第4章 第8节 解三角形的应用举例 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“解三角形的应用举例”专题，覆盖距离、高度、角度测量三大核心考点，依据高考评价体系梳理仰角、俯角、方位角等关键概念，通过课前自测巩固基础，考点突破归纳正弦定理、余弦定理的常考应用题型，体现备考的系统性和针对性。 课件亮点在于“真题解析+技巧总结+素养提升”，如例1通过无人机测量距离问题，运用正弦定理和余弦定理构建模型，培养数学思维和应用意识。每个考点后附小结提炼解题策略，帮助学生掌握空间与平面转化技巧，教师可据此精准指导，提升复习效率。

第4章 三角函数、解三角形 第8节 解三角形的应用举例 2027届高中数学一轮复习 1 1.知识要点 2.课前自测 3.考点突破 目录 2 知识要点 3 图（a） 1.仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标 视线在水平视线______时叫仰角，目标视线在水平视线 ______时叫俯角（如图（a））. 上方 下方 名师导学第一轮总复习 高三数学 4 图（b） 2.方位角 从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的 水平夹角叫做方位角.如<m></m>点的方位角为<m></m> （如图（b））. 3.方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达 为北（南）偏东（西）<m></m> 度. 名师导学第一轮总复习 高三数学 5 课前自测 6 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α+β=180°.(　　) (2)方位角的大小的范围是[0，2π)，方向角的大小的范围一般是.(　　) (3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.(　　) (4)东南方向与南偏东45°方向相同.(　　) (5)在方向角中，始边一定是南或北，旋转方向一定是顺时针.(　　) × √ × √ × 名师导学第一轮总复习 高三数学 7 2.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　) A.北偏东10°方向 B.北偏西10°方向 C.南偏东10°方向 D.南偏西10°方向 B [解析] 灯塔A，B的相对位置如图所示，由已知得 ∠ACB=80°，∠CAB=∠CBA=50°，则α=60°-50°=10°，即灯塔A在灯塔B的北偏西10°方向. 名师导学第一轮总复习 高三数学 8 3.一艘船航行到点A处时，测得灯塔C与其相距30海里，如图所示.随后该船以20海里/小时的速度，沿直线向东南方向航行1小时后到达点B，测得灯塔C在其北偏东25°方向，则sin∠ACB=(　　) A.sin 70° B.sin 75° C.cos 70° D. A [解析] 由题意可知，∠ABC=45°+25°=70°，AB=20海里， 由正弦定理，得 = ，代入数据，得sin∠ACB= sin 70°. 名师导学第一轮总复习 高三数学 9 4.小明在湖对岸，现想测量与主舞台的距离，如右图所示，A(小明)，B(主舞台)两点在湖的两岸，通过确定与A同侧的湖岸边一点C，测出A，C的距离为100 m，∠ACB=45°，∠CAB=105°，则A，B两点的距离为(　　) A.100 m B.100 m C.50 m D.25 m A [解析] 在△ABC中，∠ACB=45°，∠CAB=105°，则∠ABC=30°，而AC=100 m， 由正弦定理得AB= =100 m.故选A. 名师导学第一轮总复习 高三数学 10 5.[必修2p51T2]如图，在山脚A测得山顶P的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走a米到B，在B处测得山顶P的仰角为60°，则山高h=　　　　米.  a [解析] 由题图可得∠PAQ=α=30°，∠BAQ=β=15°，∠PBC=γ=60°， 在△PAB中，∠PAB=α-β=15°， ∴∠BPA=-=γ-α=30°， ∴ = ，∴PB= a， ∴PQ=PC+CQ=PB·sin γ+asin β= a×sin 60°+asin 15°= a. 名师导学第一轮总复习 高三数学 11 考点突破 12 考点1 距离问题 例1　(2025·山东济南·三模)山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标(如图1)，其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计，将数学符号“∞”完美嵌入其中，寓意无限未知、无限发展、无限可能和无限的科技创新.如图2，为了测量科技馆最高点A与其附近一建筑物楼顶B之间的距离，无人机在点C测得点A和点B的俯角分别为75°，30°，随后无人机沿水平方向飞行600米到点D，此时测得点A和点B的俯角分别为45°和60°(A，B，C，D在同一铅垂面内)，则A，B两点之间的距离为　　　　米.  100 名师导学第一轮总复习 高三数学 13 [解析] 由题意，∠DCB=30°，∠CDB=60°， 所以∠CBD=90°，所以在Rt△CBD中，BD= CD=300，BC= CD=300， 又∠DCA=75°，∠CDA=45°，所以∠CAD=60°， 在△ACD中，由正弦定理得， = ，所以AC= × =200， 在△ABC中，∠ACB=∠ACD-∠BCD=75°-30°=45°， 由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB =(200)2+(300)2-2×200×300× =150000， 所以AB=100. 名师导学第一轮总复习 高三数学 14 [小结]求解距离问题应注意: (1)选定或确定要创建的三角形,首先确定所求量所在的三角形,若其他量已知,则直接求解;若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解. (2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理. 名师导学第一轮总复习 高三数学 15 1.如图，A，B是海面上位于东西方向相距(3+)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°、B点北偏西60°的D点有一艘船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距4海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为20海里/小时，则该救援船到达D点最快所需时间为(　　) A.1小时 B.0.3小时 C.0.5小时 D.0.2小时 B 跟踪练习 名师导学第一轮总复习 高三数学 16 [解析] 由题意，在△ABD中，AB=3+，∠DAB=90°-45°=45°， ∠DBA=90°-60°=30°，所以∠ADB=105°， 由正弦定理可得， = ， 则BD= = = =2， 又在△BCD中，∠DBC=180°-60°-60°=60°，BC=4， 由余弦定理可得，CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos 60° =(4)2+(2)2-2×4×2× =48+12-24=36， 所以CD=6，因此救援船到达D点需要的时间为 = =0.3小时.故选B. 名师导学第一轮总复习 高三数学 17 考点2 高度问题 例2　(2025高三上·河北邢台·期中)如图，已知AA1为某建筑物的高， BB1，CC1分别为该建筑物附近的参照物甲、乙的高，A1，B1，C1 分别为该建筑物、甲、乙的底部且均在同一水平面上，A，B，C 分别为该建筑物、甲、乙的顶点，经测量得A1B1=80米，CC1=86米，∠C1A1B1=48.60°，∠A1C1B1=30°，在C点测得B点的仰角为33.69°，在 B点测得A点的仰角为51.34°，则该建筑物的高AA1约为(参考数据 tan 33.69°≈0.667，tan 51.34°≈1.250，sin 48.60°≈0.750)(　　) A.268米 B.265米 C.266米 D.267米 C 名师导学第一轮总复习 高三数学 18 [解析]如图，分别过B，C作BF⊥AA1，CD⊥BB1， 垂足分别为F，D，过D作DE⊥AA1，垂足为E. 根据题意易得∠ABF=51.34°，∠BCD=33.69°. 在△A1B1C1中，由正弦定理得 B1C1= = ≈ =120， 在Rt△BCD中，DC=B1C1=120， 则BD=120tan 33.69°≈120×0.667=80.04， 在Rt△ABF中，BF=A1B1=80， 则AF=80tan 51.34°≈80×1.250=100， 所以AA1=CC1+BD+AF≈86+80.04+100≈266米.故选C. 名师导学第一轮总复习 高三数学 19 [小结]求解高度问题应注意: (1)在处理有关高度问题时,理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键. (2)在实际问题中,可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题,这时最好画两个图形,一个空间图形,一个平面图形,这样处理起来既清楚又不容易搞错. (3)注意山或塔垂直于地面或海平面,把空间问题转化为平面问题. 名师导学第一轮总复习 高三数学 20 2.某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为5米(如图所示)，旗杆底部与第一排在同一个水平面上.已知国歌时长为46秒，要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为(　　) A.米/秒 B.米/秒 C.米/秒 D.米/秒 B 跟踪练习 名师导学第一轮总复习 高三数学 21 [解析] 依题意知∠AEC=45°，∠ACE=180°-60°-15°=105°， ∴∠EAC=180°-45°-105°=30°， 由正弦定理知 = ， ∴AC= ×sin 45°=10(米)， ∴在Rt△ABC中，AB=AC·sin∠ACB=10× =15(米)， ∵国歌时长为46秒， ∴升旗手升旗的速度应为(米/秒).故选B. 名师导学第一轮总复习 高三数学 22 考点3 角度问题 例3　《孔雀东南飞》中曾叙“十三能织素，十四学裁衣， 十五弹箜篌，十六诵诗书.”箜篌历史悠久、源远流长，音 域宽广、音色柔美清澈，表现力强.如图所示的是箜篌的 一种常见的形制，对其进行绘制，发现近似一扇形，在圆 弧的两个端点A，B处分别作切线相交于点C，测得切线AC =99.9 cm，BC=100.2 cm，AB=180 cm，根据测量数据可估 算出该圆弧所对圆心角的余弦值为(　　) A.0.62 B.0.56 C.-0.56 D.-0.62 A 名师导学第一轮总复习 高三数学 23 [解析] 由题意可知∠OAC=∠OBC=90°， 所以∠AOB+∠ACB=180°， 切线AC=99.9 cm，BC=100.2 cm， 由切线长定理，不妨取AC=BC=100 cm， 又AB=180 cm，由余弦定理， 有cos∠ACB= = =-0.62， cos∠AOB=cos(180°-∠ACB)=-cos∠ACB=0.62. 名师导学第一轮总复习 高三数学 24 [小结]求解角度问题应注意: (1)测量角度时,首先应明确方位角及方向角的含义. (2)求角的大小时,先在三角形中求出其正弦值或余弦值. (3)在解应用题时,要根据题意正确画出示意图,通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题,解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点. 名师导学第一轮总复习 高三数学 25 3.(2025·江西景德镇·三模)如图，圭表是我国古代一种通过测量正 午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿(称为 “表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺(称为 “圭”).当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，太阳光 与圭面成角也就是太阳高度角.圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，投影点为冬至线.日影长度最短的那一天定为夏至，投影点为夏至线.已知景德镇冬至正午太阳高度角为36.9°，夏至正午太阳高度角为θ°，表高42厘米，圭面上冬至线与夏至线之间的距离为50厘米，则sin(θ-36.9°)的值为(　　) A. B. C. D. C 跟踪练习 名师导学第一轮总复习 高三数学 26 [解析] 如图，tan∠ABC=tan 36.9°=，AC=42，∴BC=56. 又BD=50，∴CD=6，根据勾股定理AD=30. 在△ABD中，根据正弦定理可知=，即 = ，解得sin(θ-36.9°)=，故选C. 名师导学第一轮总复习 高三数学 27 $