第10章 第8节 概率与统计中的综合问题——2027届高三数学一轮复习课件

该高中数学高考复习课件聚焦概率与统计综合问题，覆盖频率分布直方图与分布列、回归模型与分布列、独立性检验与分布列三大核心考点，对接高考评价体系，梳理分布列、数学期望、回归方程等高频题型，体现备考的系统性和针对性。 课件亮点在于高考模拟题实战与解题方法归纳，如以2025年陕西咸阳模拟为例，解析频率分布直方图求中位数、二项分布列及期望的解题步骤，培养学生数学思维和数据观念，提供规律方法助学生掌握答题技巧，助力教师高效开展复习教学。

第8节　概率与统计中的综合问题 2027年高考总复习 精准突破 考点一　频率分布直方图与分布列的综合问题 例1　(2025·陕西咸阳模拟)为增强学生的法制意识,打造平安校园,某高中学校组织全体学生开展了“智慧法治,平安校园”知识竞赛,根据成绩,制成如下统计图. (1)估算成绩的中位数; (2)以频率估计概率,从该校学生中随机抽取3人,用X表示成绩在[60,80)的人数,求X的分布列和数学期望; (3)用分层随机抽样的方法从成绩在[80,90),[90,100]的两组中共抽取7人,再从这7人中随机抽取4人,记Y为这4人中至少一人成绩落在[80,90)的人数,求Y的数学期望. 解 (1)由图知,(0.005+0.01+0.015+x+0.04)×10=1,解得x=0.03. 设中位数为m,则0.05+0.1+0.15+(m-80)×0.03=0.5,解得m=. (2)由题知成绩在[60,80)内的概率为P=0.25,X~B(3,),X的可能取值为0,1,2,3, P(X=0)=×(1-)3=,P(X=1)=×(1-)2=, P(X=2)=×()2×(1-)=,P(X=3)=×()3=, 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P E(X)=3×. (3)因为0.3∶0.4=3∶4,则抽取的7人中,有3个成绩在[80,90),4个在[90,100],由题知Y的可能取值为1,2,3, P(Y=1)=,P(Y=2)=,P(Y=3)=, 所以Y的数学期望E(Y)=1×+2×+3×. 规律方法　高考常将频率分布直方图与分布列等交汇在一起进行考查,解题时要正确理解频率分布直方图,能利用频率分布直方图正确计算出各组数据.概率问题以计算为主,往往和实际问题相结合,要注意理解实际问题的意义,使之和相应的概率计算对应起来. [对点训练1]某地区举行专业技能考试,共有8 000人参加,分为初试和复试,初试通过后,才能参加复试.为了解考生的考试情况,随机抽取了100名考生的初试成绩,并以此为样本,绘制了样本频率分布直方图,如图所示. (1)若所有考生的初试成绩X近似服从正态分布N(μ,σ2),其中μ为样本平均数的估计值,σ=11.5,试利用正态分布估计所有考生中初试成绩不低于85分的人数; (2)复试共四道题,前两道题考生每题答对得5分,答错得0分,后两道题考生每题答对得10分,答错得0分,四道题的总得分为考生的复试成绩.已知某考生进入复试,他在复试中,前两题每题能答对的概率均为,后两题每题能答对的概率均为,且每道题回答正确与否互不影响.规定复试成绩上了20分(含20分)的考生能进入面试,请问该考生进入面试的概率有多大? 附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7, P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3. 解 (1)由题意得,样本平均数的估计值为(40×0.010+50×0.020+60×0.030+70×0.024+80×0.012+90×0.004)×10=62. 因为学生初试成绩X服从正态分布N(μ,σ2),其中μ=62,σ=11.5,则μ+2σ=85,所以P(X≥85)=P(X≥μ+2σ)≈=0.022 75,所以估计初试成绩不低于85分的人数约为0.022 75×8 000=182. (2)记该考生的复试成绩为Y,则能进入面试的复试成绩为20,25,30,P(Y=20)=()2×()2+()2×, P(Y=25)=×()2=,P(Y=30)=()2×()2=,所以该考生进入面试的概率为P(Y=20)+P(Y=25)+P(Y=30)=. 