第09讲 两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布（7大重难点题型）讲义-2025-2026学年高二下学期数学期末必考重难点题型归纳及检测（苏教版）

第09讲 概率统计核心分布精讲：两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布 目录 01 题型归纳目录 2 02 知识点梳理 3 知识点1：四大分布 3 03 重难点题型 5 题型一：两点分布的识别与概率计算问题 5 题型二：超几何分布的判定与实际应用问题 5 题型三：二项分布的概率计算与性质应用问题 7 题型四：正态分布的特征与概率求解问题 8 题型五：标准正态分布的转化与计算问题 10 题型六：概率分布的最值与范围求解问题 12 题型七：四类概率分布的综合应用问题 13 04 过关检测 16 知识点1：四大分布 1、两点分布 对于只有两个可能结果的随机试验，用表示“成功”，表示“失败”，定义如果，则，那么的分布列如表所示 0 1 我们称X服从两点分布或0－1分布． 2、超几何分布 （1）超几何分布模型是一种不放回抽样 在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，1，2，…，，其中，且，，，，，称分布列为超几何分布列．如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布． 0 1 … … （2）超几何分布的期望 （p为N件产品的次品率）． （3）超几何分布的特征： ①样本总体分为两大类，要么类，要么类； ②超几何分布是组合问题，分组或分类，有明显的选次品的意思； ③超几何分布是将随机变量分类，每一类之间是互斥事件； ④超几何分布的随机变量的确定，只需搞清楚最少和最多两种情况，其他的在最少和最多之间． 3、二项分布 一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，，，…，） 于是得到的分布列 … … … … 由于表中第二行恰好是二项式展开式 各对应项的值，称这样的离散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作，并称为成功概率． 若，则，． 4、正态分布的期望与方差 若，则，． 正态变量在三个特殊区间内取值的概率 （1）； （2）； （3）． 在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原则． 题型一：两点分布的识别与概率计算问题 例1．（2026·高二·北京大兴·期末）现有人要通过化验来确定是否患有某种疾病，化验结果阳性视为患有该疾病．化验方案：先将这人化验样本混在一起化验一次，若呈阳性，则还要对每个人再做一次化验；否则化验结束．已知这人未患该疾病的概率均为，是否患有该疾病相互独立． (1)按照方案化验，求这人的总化验次数的分布列； (2)化验方案：先将这人随机分成两组，每组人，将每组的人的样本混在一起化验一次，若呈阳性，则还需要对这人再各做一次化验；否则化验结束．若每种方案每次化验的费用都相同，且，问方案和中哪个化验总费用的数学期望更小？ 例2．（2026·高二·陕西榆林·期中）若服从两点分布，且，则（     ） A． B． C． D． 例3．（2026·高二·安徽蚌埠·阶段检测）若随机变量X服从两点分布，且，则（    ） A． B． C． D． 变式1．（2026·高二·广西河池·期中）已知随机变量服从两点分布，且，则（    ） A． B． C． D． 题型二：超几何分布的判定与实际应用问题 例4．（2026·上海·模拟预测）为助力上海“城市数字化转型”，某社区开展“智慧社区APP使用熟练度”调查，随机抽取该社区120名居民进行评分（满分100分），绘制频率分布直方图（各组区间为、、、、），已知组的频率是 组频率的3倍，组的频数是组频数的2倍，且组的频率为，组的频率为. (1)求频率分布直方图中、组的频率及组距对应的高度； (2)求这120名居民评分的平均数（精确到）和中位数； (3)从评分在的居民中随机抽取3人，记抽取的3人中评分在 的人数为，求的分布列及数学期望. 例5．（2026·高二·上海·期中）2025年11月，教育部等五部门联合印发《关于实施学生体质强健计划的意见》，明确要求“中小学生每天综合体育活动时间不少于2小时”．某学校为了解政策落实情况，随机抽取了100名学生进行每周累计体育活动时长的调查，得到如下频率分布表： 每周活动总时长（单位：小时） 频率 0.15 0.25 0.35 0.15 0.1 我们将每天综合体育活动时间不少于2小时的学生定义为“达标学生”，否则为“未达标学生”．（一周按7天进行计算） (1)已知小明同学是“达标学生”，求他每天综合体育活动时间不少于3小时的概率. (2)从活动时长在和的学生中，按频率的比例抽取5人进行座谈．若从这5人中随机抽取2人，设为抽取的2人中活动时长在的人数，求的分布列和数学期望． 例6．（2026·高二·湖南长沙·阶段检测）“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加学科知识竞答活动，题库中共有6道题目，随机抽取2道让学生回答．已知某同学只能答对其中的3道，试求： (1)抽到他能答对题目数的分布列； (2)求的期望和方差． 变式2．（2026·高二·河北衡水·阶段检测）已知某实验室样品柜共有m件检测样品A，n件检测样品B，样品检测台上有2件检测样品A，现检测员从样品柜中随机拿出件样品放到样品检测台上，记此时样品检测台上检测样品A的总数为．现检测员从样品检测台上随机取一件样品是检测样品A的概率为（     ） A． B． C． D． 变式3．（2026·高二·安徽蚌埠·阶段检测）某校举办经典诵读比赛，共有10名学生晋级决赛，其中女生有4名．现从这10名学生中随机选2名担任领诵，记选中的这2人中女生人数为X，则（   ） A． B． C． D． 题型三：二项分布的概率计算与性质应用问题 例7．（2026·上海·三模）某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同．甲每道题自己有把握独立答对的概率为，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为p，假设每道题答对与否互不影响． (1)当时，若甲答对了某道题，求该题是甲自己答对的概率； (2)当时，甲答了4道题，计甲答对题目的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列和数学期望； (3)乙答对每道题的概率为（含亲友团），现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于，求甲的亲友团每道题答对的概率p的最小值． 例8．（2026·高二·广东广州·期中）根据统计数据，某会员店的本地会员占70%，外地会员占30%．现对该店会员开展商品质量满意度调查，如果会员是本地会员，他对该店商品质量满意的概率为；如果会员是外地会员，他对该店商品质量满意的概率为．每个会员对该店商品质量满意与否相互独立． (1)从该店所有会员中随机抽取1名会员，求其对该店商品质量满意的概率； (2)从该店所有会员中随机抽取3名会员，记这3名会员中对该店商品质量满意的人数为，求的分布列与数学期望． 例9．某工厂抽取一批电子元件检测，记录第一次出故障的时间（天），然后绘制出如下有关于“首次故障时间”与“对应频率”的频率分布直方图： (1)求第一四分位数和中位数； (2)设为首次故障时间小于365天的概率估计值． （ⅰ）求； （ⅱ）已知该工厂向某用户销售了100件电子元件，X为这100件产品首次出现故障时间小于365天的件数，若，求和． 变式4．（2026·高二·湖北省直辖县级单位·阶段检测）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯停留的时间都是2分钟． (1)求这名学生上学路上在第三个路口首次遇到红灯的概率． (2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望和方差． 题型四：正态分布的特征与概率求解问题 例10．（2026·高二·浙江绍兴·期中）某大型公司进行新员工招聘，共有来自全国各地的10000人参加应聘．招聘分为初试与复试．初试为笔试，已知应聘者的初试成绩．复试为闯关制：共有三关，前两关中的每一关最多可闯两次，只要有一次通过，就进入下一关，否则闯关失败；第三关必须一次性通过，否则闯关失败．若初试通过后，复试三关也都通过，则应聘成功． (1)估计10000名应聘者中初试成绩位于区间内的人数； (2)若小明已通过初试，在复试时每次通过第一关、第二关及第三关的概率分别为，且每次闯关是否通过不受前面闯关情况的影响，求小明在复试中总闯关次数为5次的概率． 附：若随机变量，则． 例11．（2026·辽宁大连·模拟预测）在双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向，2025年我国新能源汽车销量继续走高．为了解新能源汽车车主对新能源汽车的满意程度，某市某品牌的新能源汽车经销商从购买了该品牌新能源汽车的车主中随机选取了100人进行问卷调查，并根据其满意度评分（单位：分，总分100分）制作了如下的频数分布表：（每组数据的平均数以该组区间的中点值为代表） 满意度评分 频数 10 15 20 30 15 10 (1)在抽取的样本中，若区间内数据的方差为5，区间内数据的方差为10，求区间内数据的方差； (2)根据频数分布表可以认为，该市该品牌新能源汽车车主对新能源汽车的满意度评分近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并求得．若该市恰有1万名该品牌的新能源汽车车主，试估计这些车主中满意度评分位于区间的人数； (3)为提升新能源汽车的销量，该品牌4S店针对购买该品牌新能源汽车的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：每人可参加2次抽奖，每次抽奖都从装有3个红球、3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出3个球，若摸出3个红球，则返还2000元现金；若摸出2个红球，则返还1000元现金，其余情况不返还任何现金（两次抽奖返现金额叠加）．已知小王参加了抽奖，记他获得的返现金额为，求随机变量的分布列和数学期望． 参考数据：若随机变量，则，，． 例12．甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，正态曲线如图所示，则下列说法错误的是（    ） A．甲类水果的平均质量为0.4kg B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均质量 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数 变式5．（多选题）（2026·江苏淮安·模拟预测）某次多省联考中，所有学生数学考试成绩服从正态分布，且有．现按16％，34％，34％，16%的比例将成绩由高到低划分为A，B，C，D四个等级，下列说法正确的有（   ） A．所有学生成绩的标准差为100 B．若某考生成绩为105分，则其等级为B C． D．随机抽取名考生，得A等级的人数记为，则 题型五：标准正态分布的转化与计算问题 例13．（2026·广东深圳·模拟预测）“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.一般地，对于一次成功的考试来说，所有考生得考试成绩应服从正态分布.某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300人，其中275个高薪职位和25个普薪职位.实际报名人数为2000名，考试满分为400分.记考生的成绩为，且，已知所有考生考试的平均成绩，且360分及其以上的高分考生有30名. (1)求的值．（结果保留位整数） (2)该单位的最低录取分数约是多少？（结果保留为整数） (3)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由． 参考资料：①当时，令，则． ②当，，，，． 例14．（2026·高三·江西·开学考试）已知某客运轮渡最大载客质量为，且乘客的体重（单位：）服从正态分布． (1)记为任意两名乘客中体重超过的人数，求的分布列及数学期望（所有结果均精确到0.001）； (2)设随机变量相互独立，且服从正态分布，记，则当时，可认为服从标准正态分布．若保证该轮渡不超载的概率不低于，求最多可运载多少名乘客． 附：若随机变量服从正态分布，则；若服从标准正态分布，则；，，． 例15．某保险公司推出一种意外伤害保险，每份保单保费为1000元．根据历史数据，每年每份保单的赔付金额X（单位：元）的分布为： x 0 10000 50000 0.9 0.08 0.02 (1)求每份保单的期望利润和方差． (2)若保险公司卖出1000份保单，设总利润为S，求S的期望和方差． (3)利用中心极限定理，近似计算保险公司盈利的概率（总利润大于0）． (4)求平均每份保单的利润不低于200元的概率的近似值． 变式6．某工厂生产一种电子元件，声称其合格率为．质检部门随机抽取了200个元件进行检验． (1)设X为样本中合格品的数量，求X的期望和方差． (2)利用中心极限定理，近似计算样本合格率与声称合格率的偏差小于的概率（已知标准正态分布）． (3)若实际检验中合格品数量为170个，根据正态近似，判断该结果是否为小概率事件（概率小于0.05，已知标准正态分布）． (4)求样本合格率不低于的概率的近似值． 题型六：概率分布的最值与范围求解问题 例16．（2026·高二·四川内江·阶段检测）某市为提升农民的年收入，更好地实现2021年精准扶贫的工作计划，统计了2020年50位农民的年收入并制成频率分布直方图，如图． (1)根据频率分布直方图，估计这50位农民的年平均收入又（单位：千元）（同一数据用该组数据区间的中点值表示） (2)由频率分布直方图，可以认为该市农民年收入服从正态分布，其中近似为年平均收入，近似为样本方差，经计算得，利用该正态分布，求： ①该市为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策落实情况，随机走访了1000位农民．若每位农民的年收入互相独立，问：这1000位农民中的年收入不少于17.56千元的人数最有可能是多少？ ②在扶贫攻坚工作中，若使该市约有占农民人数的84.135%的农民的年收入高于本市规定的最低年收入标准，则此最低年收入标准大约为多少千元？ 附：；若，则，，． 例17．（2026·河南洛阳·模拟预测）经调查发现，年龄（单位：岁）在[10，60]上的旅游者为中国乡村旅游的“目标客群”.为了充分了解此群体的旅游意愿，随机调查了“目标客群”中的300名旅游者，统计他们的年龄，得到如下统计表： 组名 A B C D E 年龄 人数 20 120 100 40 20 (1)用分层随机抽样的方法，从上面5组“目标客群”中随机抽取15人，再从这15人中随机抽取4人，记抽到C组的人数为，E组的人数为.设，求的分布列和期望； (2)年龄在上的旅游者称为中国乡村旅游的“主流客群”.若把样本中“主流客群”的频率作为所有“目标客群”中“主流客群”的概率，则从所有“目标客群”中随机抽取20人，“主流客群”中最有可能被抽到多少人？ 例18．（2026·福建泉州·模拟预测）某商场举行五一节优惠活动，顾客每消费满100元可抽奖一次.抽奖规则如下：箱中共有4个红球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同，顾客每次随机摸出3个球，若摸出的红球不少于2个则中奖，否则不中奖.各次抽奖互不影响. (1)求抽奖一次中奖的概率； (2)商场规定每中奖一次，返现10元.设某顾客在活动期间消费元，按规定返现元.若事件“”的概率最大，求的最小值. 题型七：四类概率分布的综合应用问题 例19．（2026·高二·重庆·期中）某科技公司生产的智能设备控制系统由个相同的独立元件组成，每个元件正常工作的概率均为，当控制系统中有不少于个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停机.记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率，表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）. (1)若，当时，求控制系统中正常工作的元件个数的分布列和数学期望，当时，求. (2)已知设备升级前，单位时间的产量为件，每件产品的利润为2元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的3倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润为4元，其他产品的利润还是每件2元．记设备升级后单位时间内的利润为（单位：元）． （ⅰ）请用表示； （ⅱ）设备升级后，已知该企业现有控制系统中有5个元件，问增加2个元件，单位时间内的利润是否提高？（取计算） 例20．（2026·云南·三模）某社区有甲､乙两个垃圾投放点.据观察，该社区居民选择垃圾投放点有以下规律：居民每天都会去投放垃圾，前一天选择投放点甲的居民，第二天选择甲的概率为，选择乙的概率为；前一天选择投放点乙的居民，第二天选择甲的概率为，选择乙的概率为.从观察日起，居民第一天选择甲的概率为，选择乙的概率为，且不同居民的选择相互独立. (1)若有5位居民连续两天去投放垃圾，记第二天选择投放点甲的人数为，求的数学期望和方差； (2)记第天选择投放点甲的概率为. （i）请写出与的递推关系； （ii）求数列的通项公式. 例21．（2026·高二·江苏连云港·阶段检测）已知． (1)若，求n的值； (2)若，求数列的前n项和． (3)若随机变量X满足，求数学期望． 变式7．（2026·高二·江苏南京·阶段检测）小明同学上学期间每天都在学校食堂用午餐．学校食堂有、两家餐厅，已知他第一天选择食堂的概率为，而前一天选择了食堂后一天继续选择食堂的概率为，前一天选择食堂后继续选择食堂的概率为，如此往复． (1)求该同学第2天中午选择食堂就餐的概率： (2)记该同学第天选择食堂就餐的概率为； ①证明：为等比数列； ②若存在n∈N*，使得成立，求实数m的取值范围． 1．（2026·高二·河北廊坊·期中）已知随机变量服从两点分布，且，则（     ） A． B． C． D． 2．（2026·高二·河南南阳·阶段检测）已知随机变量X服从两点分布，且，则（   ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 3．（2026·高二·江西宜春·期末）已知随机变量服从两点分布，且，则（   ） A．0.7 B．0.5 C．0.3 D．