第8章 第8节 直线与圆锥曲线的位置关系课件——2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦直线与圆锥曲线位置关系专题，依据课标要求梳理了位置关系判断、弦长计算、中点弦及切线问题四大核心考点，对接高考评价体系分析各考点权重，其中位置关系判断和弦长问题占比达60%，归纳出选择、填空、解答题三类常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题溯源+方法建模+素养落地”，如以例3中点弦问题的“点差法”为例，培养学生数学思维（推理能力），结合2024北京真题解析切线问题，强化数学语言（模型观念），提供易错点警示（如双曲线与直线相切的条件辨析）和答题模板（弦长公式应用步骤），助力学生掌握解题技巧，教师可据此精准教学，实现高效冲刺。

第10章 直线与圆、圆锥曲线 第8届 直线与圆锥曲线位置关系 2027届高考一轮复习 数学 1 【课标要求】 1.掌握直线与圆锥曲线位置关系的判断方法. 2.掌握直线被圆锥曲线所截弦长及中点弦问题的求解方法. 3.能够综合应用方程思想及圆锥曲线的几何性质解决有关直线与圆锥曲线的综合问题. 名师导学第一轮总复习 高三数学 2 【知识要点】 1.直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax+By+C=0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)=0，消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的一元方程， 即消去y后得ax2+bx+c=0. 名师导学第一轮总复习 高三数学 3 (1)当a≠0时，设一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线和圆锥曲线C相交于不同的两点;Δ=0⇔直线和圆锥曲线C相切于一点;Δ<0⇔直线和圆锥曲线C没有公共点. (2)当a=0时，若圆锥曲线是双曲线，则直线l与双曲线的渐近线平行或重合;若圆锥曲线是抛物线，则直线l与抛物线的　 　平行(或重合).  对称轴 名师导学第一轮总复习 高三数学 4 2.圆锥曲线的弦长 (1)圆锥曲线的弦长:直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦. (2)圆锥曲线弦长的计算 设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|= == . |x1-x2| |y1-y2| 名师导学第一轮总复习 高三数学 5 3.中点弦所在直线的斜率 圆锥曲线以P(x0，y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率为k，其中k=(x1≠x2)，(x1，y1)，(x2，y2)为弦的端点坐标. 圆锥曲线方程 直线斜率 椭圆:+=1(a>b>0) k=- 双曲线:-=1(a>0，b>0) k= 抛物线:y2=2px(p>0) k= 名师导学第一轮总复习 高三数学 6 【基础检测】 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线l与椭圆C相切的充要条件是:直线l与椭圆C只有一个公共点.(　　) (2)直线l与双曲线C相切的充要条件是:直线l与双曲线C只有一个公共点.(　　) (3)经过抛物线上一点有且只有一条直线与抛物线有一个公共点.(　　) (4)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点.(　　) (5)点A(a，1)在椭圆+=1的外部，则a的取值范围是.(　　) √ × × √ × 名师导学第一轮总复习 高三数学 7 2.[选择性必修1p139T12]过点(2，4)作直线，使它与抛物线y2=8x仅有一个公共点，这样的直线有(　　) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 B [解析] 由题意可知点(2，4)在抛物线y2=8x上，故过点(2，4)与抛物线y2=8x相切的直线有1条，过点(2，4)与对称轴平行的直线有1条，这两条直线与抛物线都只有一个公共点.故选B. 名师导学第一轮总复习 高三数学 8 3.若直线y=kx+1与椭圆+=1总有公共点，则m的取值范围是(　　) A.(1，+∞) B.(0，1)∪(1，+∞) C.[1，5)∪(5，+∞) D.(0，1)∪(1，5) C [解析] 直线y=kx+1过定点(0，1)，只需该点落在椭圆内或椭圆上，即+≤1，解得m≥1，又m≠5，故选C. 名师导学第一轮总复习 高三数学 9 4.[选择性必修1p128T13]双曲线-=1与直线y=x+b(b≠0)的交点个数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.与b的取值有关 B [解析] 因为直线y=x+b与双曲线的渐近线平行，且b≠0，所以只有一个交点. 名师导学第一轮总复习 高三数学 10 5.已知椭圆+y2=1，过左焦点F作倾斜角为的直线交椭圆于A，B两点，则弦AB的长为　 　　.  2 [解析] 在椭圆+y2=1中，a=3，b=1，则c==2，故F(-2，0)， 联立可得12y2-4y-1=0， Δ=16×6+4×12=144>0，由韦达定理可得y1+y2=，y1y2=-， 所以|AB|=·=2=2. 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可知，直线AB的方程为y=(x+2)，即x=y-2， 名师导学第一轮总复习 高三数学 11 考点1 直线与圆锥曲线位置关系的判定及应用 ± 例1　(1)若直线y=kx-3与双曲线-y2=1有且只有一个公共点，但直线与双曲线 不相切，则实数k的值是　　　　　.  [解析] 由题意知，直线y=kx-3与双曲线-y2=1的渐近线平行， ∵双曲线-y2=1的渐近线为y=±x， ∴k=±. 名师导学第一轮总复习 高三数学 12 (2)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，点P是抛物线准线上一动点，作线段PF的垂直平分线l，则直线l与抛物线C的公共点个数为　　　个.  1 [解析] 由题意得焦点为F，准线方程为x=-， 设点P，则PF的中点为，kPF=， 当m≠0时，直线l的斜率为k=，所以直线l的方程为y-=x， 联立得y2-2my+m2=0， 因为Δ=4m2-4m2=0，所以直线l与抛物线只有一个公共点; 当m=0时，线段PF的垂直平分线l为y轴，此时直线l与抛物线只有一个公共点， 综上可知，直线l与抛物线的公共点个数为1. 名师导学第一轮总复习 高三数学 13 [小结]1.直线与圆锥曲线位置关系的判定方法 (1)代数法:即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x,y的方程组,消去y(或x)得一元方程,此方程根的个数即为交点个数,方程组的解即为交点坐标.联立直线与圆锥曲线的方程消元后,要注意讨论二次项系数是否为零的情况. (2)几何法:即画出直线与圆锥曲线的图象,根据图象判断公共点个数. 2.重要结论 (1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切,过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切,过椭圆内一点的直线均与椭圆相交. 名师导学第一轮总复习 高三数学 14 (2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线;过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点:一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线;过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点:一条与对称轴平行或重合的直线. (3)过双曲线外但不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点:两条切线和两条与渐近线平行的直线;过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点:一条切线和两条与渐近线平行的直线;过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点:两条与渐近线平行的直线. 名师导学第一轮总复习 高三数学 15 1.已知椭圆C1:+=1，过点P(2，2)作椭圆C1的切线，则切线方程为　　　 　　　　　　.  x-8y+14=0或x=2 [解析] 因为+>1，所以点P在C1外部， (1)当斜率不存在时，易知x=2为椭圆的一条切线; (2)当斜率存在时，设切线斜率为k，则切线方程为y-2=k(x-2)， 代入C1中并整理得(3+4k2)x2+16(k-k2)x+16k2-32k+4=0， 因为直线与椭圆相切，则Δ=[16(k-k2)]2-4(3+4k2)(16k2-32k+4)=0，解得k=， 此时切线方程为x-8y+14=0， 所以切线方程为x-8y+14=0或x=2. 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 16 2.若直线l:y=k(x-2)与双曲线C:x2-y2=2的左、右两支各有一个交点，则k的取值范围为　　 　.  (-1，1) [解析] 联立消去y得，(1-k2)x2+4k2x-4k2-2=0. 因为直线l与双曲线C的左、右两支各有一个交点， 所以方程(1-k2)x2+4k2x-4k2-2=0有一正一负根， 所以整理得1-k2>0， 解得-1<k<1.所以k的取值范围为-1<k<1. 名师导学第一轮总复习 高三数学 17 考点2 弦长问题 例2　已知双曲线C:-=1(a>0，b>0)的实轴长为6，左、右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线C上，AF2⊥x轴，且|AF1|=7. (1)求双曲线C的方程; (2)若过点F1，斜率为k(k>0)的直线l与双曲线C及其两条渐近线从左至右依次交于M，P，Q，N四点，且|MN|=2|PQ|，求k的值. 名师导学第一轮总复习 高三数学 18 (1)求双曲线C的方程; [解析] (1)由题意知，2a=6，即a=3， 由AF2⊥x轴，可知xA=c，代入双曲线方程可得 |AF2|=|yA|=， 又|AF1|-|AF2|=2a，即7-=6，解得b2=3， 所以双曲线C的方程为-=1. 名师导学第一轮总复习 高三数学 19 (2)若过点F1，斜率为k(k>0)的直线l与双曲线C及其两条渐近线从左至右依次交于M，P，Q，N四点，且|MN|=2|PQ|，求k的值. [解析](2)由(1)可知，c2=a2+b2=12，所以F1(-2，0)， 设M(x1，y1)，P(x2，y2)，Q(x3，y3)，N(x4，y4)，直线l的方程为y=k(x+2)(k>0)， 由可得(3k2-1)x2+12k2x+36k2+9=0(3k2-1≠0)， ∴x1+x4=-，x1x4=， ∴|MN|=·=， 名师导学第一轮总复习 高三数学 20 由-=1可知双曲线的渐近线方程为y=x和y=-x， 联立可得x2=， 同理可得x3=， ∴|PQ|=·=· =·， 名师导学第一轮总复习 高三数学 21 由|MN|=2|PQ|可得，-=4， 化简可得(12k2)2=12(12k2-1)(3k2-1)， 即36k4=(12k2-1)(3k2-1)， 整理得，15k2-1=0，又k>0，解得k=. 名师导学第一轮总复习 高三数学 22 [小结]求解弦长的4种方法 (1)当弦的两端点坐标易求时,可直接利用两点间的距离公式求解. (2)联立直线与圆锥曲线方程,解方程组求出两个交点坐标,代入两点间的距离公式求解. (3)联立直线与圆锥曲线方程,消元得到关于x(或y)的一元二次方程,利用根与系数的关系得到(x1-x2)2,(y1-y2)2,代入两点间的距离公式求解. (4)当弦过焦点时,可结合焦半径公式求解弦长. 名师导学第一轮总复习 高三数学 23 3.(2025·天津红桥·二模)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的短轴长为4，离心率为，过右焦点F的动直线l与C交于A，B两点，点A，B在x轴上的投影分别为A'，B'(A'在B'的左侧). (1)求椭圆C的方程; (2)若直线AB'与直线A'B交于点M，△MAB的面积为，求直线l的方程. 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 24 (1)求椭圆C的方程; [解析] (1)由题意可得 解得a=2，b=2，c=2， 所以椭圆C的方程为+=1. 名师导学第一轮总复习 高三数学 25 (2)若直线AB'与直线A'B交于点M，△MAB的面积为，求直线l的方程. [解析] (2)当直线l斜率为0时，不符合题意; 当直线l斜率不为0时，设直线l的方程为x=my+2(m≠0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立得(m2+2)y2+4my-4=0， 易知Δ=16m2+16(m2+2)>0，则y1+y2=-，y1y2=-. 易知A'(x1，0)，B'(x2，0)， 所以直线AB':y=(x-x2)①， 直线A'B:y=(x-x1)②， 名师导学第一轮总复习 高三数学 26 联立①②，得xM===2+=4， 所以S△MAB=|BB'|·|xM-x1|=|y2|·|4-x1|=|2y2-my1y2|，因为=1， 所以S△MAB=|2y2-(y1+y2)|=|y1-y2|===， 解得m=±1， 故直线l的方程为x-y-2=0或x+y-2=0. 名师导学第一轮总复习 高三数学 27 考点3 中点弦与垂直平分弦问题 例3　(1)过点Q(2，1)作抛物线y2=4x的弦AB，恰被点Q平分，则弦AB所在直线的方程为(　　) A.2x+y-3=0 B.2x-y+3=0 C.2x-y-3=0 D.2x+y+3=0 C 名师导学第一轮总复习 高三数学 28 [解析] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由题意可知x1≠x2， 则两式相减，得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2)， 因为Q(2，1)是弦AB的中点，所以x1+x2=4，y1+y2=2， 所以y1-y2=2(x1-x2)，即=2， 直线AB的斜率为2，所以弦AB所在直线的方程为y-1=2(x-2)， 即2x-y-3=0.故选C. 名师导学第一轮总复习 高三数学 29 (2)已知椭圆+=1，若椭圆上存在两点A，B关于直线y=4x+m对称，则m的取值范围是(　　) A. 　　 B. C. 　　 D. A [解析] 椭圆+=1，即3x2+4y2-12=0， 设椭圆上A，B两点关于直线y=4x+m对称，AB的中点为M(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则3+4-12=0，3+4-12=0， 所以3(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0， 名师导学第一轮总复习 高三数学 30 所以=-·=-，所以y0=3x0， 代入直线方程y=4x+m得x0=-m，y0=-3m， 即M(-m，-3m)，因为点(x0，y0)在椭圆内部， 所以3m2+4·(-3m)2<12， 解得-<m<， 即m的取值范围是.故选A. 名师导学第一轮总复习 高三数学 31 [小结]1.处理有关中点弦及对应直线斜率关系的问题时,常用“点差法”,步骤如下: 2.“点差法”的常见结论: 设AB为圆锥曲线的弦,点P为弦AB的中点,O为坐标原点, (1)椭圆+=1(a>b>0)中的中点弦问题: kAB·kOP=-; 名师导学第一轮总复习 高三数学 32 (2)双曲线-=1(a>0,b>0)中的中点弦问题: kAB·kOP=; (3)抛物线y2=2px(p>0)中的中点弦问题: kAB=(y0为中点P的纵坐标). 名师导学第一轮总复习 高三数学 33 4.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆E于A，B两点，若AB的中点坐标为(1，-1)，则椭圆E的方程为(　　) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 A 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 34 [解析] 根据题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 代入椭圆方程可得 两式相减得+=0， 整理可得=-·; 又因为AB的中点坐标为(1，-1)， 所以x1+x2=2，y1+y2=-2， 名师导学第一轮总复习 高三数学 35 因此过A，B两点的直线斜率为kAB==， 又F(3，0)和AB的中点(1，-1)在直线上，所以kAB==，即=，可得a2=2b2. 易知c=3，且a2=b2+c2=b2+9，可得a2=18，b2=9， 所以椭圆E的方程为+=1， 代入AB的中点坐标为(1，-1)，得+=<1， 则AB的中点在椭圆内部，此时直线AB与椭圆相交于两点.故选A. 名师导学第一轮总复习 高三数学 36 5.已知直线l:4x-2y-7=0与双曲线C:-=1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A，B(两点不重合)，AB的垂直平分线过点(3，0)，则双曲线C的离心率为(　　) A. B. C. D. D 名师导学第一轮总复习 高三数学 37 [解析] 因为直线l:4x-2y-7=0，所以kl=2， 由题可知AB的垂直平分线的方程为y=-(x-3)， 将y=-(x-3)与4x-2y-7=0联立可得即AB的中点坐标为. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则且x1+x2=4，y1+y2=1， 两式作差可得-=0，即·=，所以=×2=， 则双曲线C的离心率为=.故选D. 名师导学第一轮总复习 高三数学 38 考点4 圆锥曲线的切线问题 例4　(1)已知抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点为F，A是抛物线E上位于第一象限内的一点，过点A作E的切线，交x轴于P点，交y轴于Q点，若∠PAF=30°，则∠AFQ=(　　) A.60° B.90° C.120° D.150° C 名师导学第一轮总复习 高三数学 39 [解析] 设A(a>0)，由y=，得y'=， 所以抛物线E在点A处的切线方程为y-=(x-a)， 从而P，Q. 根据抛物线的定义，得|AF|=+， 又F，|QF|=-=+，所以|AF|=|QF|， 从而△AFQ为等腰三角形，所以∠AFQ=120°. 故选C. 名师导学第一轮总复习 高三数学 40 (2)已知椭圆C1:+=1(a>b>0)，椭圆C2:+y2=1，点P为椭圆C2上的动点，直线OP与椭圆C1交于A，B两点，且=2. ①求椭圆C1的标准方程; ②以点P为切点作椭圆C2的切线l，l与椭圆C1交于C，D两点，问:四边形ACBD的面积是否为定值?若是，求出该定值;若不是，求出面积的取值范围. 名师导学第一轮总复习 高三数学 41 ①求椭圆C1的标准方程; [解析] ①设P(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 因为=2，所以x1=2x0，y1=2y0. 因为点P为椭圆C2上的动点，所以+=1， 从而+=1，即+=1， 故椭圆C1的标准方程为+=1. 名师导学第一轮总复习 高三数学 42 ②以点P为切点作椭圆C2的切线l，l与椭圆C1交于C，D两点，问:四边形ACBD的面积是否为定值?若是，求出该定值;若不是，求出面积的取值范围. [解析] ②设C(x3，y3)，D(x4，y4)， 当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则直线l的方程为y-y0=k(x-x0)， 联立 名师导学第一轮总复习 高三数学 43 消y得x2+4-4=0，即(1+4k2)x2+8k(y0-kx0)x+4(y0-kx0)2-4=0， Δ=-4(1+4k2)[4(y0-kx0)2-4]=0⇒=0⇒k=-，即y0≠0， 代入得直线l的方程为x0x+4y0y-4=0， 联立 消去y得x2-2x0x+4-16=0， 所以|CD|==， 名师导学第一轮总复习 高三数学 44 而+4=4，则=， 又A，B， 所以点A到直线l:x0x+4y0y-4=0的距离为d1==， 点B到直线l:x0x+4y0y-4=0的距离为d2==， 故S四边形ACBD=S△ACD+S△BCD=|CD|d1+|CD|d2=××(4+12)=8. 名师导学第一轮总复习 高三数学 45 当直线l的斜率不存在时，即y0=0， 若P(2，0)，则直线l的方程为x=2， 则C(2，)，D(2，-)，A(4，0)，B(-4，0)， 所以S四边形ACBD=S△ACD+S△BCD=|CD|d1+|CD|d2=8. 同理可得，若P(-2，0)，S四边形ACBD=8. 综上，四边形ACBD的面积为定值8. 名师导学第一轮总复习 高三数学 46 [小结]1.处理圆锥曲线的切线问题的常用方法为代数法,即联立直线与圆锥曲线的方程,根据Δ=0来求解. 2.(1)过椭圆+=1(a>b>0)上一点P(x0,y0)的切线方程为+=1; (2)过双曲线-=1(a>0,b>0)上一点P(x0,y0)的切线方程为-=1; (3)过抛物线C:y2=2px(p>0)上一点P(x0,y0)的切线方程为y0y=p(x+x0). 名师导学第一轮总复习 高三数学 47 6.(2024·北京)若直线y=k(x-3)与双曲线-y2=1只有一个公共点，则k的一个取值 为　 　　　.  [解析] 联立 化简并整理得(1-4k2)x2+24k2x-36k2-4=0， 由题意得1-4k2=0或Δ=(24k2)2+4(36k2+4)(1-4k2)=0， 解得k=±或无解，即k=±，经检验，符合题意. 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 48 7.已知椭圆E:+=1(a>b>0)，直线y=x+a与椭圆E相切，则椭圆E的离心率为(　　) A. B. C. D. B [解析] 由题意，联立椭圆E和直线y=x+a的方程得b2x2+a2=a2b2， 整理得x2+a3x+a4-a2b2=0， 因为椭圆E和直线y=x+a相切，所以Δ=(a3)2-4(a4-a2b2)=0， 化简得=， 则椭圆E的离心率e====，故选B. 名师导学第一轮总复习 高三数学 49 8.已知抛物线C:x2=2py(p>0)，斜率为1的直线l交C于不同于原点的S，T两点，点M(2，3)为线段ST的中点. (1)求抛物线C的方程; (2)直线y=kx+1与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线l1，l2，设切线l1，l2的交点为P. (ⅰ)求证:△PAB为直角三角形. (ⅱ)记△PAB的面积为S，求S的最小值，并指出S最小时对应的点P的坐标. 名师导学第一轮总复习 高三数学 50 (1)求抛物线C的方程; [解析] (1)设直线l的方程为y=x+t，代入抛物线C:x2=2py(p>0)，可得x2-2px-2pt=0， 设S(xS，yS)，T(xT，yT)，则xS+xT=2p， 点M(2，3)为线段ST的中点，可得2p=4，则p=2，则抛物线C的方程为x2=4y. 名师导学第一轮总复习 高三数学 51 (2)直线y=kx+1与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线l1，l2，设切线l1，l2的交点为P. (ⅰ)求证:△PAB为直角三角形. [解析](2)(ⅰ)设A，B，由x2=4y，可得y=x2，则y'=x， ∴A，B两点处的切线斜率分别为k1=x1，k2=x2， 由得x2-4kx-4=0，所以x1+x2=4k，x1x2=-4， ∴k1k2=x1x2=-1， 所以PA⊥PB，即△PAB为直角三角形. 名师导学第一轮总复习 高三数学 52 (ⅱ)记△PAB的面积为S，求S的最小值，并指出S最小时对应的点P的坐标. [解析](ⅱ)由(ⅰ)知lPA:y=x1x-，即y=x1x-y1，同理lPB:y=x2x-y2， 由直线PA，PB都过点P(x0，y0)，则有 则点A(x1，y1)，B(x2，y2)的坐标都满足方程x0x-y=y0， 即直线AB的方程为x0x-y=y0， 又由直线AB过点F(0，1)，∴y0=-1， 名师导学第一轮总复习 高三数学 53 联立得x2-2x0x-4=0，∴x1+x2=2x0，x1x2=-4， ∴|AB|==·=·， 点P(x0，-1)到直线AB的距离d=， ∴S△APB=|AB|·d=··=，∴S△APB≥=4， 当且仅当x0=0时，S△APB有最小值4，此时点P的坐标为P(0，-1). 名师导学第一轮总复习 高三数学 54 $