考点二　回归模型与分布列的综合问题 例2　(2025·江苏南师附中模拟)某旅游景点统计五一期间进入景区的游客人数(单位:千人)如下: 日期 5月1日 5月2日 5月3日 5月4日 5月5日 第x天 1 2 3 4 5 参观人数y 2.2 2.6 3.1 5.2 6.9 (1)根据上表数据,判断成对样本数据(x,y)的线性相关程度,请用样本相关系数r加以说明(若|r|>0.75,则认为y与x的线性相关性很强),如果y与x的线性相关性很强,那么求出y关于x的经验回归方程; (2)五一期间景区开放南门、东门和北门供游客出入,游客从南门、东门和北门进入景区的概率分别为,且出景区与入景区选择相同门的概率为,选择与入景区不同两门的概率各为.假设游客从南门、东门、北门出入景点互不影响,现有甲、乙、丙、丁4名游客于5月1日游玩景点,设X为4人中从东门出景区的人数,求X的分布列、期望及方差. 附参考数据:xiyi=72,=55,=4,=95.86,≈12.59. 参考公式:经验回归方程x+,其中. 样本相关系数r=. 解 (1)依题意,=3,而xiyi=72,=55,=4, r===≈0.95. 因为r≈0.95>0.75,线性相关程度高,所以y与x线性相关性很强,可以用线性回归模型拟合. =1.2,=4-1.2×3=0.4, 因此,经验回归方程为=1.2x+0.4. (2)“甲从东门出景区”为事件A,“甲从南门进景区”为事件B,“甲从东门进景区”为事件C,“甲从北门进景区”为事件D,由题意可得P(B)=,P(C)=,P(D)=,P(A|B)=P(A|D)=,P(A|C)=,由全概率公式得P(A)=P(B)P(A|B)+P(C)P(A|C)+P(D)P(A|D)=.同理,乙、丙、丁从东门出景区的概率也为. X为4人中从东门出景区的人数,X的所有可能取值为0,1,2,3,4,则X~B(4,), P(X=0)=()4=,P(X=1)=)1()3=,P(X=2)=)2()2=,P(X=3)=)3()1=,P(X=4)=()4=, 故X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P E(X)=4×=1,D(X)=4×. 规律方法　高考常将回归模型与分布列等交汇在一起进行考查,求经验回归方程时要充分利用已知数据,合理利用公式减少运算.求解概率问题时要注意概率模型的应用,明确所求问题所属的事件类型是关键. [对点训练2](2025·辽宁名校联盟模拟)某公司统计了该公司销售部员工工龄x(单位:年)与一年中的月均销售额y(单位:万元)的数据,得到下面的散点图及一些统计量的值. ti (ti-)2 (ti-)(yi-) (xi-)(yi-) yi (xi-)2 15.1 4.84 24.2 94.9 155.5 82.5 表中ti=ln xi. (1)由散点图知,可用经验回归方程y=bln x+a拟合y与x的关系,试根据提供的有关数据,预测月均销售额超过20万元的工龄最小值; (2)该公司为激励销售部员工,规定每月的销售冠军奖励1万元,其他名次无奖励.甲为该公司销售部的员工,他在第一季度(每年的前3个月)的第一个月成为销售冠军的概率为,从第二个月开始,若上个月不是销售冠军,则这个月为销售冠军的概率为;若上个月为销售冠军,则这个月仍为销售冠军的概率为.求他在第一季度所得奖励金额X的分布列和数学期望. 附:对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其经验回归直线x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为,ln 10≈2.303,ln 11≈2.398, ln 12≈2.485,ln 13≈2.565,ln 15≈2.708. 解 (1)设t=ln x,则y=t+,则ti=×15.1=1.51, yi=×155.5=15.55. 因为=5,=15.55-5×1.51=8,所以经验回归方程为y=5t+8=5ln x+8. 因为5×ln 11+8≈19.99<20,5×ln 12+8≈20.425>20,y=5ln x+8在区间(0,+∞)内单调递增,所以预测月均销售额超过20万元的工龄最小值为12. (2)由题意得X的可能取值为0,1,2,3. 记甲在第一季度的第n月成为销售冠军为事件An,则P(X=0)=(1-)×(1-) ×(1-)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,X的分布列为 X 0 1 2 3 P E(X)=0×+1×+2×+3×=0.87,所以甲在第一季度所得奖励金额X的数学期望为0.87. 考点三　独立性检验与分布列的综合问题 例3　(2025·浙江衢州模拟)某校举办定点投篮挑战赛,规则如下:每位参赛同学可在A,B两点进行投篮,共投两次.第一次投篮点可在A,B两点处随机选择一处,概率均为,若投中,则第二次投篮点不变;若未投中,则第二次切换投篮点.在A点投中得2分,在B点投中得3分,未投中均得0分,各次投中与否相互独立. (1)在参赛的同学中,随机调查50名的得分情况,得到如下2×2列联表: 投篮点 得分≥3分 得分<3分 合计 先在A点投篮 20 5 25 先在B点投篮 10 15 25 合计 30 20 50 根据小概率值α=0.01的独立性检验,能否认为投篮得分与第一次投篮点的选择有关. (2)小明在A点投中的概率为0.7,在B点投中的概率为0.3. ①求小明第一次投中的概率; ②记小明投篮总得分为X,求X的分布列及数学期望. 参考公式:χ2=,n=a+b+c+d. α 0.1 0.05 0.01 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 10.828 解 (1)零假设为H0:投篮得分与第一次投篮点的选择没有关系. χ2=>6.635=x0.01,根据小概率值α=0.01的独立性检验,我们推断H0不成立,因此认为得分与第一投篮点选择有关联,此推断犯错误的概率不超过0.01. (2)设第1次选择在点A投篮记为事件A,在点B投篮记为事件B,投中记为事件E,则P(A)=,P(B)=,P(E|A)=0.7,P(E|B)=0.3. ①P(E)=P(A)P(E|A)+P(B)P(E|B)=×0.7+×0.3=, 所以小明第一次投篮命中的概率为0.5. ②小明投篮总得分X的可能取值为0,2,3,4,6, 则P(X=0)=, P(X=2)=, P(X=3)=, P(X=4)=,P(X=6)=. 所以X的分布列为 X 0 2 3 4 6 P 故E(X)=0×+2×+3×+4×+6×. 规律方法　高考常将独立性检验与分布列等交汇在一起进行考查,解决独立性检验问题,要注意过好“三关”:假设关、公式关、对比关.解决概率问题要准确地把握题中所涉及的事件,明确所求问题所属的事件类型. [对点训练3](2025·重庆鲁能巴蜀中学适应性考试)某中学为了解高二年级学生对“数学建模竞赛”的参与意愿与性别是否有关,现从学校中随机抽取了100名学生进行调查,得到如下列联表: 性别 愿意参与 不愿意参与 合计 男生 30 20 50 女生 25 25 50 合计 55 45 100 (1)根据小概率值α=0.05的独立性检验,能否认为“愿意参与数学建模竞赛与性别有关联”? (2)从样本中“愿意参与”的学生中按性别采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取11人,再从这11人中随机抽取3人作为竞赛种子选手,记3人中女生的人数为X,求X的分布列和数学期望. 附:χ2=,n=a+b+c+d. α 0.050 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 解 (1)零假设为H0:愿意参与数学建模竞赛与性别无关. χ2=≈1.01<3.841=x0.05. 根据小概率值α=0.05的独立性检验,我们没有充分的证据推断H0不成立,即认为愿意参与数学建模竞赛的意愿与性别无关. (2)由题可知,愿意参与的学生中男生与女生的比例为6∶5. 因此选出11人中,男生人数为11×=6,女生人数为11×=5. X的所有可能取值为0,1,2,3,X服从超几何分布,P(X=k)=,k=0,1,2,3. P(X=0)=,P(X=1)=, P(X=2)=,P(X=3)=, 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P E(X)=×0+×1+×2+×3=. $