给分更符合专业规则，相似程度更高，由(1)可知，根据方差越大数据波动越大，因此A组更像是由专业人士组成的． 返回导航 40 1．(2025·全国Ⅱ卷)样本数据2，8，14，16，20的平均数为(　　) A．8 B．9 C．12 D．18 答案：C 解析：样本数据2，8，14，16，20的平均数为＝12.故选C. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 41 2．(2026·河北多校联考)为响应“全民健身＋电竞”融合潮流，某电竞馆举办“运动达人电竞赛”，赛前通过简单随机抽样，获得了18名选手1分钟内健身操动作完成数，结合电竞互动得分换算后如下(单位：分)： 105 112 118 120 123 125 127 129 130 132 135 137 139 141 143 145 147 150 这18名选手1分钟内健身操动作完成得分的第60百分位数为(　　) A．132 B．133.5 C．135 D．136 答案：C 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 42 解析：由18×60%＝10.8，得第60百分位数应是从小到大排列中的第11个数，即135.故选C. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 43 3．有一组数据：2，4，5，7，6，7，x，10，这组数据的平均数为6，则这组数据的方差为(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 答案：A 解析：依题意，2＋4＋5＋7＋6＋7＋x＋10＝48，解得x＝7，所以这组数据的方差为×(42＋22＋12＋12＋02＋12＋12＋42)＝5.故选A. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 44 4．2025年11月25日中国神舟二十二号载人飞船成功发射，为了弘扬航天人顽强拼搏的精神，某校航天课外小组举行了一次航天知识竞赛，随机抽取获得了6名同学的分数(满分30分)分别为：22，24，26，26，28，30，关于这组数据，下列说法错误的是(　　) A．极差为8 B．平均数为26 C．众数为26 D．80%分位数为27 答案：D 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 45 解析：因为数据为22，24，26，26，28，30，可知极差为30－22＝8，众数为26，故AC正确；平均数为×(22＋24＋26＋26＋28＋30)＝26，故B正确；又因为6×80%＝4.8，所以80%分位数为第5位数，即为28，故D错误．故选D. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 46 5．(2026·衡水模拟)一组数据从小到大排列为1，3，5，x，10，12，若这组数据的中位数比80%分位数小3，则x的值为(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 答案：D 解析：由已知中位数为，由6×80%＝4.8，可知80%分位数为10，有＝10－3，可得x＝9.故选D. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 47 6．(2026·昆明模拟)已知某总体分为两层，第一层总体数量为N1＝80，第二层总体数量为N2＝120，采用分层随机抽样抽取样本，第一层样本平均数为＝5；第二层样本平均数为＝7，则该总体平均数的估计值为(　　) A．5.5 B．6.0 C．6.2 D．7.0 答案：C 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 48 解析：因为第一层总体数量为N1＝80，第二层总体数量为N2＝120，第一层样本平均数为＝5，第二层样本平均数为＝7，则总体平均数为×7＝6.2.故选C. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 49 7．(2026·南通模拟)已知互不相等的数据x1，x2，x3，x4，x5，t的平均数为t，方差为，数据x1，x2，x3，x4，x5的方差为，则的大小关系为(　　) A. B. D．无法判断 答案：C 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 50 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 51 8．李老师家有3名人员，3名人员的年龄与2年后的年龄相比较，一定不会发生变化的是(　　) A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数 答案：C 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 52 解析：设李老师家3名人员的年龄从小到大，分别为x1，x2，x3，则这3名人员2年后的年龄分别为x1＋2，x2＋2，x3＋2，对于A，3名人员的年龄平均数为，2年后的年龄的平均数为＋2，显然>，所以A不符合题意；对于B，3名人员的年龄的中位数为x2，2年后的年龄的中位数为x2＋2，显然x2＋2>x2，所以B不符合题意； 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 53 对于C，3名人员的年龄的方差为×[2＋2＋]，2年后的年龄的方差为{2＋2}＝2＋]，所以，所以方差不变，所以C符合题意；对于D，设3名人员的年龄的众数为m，则2年后的年龄的众数为m＋2，所以D不符合题意．故选C. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 54 9．(2026·保定模拟)现有一组数据10，20，30，30，50，60，80，则(　　) A．该组数据的极差为70 B．该组数据的众数为30 C．该组数据的第60百分位数为40 D．该组数据的平均数为60 答案：AB 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 55 解析：由题可知，该组数据的极差为80－10＝70，众数为30，故AB正确；因为60%×7＝4.2，故该组数据第60百分位数为第5个数据50，故C错误；该组数据的平均数为＝40，故D错误．故选AB. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 56 10．(2026·潍坊模拟)如图是某市2025年1月至7月全社会用电量(单位：亿千瓦时)的折线图，则(　　) A．1月至7月全社会用电量逐月增加 B．1月至7月全社会用电量的极差是20.7 C．1月至7月全社会用电量的第75百分位数是64.3 D．1月至3月全社会用电量的极差比4月至6月的极差大 答案：BD 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 57 解析：由题图知，3月到4月用电量减少，故A错误；由题图，用电量的极差为79.9－59.2＝20.7，故B正确；数据从小到大有59.2，60.1，61.6，61.9，64.3，66.4，79.9，又7×75%＝5.25，所以第75百分位数是第六个数据66.4，故C错误；由1月至3月用电量的极差为66.4－59.2＝7.2，4月至6月用电量的极差为64.3－61.6＝2.7，显然7.2>2.7，故对应1月至3月全社会用电量的极差比4月至6月的极差大，故D正确．故选BD. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 58 11．(2026·沙坪坝模拟)某零件厂共有编号分别为一、二、三、四的四个生产车间，已知2026年1月份第一、四车间生产的零件数分别为73万件和145万件，若四个车间产量随编号增加而增加，且四个车间产量的中位数与平均数相等，则2026年1月份该厂生产的零件总数为__________万件． 答案：436 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 59 解析：设第二、三车间生产的零件数分别为x，y，则73<x<y<145，由条件可知，，得x＋y＝218，所以该厂生产的零件总数为73＋218＋145＝436(万件)． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 60 12．已知9个数据的平均数为6，方差为4，现又加入一个新数据6，此时这10个数据的方差为__________. 答案： 解析：因为9个数据的平均数为6，又加入一个新数据6，所以这10个数据的平均数为＝6，所以这10个数据的方差为×[9×4＋(6－6)2]＝. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 61 13．(13分)文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．中山市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40，50)，[50，60)，…，[90，100]得到如图所示的频率分布直方图． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 62 (1)求频率分布直方图中a的值； 答案：根据频率分布直方图的性质，可得0.05＋0.1＋0.2＋10a＋0.25＋0.1＝1，解得a＝0.030. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 63 (2)求样本成绩的众数，样本成绩的第75百分位数和平均数． 答案：由众数的定义，可得数据的众数估计值为＝75，即样本数据的众数估计为75，又由成绩在[40，80)内的频率为0.05＋0.1＋0.2＋0.3＝0.65， 在[40，90)内的频率为0.05＋0.1＋0.2＋0.3＋0.25＝0.9， 设第75百分位数为m， 又由0.65＋(m－80)×0.025＝0.75，解得m＝84，所以第75百分位数为84. 由平均数的计算公式，可得45×0.05＋55×0.1＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.1＝74，所以样本成绩的平均数为74. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 64 14．(15分)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i＝1，2，…，10)．试验结果如下：记zi＝xi－yi(i＝1，2，…，10)，记z1，z2，…，z10的样本平均数为，样本方差为s2. 试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 65 (1)求，s2；   答案：＝552.3， ＝541.3， ＝552.3－541.3＝11， zi＝xi－yi的值分别为9，6，8，－8，15，11，19，18，20，12， 故s2＝＝61. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 66 (2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高．(如果≥2 ，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高) 答案：由(1)知＝11，2 ，故有≥2 ， 所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 67 15．(5分)(2026·佛山模拟)考虑一组数据{3，x，x，4，5}，其中x是一个正整数，有下列描述： Ⅰ.该组数据的平均数是一个整数． Ⅱ.该组数据的中位数不小于3. Ⅲ.该组数据的众数与上四分位数相等． 其中正确的是(　　) A．只有Ⅱ B．只有Ⅲ C．只有Ⅰ及Ⅱ D．只有Ⅱ及Ⅲ 答案：A 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 68 解析：对于Ⅰ，取x＝1，则平均数为＝2.8，不是整数，故Ⅰ错误；对于Ⅱ，将数据从小到大排列，分情况讨论如下，当x≤3时，数据为{x，x，3，4，5}，中位数是3，当x＝4时，数据为{3，4，4，4，5}，中位数是4，当x＝5时，数据为{3，4，5，5，5}，中位数是5，当x>5时，数据为{3，4，5，x，x}，中位数是5，可得该组数据的中位数不小于3，故Ⅱ正确；对于Ⅲ，取x＝2，数据为{2，2，3，4，5}，因为5×0.75＝3.75，则上四分位数是4，而众数是2，且2≠4，故Ⅲ错误，可得A正确．故选A. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 69 16.(5分)(2026·淮南模拟)高一某班有24名男生和40名女生，某次数学测试中，男生的平均分与女生的平均分之差为4，若男生分数的方差为94，全班分数的方差为84，则女生分数的方差为________． 答案：72 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 70 解析：设男生分数为x1，x2，…，x24，男生分数均值为；女生分数为y1，y2，…，y40，女生分数均值为；则＝4，总体均值为，男生分数方差为＝94，则2＝94×24，全班分数方差为＝84，由2＝2＋＋24×2＝24×94＋0＋24×＝2 406，所以＝84，解得2＝2 970； 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 71 因为＋4，所以2＝2＝2 970，化简得2＝2－＋40×2＝2 970，解得2＝2 880，则女生分数的方差为＝72. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 72 解析：由t＝×(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋t)，则x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝5t，所以×(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)＝t，且x1，x2，x3，x4，x5，t互不相等，由＝.故选C. $