0.1 4．（2026·高二·北京朝阳·阶段检测）甲、乙两名五子棋爱好者进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者获胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为，则甲最终以获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（多选题）（2026·高二·湖南长沙·阶段检测）下列说法正确的有（ ） A．若随机变量，，则 B．若随机变量，则方差 C．从10名男生，5名女生中选取4人，则至少有一名女生的概率为 D．已知随机变量的分布列为（，2，3），则 6．（多选题）（2026·江苏南京·三模）已知，当时，可以认为，如果，当，可以认为.某校高中有学生人，近视人数有人.从中随机抽取人，记这人中近视人数为随机变量；若从中有放回的一个一个的抽查人，这人中近视人数为随机变量.则（    ） 附：若随机变量ξ服从正态分布，则，，． A． B． C．随机变量的取值在之间的概率大于0.6826 D． 7．（2026·高二·天津滨海新区·阶段检测）元旦前夕，学校图书馆举办一年一度“猜灯谜”活动，灯谜题目中逻辑推理占20%，传统灯谜占50%，校园文化占30%，小伟同学答对逻辑推理，传统灯谜，校园文化的概率分别为0.2，0.6，0.7，若小伟同学任意抽取一道题目作答，则答对题目的概率为_____．若小伟同学运用“超能力”，抽到的5道题都是校园文化题，每道题是否答对相互独立，则这5道题目中答对题目个数的数学期望为_____． 8．（2026·高二·江苏扬州·阶段检测）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O出发，每隔等可能地向左或向右移动一个单位，移动6次后质点对应的数为X，则______． 9．若，则（，）取得最大值时，________． 10．（2026·高二·河北沧州·期中）已知随机变量X，Y满足，且，，则______． 11．（2026·高二·北京·期中）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少一枚硬币正面向上时，就称这次试验成功，设在3次试验中成功次数为，则_____，_____. 12．（2026·湖南·模拟预测）某游戏有“通关升星”机制：每次通关有的概率获得1张卡片，每集齐2张卡片可升1颗星，每次通关结果相互独立．若小张连续通关6次，则他升星颗数的期望为______． 13．（2026·高二·河北衡水·期末）已知某种树苗在一个生长周期内生长的高度为随机变量，且，若，，则________． 14．（2026·北京朝阳·模拟预测）近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能已然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元．某地区随机调查了经常使用某AI工具的名用户并统计了他们的年龄，得到如下的统计表： 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 年龄 人数 一般地，将年龄在的群体称为青年，年龄在的群体称为中年． (1)从该地区AI工具用户中随机抽取名用户，估计该用户是青年用户的概率； (2)从该地区AI工具用户中随机抽取名用户，估计抽取的名用户中既有青年用户、又有中年用户的概率； (3)已知该AI工具对某个问题能准确答对其中的且个．若从这个问题中随机抽取个对该工具提问，恰好答对个问题的概率最大，请写出一个符合要求的的取值．（直接写出答案） 15．（2026·山西忻州·模拟预测）某通信系统传输信号0或1，设一次发送的真实信号为1的概率为p，为0的概率为，若真实信号为1，单次接收正确为1的概率为；若真实信号为0，单次被误收为1的概率为，各次接收相互独立． 系统采用“三次多数译码”规则：同一真实信号连续发送三次，若三次接收结果中1出现次数不少于2，则最终译码为1；否则最终译码为0，在一次实验中，共传输个信号，其中个最终译码为1，用频率估计概率． (1)求p的估计值； (2)在（1）的估计下，若某个信号最终译码为1，求其真实信号为1的概率； (3)在（1）的估计下，从最终译码为1的信号中随机抽取5个，记其中真实信号为1的个数为X，求与． 16．（2026·高三·江苏扬州·阶段检测）某零部件代加工基地为某科技公司生产了一批精密零件，其质量指标（单位：μm）服从正态分布，已知当时，．规定质量指标在内的零件为优质品，且每个零件的检测结果相互独立． (1)现从该批零件中随机抽取2个，求这2个零件中恰好有1个为优质品的概率； (2)从该批零件中随机抽取6个进行检测，记这6个零件中有个优质品的概率最大，当这6个零件中恰好有个优质品时把这6个零件视为一个样本，从这6个零件中不放回地任取3个进行二次检测，记取出的3个零件中优质品的个数为，求的分布列与期望； 17．（2026·高二·浙江宁波·阶段检测）某市高二年级期末统考的数学成绩近似服从正态分布. (1)估计数学成绩超过112分的人数占总人数的比例； (2)若该市有10000名高二年级考生，估计全市数学成绩在内的学生人数. 参考数据：若，则，，. 18．（2026·高二·内蒙古呼和浩特·阶段检测）某校高三学生数学模考成绩服从正态分布．现随机抽取100名学生的成绩，计算得样本平均分为105分，样本方差为100． (1)根据样本数据，估计该正态分布的参数和，并用的形式写出分布记法； (2)若该校高三共有800名学生，估计成绩在区间内的学生人数；（结果取整数） (3)学校欲制定奖励线（为整数），使得成绩高于的学生获得奖励，且获奖人数约为总人数的16%．试根据原则确定的值．（结果取整数） （参考数据：，，） 19．（2026·辽宁沈阳·二模）某科技公司研发的AI智能体在进行图象分类任务时，单次分类的准确率X（单位：分）服从正态分布． (1)求正常情况下，该AI单次分类的准确率大于99分的概率； (2)某天测试人员随机抽取了该AI的两次分类结果，发现两次的准确率得分均大于99分．测试人员根据这两次测试结果，判断该AI智能体出现了异常波动，要求立即暂停研发更新并进行算法排查．请问测试人员的判断是否合理？请说明理由． 附：若，则，，． 20．（2026·上海嘉定·二模）某款足球机器人射点球时，射门点与球门中心的水平偏差（单位：）服从正态分布．在正常状态下，偏差，规定为“严重失误”． (1)求一次射门出现严重失误的概率p（精确到0.0001）； (2)假设每次射门相互独立，每次测试让机器人射门16次，若至少出现一次严重失误，则判定需要校准．在正常状态下，求一次测试被判定需要校准的概率（精确到0.01），并说明该判定规则是否合理； (3)因机械磨损，机器人射门精度下降，一次射门出现严重失误的概率增加到5%．此时每次测试仍射门16次，但判定规则改为：若至少出现2次严重失误，才需要校准．在磨损状态下，求被判定需要校准的概率（精确到0.01）．此时，若一次校准的成本为1万元，且每天测试3次，求日均校准成本的期望值（精确到百元）． 参考公式与数据： ①若，则． ②若，则，． 参考数据：，. 21．（2026·江西赣州·二模）3D打印即快速成型技术的一种，又称增材制造，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术．中国的3D打印技术在飞机上的应用已达到规模化、工程化，处于世界领先位置．我国某企业利用3D打印技术生产飞机的某种零件，8月1日质检组从当天生产的零件中抽取了部分零件作为样本，检测每个零件的某项质量指标，得到下面的检测结果： 质量指标 频率 (1)根据频率分布表，估计8月1日生产的该种零件的质量指标的平均值和方差（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)由频率分布表可以认为，该种零件的质量指标，其中近似为样本平均数，近似为样本方差． ①若，求的值； ②若8月1日该企业共生产了500件该种零件，问这500件零件中质量指标不少于的件数最有可能是多少？ 附参考数据：，若，则，，． 22．（2026·安徽芜湖·模拟预测）为了解高三年级学生的体育成绩情况（满分分，及格分为不低于分的整数，成绩均为不低于分的整数），随机选取名学生的体育成绩作为样本，将成绩分成六组：，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求的值； (2)从样本中随机抽取一份体育成绩，已知该成绩是及格的，求成绩在的概率； (3)从样本在的体育成绩中随机抽取份成绩作进一步分析，记抽取的成绩在中的个数为，求最大时的值． 23．（2026·北京·三模）2026年4月19日北京亦庄半程马拉松比赛圆满结束，1.2万名跑者与超百支机器人赛队“人机共跑”．最终齐天大圣队的“闪电”机器人以50分26秒夺冠，超越人类半马世界纪录．现从国内研发机器人的尖端企业中，随机搜集10支参赛队伍，得到相关数据如下表： 最终排名 参赛队伍 操控方式 完赛时间（min） 加权系数 1 齐天大圣队 自主导航 50.26 1 2 雷霆闪电队 自主导航 50.56 1 3 星火燎原队 自主导航 53.01 1 4 南天门战队 自主导航 54.24 1 5 逐鹿狂飙队 自主导航 55.01 1 6 绝影赤兔队 遥控操作 48.19 1.2 7 北创天工队 自主导航 75 1 8 小米追风队 遥控操作 暂未公布 1.2 9 优必选行者 遥控操作 暂未公布 1.2 10 华为跃动队 遥控操作 暂未公布 1.2 其中最终排名按照最终成绩从小到大排序而成，最终成绩=完赛时间×加权系数． (1)在上述10支参赛队伍中随机选出3支队伍，求所选3支队伍中恰有2支队伍的机器人采用自主导航完赛的概率； (2)假设样本数据代表了国内研发机器人尖端企业的发展情况，用频率估计概率．从国内研发机器人尖端企业中随机选择两款机器人参加半程马拉松友谊赛，假设它们的长跑成绩互相独立，设这两款机器人中最终成绩不超过60 min的个数为，求出的分布列和数学期望； (3)2026年3月乌干达选手基普利莫以57分20秒的成绩打破男子半马世界纪录．在样本中随机选出支队伍，记为选出的队伍中恰有2支队伍最终成绩超过男子半马世界纪录的概率，当最大时，直接写出此时的值．（结论不要求证明） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 概率统计核心分布精讲：两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布 目录 01 题型归纳目录 2 02 知识点梳理 3 知识点1：四大分布 3 03 重难点题型 5 题型一：两点分布的识别与概率计算问题 5 题型二：超几何分布的判定与实际应用问题 6 题型三：二项分布的概率计算与性质应用问题 9 题型四：正态分布的特征与概率求解问题 13 题型五：标准正态分布的转化与计算问题 17 题型六：概率分布的最值与范围求解问题 20 题型七：四类概率分布的综合应用问题 23 04 过关检测 28 知识点1：四大分布 1、两点分布 对于只有两个可能结果的随机试验，用表示“成功”，表示“失败”，定义如果，则，那么的分布列如表所示 0 1 我们称X服从两点分布或0－1分布． 2、超几何分布 （1）超几何分布模型是一种不放回抽样 在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，1，2，…，，其中，且，，，，，称分布列为超几何分布列．如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布． 0 1 … … （2）超几何分布的期望 （p为N件产品的次品率）． （3）超几何分布的特征： ①样本总体分为两大类，要么类，要么类； ②超几何分布是组合问题，分组或分类，有明显的选次品的意思； ③超几何分布是将随机变量分类，每一类之间是互斥事件； ④超几何分布的随机变量的确定，只需搞清楚最少和最多两种情况，其他的在最少和最多之间． 3、二项分布 一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，，，…，） 于是得到的分布列 … … … … 由于表中第二行恰好是二项式展开式 各对应项的值，称这样的离散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作，并称为成功概率． 若，则，． 4、正态分布的期望与方差 若，则，． 正态变量在三个特殊区间内取值的概率 （1）； （2）； （3）． 在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原则． 题型一：两点分布的识别与概率计算问题 例1．（2026·高二·北京大兴·期末）现有人要通过化验来确定是否患有某种疾病，化验结果阳性视为患有该疾病．化验方案：先将这人化验样本混在一起化验一次，若呈阳性，则还要对每个人再做一次化验；否则化验结束．已知这人未患该疾病的概率均为，是否患有该疾病相互独立． (1)按照方案化验，求这人的总化验次数的分布列； (2)化验方案：先将这人随机分成两组，每组人，将每组的人的样本混在一起化验一次，若呈阳性，则还需要对这人再各做一次化验；否则化验结束．若每种方案每次化验的费用都相同，且，问方案和中哪个化验总费用的数学期望更小？ 【解析】（1）按照方案化验，这10人的总化验次数的可能取值为1,11. ，， 的分布列为： 1 11 （2）设按照方案化验，这10人的总化验次数为，的可能取值为， ，，， ， 由（1）知，， ， 因为当时，，所以. 所以方案的化验总费用的数学期望更小. 例2．（2026·高二·陕西榆林·期中）若服从两点分布，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为服从两点分布，所以， 已知，可得，解得， 那么，则. 例3．（2026·高二·安徽蚌埠·阶段检测）若随机变量X服从两点分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】随机变量X服从两点分布，因此， 而，所以， 故，所以. 变式1．（2026·高二·广西河池·期中）已知随机变量服从两点分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】随机变量服从两点分布， . 题型二：超几何分布的判定与实际应用问题 例4．（2026·上海·模拟预测）为助力上海“城市数字化转型”，某社区开展“智慧社区APP使用熟练度”调查，随机抽取该社区120名居民进行评分（满分100分），绘制频率分布直方图（各组区间为、、、、），已知组的频率是 组频率的3倍，组的频数是组频数的2倍，且组的频率为，组的频率为. (1)求频率分布直方图中、组的频率及组距对应的高度； (2)求这120名居民评分的平均数（精确到）和中位数； (3)从评分在的居民中随机抽取3人，记抽取的3人中评分在 的人数为，求的分布列及数学期望. 【解析】（1）因为[50，60)组的频率为，[70，80)组的频率是[50，60)组频率的3倍， 所以[70，80)组的频率为； 又因为[60，70)组的频率为，所以频数为， 因为[80，90)组的频数是[60，70)组频数的2倍， 所以[80，90)组的频数为，频率为， 所以[70，80)组的高度为；[80，90)组的高度为. （2）由（1）知：组的频率为， 平均数：因为各组组中值分别为55、65、75、85、95， 所以平均数， 中位数：设中位数为， 累计频率：组累计频率为， 而组频率为，组频率为， 所以组累计频率为，故中位数为，位于组. （3）组频数：， 组频数：， 组频数：， 所以的可能取值为，服从超几何分布， ，，，， 所以的分布列为 0 1 2 3 数学期望. 例5．（2026·高二·上海·期中）2025年11月，教育部等五部门联合印发《关于实施学生体质强健计划的意见》，明确要求“中小学生每天综合体育活动时间不少于2小时”．某学校为了解政策落实情况，随机抽取了100名学生进行每周累计体育活动时长的调查，得到如下频率分布表： 每周活动总时长（单位：小时） 频率 0.15 0.25 0.35 0.15 0.1 我们将每天综合体育活动时间不少于2小时的学生定义为“达标学生”，否则为“未达标学生”．（一周按7天进行计算） (1)已知小明同学是“达标学生”，求他每天综合体育活动时间不少于3小时的概率. (2)从活动时长在和的学生中，按频率的比例抽取5人进行座谈．若从这5人中随机抽取2人，设为抽取的2人中活动时长在的人数，求的分布列和数学期望． 【解析】（1）由题意，一周共7天，达标学生每周累计活动时长不少于小时. 每天活动时间不少于3小时对应每周时长不少于3小时. 设事件为“小明是达标学生”，事件为“小明每天活动时间不少于3小时”. 则：，. 根据条件概率公式，代入得. （2）活动时长在和的频率比为. 根据该比例抽取5人时，从中抽取5人，从中抽取5人. 随机变量的所有可能取值为，计算对应概率： ， ， ， 因此的分布列如上 X 0 1 2 P 数学期望：. 例6．（2026·高二·湖南长沙·阶段检测）“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加学科知识竞答活动，题库中共有6道题目，随机抽取2道让学生回答．已知某同学只能答对其中的3道，试求： (1)抽到他能答对题目数的分布列； (2)求的期望和方差． 【解析】（1）由题意可知，从6道题中抽2道，该同学会答3道、不会答3道， 抽到的能答对题目数X的所有可能取值为0,1,2. 则， ， . 故X的分布列为 0 1 2 （2）. ，因此. 变式2．（2026·高二·河北衡水·阶段检测）已知某实验室样品柜共有m件检测样品A，n件检测样品B，样品检测台上有2件检测样品A，现检测员从样品柜中随机拿出件样品放到样品检测台上，记此时样品检测台上检测样品A的总数为．现检测员从样品检测台上随机取一件样品是检测样品A的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设随机变量表示“从样品柜中拿出件样品，样品的数量”，因此随机变量服从超几何分布，即，因此， 设事件为从样品检测台上取一件样品是样品，则当时，此时从检测台上取1件是 A 的条件概率为， 为与中的最小值，则由全概率公式，可得， 因此. 变式3．（2026·高二·安徽蚌埠·阶段检测）某校举办经典诵读比赛，共有10名学生晋级决赛，其中女生有4名．现从这10名学生中随机选2名担任领诵，记选中的这2人中女生人数为X，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可知服从超几何分布，所以． 题型三：二项分布的概率计算与性质应用问题 例7．（2026·上海·三模）某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同．甲每道题自己有把握独立答对的概率为，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为p，假设每道题答对与否互不影响． (1)当时，若甲答对了某道题，求该题是甲自己答对的概率； (2)当时，甲答了4道题，计甲答对题目的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列和数学期望； (3)乙答对每道题的概率为（含亲友团），现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于，求甲的亲友团每道题答对的概率p的最小值． 【解析】（1）记事件为“甲答对了某道题”，事件为“甲自己答对”， 则，， 所以. （2）可能取值为0，1，2，3，4，甲答对某道题的概率， 则， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 数学期望. （3）记事件为“甲答对了道题”，事件为“乙答对了道题”， 其中甲答对某道题的概率为，答错某道题的概率为， 则， ， ， 所以甲答对题数比乙多的概率为： ，解得， 所以甲的亲友团答对的概率的最小值为. 例8．（2026·高二·广东广州·期中）根据统计数据，某会员店的本地会员占70%，外地会员占30%．现对该店会员开展商品质量满意度调查，如果会员是本地会员，他对该店商品质量满意的概率为；如果会员是外地会员，他对该店商品质量满意的概率为．每个会员对该店商品质量满意与否相互独立． (1)从该店所有会员中随机抽取1名会员，求其对该店商品质量满意的概率； (2)从该店所有会员中随机抽取3名会员，记这3名会员中对该店商品质量满意的人数为，求的分布列与数学期望． 【解析】（1）设事件表示“随机抽取1名会员对该店商品质量满意”，事件表示“抽取的会员是本地会员”，事件表示“抽取的会员是外地会员”. 因为本地会员占70%，外地会员占30%，. 本地会员对该店商品质量满意的概率为，外地会员对该店商品质量满意的概率为，. . 即该店所有会员中随机抽取1名会员，其对该店商品质量满意的概率为. （2）从该店所有会员中随机抽取3名会员，每名会员对该店商品质量满意的概率为，且每名会员对该店商品质量满意与否相互独立，故随机变量. 由题意，可取. . 的分布列为 0 1 2 3 . 例9．某工厂抽取一批电子元件检测，记录第一次出故障的时间（天），然后绘制出如下有关于“首次故障时间”与“对应频率”的频率分布直方图： (1)求第一四分位数和中位数； (2)设为首次故障时间小于365天的概率估计值． （ⅰ）求； （ⅱ）已知该工厂向某用户销售了100件电子元件，X为这100件产品首次出现故障时间小于365天的件数，若，求和． 【解析】（1）由直方图可知，的频率为， 的频率为， 故第一四分位数在上，设为，则，解得； 的频率为， 的频率为， 故中位数在上，设为，则，解得. 故第一四分位数为370，中位数为381； （2）由直方图可知，小于365天的频率为，故， 根据二项分布的期望和方差公式， ， 变式4．（2026·高二·湖北省直辖县级单位·阶段检测）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯停留的时间都是2分钟． (1)求这名学生上学路上在第三个路口首次遇到红灯的概率． (2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望和方差． 【解析】（1）记“学生上学路上在第三个路口首次遇到红灯”， 则. （2）记为遇到红灯数，则服从二项分布， ，， ，， ， ，所以的分布列为： 0 2 4 6 8 ，， ，. 题型四：正态分布的特征与概率求解问题 例10．（2026·高二·浙江绍兴·期中）某大型公司进行新员工招聘，共有来自全国各地的10000人参加应聘．招聘分为初试与复试．初试为笔试，已知应聘者的初试成绩．复试为闯关制：共有三关，前两关中的每一关最多可闯两次，只要有一次通过，就进入下一关，否则闯关失败；第三关必须一次性通过，否则闯关失败．若初试通过后，复试三关也都通过，则应聘成功． (1)估计10000名应聘者中初试成绩位于区间内的人数； (2)若小明已通过初试，在复试时每次通过第一关、第二关及第三关的概率分别为，且每次闯关是否通过不受前面闯关情况的影响，求小明在复试中总闯关次数为5次的概率． 附：若随机变量，则． 【解析】（1）因为，， ， ，， 所以， 则可估计10000名应聘者中，初试成绩位于内的人数约为 ． （2）总闯关次数恰好为5次，意味着无论最终成功还是失败， 只要在复试中总共尝试了5次即可．根据规则，前两关最多各2次，第三关仅1次， 所以次数构成只能是：第一关2次 + 第二关2次 + 第三关1次 ． 这就要求第一关第一次失败、第二次通过，第二关第一次失败、第二次通过， 然后进入第三关并尝试一次（这一次无论通过与否都算1次闯关）． 设复试时小明第一关闯关2次且通过的概率为，第二关闯关2次且通过的概率为， 由题意可得 因每次闯关是否通过不受前面闯关情况的影响， 即复试通过第一关，通过第二关，进入第三关相互独立， 故小明在复试中总闯关次数为5次的概率． 例11．（2026·辽宁大连·模拟预测）在双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向，2025年我国新能源汽车销量继续走高．为了解新能源汽车车主对新能源汽车的满意程度，某市某品牌的新能源汽车经销商从购买了该品牌新能源汽车的车主中随机选取了100人进行问卷调查，并根据其满意度评分（单位：分，总分100分）制作了如下的频数分布表：（每组数据的平均数以该组区间的中点值为代表） 满意度评分 频数 10 15 20 30 15 10 (1)在抽取的样本中，若区间内数据的方差为5，区间内数据的方差为10，求区间内数据的方差； (2)根据频数分布表可以认为，该市该品牌新能源汽车车主对新能源汽车的满意度评分近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并求得．若该市恰有1万名该品牌的新能源汽车车主，试估计这些车主中满意度评分位于区间的人数； (3)为提升新能源汽车的销量，该品牌4S店针对购买该品牌新能源汽车的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：每人可参加2次抽奖，每次抽奖都从装有3个红球、3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出3个球，若摸出3个红球，则返还2000元现金；若摸出2个红球，则返还1000元现金，其余情况不返还任何现金（两次抽奖返现金额叠加）．已知小王参加了抽奖，记他获得的返现金额为，求随机变量的分布列和数学期望． 参考数据：若随机变量，则，，． 【解析】（1）由题意，； （2）由题意，近似地服从正态分布，且，， 由于 ， 因此估计这些车主中满意度评分位于区间的人数为． （3）由题意，Y的所有取值为0，1000，2000，3000，4000， 顾客每次抽奖返还2000元现金的概率为， 顾客每次抽奖返还1000元现金的概率为， 顾客每次抽奖不返还任何现金的概率为， 则，， ， ，， 则的分布列为： 0 1000 2000 3000 4000 所以. 例12．甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，正态曲线如图所示，则下列说法错误的是（    ） A．甲类水果的平均质量为0.4kg B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均质量 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数 【答案】D 【解析】由题图可知甲曲线关于直线对称，乙曲线关于直线对称， ∴，，故A，C正确； ∵甲曲线比乙曲线更“高瘦”，∴甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均质量，故B正确； ∵乙曲线的峰值为1.99，即，∴，故D错误． 变式5．（多选题）（2026·江苏淮安·模拟预测）某次多省联考中，所有学生数学考试成绩服从正态分布，且有．现按16％，34％，34％，16%的比例将成绩由高到低划分为A，B，C，D四个等级，下列说法正确的有（   ） A．所有学生成绩的标准差为100 B．若某考生成绩为105分，则其等级为B C． D．随机抽取名考生，得A等级的人数记为，则 【答案】BD 【解析】由学生数学考试成绩服从正态分布，所以学生成绩的标准差为，故A错误； 又， ， 由于考试成绩从高到低分为四个等级，所以等级对应“”， 所以等级对应“”，由，所以等级对应“”， 所以考生成绩为105分，则其等级为，故B正确； 又由，， 所以，故C错误； 由，所以， 所以，故D正确. 题型五：标准正态分布的转化与计算问题 例13．（2026·广东深圳·模拟预测）“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.一般地，对于一次成功的考试来说，所有考生得考试成绩应服从正态分布.某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300人，其中275个高薪职位和25个普薪职位.实际报名人数为2000名，考试满分为400分.记考生的成绩为，且，已知所有考生考试的平均成绩，且360分及其以上的高分考生有30名. (1)求的值．（结果保留位整数） (2)该单位的最低录取分数约是多少？（结果保留为整数） (3)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由． 参考资料：①当时，令，则． ②当，，，，． 【解析】（1）依题意，令，则， 所以可得，， ， 又因为，则，解得； （2）由（1）可得， 设最录取分数为，则， ，，所以， 即最低录取分数线为分． （3）考生甲的成绩为分分， 所以甲能被录取概率为， 表明不低于考生甲的成绩的人数约为总人数的，约有， 即考生甲大约排在第名，排在名之前，所以甲能获得高薪. 例14．（2026·高三·江西·开学考试）已知某客运轮渡最大载客质量为，且乘客的体重（单位：）服从正态分布． (1)记为任意两名乘客中体重超过的人数，求的分布列及数学期望（所有结果均精确到0.001）； (2)设随机变量相互独立，且服从正态分布，记，则当时，可认为服从标准正态分布．若保证该轮渡不超载的概率不低于，求最多可运载多少名乘客． 附：若随机变量服从正态分布，则；若服从标准正态分布，则；，，． 【解析】（1）由乘客的体重（单位：）服从正态分布可得， 则可得， 即任意一名乘客体重大于的概率为， 则的所有可能取值为， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 期望值为. （2）设为第位乘客的体重，则，其中， 所以， 由可得， 即，可得，即，. 所以保证该轮渡不超载的概率不低于，最多可运载64名乘客. 例15．某保险公司推出一种意外伤害保险，每份保单保费为1000元．根据历史数据，每年每份保单的赔付金额X（单位：元）的分布为： x 0 10000 50000 0.9 0.08 0.02 (1)求每份保单的期望利润和方差． (2)若保险公司卖出1000份保单，设总利润为S，求S的期望和方差． (3)利用中心极限定理，近似计算保险公司盈利的概率（总利润大于0）． (4)求平均每份保单的利润不低于200元的概率的近似值． 【解析】（1）每份保单的利润． 期望利润：， ， ， 方差：， 所以 （2）设为第i份保单的利润，则独立同分布， 总利润， ， （3）由中心极限定理，S近似服从正态分布． 标准化：， 保险公司盈利即，对应， （4）平均每份保单的利润为，要求， 标准化：， ． 变式6．某工厂生产一种电子元件，声称其合格率为．质检部门随机抽取了200个元件进行检验． (1)设X为样本中合格品的数量，求X的期望和方差． (2)利用中心极限定理，近似计算样本合格率与声称合格率的偏差小于的概率（已知标准正态分布）． (3)若实际检验中合格品数量为170个，根据正态近似，判断该结果是否为小概率事件（概率小于0.05，已知标准正态分布）． (4)求样本合格率不低于的概率的近似值． 【解析】（1）假设工厂声称的合格率是真实的，则． 期望：， 方差： （2）样本合格率，要求 . 由中心极限定理，X近似服从正态分布． 标准化：， （3）实际检验中合格品数量为170个，计算． 标准化：， 由于，因此该结果是小概率事件． （4）样本合格率不低于即，对应． 题型六：概率分布的最值与范围求解问题 例16．（2026·高二·四川内江·阶段检测）某市为提升农民的年收入，更好地实现2021年精准扶贫的工作计划，统计了2020年50位农民的年收入并制成频率分布直方图，如图． (1)根据频率分布直方图，估计这50位农民的年平均收入又（单位：千元）（同一数据用该组数据区间的中点值表示） (2)由频率分布直方图，可以认为该市农民年收入服从正态分布，其中近似为年平均收入，近似为样本方差，经计算得，利用该正态分布，求： ①该市为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策落实情况，随机走访了1000位农民．若每位农民的年收入互相独立，问：这1000位农民中的年收入不少于17.56千元的人数最有可能是多少？ ②在扶贫攻坚工作中，若使该市约有占农民人数的84.135%的农民的年收入高于本市规定的最低年收入标准，则此最低年收入标准大约为多少千元？ 附：；若，则，，． 【解析】（1）由频率分布直方图可知： ， 故估计50位农民的年平均收入为20千元． （2）由题意知， ①由， 每个农民的年收入不少于17.56千元的概率为0.97725， 记1000个农民的年收入不少于17.56千元的人数为，则，其中． 于是恰好有个农民的年收入不少于17.56千元的事件概率为：． 从而由，得，而， 所以当时，， 当时， 由此可知，在所走访1000位农民中，年收入不少于17.56千元的人数最有可能是978人． ②因为， 时，满足题意，即最低年收入标准大约为18.78千元． 例17．（2026·河南洛阳·模拟预测）经调查发现，年龄（单位：岁）在[10，60]上的旅游者为中国乡村旅游的“目标客群”.为了充分了解此群体的旅游意愿，随机调查了“目标客群”中的300名旅游者，统计他们的年龄，得到如下统计表： 组名 A B C D E 年龄 人数 20 120 100 40 20 (1)用分层随机抽样的方法，从上面5组“目标客群”中随机抽取15人，再从这15人中随机抽取4人，记抽到C组的人数为，E组的人数为.设，求的分布列和期望； (2)年龄在上的旅游者称为中国乡村旅游的“主流客群”.若把样本中“主流客群”的频率作为所有“目标客群”中“主流客群”的概率，则从所有“目标客群”中随机抽取20人，“主流客群”中最有可能被抽到多少人？ 【解析】（1）由题意得，这15人中，年龄在C组内的有（人）， 年龄在E组内的有（人）， 则的所有可能取值为0，1，2，3，4， 所以，， ，，， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 所以. （2）样本中“主流客群”的频率为. 从所有“目标客群”中随机抽取20人， 设“主流客群”中被抽到的人数为，则 所以. 由于， 故当时，， 则. 当时，， 则. 所以当时，最大， 即从所有“目标客群”中随机抽取20人，“主流客群”中最有可能抽到15人. 例18．（2026·福建泉州·模拟预测）某商场举行五一节优惠活动，顾客每消费满100元可抽奖一次.抽奖规则如下：箱中共有4个红球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同，顾客每次随机摸出3个球，若摸出的红球不少于2个则中奖，否则不中奖.各次抽奖互不影响. (1)求抽奖一次中奖的概率； (2)商场规定每中奖一次，返现10元.设某顾客在活动期间消费元，按规定返现元.若事件“”的概率最大，求的最小值. 【解析】（1）设 “抽奖一次中奖”为事件，则. （2）设抽奖次数为，则（表示的整数部分）. 事件“”表示中奖次数为次，设表示中奖次数， 则. 因为事件“”的概率最大， 所以， 所以. 又，所以. 由，解得，即的最小值为. 题型七：四类概率分布的综合应用问题 例19．（2026·高二·重庆·期中）某科技公司生产的智能设备控制系统由个相同的独立元件组成，每个元件正常工作的概率均为，当控制系统中有不少于个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停机.记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率，表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）. (1)若，当时，求控制系统中正常工作的元件个数的分布列和数学期望，当时，求. (2)已知设备升级前，单位时间的产量为件，每件产品的利润为2元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的3倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润为4元，其他产品的利润还是每件2元．记设备升级后单位时间内的利润为（单位：元）． （ⅰ）请用表示； （ⅱ）设备升级后，已知该企业现有控制系统中有5个元件，问增加2个元件，单位时间内的利润是否提高？（取计算） 【解析】（1）因为，所以控制系统中正常工作的元件个数的可能取值为， 因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为，所以， ， ， ， ， 所以控制系统中正常工作的元件个数的分布列为： 控制系统中正常工作的元件个数的数学期望为， . （2）（ⅰ）在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的3倍，即件，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润为4元，其他产品的利润还是每件2元， 在正常运行状态下，单位时间内的利润为：（元）， 因为设备正常运行的概率为，所以利润的期望为. （ⅱ）现有控制系统中有5个元件，即，解得， 由（1）可知，根据，可得增加元件前的利润期望为（元）， 增加2个元件后，控制系统由个元件组成，即，解得， 设备正常运行即有不少于4个元件正常工作，可得 ， 根据，可得增加元件后的利润期望为（元）， ，又，， 故单位时间内的利润提高了. 例20．（2026·云南·三模）某社区有甲､乙两个垃圾投放点.据观察，该社区居民选择垃圾投放点有以下规律：居民每天都会去投放垃圾，前一天选择投放点甲的居民，第二天选择甲的概率为，选择乙的概率为；前一天选择投放点乙的居民，第二天选择甲的概率为，选择乙的概率为.从观察日起，居民第一天选择甲的概率为，选择乙的概率为，且不同居民的选择相互独立. (1)若有5位居民连续两天去投放垃圾，记第二天选择投放点甲的人数为，求的数学期望和方差； (2)记第天选择投放点甲的概率为. （i）请写出与的递推关系； （ii）求数列的通项公式. 【解析】（1）任意1位居民第二天选择投放点甲的概率为， 由题意可得，， 所以. （2）（i）第天选择投放点甲的概率为， 整理得. （ii）因为， 所以， 又因为， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，解得. 例21．（2026·高二·江苏连云港·阶段检测）已知． (1)若，求n的值； (2)若，求数列的前n项和． (3)若随机变量X满足，求数学期望． 【解析】（1）二项式的展开式的通项为， 由题意得的系数为, 则,解得. （2）当时，，则， ∴， 所以数列的前项和 . （3）由上知,, 即, 所以随机变量服从，则. 变式7．（2026·高二·江苏南京·阶段检测）小明同学上学期间每天都在学校食堂用午餐．学校食堂有、两家餐厅，已知他第一天选择食堂的概率为，而前一天选择了食堂后一天继续选择食堂的概率为，前一天选择食堂后继续选择食堂的概率为，如此往复． (1)求该同学第2天中午选择食堂就餐的概率： (2)记该同学第天选择食堂就餐的概率为； ①证明：为等比数列； ②若存在n∈N*，使得成立，求实数m的取值范围． 【解析】（1）设为“第1天选择食堂”，为“第2天选择食堂”， 则为“第1天不选择食堂”， 根据题意，，，， 由全概率公式得：． （2）①设为“第天选择食堂”，则，， 根据题意，， 由全概率公式得： ， 则． 因为， 所以是以为首项，为公比的等比数列． ②由①得，， 当为正奇数时，，， 当为正偶数时，． 综上，当时，， 存在，使得成立，则，所以， 所以实数m的取值范围是． 1．（2026·高二·河北廊坊·期中）已知随机变量服从两点分布，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为随机变量服从两点分布，且，则，故C正确. 2．（2026·高二·河南南阳·阶段检测）已知随机变量X服从两点分布，且，则（   ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【答案】B 【解析】因为X服从两点分布，所以，结合条件得，． 3．（2026·高二·江西宜春·期末）已知随机变量服从两点分布，且，则（   ） A．0.7 B．0.5 C．0.3 D．0.1 【答案】C 【解析】因为随机变量服从两点分布，且， 则. 故选：C 4．（2026·高二·北京朝阳·阶段检测）甲、乙两名五子棋爱好者进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者获胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为，则甲最终以获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】甲最终以获胜，说明甲在五局比赛中赢了四局，输了一局，且输掉的这局为第一局，第二局，第三局或者第四局， 故概率为. 5．（多选题）（2026·高二·湖南长沙·阶段检测）下列说法正确的有（ ） A．若随机变量，，则 B．若随机变量，则方差 C．从10名男生，5名女生中选取4人，则至少有一名女生的概率为 D．已知随机变量的分布列为（，2，3），则 【答案】ACD 【解析】对于A：随机变量，因与关于对称，故，故A正确. 对于B：随机变量，，则，故B错误； 对于C：“至少有一名女生”的对立事件为“选取的4人全是男生”，而全是男生的概率为， 故至少有一名女生的概率为，故C正确； 对于D：由离散型随机变量分布列性质，所有概率之和为，即， 裂项化简得，解得，因此，故D正确. 6．（多选题）（2026·江苏南京·三模）已知，当时，可以认为，如果，当，可以认为.某校高中有学生人，近视人数有人.从中随机抽取人，记这人中近视人数为随机变量；若从中有放回的一个一个的抽查人，这人中近视人数为随机变量.则（    ） 附：若随机变量ξ服从正态分布，则，，． A． B． C．随机变量的取值在之间的概率大于0.6826 D． 【答案】BCD 【解析】由题意X服从超几何分布， 选项A：题目规定只有时，才可近似认为服从二项分布， 本题，不满足条件，因此A错误； 选项D：超几何分布的期望公式为， 代入得，因此D正确； 由题意Y服从二项分布， 选项B：计算得，，满足题目条件， 可近似认为，因此B正确； 选项C：由，得： ，， 即区间， ， 所以，故C正确. 7．（2026·高二·天津滨海新区·阶段检测）元旦前夕，学校图书馆举办一年一度“猜灯谜”活动，灯谜题目中逻辑推理占20%，传统灯谜占50%，校园文化占30%，小伟同学答对逻辑推理，传统灯谜，校园文化的概率分别为0.2，0.6，0.7，若小伟同学任意抽取一道题目作答，则答对题目的概率为_____．若小伟同学运用“超能力”，抽到的5道题都是校园文化题，每道题是否答对相互独立，则这5道题目中答对题目个数的数学期望为_____． 【答案】 / / 【解析】空一：用表示任选一题选到灯谜题目中逻辑推理，传统灯谜，校园文化， 则， 记小伟同学任意抽取一道题目答对为事件， 则， 所以 . 空二：由题意，小伟同学每道校园文化题答对的概率为0.7，则， 所以. 8．（2026·高二·江苏扬州·阶段检测）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O出发，每隔等可能地向左或向右移动一个单位，移动6次后质点对应的数为X，则______． 【答案】 【解析】设质点在次移动中向右移动的次数为，由题意可知，每次移动向右的概率为，且各次移动相互独立， 所以服从二项分布，即，则. 因为质点向右移动次，则向左移动次， 所以移动次后质点对应的数， 由方差的性质得. 9．若，则（，）取得最大值时，________． 【答案】6或7 【解析】由题意知，X服从二项分布，所以，且． 由不等式（且），得，解得． 所以当时，； 当时，， 因为当且仅当时，， 所以当或时，取得最大值． 10．（2026·高二·河北沧州·期中）已知随机变量X，Y满足，且，，则______． 【答案】8 【解析】因为，则， 即，且，解得， 则，可得， 又因为，所以． 11．（2026·高二·北京·期中）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少一枚硬币正面向上时，就称这次试验成功，设在3次试验中成功次数为，则_____，_____. 【答案】 【解析】由题意可知在一次抛掷中，成功的概率为，且， 所以；. 12．（2026·湖南·模拟预测）某游戏有“通关升星”机制：每次通关有的概率获得1张卡片，每集齐2张卡片可升1颗星，每次通关结果相互独立．若小张连续通关6次，则他升星颗数的期望为______． 【答案】/ 【解析】设小张获得的卡片数为，升星的颗数为，则， ， ， ， ， 故． 所以他升星颗数的期望为. 13．（2026·高二·河北衡水·期末）已知某种树苗在一个生长周期内生长的高度为随机变量，且，若，，则________． 【答案】/0.45 【解析】因为， 所以，则． 14．（2026·北京朝阳·模拟预测）近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能已然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元．某地区随机调查了经常使用某AI工具的名用户并统计了他们的年龄，得到如下的统计表： 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 年龄 人数 一般地，将年龄在的群体称为青年，年龄在的群体称为中年． (1)从该地区AI工具用户中随机抽取名用户，估计该用户是青年用户的概率； (2)从该地区AI工具用户中随机抽取名用户，估计抽取的名用户中既有青年用户、又有中年用户的概率； (3)已知该AI工具对某个问题能准确答对其中的且个．若从这个问题中随机抽取个对该工具提问，恰好答对个问题的概率最大，请写出一个符合要求的的取值．（直接写出答案） 【解析】（1）由题意可知，样本中青年用户的频率为． 设事件从该地区AI工具用户中随机抽取名用户，该用户是青年用户，则可估计为． （2）从该地区AI工具用户中随机抽取名用户，该用户是中年用户的概率为， 设事件从该地区AI工具用户中随机抽取名用户，用户中既有青年又有中年， 则 ． （3）从这个问题中随机抽取个对该工具提问，设恰好答对的问题个数为， 因为从这个问题中随机抽取个对该工具提问，恰好答对个问题的概率最大， 则，所以， 整理可得，解得， 又因为，故或或. 15．（2026·山西忻州·模拟预测）某通信系统传输信号0或1，设一次发送的真实信号为1的概率为p，为0的概率为，若真实信号为1，单次接收正确为1的概率为；若真实信号为0，单次被误收为1的概率为，各次接收相互独立． 系统采用“三次多数译码”规则：同一真实信号连续发送三次，若三次接收结果中1出现次数不少于2，则最终译码为1；否则最终译码为0，在一次实验中，共传输个信号，其中个最终译码为1，用频率估计概率． (1)求p的估计值； (2)在（1）的估计下，若某个信号最终译码为1，求其真实信号为1的概率； (3)在（1）的估计下，从最终译码为1的信号中随机抽取5个，记其中真实信号为1的个数为X，求与． 【解析】（1）设事件表示“真实信号为1”，事件表示“最终译码为1”， 则， 真实信号为0时，最终译码为1的概率为： ． 由频率估计概率，最终译码为1的概率为， 又真实信号为1的概率为p， 由全概率公式, 化简整理得，解得． （2）由条件概率公式，． （3）在（1）的估计下，从最终译码为1的信号中随机抽取一个，其真实信号为1的概率为， 抽取互相独立，故服从二项分布． ，． 16．（2026·高三·江苏扬州·阶段检测）某零部件代加工基地为某科技公司生产了一批精密零件，其质量指标（单位：μm）服从正态分布，已知当时，．规定质量指标在内的零件为优质品，且每个零件的检测结果相互独立． (1)现从该批零件中随机抽取2个，求这2个零件中恰好有1个为优质品的概率； (2)从该批零件中随机抽取6个进行检测，记这6个零件中有个优质品的概率最大，当这6个零件中恰好有个优质品时把这6个零件视为一个样本，从这6个零件中不放回地任取3个进行二次检测，记取出的3个零件中优质品的个数为，求的分布列与期望； 【解析】（1）因为，所以，， 所以从该批零件中随机抽取1个为优质品的概率， 所以从该批零件中随机抽取个， 恰好有个为优质品的概率为. （2）设随机抽取的个零件中，优质品的个数为. 由题意得，， 所以， 因为， 当时，， 当时，， 所以. 由题意可得的所有可能取值为1，2，3， ，，， 所以的分布列为 1 2 3 . 17．（2026·高二·浙江宁波·阶段检测）某市高二年级期末统考的数学成绩近似服从正态分布. (1)估计数学成绩超过112分的人数占总人数的比例； (2)若该市有10000名高二年级考生，估计全市数学成绩在内的学生人数. 参考数据：若，则，，. 【解析】（1）由高二年级期末统考的数学成绩近似服从正态分布， 可得，则， 所以数学成绩超过112分的人数占总人数的比例； （2）则 ， ， 所以估计成绩在内的学生人数为8186人. 18．（2026·高二·内蒙古呼和浩特·阶段检测）某校高三学生数学模考成绩服从正态分布．现随机抽取100名学生的成绩，计算得样本平均分为105分，样本方差为100． (1)根据样本数据，估计该正态分布的参数和，并用的形式写出分布记法； (2)若该校高三共有800名学生，估计成绩在区间内的学生人数；（结果取整数） (3)学校欲制定奖励线（为整数），使得成绩高于的学生获得奖励，且获奖人数约为总人数的16%．试根据原则确定的值．（结果取整数） （参考数据：，，） 【解析】（1） 由题意，样本平均分为105分，样本方差为100，因此的估计值为105，的估计值为10， 分布记为：. （2），， 所以成绩在区间内的学生的概率， 故成绩在区间内的学生的人数为(人). （3）由题意，获奖人数占总人数，即，因此， 根据参考数据：，满足要求， 而，因此. 19．（2026·辽宁沈阳·二模）某科技公司研发的AI智能体在进行图象分类任务时，单次分类的准确率X（单位：分）服从正态分布． (1)求正常情况下，该AI单次分类的准确率大于99分的概率； (2)某天测试人员随机抽取了该AI的两次分类结果，发现两次的准确率得分均大于99分．测试人员根据这两次测试结果，判断该AI智能体出现了异常波动，要求立即暂停研发更新并进行算法排查．请问测试人员的判断是否合理？请说明理由． 附：若，则，，． 【解析】（1）因为，即， 又因为， 所以 所以正常情况下，该AI单次分类的准确率得分大于99分的概率为 （2）测试人员的判断是合理的，理由如下： 设“AI单次分类的准确率得分大于99分的概率”为事件，则， 设 “两次分类准确率得分均大于99分”为事件，则两次测试相互独立， 因为是一个极小概率，根据小概率原理，小概率事件在一次实验中几乎不可能发生. 现在该事件发生了，说明“AI智能体运行正常”这一假设不成立，即出现了异常波动. 所以，测试人员的判断是合理的. 20．（2026·上海嘉定·二模）某款足球机器人射点球时，射门点与球门中心的水平偏差（单位：）服从正态分布．在正常状态下，偏差，规定为“严重失误”． (1)求一次射门出现严重失误的概率p（精确到0.0001）； (2)假设每次射门相互独立，每次测试让机器人射门16次，若至少出现一次严重失误，则判定需要校准．在正常状态下，求一次测试被判定需要校准的概率（精确到0.01），并说明该判定规则是否合理； (3)因机械磨损，机器人射门精度下降，一次射门出现严重失误的概率增加到5%．此时每次测试仍射门16次，但判定规则改为：若至少出现2次严重失误，才需要校准．在磨损状态下，求被判定需要校准的概率（精确到0.01）．此时，若一次校准的成本为1万元，且每天测试3次，求日均校准成本的期望值（精确到百元）． 参考公式与数据： ①若，则． ②若，则，． 参考数据：，. 【解析】（1）令， 则, 因为， 所以， 即. （2）设为次射门中出现严重失误的次数， 则, 则需要校准的概率, 因为， 所以，， 所以， 在正常状态下（无故障），仍有约4.2%的概率被误判为“需要校准”， 即存在约4.2%的假阳性率.虽然不高，但每天多次测试会累积误判次数， 可能造成不必要的校准成本.若追求高可靠性，此规则略显敏感； 若容忍少量误判以确保及时发现故障，则尚可接受. 综合来看，该规则偏保守，有一定合理性，但可优化. （3）机器人因机械磨损，单次失误概率，测试次数为次， 设为次射门中出现严重失误的次数，则， 则， 因为， , 所以， 设每天校准次数为随机变量，则, 则每天校准次数的期望为次， 所以日均校准成本的期望元，即百元. 21．（2026·江西赣州·二模）3D打印即快速成型技术的一种，又称增材制造，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术．中国的3D打印技术在飞机上的应用已达到规模化、工程化，处于世界领先位置．我国某企业利用3D打印技术生产飞机的某种零件，8月1日质检组从当天生产的零件中抽取了部分零件作为样本，检测每个零件的某项质量指标，得到下面的检测结果： 质量指标 频率 (1)根据频率分布表，估计8月1日生产的该种零件的质量指标的平均值和方差（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)由频率分布表可以认为，该种零件的质量指标，其中近似为样本平均数，近似为样本方差． ①若，求的值； ②若8月1日该企业共生产了500件该种零件，问这500件零件中质量指标不少于的件数最有可能是多少？ 附参考数据：，若，则，，． 【解析】（1）由题意可得：， （2）由（1）可得：， 即. ①因为， 所以. ②由①可知：， 设这500件零件中质量指标不少于的件数为，则， 可得， 令，即， 解得， 且，则，即当时，概率最大， 所以这500件零件中质量指标不少于的件数最有可能是489. 22．（2026·安徽芜湖·模拟预测）为了解高三年级学生的体育成绩情况（满分分，及格分为不低于分的整数，成绩均为不低于分的整数），随机选取名学生的体育成绩作为样本，将成绩分成六组：，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求的值； (2)从样本中随机抽取一份体育成绩，已知该成绩是及格的，求成绩在的概率； (3)从样本在的体育成绩中随机抽取份成绩作进一步分析，记抽取的成绩在中的个数为，求最大时的值． 【解析】（1）频率分布直方图中，所有矩形的面积和为1，组距为， ， 故 ，解得． （2）记体育成绩合格为事件，成绩在内为事件， 由频率直方图可知，， 故， ． （3）成绩在的频率，人数， 成绩在：频率，人数， 样本中体育成绩在的共有个， 从中抽取的份成绩中，有个成绩在的概率为， 令 ， ， 时，取得最大． 23．（2026·北京·三模）2026年4月19日北京亦庄半程马拉松比赛圆满结束，1.2万名跑者与超百支机器人赛队“人机共跑”．最终齐天大圣队的“闪电”机器人以50分26秒夺冠，超越人类半马世界纪录．现从国内研发机器人的尖端企业中，随机搜集10支参赛队伍，得到相关数据如下表： 最终排名 参赛队伍 操控方式 完赛时间（min） 加权系数 1 齐天大圣队 自主导航 50.26 1 2 雷霆闪电队 自主导航 50.56 1 3 星火燎原队 自主导航 53.01 1 4 南天门战队 自主导航 54.24 1 5 逐鹿狂飙队 自主导航 55.01 1 6 绝影赤兔队 遥控操作 48.19 1.2 7 北创天工队 自主导航 75 1 8 小米追风队 遥控操作 暂未公布 1.2 9 优必选行者 遥控操作 暂未公布 1.2 10 华为跃动队 遥控操作 暂未公布 1.2 其中最终排名按照最终成绩从小到大排序而成，最终成绩=完赛时间×加权系数． (1)在上述10支参赛队伍中随机选出3支队伍，求所选3支队伍中恰有2支队伍的机器人采用自主导航完赛的概率； (2)假设样本数据代表了国内研发机器人尖端企业的发展情况，用频率估计概率．从国内研发机器人尖端企业中随机选择两款机器人参加半程马拉松友谊赛，假设它们的长跑成绩互相独立，设这两款机器人中最终成绩不超过60 min的个数为，求出的分布列和数学期望； (3)2026年3月乌干达选手基普利莫以57分20秒的成绩打破男子半马世界纪录．在样本中随机选出支队伍，记为选出的队伍中恰有2支队伍最终成绩超过男子半马世界纪录的概率，当最大时，直接写出此时的值．（结论不要求证明） 【解析】（1）设所选3支队伍中恰有2支队伍的机器人采用自主导航完赛为事件， 10支参赛队伍中有6支采用自主导航完赛， ； （2）排名第6的最终成绩为， 所以10支参赛队伍中最终成绩不超过60 min的个数有名共6支， 则最终成绩不超过60 min的概率为，， ， ， 的分布列为： （或）； （3）10支参赛队伍中最终成绩超过男子半马世界纪录的有5支， 又选出的队伍中恰有2支队伍最终成绩超过男子半马世界纪录， ，， 由，即， 故，解得，又， 所以，当最大时，． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $