第02讲 利用空间向量法解决平行、垂直及空间角问题（8大重难点题型）讲义-2025-2026 学年高二下学期数学期末必考重难点题型归纳及检测（苏教版选择性必修第二册）

第02讲 利用空间向量法解决平行、垂直及空间角问题 目录 01 题型归纳目录 2 02 知识点梳理 3 知识点1：向量法证明平行、垂直 3 知识点2：空间角公式 4 知识点3：空间中的距离 4 03 重难点题型 6 题型一：利用向量法证明平行问题 6 题型二：利用向量法证明垂直问题 7 题型三：利用向量法证明三点共线问题 9 题型四：利用向量法证明共面问题 11 题型五：利用向量法解决异面直线所成角 12 题型六：利用向量法解决线面角 13 题型七：利用向量法解决二面角 15 题型八：利用向量法解决距离问题 16 04 过关检测 19 知识点1：向量法证明平行、垂直 （1）平面的法向量： 如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量． 注意： ①法向量一定是非零向量；②一个平面的所有法向量都互相平行；③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有． 第一步：写出平面内两个不平行的向； 第二步：那么平面法向量，满足． （2）判定直线、平面间的位置关系 ①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线，的方向向量分别为，． 若∥，即，则； 若，即，则． ②直线与平面的位置关系：直线的方向向量为，平面的法向量为，且． 若∥，即，则； 若，即，则． （3）平面与平面的位置关系 平面的法向量为，平面的法向量为． 若∥，即，则；若⊥，即，则⊥． 知识点2：空间角公式 （1）异面直线所成角公式：设，分别为异面直线，上的方向向量，为异面直线所成角的大小，则． （2）线面角公式：设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为 与所成角的大小，则． （3）二面角公式： 设，分别为平面，的法向量，二面角的大小为，则或（需要根据具体情况判断相等或互补），其中． 知识点3：空间中的距离 求解空间中的距离 （1）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接计算． 如图，设两条异面直线的公垂线的方向向量为，这时分别在上任取两点，则向量在上的正射影长就是两条异面直线的距离．则即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值． （2）点到平面的距离 为平面外一点（如图），为平面的法向量，过作平面的斜线及垂线． 题型一：利用向量法证明平行问题 例1．（2026高二·全国·专题练习）如图，长方体中，，， (1)求证：平面平面; (2)线段上，是否存在点，使得平面. 例2．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）如图，在空间直角坐标系中，正四棱锥P-ABCD的侧棱长与底边长都为，点M，N分别在PA，BD上，且．试用向量法证明． (1)求证：； (2)取PC的中点E，求证：平面． 例3．（25-26高二上·河北·期中）如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 变式1．（25-26高二上·新疆喀什·期中）已知正方体的棱长为 2，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系． (1)写出点，，的坐标； (2)求平面的一个法向量； (3)证明：直线平面． 题型二：利用向量法证明垂直问题 例4．（25-26高二上·吉林·期中）如图所示，平面，底面是边长为1的正方形，点是上一点，且． (1)建立适当的坐标系并求点的坐标； (2)求证：． 例5．（24-25高二下·江苏南通·期末）如图，正三棱柱中，，，D是中点，E是棱上一点． (1)求证：平面； (2)若平面平面，求的长． 例6．（24-25高二上·浙江温州·期末）如图，在平行六面体中，，. (1)求的长； (2)求证：直线平面. 变式2．（25-26高二下·江苏南通·期中）如图，平行六面体的底面是菱形，且 (1)求证： (2)当的值为多少时，平面？请给出证明. 题型三：利用向量法证明三点共线问题 例7．（23-24高二上·山西运城·期中）如图，在棱长均相等的平行六面体中，用空间向量证明下列结论． (1)若，求证：平面； (2)若是棱的中点，是上靠近点的三等分点，求证：三点共线． 例8．（23-24高二上·上海·课后作业）四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 例9．（25-26高三上·河北秦皇岛·期中）如图，在四棱锥中，，，，为的中点，，． (1)证明：平面； (2)已知，，，四点均在球的球面上，证明：，，三点共线． 变式3．（24-25高三·全国·一轮复习）如图，在棱长均相等的平行六面体中，用空间向量证明下列结论．若是棱的中点，是上靠近点的三等分点，求证：三点共线． 题型四：利用向量法证明共面问题 例10．（25-26高三上·安徽·期中）如图，在直四棱柱中，，，，，是的中点，是上的一个动点，点在上，且满足． (1)证明：． (2)证明：平面平面． (3)试问：是否存在，，，四点共面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 例11．（2025高二·全国·专题练习）如图1，已知在空间四边形中，，分别是，上的动点． (1)若，求证：； (2)如图2，若，，，分别为，，，的中点，求证：，，，四点共面． 例12．（25-26高二上·广东东莞·期中）如图，在棱长为2的正方体中，分别是平面，平面的中心． (1)求证：四点共面； (2)求的体积． 变式4．（25-26高二上·江西萍乡·期中）如图，在平行六面体中，，，，，设，，.    (1)用，，表示，，； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)若点为线段的四等分点，且，点为线段的中点，在线段上是否存在一点，使得点与点，，四点共面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 题型五：利用向量法解决异面直线所成角 例13．（25-26高二下·江苏南京·期中）在三棱锥中，且，点为中点，则直线与直线所成角的余弦值为____________． 例14．（25-26高二上·江西景德镇·期末）已知一个直四棱锥，如图，四边形是正方形，平面，且，是线段的中点，则异面直线与所成角的正切值为___. 例15．（25-26高二上·江西宜春·期末）在圆锥中，是底面圆的直径，为线段上的一点，且是的中点，，则直线与直线所成角的余弦值为___________． 变式5．（25-26高二上·河南开封·期末）在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，，则直线与夹角的余弦值为______． 题型六：利用向量法解决线面角 例16．（25-26高二下·江苏南通·期中）如图，在正四棱锥中，，点，分别为，的中点，且是二面角的平面角． (1)求证：平面； (2)求直线到平面的距离； (3)点是线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 例17．（25-26高二下·河北石家庄·期中）如图，在四棱台中，平面ABCD，四边形ABCD为正方形，AA1为AC的中点． (1)证明：平面 (2)求直线与平面所成角的正切值． 例18．（25-26高二下·江苏南京·期中）如图，在菱形中，，，为的中点，将沿翻折至，得到四棱锥． (1)证明：面平面； (2)当二面角为120°时，求和平面所成角的正弦值． 变式6．（25-26高二下·湖南长沙·期中）如图1所示，△ABE是边长为2的正三角形，四边形BCDE是一个梯形；其中BE∥CD，ED＝DC＝CB＝1，现在沿着BE把△ABE折起到△的位置，连接，且使得＝2，如图2所示． (1)求证：平面； (2)求直线与平面夹角的正弦值． 题型七：利用向量法解决二面角 例19．（25-26高二下·江苏淮安·期中）如图，在三棱柱中，所有棱长均为，，． (1)证明：平面平面； (2)求直线与所成角的余弦值； (3)求二面角的正弦值． 例20．（25-26高二上·上海·期末）已知正方形，、分别是边、的中点，将沿折起，形成如图的几何体． (1)证明：平面； (2)若为正三角形，试判断点在平面内的射影是否在直线上，证明你的结论，并求二面角的大小． 例21．（25-26高二上·湖南岳阳·期末）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，平面，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 变式7．（25-26高二上·安徽合肥·期末）如图，在三棱锥中，，，O为的中点. (1)证明：平面； (2)若点M在棱上，，，且二面角的大小为，求的值. 题型八：利用向量法解决距离问题 例22．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，点为正方形所在平面外一点，为中点，. (1)求证：平面； (2)若平面平面，，.若点到平面的距离为，求的值. 例23．（25-26高二上·福建莆田·期末）如图，棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点． (1)求点到直线的距离； (2)证明：直线平面，并求直线到平面的距离． 例24．（24-25高二下·河南开封·期末）如图，两个正方形框架、的边长都是，且它们所在的平面相互垂直． (1)证明：； (2)证明：与是异面直线； (3)定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．依据上述定义，求异面直线与之间的距离． 变式8．（25-26高二上·新疆巴州·阶段检测）如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点.    (1)求证：平面EGF平面ABD； (2)求平面EGF与平面ABD的距离. 1．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为（    ） A． B． C．3 D． 2．（25-26高二上·安徽淮北·期末）如图，已知四棱台的底面是直角梯形，，，，平面，是侧棱所在直线上的动点，则与平面所成角的正弦值的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·陕西商洛·期末）在长方体中，，，E为上一点且，则点C到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·安徽六安·期末）我国古代数学名著《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，且，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·天津西青·期末）如图，在正方体中，是的中点，则与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·广东广州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，则点A到直线BC的距离为（   ） A． B． C． D．1 7．（25-26高二上·云南昆明·期末）在平行六面体中，所有棱长都为2，且，为线段的中点，设，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·山东菏泽·期末）在空间直角坐标系中，若平面经过点且以为法向量，则平面的方程为；若直线经过点且以为方向向量，则直线的方程为.已知平面的方程为，直线的方程为，且，那么平面与平面夹角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（25-26高二上·浙江杭州·期末）在正三棱柱中，为的中点，F为中点，则（    ） A． B．若P为面上一点，则的最小值为 C．若P为直线中点，则A到平面的距离为 D．过A的一个平面截此棱柱，与侧棱，分别交于点，若为直角三角形，则面积的最大值为 10．（多选题）（25-26高二上·福建莆田·期末）在平行六面体中，，E，F分别为的中点，则（   ） A．A，E，F，四点共面 B．与所成的角为 C．四边形为矩形 D．四边形的面积为 11．（多选题）（25-26高二上·广东韶关·期末）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱的中点，，分别为线段上的动点，则（   ） A．点到直线EF的距离为 B．三棱锥体积的最小值为2 C．存在点G，H，使得 D．当平面时，线段GH的最小值为 12．（25-26高二上·广东潮州·期末）已知正方体的棱长为4，，，直线与交于点，则点到平面的距离为______． 13．（25-26高二上·上海·期末）若异面直线所成角的大小为，设的一个方向向量为，的一个方向向量为，则的所有可能值为______． 14．（25-26高二上·四川泸州·期末）在正四棱锥中，，，E，F分别是棱AB，PC的中点，则点D到直线EF的距离是_______________． 15．（25-26高二上·广东中山·期末）如图，正方体中，点在棱上. (1)求证：； (2)设在上，且，是否在上存在点，使平面平面，若存在，指出点的位置，若不存在，请说明理由. 16．（24-25高二下·四川德阳·期末）如图，圆柱中，底面圆的直径为2，为下底面圆圆周上一点（与、不重合）． (1)求证：； (2)当为弧中点时，平面与平面所成角为，求此时直线与圆柱底面所成角的大小． 17．（2026·河北邯郸·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，是的中点． (1)求证：平面； (2)若， （i）求平面与平面夹角的正弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 18．（25-26高二下·江苏南京·期中）如图，在以顶点的五面体中，四边形是矩形，平面平面，． (1)证明：平面； (2)已知二面角是，，点到平面的距离为． ①求； ②在棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 19．（25-26高二下·江苏泰州·期中）如图，平行六面体的底面是菱形，，，且平面.    (1)求的长. (2)当时，求直线与平面所成的角的正弦值的取值范围. (3)当时，已知动点M到点A的距离是它到平面的距离的倍.若动点M的轨迹、平面和平面三者相交于两点P，Q，求. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 利用空间向量法解决平行、垂直及空间角问题 目录 01 题型归纳目录 2 02 知识点梳理 3 知识点1：向量法证明平行、垂直 3 知识点2：空间角公式 4 知识点3：空间中的距离 4 03 重难点题型 6 题型一：利用向量法证明平行问题 6 题型二：利用向量法证明垂直问题 10 题型三：利用向量法证明三点共线问题 14 题型四：利用向量法证明共面问题 19 题型五：利用向量法解决异面直线所成角 23 题型六：利用向量法解决线面角 26 题型七：利用向量法解决二面角 32 题型八：利用向量法解决距离问题 37 04 过关检测 44 知识点1：向量法证明平行、垂直 （1）平面的法向量： 如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量． 注意： ①法向量一定是非零向量；②一个平面的所有法向量都互相平行；③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有． 第一步：写出平面内两个不平行的向； 第二步：那么平面法向量，满足． （2）判定直线、平面间的位置关系 ①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线，的方向向量分别为，． 若∥，即，则； 若，即，则． ②直线与平面的位置关系：直线的方向向量为，平面的法向量为，且． 若∥，即，则； 若，即，则． （3）平面与平面的位置关系 平面的法向量为，平面的法向量为． 若∥，即，则；若⊥，即，则⊥． 知识点2：空间角公式 （1）异面直线所成角公式：设，分别为异面直线，上的方向向量，为异面直线所成角的大小，则． （2）线面角公式：设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为 与所成角的大小，则． （3）二面角公式： 设，分别为平面，的法向量，二面角的大小为，则或（需要根据具体情况判断相等或互补），其中． 知识点3：空间中的距离 求解空间中的距离 （1）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接计算． 如图，设两条异面直线的公垂线的方向向量为，这时分别在上任取两点，则向量在上的正射影长就是两条异面直线的距离．则即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值． （2）点到平面的距离 为平面外一点（如图），为平面的法向量，过作平面的斜线及垂线． 题型一：利用向量法证明平行问题 例1．（2026高二·全国·专题练习）如图，长方体中，，， (1)求证：平面平面; (2)线段上，是否存在点，使得平面. 【解析】（1）因为长方体，所以，，两两垂直， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系： 由题知， 则， 设平面的法向量为， 则，故可取， 设平面的法向量为， 则，故可取， 因为，所以平面平面. （2）设线段上存在点使得平面， 由（1）得，，平面的法向量， 所以， 由解得， 即为线段中点时，平面. 例2．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）如图，在空间直角坐标系中，正四棱锥P-ABCD的侧棱长与底边长都为，点M，N分别在PA，BD上，且．试用向量法证明． (1)求证：； (2)取PC的中点E，求证：平面． 【解析】（1）证明：正四棱锥的侧棱长与底边长都为， 可得，且， 由点， 则， 因为， 所以，所以． （2）由点，可得 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以， 又由点，可得， 则， 又因为平面，所以平面． 例3．（25-26高二上·河北·期中）如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【解析】（1）证明：因为底面，平面，所以， 因为，所以两两垂直， 所以如图，以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 因为，所以，所以， 所以，， 所以，，即，， 又因为，平面， 所以平面； （2）证明：由可得， 则， ，， 设平面的法向量为， 则，即 令，得，， 则是平面的一个法向量， 因为，所以， 因为平面，所以平面． 变式1．（25-26高二上·新疆喀什·期中）已知正方体的棱长为 2，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系． (1)写出点，，的坐标； (2)求平面的一个法向量； (3)证明：直线平面． 【解析】（1）根据题意，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，如图， 且正方体的棱长为，所以，，. （2）因为，，， 所以，，设平面的法向量为， 所以，得， 令，所以，所以平面的一个法向量为. （3）由（1）可知，，所以，由（2）可知，平面的法向量为， 所以，所以，因为平面，所以直线平面. 题型二：利用向量法证明垂直问题 例4．（25-26高二上·吉林·期中）如图所示，平面，底面是边长为1的正方形，点是上一点，且． (1)建立适当的坐标系并求点的坐标； (2)求证：． 【解析】（1）因平面，底面是边长为1的正方形，则两两互相垂直， 故可以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 如图，易得，，，. 设，则， 由代入坐标，可得， 解得，故点的坐标为. （2）由（1）易得， 因，故. 例5．（24-25高二下·江苏南通·期末）如图，正三棱柱中，，，D是中点，E是棱上一点． (1)求证：平面； (2)若平面平面，求的长． 【解析】（1） 在正三棱柱中， 因为平面，平面，所以．                     因为是正三角形，D是中点，所以．                     又，，平面，所以平面． （2）解法一： 在中过点D作，垂足为F． 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面．又平面，所以．             由（1）知，且，平面， 所以平面，又平面，所以．             设，则，，，， 由勾股定理得，即，解得或， 所以或2．                 解法二： 在正三棱柱中，取中点，连结， 则，，两两垂直，以为正交基底， 建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则，，，．             设平面的一个法向量， 因为，， 由即解得，， 取，则，得．                 设平面的一个法向量， 因为，， 由即 解得，， 取，则，， 得． 因为平面平面， 所以，解得或， 所以或2． 例6．（24-25高二上·浙江温州·期末）如图，在平行六面体中，，. (1)求的长； (2)求证：直线平面. 【解析】（1）， 可得 所以； （2），，， 所以 ， 所以，所以， ， 所以，所以，又，平面， 所以平面. 变式2．（25-26高二下·江苏南通·期中）如图，平行六面体的底面是菱形，且 (1)求证： (2)当的值为多少时，平面？请给出证明. 【解析】（1）设，，， 因为底面 是菱形， 所以，且， . 由题知 ，且 ，因此 ， 即，故. （2）当时， 平面 ，证明如下： 设 ，，则 ，， ， ， 因为底面是菱形，所以， 又因为，平面，，所以平面， 因为平面，所以 . 若 平面 ，需满足 ， ，，令 ，即 ， 展开整理： ，代入 ，得 ： ， 由于 ，，因此 ，即 . 此时 且 ，，平面 ， 故 平面 . 题型三：利用向量法证明三点共线问题 例7．（23-24高二上·山西运城·期中）如图，在棱长均相等的平行六面体中，用空间向量证明下列结论． (1)若，求证：平面； (2)若是棱的中点，是上靠近点的三等分点，求证：三点共线． 【解析】（1）记， 由题意得， 设棱长为，则， ， ， 同理可证， ，平面， 平面 （2）由题意，， 故 ， 又， 所以，由于有公共点 故三点共线． 例8．（23-24高二上·上海·课后作业）四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 【解析】（1）因为，则， 所以， 又因为，则， 所以 ； （2）因为 ， ， 所以， 所以与共线， 因为这两个向量有公共点， 所以、、三点共线． 例9．（25-26高三上·河北秦皇岛·期中）如图，在四棱锥中，，，，为的中点，，． (1)证明：平面； (2)已知，，，四点均在球的球面上，证明：，，三点共线． 【解析】（1）如图，连接．因为，为的中点，所以． 又因为，，所以． 又因为，，则，所以．   又因为，，平面，平面， 所以平面．又平面，所以．   又因为，，平面，平面， 所以平面．   （2）方法一，如图，以点为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向， 建立空间直角坐标系，则，，，，，．   设，由得 ， 解得，，所以点的坐标为．   因为，所以． 又因为为，的公共点，所以，，三点共线．   方法二，如图，不妨设为的中点，为的中点，连接，则． 由（1）知平面，所以平面．由，得． 直线上任一点到，，三点的距离相等，所以直线．   同理，过点且垂直于平面的直线上任一点到，，三点的距离相等， 所以直线．因为，所以点即为点，所以，，三点共线．   变式3．（24-25高三·全国·一轮复习）如图，在棱长均相等的平行六面体中，用空间向量证明下列结论．若是棱的中点，是上靠近点的三等分点，求证：三点共线． 【解析】 如图，在平行六面体中，设 因是棱的中点，是上靠近点的三等分点， 则 ， 又， 所以，由于有公共点 故三点共线． 题型四：利用向量法证明共面问题 例10．（25-26高三上·安徽·期中）如图，在直四棱柱中，，，，，是的中点，是上的一个动点，点在上，且满足． (1)证明：． (2)证明：平面平面． (3)试问：是否存在，，，四点共面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）如图，过点作，交于点，以，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，． 又为的中点，点在上，且满足，则 ，，，， , 所以， 所以． （2）由（1）知，， 设为平面的法向量， 则， 令，得平面的一个法向量． ，， 设为平面的法向量， 则， 令，得平面的一个法向量 因为， 所以， 所以平面平面． 即平面平面． （3）假设存在，，，四点共面，即点在平面内，则． 又（，），，，， 所以， ， 解得． 又因为，，三点共线，所以，所以，， 故存在，，，四点共面，且，即． 因为， 所以，即的值为2． 例11．（2025高二·全国·专题练习）如图1，已知在空间四边形中，，分别是，上的动点． (1)若，求证：； (2)如图2，若，，，分别为，，，的中点，求证：，，，四点共面． 【解析】（1）证法1：由得，，， ，， 因为①；②， 由①②，得 ， 所以 证法2：设是平面内一点， 由平面向量中的定比分点公式可得，， 即. （2）由，分别是，上的动点，设, 因为，分别为，的中点，即， 根据（1）的结论，得. 又因为分别为，的中点， 所以，， ， 即直线在平面上，所以，，，四点共面． 例12．（25-26高二上·广东东莞·期中）如图，在棱长为2的正方体中，分别是平面，平面的中心． (1)求证：四点共面； (2)求的体积． 【解析】（1）在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 因此，即，即， 所以四点共面. （2）正方体的对角面为矩形，且， 由（1）知，， ， 设平面的法向量，则， 令，得， 因此点F到平面的距离 所以的体积是. 变式4．（25-26高二上·江西萍乡·期中）如图，在平行六面体中，，，，，设，，.    (1)用，，表示，，； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)若点为线段的四等分点，且，点为线段的中点，在线段上是否存在一点，使得点与点，，四点共面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）， ， ； （2）由题知，，，， 则，，，， ， 则， 故异面直线与所成角的余弦值为； （3）假设在线段上存在符合题意的点，设，则， ，，， 因为与点四点共面，所以存在唯一实数对，使得， 即， 则，与矛盾，所以假设不成立， 故在线段上不存在点，使得点与点四点共面. 题型五：利用向量法解决异面直线所成角 例13．（25-26高二下·江苏南京·期中）在三棱锥中，且，点为中点，则直线与直线所成角的余弦值为____________． 【答案】 【解析】因为点为中点，所以. 所以. 因为， 所以 . 由于 所以直线与直线所成角的余弦值为. 例14．（25-26高二上·江西景德镇·期末）已知一个直四棱锥，如图，四边形是正方形，平面，且，是线段的中点，则异面直线与所成角的正切值为___. 【答案】 【解析】 由平面及正方形，得直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴的正半轴建立空间直角坐标系， 由，得，线段中点， 则，， 设异面直线与所成角为，即， 则，， 所以异面直线与所成角的正切值为. 故答案为： 例15．（25-26高二上·江西宜春·期末）在圆锥中，是底面圆的直径，为线段上的一点，且是的中点，，则直线与直线所成角的余弦值为___________． 【答案】 【解析】 因为为的中点，所以．以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，则，，，，. 因为为线段的一点，且，所以．所以，． 设直线与直线所成的角为，则. 故答案为： 变式5．（25-26高二上·河南开封·期末）在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，，则直线与夹角的余弦值为______． 【答案】 【解析】如图，连接，设，，， 依题意，， 则 ， 而 ，得到. 而 ，可得. 则， 所以， 故直线和所成角的余弦值为. 故答案为：. 题型六：利用向量法解决线面角 例16．（25-26高二下·江苏南通·期中）如图，在正四棱锥中，，点，分别为，的中点，且是二面角的平面角． (1)求证：平面； (2)求直线到平面的距离； (3)点是线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【解析】（1）取的中点，连接、. 由为中点，得且； 由为中点，得且，故且， 所以四边形为平行四边形，因此. 又平面，平面，故平面. （2）连接，设，连接，则平面， 以为原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系. 由为二面角的平面角，得、， 而是的中点，所以，所以是等边三角形， 因为，所以，高， ，，，，， ，，， ，设平面的法向量为， 则，故可设平面的法向量， 由平面，直线到平面的距离等于点到平面的距离， ，所以直线到平面的距离为. （3）设为线段上的动点，令()， 则 ， 则，向量. 设直线与平面所成角为， 则, ， 当时，取得最小值， 此时取得最大值为：. 例17．（25-26高二下·河北石家庄·期中）如图，在四棱台中，平面ABCD，四边形ABCD为正方形，AA1为AC的中点． (1)证明：平面 (2)求直线与平面所成角的正切值． 【解析】（1）解法一：因为四边形是正方形，，所以． 因为四边形是正方形，，所以，所以 ， 又因为，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面平面， 所以平面． 解法二： 证明：取的中点，连接， 易得是的中位线，所以． 根据棱台的性质可得，所以 ， 因为，所以，则， 所以四边形为平行四边形，所以 ， 因为平面平面， 所以平面． （2）解法一：以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 所以 ，． 设平面的法向量为，则， 令，则， 则 设直线与平面所成的角为， 则 ， 故直线与平面所成角的正切值为． 解法二：设与交于点，连接．过点作，交于． 因为四边形为正方形，所以四边形为正方形，所以． 因为平面，所以平面， 又平面，则． 因为，平面，平面， 所以平面． 因为平面，所以， 因为 ，平面，平面， 所以平面， 所以即为直线与平面所成的角， 因为，所以即为直线与平面所成的角． 连接，则， 所以， 所以，故直线与平面所成角的正切值为． 例18．（25-26高二下·江苏南京·期中）如图，在菱形中，，，为的中点，将沿翻折至，得到四棱锥． (1)证明：面平面； (2)当二面角为120°时，求和平面所成角的正弦值． 【解析】（1）由题意得，为等边三角形， 又为中点，所以，，由翻折性质，翻折至，垂直关系不变，故 ， 又因为，所以平面.又因为平面，所以平面平面. （2）如图，以为原点，，以及垂直于平面的直线为，，轴，建立空间直角坐标系， 由（1）知，，又，所以即为二面角的平面角，即. 则，，，. ，，，设平面的法向量， 则，即，令，则，所以 ， 设直线与平面所成的角为， ， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 变式6．（25-26高二下·湖南长沙·期中）如图1所示，△ABE是边长为2的正三角形，四边形BCDE是一个梯形；其中BE∥CD，ED＝DC＝CB＝1，现在沿着BE把△ABE折起到△的位置，连接，且使得＝2，如图2所示． (1)求证：平面； (2)求直线与平面夹角的正弦值． 【解析】（1）取BE的中点为O，连接，OC，OD， 由图1中，△ABE是边长为2的正三角形，等腰梯形BCDE， 且ED＝DC＝CB＝1，可得OC＝OD＝1，且， 因为＝2，所以，所以， 又由△正三角形性质，可得， 因为OCBE＝O，且OC，BE平面BCDE，所以平面BCDE， 又因为平面，所以平面平面BCDE． （2）取CD的中点F，连接OF，因为四边形BCDE为等腰梯形， 且O为BE的中点，所以OF⊥BE，又因为⊥平面BCDE， 以O为坐标原点，OB，OF，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，可得，，， 所以，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，，所以， 设直线与平面夹角为，则， 所以直线与平面夹角的正弦值为． 题型七：利用向量法解决二面角 例19．（25-26高二下·江苏淮安·期中）如图，在三棱柱中，所有棱长均为，，． (1)证明：平面平面； (2)求直线与所成角的余弦值； (3)求二面角的正弦值． 【解析】（1）取中点，连接， 在三棱柱中，所有棱长均为，， 都为边长为的等边三角形， ，，， ，，， ，平面，平面， 平面，平面平面. （2）以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图空间直角坐标系， 则，，，， ，， ， 直线与所成角的余弦值为. （3）由（2）得：，， 设平面的法向量， 则，令，则，，； 轴，平面的一个法向量， ，， 即二面角的正弦值为. 例20．（25-26高二上·上海·期末）已知正方形，、分别是边、的中点，将沿折起，形成如图的几何体． (1)证明：平面； (2)若为正三角形，试判断点在平面内的射影是否在直线上，证明你的结论，并求二面角的大小． 【解析】（1）翻折前，因为、分别是正方形的边、的中点， 所以且，所以四边形为平行四边形，故， 翻折后，仍有， 又平面，而平面，所以平面. （2）点在平面内的射影在直线上， 过点作平面，垂足为，连接、． 因为为正三角形，所以，则，则在的垂直平分线上， 又因为是的垂直平分线，所以点在平面内的射影在直线上， 如图，连接，以点为坐标原点，以所在直线为轴，所在直线为轴， 过点作平行于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系. 设正方形的边长为，连接，则，，． 因，则，且，故， 、、、、， 易知平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 因，， 则，故可取， 所以， 由图可知，二面角为锐角，故二面角的大小为. 例21．（25-26高二上·湖南岳阳·期末）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，平面，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【解析】（1）证明：连接交于点，连接， 因为为菱形，则为的中点， 又因为为的中点，在三角形中，， 且平面，平面， 所以平面． （2）建立如图所示坐标系， 则，，，，， 可得，，， 设平面法向量， 则，令，则 设平面法向量， 则，令，则 设平面与平面夹角， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 变式7．（25-26高二上·安徽合肥·期末）如图，在三棱锥中，，，O为的中点. (1)证明：平面； (2)若点M在棱上，，，且二面角的大小为，求的值. 【解析】（1）连接，，O为的中点， 且. ， ， ，且，又， ，， 又，平面， 平面. （2）如图，以O为原点，所在直线分别为x轴､y轴､z轴建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，. ，点M在棱上， ，，. 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则， 易知平面的一个法向量为. 二面角的大小为， ， 平方化简得， 解得或（舍去），故. 题型八：利用向量法解决距离问题 例22．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，点为正方形所在平面外一点，为中点，. (1)求证：平面； (2)若平面平面，，.若点到平面的距离为，求的值. 【解析】（1）连接，交于点，连接，如图所示： 因为四边形为正方形，所以为的中点， 又为中点，所以为的中位线，所以， 又平面，平面，所以平面. （2）因为平面平面，，平面平面， 平面，所以平面， 所以以点为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系： 由，则， 设，所以， 由，所以， 即，所以， 由， 设平面的一个法向量为：， 由，令，则，所以， 又， 所以点到平面的距离为： ， 又，解得：. 例23．（25-26高二上·福建莆田·期末）如图，棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点． (1)求点到直线的距离； (2)证明：直线平面，并求直线到平面的距离． 【解析】（1）以D为原点，DA，DC，所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 因为，，， 所以， 所以点到直线的距离为． （2），又A，E，F，四点不共线，所以， 又平面，平面，所以平面， 可知直线到平面的距离等于到平面的距离， 因为， 设是平面的法向量，则， 所以，所以，取，则， 于是是平面的法向量． 又因为所以，点到平面的距离为， 即直线到平面的距离为． 例24．（24-25高二下·河南开封·期末）如图，两个正方形框架、的边长都是，且它们所在的平面相互垂直． (1)证明：； (2)证明：与是异面直线； (3)定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．依据上述定义，求异面直线与之间的距离． 【解析】（1）因为四边形为正方形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，故. （2）因为四边形为正方形，所以， 又因为平面，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系， 则、、、， 所以，，， ①若，即，即，无解， 所以直线与直线不平行； ②若直线与相交，记它们所确定的平面为， 因为、，所以，设， 即，所以，无解， 所以直线与直线不相交. 由于空间中两直线仅有的三种位置关系：平行、相交或异面，故直线与直线为异面直线. （3）记、分别为异面直线、上任意一点，设，，、， 则， 故，即点， ，故，则， 由得，则， 所以， 因此，当时，取最小值， 所以异面直线与之间的距离为. 变式8．（25-26高二上·新疆巴州·阶段检测）如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点.    (1)求证：平面EGF平面ABD； (2)求平面EGF与平面ABD的距离. 【解析】（1）在直三棱柱中，，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设， 则， ，于是， 即，因此直线， 而平面，则平面； 又，则，直线， 而平面，则平面，又点平面， 所以平面平面. （2）由（1）得，平面的一个法向量为，而， 则点到平面的距离， 由平面平面，得平面与平面的距离等于点到平面的距离， 所以平面与平面的距离为. 1．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【解析】由题， 所以点到直线的距离为. 2．（25-26高二上·安徽淮北·期末）如图，已知四棱台的底面是直角梯形，，，，平面，是侧棱所在直线上的动点，则与平面所成角的正弦值的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为平面，且平面， 所以，且，，平面， 所以平面， 以为原点，为x轴，AD为y轴，过点A作垂直于平面的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设， 则，，，，， 所以，，设为平面的法向量， 则即取，可得，， 所以为平面的一个法向量. 设，，则， 设与平面所成的角为，则==， 令，则有， 当，即时，，此时 当，由存在，得， 解得，当时，，此时，即的最大值为， 所以与平面所成角的正弦值的最大值为. 3．（25-26高二上·陕西商洛·期末）在长方体中，，，E为上一点且，则点C到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图所示，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，取，则，得， 所以点C到平面的距离为， 故选：D. 4．（25-26高二上·安徽六安·期末）我国古代数学名著《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，且，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，作，以为原点，建立空间直角坐标系， 不妨设，则，，，， 因为，分别为，的中点，所以由中点坐标公式得，， 则，，设异面直线与所成角为， 可得，而，则， 由同角三角函数的基本关系得，解得（负根舍去）， 则异面直线与所成角的正弦值为，故C正确. 故选：C 5．（25-26高二上·天津西青·期末）如图，在正方体中，是的中点，则与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设正方体的棱长为1， 如图，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以，， 所以与所成角的余弦值是. 故选：C. 6．（25-26高二上·广东广州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，则点A到直线BC的距离为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】因为点，，， 所以，所以. 所以点到直线的距离为. 故选：A. 7．（25-26高二上·云南昆明·期末）在平行六面体中，所有棱长都为2，且，为线段的中点，设，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可得， ， 且 设平面的一个法向量，则， 所以， 所以， 所以，取，则. 故选：A 8．（25-26高二上·山东菏泽·期末）在空间直角坐标系中，若平面经过点且以为法向量，则平面的方程为；若直线经过点且以为方向向量，则直线的方程为.已知平面的方程为，直线的方程为，且，那么平面与平面夹角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由平面的方程为，得平面的法向量， 由直线的方程为，得直线的方向向量， 而，则平面的法向量为，设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的正弦值. 故选：D 9．（多选题）（25-26高二上·浙江杭州·期末）在正三棱柱中，为的中点，F为中点，则（    ） A． B．若P为面上一点，则的最小值为 C．若P为直线中点，则A到平面的距离为 D．过A的一个平面截此棱柱，与侧棱，分别交于点，若为直角三角形，则面积的最大值为 【答案】ABD 【解析】连接，由于为正三角形，为中点，则， 由于正三棱柱，则平面， 如图所示，以为原点，所在直线为轴，过点作的平行线为轴，建立空间直角坐标系， 由于，则， ， A选项，，，则，A选项正确； B选项，由于点关于面对称， 则， 当共线时取得最小值，B选项正确； C选项，若P为直线中点，则， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以， 所以点A到平面的距离为，C错误； D选项，设，其中， 则， 若为直角三角形，则， ，， 则，， ， 所以当时，则面积的最大值为，D选项正确. 10．（多选题）（25-26高二上·福建莆田·期末）在平行六面体中，，E，F分别为的中点，则（   ） A．A，E，F，四点共面 B．与所成的角为 C．四边形为矩形 D．四边形的面积为 【答案】ACD 【解析】对于A，取的中点，连接，如图： 在平行六面体中，易得且， 则四边形是平行四边形，则有，且 易得且，则有且， 即四边形是平行四边形，所以A，E，F，四点共面，故A正确； 对于B，易得，则与所成的角就是与所成的角即， 由题意得，且， 则有，所以，故B错误； 对于C，设，则，， 由题意得， 则， 故，易得四边形为平行四边形， 所以有四边形为矩形，故C正确； 对于D，， 其中，，且， 则， 则，则， 易得，所以四边形的面积为， 故D正确. 11．（多选题）（25-26高二上·广东韶关·期末）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱的中点，，分别为线段上的动点，则（   ） A．点到直线EF的距离为 B．三棱锥体积的最小值为2 C．存在点G，H，使得 D．当平面时，线段GH的最小值为 【答案】AC 【解析】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 对于A，，则点到直线EF的距离 ，A正确； 对于B，的面积为定值，则当点到平面的距离最短时， 三棱锥的体积最小，显然当点与点重合时，点到平面的距离最短， 最短距离为，则三棱锥体积的最小值为，B错误； 对于C，，设， 则，， 若，则， 即，则，又，存在满足的解，C正确. 对于D，由平面，得平面的一个法向量为， 若平面，则，而，则，即， ，因此， 当时，，D错误. 故选：AC 12．（25-26高二上·广东潮州·期末）已知正方体的棱长为4，，，直线与交于点，则点到平面的距离为______． 【答案】 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，因为正方体的棱长为4，，， 则， 在平面内，直线方程为，直线方程为，联立解得， 所以，， 设平面的法向量， 则，令，得， 于是点M到平面的距离. 13．（25-26高二上·上海·期末）若异面直线所成角的大小为，设的一个方向向量为，的一个方向向量为，则的所有可能值为______． 【答案】或 【解析】当为锐角或直角时，，此时； 当为钝角时，，此时． 所以的可能值为或． 14．（25-26高二上·四川泸州·期末）在正四棱锥中，，，E，F分别是棱AB，PC的中点，则点D到直线EF的距离是_______________． 【答案】 【解析】如图，连接AC，BD，DE，记，连接OP. 由正四棱锥的性质可知OB，OC，OP两两垂直， 则以为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系. 因为，，所以，， 则， 所以， 则点到直线的距离是. 故答案为：. 15．（25-26高二上·广东中山·期末）如图，正方体中，点在棱上. (1)求证：； (2)设在上，且，是否在上存在点，使平面平面，若存在，指出点的位置，若不存在，请说明理由. 【解析】（1）以点为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示： 设正方体的棱长为1，则，,， 设，则,， 所以，所以， 故. （2）设满足条件的点，设平面的一个法向量， 因为,， 则，即， 取，得， 由M在上，且，则， 设平面的一个法向量， ,， 则即， 取，得， 平面⊥平面，则，解得或（舍）， 所以当，即为的中点时，平面⊥平面. 16．（24-25高二下·四川德阳·期末）如图，圆柱中，底面圆的直径为2，为下底面圆圆周上一点（与、不重合）． (1)求证：； (2)当为弧中点时，平面与平面所成角为，求此时直线与圆柱底面所成角的大小． 【解析】（1）平面平面，， 又为圆的直径，， 平面平面, 平面，而平面， 所以； （2）以为原点，为轴，建立空间直角坐标系， 设圆柱的高为， 则 所以， 且平面的一个法向量为 设平面的一个法向量为，则， 不妨令，则， 又平面与平面所成角为， 则， 所以，且 则直线与圆柱底面所成角为. 17．（2026·河北邯郸·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，是的中点． (1)求证：平面； (2)若， （i）求平面与平面夹角的正弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）取中点，连接， 因为为中点，所以，且， 又，所以， 所以四边形为平行四边形，即， 又平面，平面，所以平面； （2）（i）因为平面，且， 以点为原点，建立如图所示空间直角坐标系： 则， 所以， 因为平面，平面， 所以平面平面， 又因为平面平面平面， 所以平面，所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则 不妨取，则，则， 所以平面与平面夹角的正弦值为； （ii）存在点满足题意， 易知， 假设存在点满足题意，设， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，则， 所以点到平面的距离，化简可得， 解得或（舍去），即. 18．（25-26高二下·江苏南京·期中）如图，在以顶点的五面体中，四边形是矩形，平面平面，． (1)证明：平面； (2)已知二面角是，，点到平面的距离为． ①求； ②在棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【解析】（1）过点作的垂线，设垂足为，即有， 因为，面， 面面，面面， 所以面， 又因为面，所以， 因为四边形是矩形，所以， 所以， 因为，， ，面，面， 所以面. （2）因为面，面， 所以，又因为， 所以是二面角的平面角，即， 所以可以以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 由已知得，，设，，则，， 且由得， ①设面的法向量为，则有 即有 令，则，， 所以， 又，所以点到平面的距离. 即，又因为， 所以可解得，因此； ②设，则， 即有，且， 设面的法向量为，则有 即有 令，则，， 即， 由已知是面的一个法向量， 所以， 解得． 19．（25-26高二下·江苏泰州·期中）如图，平行六面体的底面是菱形，，，且平面.    (1)求的长. (2)当时，求直线与平面所成的角的正弦值的取值范围. (3)当时，已知动点M到点A的距离是它到平面的距离的倍.若动点M的轨迹、平面和平面三者相交于两点P，Q，求. 【解析】（1）在平行六面体中，令，令， 由四边形是菱形，得，由， 得，又， 平面，则， 整理得，而，解得， 所以的长为1. （2）当时，由（1）得， ，则，， ，而为平面的法向量， 则直线与平面所成角的正弦值 ， 而，即，则， ，因此， 所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围是. （3）当时，（1）得平行六面体为正方体，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，平面方程为，平面方程为， 设平面内任意一点，， 则，即，于是平面方程为， 设动点，由动点M到点A的距离是它到平面的距离的倍， 得，整理得点M的轨迹方程为， 由，整理得，设， 则，因此 ， 所以长为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $