第06讲 排列组合常用解题技巧专题归纳（9大重难点题型）讲义-2025-2026学年高二下学期数学期末必考重难点题型归纳及检测（苏教版）

第06讲 高中排列组合常用解题技巧专题归纳 目录 01 题型归纳目录 2 02 知识点梳理 3 知识点1、求解有限制条件排列问题的主要方法 3 知识点2、两类含有附加条件的组合问题的解法 3 知识点3、分组问题的求解策略 3 知识点4、常用类型归纳： 4 03 重难点题型 5 题型一：分类分步直接计数法 5 题型二：正难则反间接排除法 5 题型三：图形涂色计数问题 5 题型四：元素相邻与不相邻排列问题 6 题型五：元素定序排列问题 7 题型六：相同元素隔板分配法 8 题型七：元素分组与分配问题 8 题型八：网格路径计数问题 8 题型九：限制条件数字排列问题 10 04 过关检测 11 知识点1、求解有限制条件排列问题的主要方法 直 接 法 分类法 选定一个适当的分类标准，将要完成的事件分成几个类型，分别计算每个类型中的排列数，再由分类加法计数原理得出总数 分步法 选定一个适当的标准，将事件分成几个步骤来完成，分别计算出各步骤的排列数，再由分步乘法计数原理得出总数 捆绑法 相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列，同时注意捆绑元素的内部排列 插空法 不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空中 除法 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以已定元素的全排列 间接法 对于分类过多的问题，按正难则反，等价转化的方法 知识点2、两类含有附加条件的组合问题的解法 （1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：若“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；若“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取． （2）“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题目必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，用间接法求解． 知识点3、分组问题的求解策略 （1）对不同元素的分配问题． ①整体均分：解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A（n为均分的组数），避免重复计数． ②部分均分：解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数． ③不等分组：只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数． （2）对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”． 知识点4、常用类型归纳： （1）定位问题优先法（特殊元素和特殊位置优先法） （2）相邻问题捆绑法 （3）相离问题插空法 （4）定序问题除序（去重复）、空位、插入法 （5）平均分组问题倍除法（去重复法） （6）元素相同问题隔板法 （7）正难问题则反总体淘汰法（若直接法难，则用间接法） （8）重排问题求幂法 （9）环（圆）排问题直排法 （10）多排问题单排法 （11）排列组合混合问题先选后排法 （12）小集团问题先整体后局部法 （13）含约束条件问题合理分类与分步法 （14）简单问题实际操作穷举法 （15）数字排序问题查字典法 （16）复杂问题分解与合成法 （17）复杂问题转化归结法（化归法） （18）复杂分类问题表格法 （19）运算困难问题树图法 （20）不易理解问题构造模型法 题型一：分类分步直接计数法 例1．（2026·高二·广西河池·期中）小明有4件不同的上衣、5条不同的裤子、2双不同的鞋子．他从中各选一件搭配，不同的穿法共有（     ） A．11种 B．22种 C．24种 D．40种 例2．（2026·高二·四川成都·期中）乘积展开后共有（    ）项． A．9 B．14 C．18 D．24 例3．（2026·高二·江苏苏州·期中）用1，5，9，13中的任意一个数作分子，4，6，8，12，16中任意一个数作分母，可构成（    ）个不同的分数 A．10种 B．18种 C．20种 D．40种 变式1．（2026·高二·湖北·期中）某化工厂生产中需依次投放2种化工原料，现已知有5种原料可用，且依次投料时，若使用甲原料，则甲必须先投放.那么不同的投放方案共有（   ） A．10种 B．12种 C．16种 D．20种 题型二：正难则反间接排除法 例4．（2026·高二·四川内江·阶段检测）某学校准备派遣5名教师同时到三个不同的学校进行支教活动.要求每个学校至少派遣1名教师，若教师甲乙去往不同的学校，则不同的派遣方案有（    ）种. A．36 B．72 C．114 D．162 例5．（2026·高二·安徽安庆·期中）现有10元、20元、50元人民币各一张，100元人民币2张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是（    ） A．15种 B．31种 C．24种 D．23种 例6．（2026·云南玉溪·模拟预测）我省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展．某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为（    ） A． B． C． D． 变式2．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）小明家过年贴窗花，要把马、到、成、功、春五个字贴成一排，则春字不在两端的贴法有（   ） A．96种 B．72种 C．60种 D．48种 变式3．（2026·高二·全国·单元测试）有4名男生，5名女生排成一行，甲不在正中间也不在两端的排法种数为（    ） A．336 B．7200 C．40320 D．241920 题型三：图形涂色计数问题 例7．（2026·高二·江苏镇江·期中）对以下各选项中的多面体顶点进行涂色，要求相邻顶点颜色不同，则仅需2种颜色满足要求的是（   ） A．正方体 B．正八面体 C．正三棱台 D．正四面体 例8．（2026·海南儋州·二模）用红、黄、蓝、绿4种不同颜色在如图所示的，，，，的5个区域涂上颜色，要求每个区域只涂1种颜色，且相邻区域不能涂同一种颜色，则符合条件的不同涂色方案种数为（    ） A．24 B．36 C．48 D．72 例9．（2026·高二·四川广安·阶段检测）如图所示的五个区域中，现在要求在五个区域中涂色，现有四种颜色可供选择要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为（    ） A．64 B．72 C．84 D．96 变式4．（2026·高三·黑龙江·期末）给如图所示的由，，，，，，七个正六边形区域组成的平面图形涂色，有四种不同的颜色可供选择，每个区域只涂一种颜色，有公共边的两个正六边形区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（    ） A．144 B．288 C．432 D．576 题型四：元素相邻与不相邻排列问题 例10．（2026·高二·浙江·阶段检测）甲、乙、丙、丁四人排成一列，要求甲乙相邻，丙丁不相邻，则不同的排法总数为（   ） A．24 B．12 C．8 D．4 例11．（2026·高二·山东聊城·期中）某校举行“数学文化节”活动，有6个不同的节目参加汇演，其中包含一个舞蹈节目和一个合唱节目，要求舞蹈节目必须在合唱节目之前演出，且这两个节目不能相邻，则不同的节目顺序有（    ） A．240种 B．360种 C．480种 D．600种 例12．（2026·高二·福建泉州·期中）将2个不同的白球，3个不同的黑球和4个完全相同的红球排成一列，要求2个白球不相邻且3个黑球也不相邻，则不同的排法共有（   ） A．5100种 B．4800种 C．4500种 D．4200种 变式5．（2026·高二·江西南昌·期中）现一排有7个座位，安排甲、乙、丙3名同学就坐，若这3位同学不相邻，则不同的安排方法有（ ） A． B． C． D． 变式6．（2026·高二·新疆·期中）现有一名教师，两名男生，两名女生共5人排成一行照相，要求两名男生不能相邻，两名女生也不能相邻，则不同的排法总数为（ ） A． B． C． D． 变式7．（2026·高二·河南洛阳·期中）已知共七个人站成一排，要求不站两端，且和不相邻，则不同的排法种数为（） A．2640 B．2160 C．3600 D．2880 题型五：元素定序排列问题 例13．（2026·高二·四川达州·期中）某次灯谜大会共设置6个不同的谜题，分别藏在如图所示的6只灯笼里，每只灯笼里仅放一个谜题.并规定一名参与者每次只能取其中一串最下面的一只灯笼并解答里面的谜题，直到答完全部6个谜题，则一名参与者一共有（   ）种不同的答题顺序. A．60 B．75 C．12 D．720 例14．（2026·高二·上海杨浦·期中）讲桌上放有两摞书，一摞3本，另一摞4本。学号为1-7号的7名学生，按照学号1-7的顺序依次取书，每名学生只能从其中一摞的最上面取一本书，则不同取法的种数为（    ） A．20 B．30 C．35 D．210 例15．（2026·高二·湖北武汉·期中）三根绳子上共挂有8只气球，绳子上的球数依次为2，3，3，每枪只能打破一只球，而且规定只有打破下面的球才能打上面的球，则将这些气球都打破的不同打法数是（    ） A．350 B．140 C．560 D．280 变式8．（2026·高二·上海·阶段检测）复旦中学高二戏剧节的节目单已经排定，语文组的老师们也干劲十足，想要参与演出；三个年级的语文组也各自排了剧目，现需要在原来的8个节目中加入这3个节目，同时要保证原来的节目相对顺序不发生改变，请帮邓老师想想会有（    ）种不同的排法 A．504 B．630 C．657 D．990 题型六：相同元素隔板分配法 例16．（2026·高二·山东青岛·期中）我们称各个数位上的数字之和为7的三位数为“安康数”，例如106和223，则所有的“安康数”共有（    ） A．15个 B．27个 C．28个 D．36个 例17．（2026·高二·贵州遵义·期中）方程的非负整数的个数为（   ） A．495 B．715 C．1001 D．2002 例18．（2026·高二·江苏南京·期中）20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数共有（    ） A．120 B．240 C．300 D．360 变式9．（2026·高二·山西朔州·阶段检测）方程的正整数解的个数为（    ） A．56 B．35 C．70 D．66 变式10．（2026·高二·安徽合肥·期中）现有11个优秀团员的名额分配给8个班级，每班至少有1个名额，则名额分配的方法共有（   ） A．56种 B．112种 C．120种 D．240种 题型七：元素分组与分配问题 例19．（2026·高二·湖北省直辖县级单位·阶段检测）现安排5名学生去参加3个项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为________．（用数字作答） 例20．（2026·高二·重庆·阶段检测）五名志愿者全部去三个不同的镇参加志愿活动，每个镇至少去一名志愿者，则不同的方案有___________种. 例21．（2026·高二·北京·期末）三名老师和四名学生去北京半程马拉松比赛的3个补给站参加志愿活动，每个人去一个补给站，每个补给站至少一名老师和一名学生，则不同的安排方法有 __ 种．（用数字作答） 变式11．（2026·高二·山西晋中·期中）某校6名同学打算去山西旅游，现有平遥古城、五台山、省博物馆三个景区可供选择.若每个景区中至少有1名同学前往打卡，每人仅去一个景点，则不同方案的种数为______. 题型八：网格路径计数问题 例22．（2026·陕西西安·模拟预测）中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字．如图，在中国的半个象棋棋盘（的矩形中每个小方格都是单位正方形）中，若马在A处，可跳到处，也可跳到处，用向量，表示马走了“一步”．若马从图中的B处跳到C处，且要求走的步数最少，则马不同的行走路径有（   ） A．7种 B．6种 C．5种 D．4种 例23．（多选题）（2026·高二·贵州贵阳·阶段检测）在某城市中，两地之间有如图所示的道路网，甲随机沿道路网选择一条最短路径，从地出发到地，则下列结论正确的是（    ）      A．不同的路径共有31条 B．不同的路径共有41条 C．若甲途经地，则不同的路径共有18条 D．若甲途经地，且不经过地，则不同的路径共有8条 例24．（2026·高一·广东广州·期中）现有一只蜜蜂沿如图所示的用10个完全一样的正方体搭建的几何体的棱并按照箭头所指的相互垂直的三个方向飞行，则从A点飞行到点可能的飞行路径共有___________种，从A点飞行到点可能的飞行路径共有___________种.（用数字作答） 变式12．（2026·广西柳州·一模）如图，在的格子中，有一只蚂蚁从点爬到点，每次只能向右或向上移动一格，则从点爬到点的所有路径总数为_________，若蚂蚁只在下三角形（对角线及以下的部分所围成的三角形）行走，则从点到点的所有总路径数为_________． 题型九：限制条件数字排列问题 例25．（2026·高二·重庆·阶段检测）一个三位数字密码锁，每一位上的数字均从0—9中选取，且各位数字互不相同，已知密码的首位不能为0，末位必须是偶数，则满足条件的密码共有______个．（用数字作答） 例26．（2026·高二·甘肃兰州·期末）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的自然数，能够组成多少个小于2018的正偶数_______． 例27．（2026·高三·安徽阜阳·阶段检测）某学校举办春季运动会，高一、高二、高三三个年级分别有 5、4、3 个班级参加 400 米接力赛.若每个年级至少有一个班级参加，且高一年级必须有偶数个班级参加，则不同的参赛方案共有 ______ 种. 变式13．（2026·河北秦皇岛·二模）将1，1，1，1，2，4，6，8这8个数填入如图所示的格子中（要求每个数都要填入，每个格子中只能填一个数），则不同的填数方法共有______种；若填入的每行数之和为偶数，则不同的填数方法共有______种（用数字作答）. 1．（2026·高二·安徽滁州·期中）如图，若闭合最少的开关使小灯泡发光，则不同的方法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 2．（2026·高二·新疆巴州·期中）从6本不同的数学书，4本不同的英语书中各取2本，则不同的取法种数是（ ） A．10 B．24 C． D．90 3．（2026·高二·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图所示，现要给固定位置的四棱锥的五个面涂上颜色，要求相邻的面涂不同的颜色，可供选择的颜色共有5种，则不同的涂色方案共有（    ）    A．360 B．420 C．480 D．660 4．（2026·高二·广东惠州·期中）用五种不同颜色的涂料涂在如图所示的五个区域，相邻两个区域不能同色，则不同的涂色方法有（    ） A．240 B．480 C．420 D．360 5．（2026·高二·陕西西安·阶段检测）如图，给编号为的正六边形区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同.若有3种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（    ） A．96种 B．66种 C．48种 D．30种 6．（2026·高二·江苏南京·阶段检测）有6个座位连成一排，现有3人入座，则恰有两个空位相邻的不同坐法的种数为（   ） A．144 B．72 C．48 D．36 7．（2026·高二·重庆渝北·期中）在渝北中学某次研学活动中，班主任李老师带领甲、乙、丙等5名学生排队出发参观校史馆，李老师只能在排头或排尾：其中甲同学是新生，不能离李老师超过1名学生距离；乙同学和丙同学爱讲话不能相邻，请问这支队伍总共有（    ）种排队方式. A．48 B．56 C．64 D．72 8．（2026·高二·陕西延安·期末）如图，三根绳子上共挂有6只气球，绳子上的球数依次为1，2，3，每枪只能打破一只气球，而且规定只有打破下面的气球才能打上面的气球，则将这些气球都打破的不同打法数是（    ） A．10 B．60 C．90 D．120 9．（2026·高三·江西景德镇·期末）五一假期期间，一家6人（5大人和1小孩）在某风景名胜区拍照留念.要求站成前后两排，每排各三人；每列站在后排的人比站在前排的人高.已知6人的身高各不相同，任何一名大人都比一名小孩高，则不同的排法共有（   ） A．72种 B．90种 C．108种 D．180种 10．（2026·高二·广东·期中）高一某班有5名同学报名参加学校组织的三个不同社区服务小组，每个小组至多可接受该班2名同学，每名同学只能报一个小组，则报名方案有________（用数字作答）. 11．（2026·高二·湖北·阶段检测）现有件不同的玩具，本不同的漫画分给甲、乙两个小孩，玩具每人个，漫画其中一人本，一人本．则不同的分配方案有________种．（用数字作答） 12．第六届中国国际进口博览会于年月日在上海国家会展中心盛大开幕．主题为“新时代共享未来”组委会在会议期间将这五名工作人员分配到两个不同的地点参与接待工作．若要求必须在同一组，且每组至少人，则不同分配方法的种数为________． 13．（2026·河北·二模）智能舞蹈机器人在舞台上随音乐节奏移动，每秒随机向正东、正西、正南、正北四个方向之一移动1米，若机器人从舞台中心正北方向2米的位置起步，则机器人移动4秒恰好位于舞台中心的路径条数为_____．（用数字作答） 14．（2026·全国·模拟预测）为贯彻落实“立德树人”的根本任务，探索德智体美劳“五育并举”的实施路径，某校统筹推进以“五育并举＋教师教育”为特色的第二课堂养成体系，引导学生崇尚劳动、尊重劳动者、提高劳动素养，以劳动周的形式开展劳育工作的创新实践．若学生可以参加“民俗文化”“茶艺文化”“茶壶制作”“水果培育”“蔬菜种植”“3D打印”这六门劳动课中的一门，则甲、乙、丙、丁这4名学生中至少有3名所选劳动课全不相同的方法共有______种． 15．（2026·高二·广东广州·阶段检测）中国新冠疫苗研究路径有两种技术路线：一个是灭活疫苗，一个是腺病毒载体疫苗，其中在腺病毒载体疫苗研制过程中，科研者要依次完成七项不同的任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A必须排在前三位，且任务D、E必须排在一起，则这七项任务的安排方案共有______种（用数字作答） 16．（2026·吉林白山·模拟预测）从0，1，2，3，4中取两个数字，从5，6，7，8，9中取出两个数字，可组成___________个没有重复数字的奇数. 17．（2026·高二·北京·期中）由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的三位数，奇数共有___________个，其中个位数字比十位数字大的奇数共有__________个.（用数字作答） 18．（2026·高三·辽宁·期末）某商场举办一个促销活动，一次性消费达到一定金额可抽奖一次，抽奖规则：在一个不透明的箱子中放有7个质地、大小完全相同的小球，每个小球的表面上均标有1个数字，数字为1或2，每次抽奖从箱子中一次性随机摸取3个小球，若3个小球表面上所标数字之和为奇数，则中奖，否则不中奖.记标有数字1的小球个数为，从商场的角度考虑，若想使中奖率最低，则______. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 高中排列组合常用解题技巧专题归纳 目录 01 题型归纳目录 2 02 知识点梳理 3 知识点1、求解有限制条件排列问题的主要方法 3 知识点2、两类含有附加条件的组合问题的解法 3 知识点3、分组问题的求解策略 3 知识点4、常用类型归纳： 4 03 重难点题型 5 题型一：分类分步直接计数法 5 题型二：正难则反间接排除法 5 题型三：图形涂色计数问题 7 题型四：元素相邻与不相邻排列问题 9 题型五：元素定序排列问题 11 题型六：相同元素隔板分配法 13 题型七：元素分组与分配问题 14 题型八：网格路径计数问题 15 题型九：限制条件数字排列问题 18 04 过关检测 21 知识点1、求解有限制条件排列问题的主要方法 直 接 法 分类法 选定一个适当的分类标准，将要完成的事件分成几个类型，分别计算每个类型中的排列数，再由分类加法计数原理得出总数 分步法 选定一个适当的标准，将事件分成几个步骤来完成，分别计算出各步骤的排列数，再由分步乘法计数原理得出总数 捆绑法 相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列，同时注意捆绑元素的内部排列 插空法 不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空中 除法 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以已定元素的全排列 间接法 对于分类过多的问题，按正难则反，等价转化的方法 知识点2、两类含有附加条件的组合问题的解法 （1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：若“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；若“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取． （2）“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题目必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，用间接法求解． 知识点3、分组问题的求解策略 （1）对不同元素的分配问题． ①整体均分：解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A（n为均分的组数），避免重复计数． ②部分均分：解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数． ③不等分组：只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数． （2）对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”． 知识点4、常用类型归纳： （1）定位问题优先法（特殊元素和特殊位置优先法） （2）相邻问题捆绑法 （3）相离问题插空法 （4）定序问题除序（去重复）、空位、插入法 （5）平均分组问题倍除法（去重复法） （6）元素相同问题隔板法 （7）正难问题则反总体淘汰法（若直接法难，则用间接法） （8）重排问题求幂法 （9）环（圆）排问题直排法 （10）多排问题单排法 （11）排列组合混合问题先选后排法 （12）小集团问题先整体后局部法 （13）含约束条件问题合理分类与分步法 （14）简单问题实际操作穷举法 （15）数字排序问题查字典法 （16）复杂问题分解与合成法 （17）复杂问题转化归结法（化归法） （18）复杂分类问题表格法 （19）运算困难问题树图法 （20）不易理解问题构造模型法 题型一：分类分步直接计数法 例1．（2026·高二·广西河池·期中）小明有4件不同的上衣、5条不同的裤子、2双不同的鞋子．他从中各选一件搭配，不同的穿法共有（     ） A．11种 B．22种 C．24种 D．40种 【答案】D 【解析】第一步选上衣有4种选法，第二步选裤子有5种选法，第三步选鞋子有2种选法，所以共有种选法. 例2．（2026·高二·四川成都·期中）乘积展开后共有（    ）项． A．9 B．14 C．18 D．24 【答案】D 【解析】要得到项数需分成三步： 第一步，从第一个因式中选1项，有2种选法； 第二步，从第二个因式中选1项，有4种选法； 第三步，从第三个因式中选1项，有3种选法； 根据分步乘法计数原理，总的项数就是各步选法的乘积，即共有项. 例3．（2026·高二·江苏苏州·期中）用1，5，9，13中的任意一个数作分子，4，6，8，12，16中任意一个数作分母，可构成（    ）个不同的分数 A．10种 B．18种 C．20种 D．40种 【答案】C 【解析】从1，5，9，13中的任选一个数作分子，4，6，8，12，16中任选一个数作分母， 可构成个不同的分数； 变式1．（2026·高二·湖北·期中）某化工厂生产中需依次投放2种化工原料，现已知有5种原料可用，且依次投料时，若使用甲原料，则甲必须先投放.那么不同的投放方案共有（   ） A．10种 B．12种 C．16种 D．20种 【答案】C 【解析】分两类，第一类选甲，先投甲，再投除甲外的4种中的任一种，有4种方法， 第二类，不选甲，共有种，根据分类计数原理，共有种. 题型二：正难则反间接排除法 例4．（2026·高二·四川内江·阶段检测）某学校准备派遣5名教师同时到三个不同的学校进行支教活动.要求每个学校至少派遣1名教师，若教师甲乙去往不同的学校，则不同的派遣方案有（    ）种. A．36 B．72 C．114 D．162 【答案】C 【解析】安排甲有3种方法，再安排乙有2种方法，因此安排甲乙共有种方法； 余下3人，每人有3种安排方法，共有种方法，除甲乙去的学校外的学校无人去的情况有种， 所以不同的派遣方案有（种）. 故选：C 例5．（2026·高二·安徽安庆·期中）现有10元、20元、50元人民币各一张，100元人民币2张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是（    ） A．15种 B．31种 C．24种 D．23种 【答案】D 【解析】除100元人民币以外的3张人民币中，每张均有取和不取2种情况， 2张100元人民币的取法有不取、取一张和取二张3种情况， 再减去5张人民币全不取的1种情况， 所以共有种． 故选：D. 例6．（2026·云南玉溪·模拟预测）我省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展．某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】五名同学参加四个社团，每个社团至少一人，必为分组，分两类讨论： ①甲单独一组：从其余人中选人成组，有种. 甲不参加围棋苑，有种选择，剩余组全排列. 方法数为. ②甲与另一人成组：选同伴有种，四组分到四社团，排除甲组去围棋苑. 方法数为. 总计方法数为. 变式2．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）小明家过年贴窗花，要把马、到、成、功、春五个字贴成一排，则春字不在两端的贴法有（   ） A．96种 B．72种 C．60种 D．48种 【答案】B 【解析】把5个窗花全排列有种情况，其中春字在两端的情况有种， 故春字不在两端的贴法有（种）． 变式3．（2026·高二·全国·单元测试）有4名男生，5名女生排成一行，甲不在正中间也不在两端的排法种数为（    ） A．336 B．7200 C．40320 D．241920 【答案】D 【解析】方法一（元素分析法）： 先排甲，有6种排法，再排剩余8人，有种排法，故共有种排法． 方法二（位置分析法）： 先排正中间和两端，有种排法，再排包括甲在内的剩余6人，有种排法，故共有 种排法． 方法三（等机会法）： 9个人全排列，有种排法，甲排在每一个位置的机会都是均等的，依题意，甲不在正中 间及两端的排法种数是． 方法四（间接法）： 9个人全排列，有种排法，甲排在正中间，剩余8人全排列有种排法，同理甲在最左 端或最右端，剩余8人全排列，也都有种排法，故甲不在正中间及两端的排法种数是 ． 故选：D. 题型三：图形涂色计数问题 例7．（2026·高二·江苏镇江·期中）对以下各选项中的多面体顶点进行涂色，要求相邻顶点颜色不同，则仅需2种颜色满足要求的是（   ） A．正方体 B．正八面体 C．正三棱台 D．正四面体 【答案】A 【解析】 对于A，如图， 正方体的8个顶点要求相邻顶点颜色不同，需两种颜色即可： 例，对，有1种颜色，对需要另1种颜色， 故需2种颜色即可满足要求； 对于B，正八面体是由同底的两个正四棱锥组成，共6个顶点， 上顶点为，下顶点为，中间四个顶点：； 与相连，与相连，要求相邻顶点颜色不同，需3种以上颜色即可. 例，对涂第1种颜色，那么必须涂第2种颜色，要使满足题目要求， 必须对再分色涂，至少需3种颜色即可满足要求； 对于C，正三棱台的上下两个面为两个正三角形，侧棱连接对应顶点，共6个顶点， 上底面顶点为，，；下底面顶点为，，； 当上底面，，顶点两两相连，满足题目要求需3种颜色去涂， 故正三棱台至少需3种颜色满足要求； 对于D，假设正四面体的4个顶点分别为，用颜色1涂，用颜色2涂， 要与，颜色不同，只能用颜色3涂，要与顶点的颜色不同， 只能用颜色4，所以要使正四面体相邻顶点颜色不同，至少需4种颜色即可； 故A选项正确. 例8．（2026·海南儋州·二模）用红、黄、蓝、绿4种不同颜色在如图所示的，，，，的5个区域涂上颜色，要求每个区域只涂1种颜色，且相邻区域不能涂同一种颜色，则符合条件的不同涂色方案种数为（    ） A．24 B．36 C．48 D．72 【答案】D 【解析】依顺序，区域可涂种颜色，区域可涂种颜色，区域可涂种颜色， ①区域若与区域同色，则E有两种颜色可选； ②区域若不与区域同色，则只有种颜色可选，也只有种颜色可选， 所以符合条件的方案有种方案． 例9．（2026·高二·四川广安·阶段检测）如图所示的五个区域中，现在要求在五个区域中涂色，现有四种颜色可供选择要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为（    ） A．64 B．72 C．84 D．96 【答案】B 【解析】根据题意可知需要5步才能涂完， 第一步，涂区域，共有4种颜色可选；第二步，涂区域，共有3种颜色可选； 第三步，涂区域，共有2种颜色可选； 第四步，涂区域， 若和同色时，则第五步区域有2种颜色可选， 若和不同色时，区域只有一种颜色可选，则第五步区域有1种颜色可选， 利用分类加法和分步乘法计数原理可知共有种. 变式4．（2026·高三·黑龙江·期末）给如图所示的由，，，，，，七个正六边形区域组成的平面图形涂色，有四种不同的颜色可供选择，每个区域只涂一种颜色，有公共边的两个正六边形区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（    ） A．144 B．288 C．432 D．576 【答案】D 【解析】从四个不同的颜色中选出一种颜色给涂色，有4种可能，再给涂色，有3种可能， 给涂色，有2种可能，给涂色，有2种可能，给涂色，有3种可能， 给涂色，有2种可能，给涂色，有2种可能， 这样给七个正六边形区域，，，，，，涂色， 不同的涂色方案有． 故选：D． 题型四：元素相邻与不相邻排列问题 例10．（2026·高二·浙江·阶段检测）甲、乙、丙、丁四人排成一列，要求甲乙相邻，丙丁不相邻，则不同的排法总数为（   ） A．24 B．12 C．8 D．4 【答案】D 【解析】由题意，将甲乙捆绑在一起，再放在丙丁之间，所以共有种排法. 例11．（2026·高二·山东聊城·期中）某校举行“数学文化节”活动，有6个不同的节目参加汇演，其中包含一个舞蹈节目和一个合唱节目，要求舞蹈节目必须在合唱节目之前演出，且这两个节目不能相邻，则不同的节目顺序有（    ） A．240种 B．360种 C．480种 D．600种 【答案】A 【解析】先把除了舞蹈节目和合唱节目的4个节目排列有种排法， 舞蹈节目必须在合唱节目之前演出，且这两个节目不能相邻， 插空有种，总共有种. 例12．（2026·高二·福建泉州·期中）将2个不同的白球，3个不同的黑球和4个完全相同的红球排成一列，要求2个白球不相邻且3个黑球也不相邻，则不同的排法共有（   ） A．5100种 B．4800种 C．4500种 D．4200种 【答案】A 【解析】先排红球，有1种排法，然后排白球，分两类讨论， 第一类情况是将两白球插空排入红球形成的5个空位有种，然后插入黑球，有种，故共有种不同的排法； 第二类情况是2个白球之间仅有1个黑球，先将2个白球和1个黑球捆绑成一个整体(形如W-B-W)，有种方法； 再将此整体与4个红球排列，有种方法；然后将剩下的2个黑球插入形成的6个空位中，有种方法，故此种情况有种。 故要求2个白球不相邻且3个黑球也不相邻，则不同的排法共有5100种. 变式5．（2026·高二·江西南昌·期中）现一排有7个座位，安排甲、乙、丙3名同学就坐，若这3位同学不相邻，则不同的安排方法有（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先将4个空座位排成一排，形成5个可插入的空隙， 再将3名同学安排在这5个空隙中，共有种方法. 变式6．（2026·高二·新疆·期中）现有一名教师，两名男生，两名女生共5人排成一行照相，要求两名男生不能相邻，两名女生也不能相邻，则不同的排法总数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】5人全排列，总共种， 两名男生相邻，共4个元素排列：种； 两名女生相邻，共4个元素排列：种； 男生、女生同时相邻，分别捆绑，则共3个元素排列： 种； 两名男生不能相邻，两名女生也不能相邻的不同的排法总数为： ． 变式7．（2026·高二·河南洛阳·期中）已知共七个人站成一排，要求不站两端，且和不相邻，则不同的排法种数为（） A．2640 B．2160 C．3600 D．2880 【答案】A 【解析】先考虑和不相邻的排法： 先排A,B,C,D,E，有种排法， A,B,C,D,E排好后有6个空隙（含两端），从中选2个插入F和G，排法数：种， 所以，总排法有：种； 再考虑A站两端且F、G不相邻”的排法： 先排A在两端，有种（如A在最左端），再排B,C,D,E共4人，排法数：种， 此时5人（A,B,C,D,E）排好后有5个空隙（A的左边不算空隙）， 从中选2个插入F和G，排法数：种， 所以，总排法：种， 所以要求不站两端，且和不相邻，则不同的排法种数为种. 题型五：元素定序排列问题 例13．（2026·高二·四川达州·期中）某次灯谜大会共设置6个不同的谜题，分别藏在如图所示的6只灯笼里，每只灯笼里仅放一个谜题.并规定一名参与者每次只能取其中一串最下面的一只灯笼并解答里面的谜题，直到答完全部6个谜题，则一名参与者一共有（   ）种不同的答题顺序. A．60 B．75 C．12 D．720 【答案】A 【解析】首先将6只灯笼全排，即， 因为每次只能取其中一串最下面的一只灯笼内的谜题，每次取灯的顺序确定， 即除以内部排序即可，故取谜题的方法有. 例14．（2026·高二·上海杨浦·期中）讲桌上放有两摞书，一摞3本，另一摞4本。学号为1-7号的7名学生，按照学号1-7的顺序依次取书，每名学生只能从其中一摞的最上面取一本书，则不同取法的种数为（    ） A．20 B．30 C．35 D．210 【答案】C 【解析】根据题意，问题等价于从一行七个空里选三个空把、、按从小到大自左向右顺序填进去， 剩下四个空将、、、7从小到大自左向右顺序填进去，共有填法种. 故选：C. 例15．（2026·高二·湖北武汉·期中）三根绳子上共挂有8只气球，绳子上的球数依次为2，3，3，每枪只能打破一只球，而且规定只有打破下面的球才能打上面的球，则将这些气球都打破的不同打法数是（    ） A．350 B．140 C．560 D．280 【答案】C 【解析】 将8只气球编号，依次从下往上，从右往左编号为， 问题等价于8只气球排列， 其中号，号，号必须是从下到上的顺序打破气球， 则有种. 故选：C 变式8．（2026·高二·上海·阶段检测）复旦中学高二戏剧节的节目单已经排定，语文组的老师们也干劲十足，想要参与演出；三个年级的语文组也各自排了剧目，现需要在原来的8个节目中加入这3个节目，同时要保证原来的节目相对顺序不发生改变，请帮邓老师想想会有（    ）种不同的排法 A．504 B．630 C．657 D．990 【答案】D 【解析】原来的8个节目有9个空，那么先插入1个节目有9种方法， 此时9个节目有10个空，再排第2个节目有10种方法， 现在10个节目有11个空，排第3个节目有11种方法， 所以总共有种不同排法. 题型六：相同元素隔板分配法 例16．（2026·高二·山东青岛·期中）我们称各个数位上的数字之和为7的三位数为“安康数”，例如106和223，则所有的“安康数”共有（    ） A．15个 B．27个 C．28个 D．36个 【答案】C 【解析】法一：由题意，问题相当于用2个隔板把7个排成一排的球从左到右分成三份， 其中最左侧的一份至少有1个球，靠右侧的两份可以是0个球， 首先把第1个隔板放入从左到右依次插入这一排球所形成的8个空的后7个空中的一个， 再把第2个隔板插入第1个隔板所在空及其右侧的任意一个空，共有 个安康数. 法二：等价于从左到右三份分别对应 且 ， 若 ，则 ，即求出方程非负整数解的个数，由隔板法有 个安康数.∴选C 例17．（2026·高二·贵州遵义·期中）方程的非负整数的个数为（   ） A．495 B．715 C．1001 D．2002 【答案】B 【解析】，， 则问题转化为将14个相同的元素分成5份，每份至少1个， 需要在14个元素之间的13个空隙中插入4个隔板， 则方程非负整数解的个数有. 例18．（2026·高二·江苏南京·期中）20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数共有（    ） A．120 B．240 C．300 D．360 【答案】A 【解析】先往2号，3号盒内分别放入1个球和2个球，此时每个盒子至少还需放入1个球， 将剩下的17个球排成一排，有16个空隙，插入2块隔板分为三堆放入三个盒中即可， 共有（种）方法． 故选：A 变式9．（2026·高二·山西朔州·阶段检测）方程的正整数解的个数为（    ） A．56 B．35 C．70 D．66 【答案】B 【解析】原问题相当于将8个相同的小球装入4个不同的盒子中，每个盒子中至少有1个小球， 采用隔板法，将8个小球排成一排，在其中的7个空位上插入3个隔板即可， 故共有种． 故选：B. 变式10．（2026·高二·安徽合肥·期中）现有11个优秀团员的名额分配给8个班级，每班至少有1个名额，则名额分配的方法共有（   ） A．56种 B．112种 C．120种 D．240种 【答案】C 【解析】现有11个优秀团员的名额要分配给8个班级，要求每班至少一个名额， 利用隔板法，把11个元素排成一列形成10个空，再在10个位置放置7个隔板， 则共有种方案， 题型七：元素分组与分配问题 例19．（2026·高二·湖北省直辖县级单位·阶段检测）现安排5名学生去参加3个项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为________．（用数字作答） 【答案】114 【解析】先将5人分为3组，有两种分法（3,1,1；2,2,1）：， 再将3组进行全排列，方案数 ：， 把甲乙看作1个整体，相当于4个元素分到3组，共有（1种分法：2,1,1）：， 再将3组进行全排列，方案数：， 所以满足上述要求的不同安排方案数为：. 例20．（2026·高二·重庆·阶段检测）五名志愿者全部去三个不同的镇参加志愿活动，每个镇至少去一名志愿者，则不同的方案有___________种. 【答案】150 【解析】依题意，可以按照和两种方案进行分组分配. 当按照分组时，有种方案； 当按照分组时，有种方案. 故不同的方案有种. 例21．（2026·高二·北京·期末）三名老师和四名学生去北京半程马拉松比赛的3个补给站参加志愿活动，每个人去一个补给站，每个补给站至少一名老师和一名学生，则不同的安排方法有 __ 种．（用数字作答） 【答案】216 【解析】依题意分两步完成：先分配教师，由于有3名教师和3个补给站，且每个补给站至少1名教师，因此每个补给站恰好分配1名教师，有种情况； 再分配学生，将4名学生分配到3个补给站，且每个补给站至少1名学生，所以分组方式是“2，1，1”，有种情况， 根据分步乘法计数原理，可得不同的安排方法有种． 变式11．（2026·高二·山西晋中·期中）某校6名同学打算去山西旅游，现有平遥古城、五台山、省博物馆三个景区可供选择.若每个景区中至少有1名同学前往打卡，每人仅去一个景点，则不同方案的种数为______. 【答案】540 【解析】若三个景区安排的人数之比为，则有种安排方法； 若三个景区安排的人数之比为，则有种安排方法； 若三个景区安排的人数之比为，则有种安排方法； 故不同的安排方法种数是. 题型八：网格路径计数问题 例22．（2026·陕西西安·模拟预测）中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字．如图，在中国的半个象棋棋盘（的矩形中每个小方格都是单位正方形）中，若马在A处，可跳到处，也可跳到处，用向量，表示马走了“一步”．若马从图中的B处跳到C处，且要求走的步数最少，则马不同的行走路径有（   ） A．7种 B．6种 C．5种 D．4种 【答案】B 【解析】“马”从B处走到C处，最少需要3步，不同的行走路线有（如图所示）： 若第一步为，再从到有2种走法； 若第一步为，再从到有2种走法； 若第一步为，再从到有2种走法， 所以不同的行走路径有种． 例23．（多选题）（2026·高二·贵州贵阳·阶段检测）在某城市中，两地之间有如图所示的道路网，甲随机沿道路网选择一条最短路径，从地出发到地，则下列结论正确的是（    ）      A．不同的路径共有31条 B．不同的路径共有41条 C．若甲途经地，则不同的路径共有18条 D．若甲途经地，且不经过地，则不同的路径共有8条 【答案】AC 【解析】由图可知，从地出发到地的最短路径共包含7步，其中3步向上，4步向右， 且前3步中至少有1步向上，则不同的路径共有条，故A正确、B错误； 若甲途经地，则不同的路径共有条，故C正确； 若甲途经地，且不经过地，则不同的路径共有，故D错误； 故选：AC. 例24．（2026·高一·广东广州·期中）现有一只蜜蜂沿如图所示的用10个完全一样的正方体搭建的几何体的棱并按照箭头所指的相互垂直的三个方向飞行，则从A点飞行到点可能的飞行路径共有___________种，从A点飞行到点可能的飞行路径共有___________种.（用数字作答） 【答案】 10 188 【解析】 根据题意可知，从A到B需要向右3步，向前2步，并且对步数的顺序没有要求，则共有种不同方法. 从A到C需要向右3步，向前2步，向上2步，分步完成，第一步先经过，经过中间点后面步骤也没有要求，则 前进一步到，剩下3步向右，2步向上，1步向前有种路径， 向右一步，向前1步到（不经过D），剩下2步向右，1步向前，2步向上有种路径， 向右2步到，剩下1步向右，2步向上，2步向前有种路径， 向上一步，前进一步到（不经过D）,剩下3步向右，1步向上，1步向前有种路径， 向上一步，向右一步，前进一步到（不经过D，E，G）,有2种情况，剩下2步向右，1步向上，1步向前有种路径， 向上一步，向右两步（不经过H），有2种情况，剩下1步向右，1步向上，2步向前有种路径， 共有种路径. 故答案为：10，188. 变式12．（2026·广西柳州·一模）如图，在的格子中，有一只蚂蚁从点爬到点，每次只能向右或向上移动一格，则从点爬到点的所有路径总数为_________，若蚂蚁只在下三角形（对角线及以下的部分所围成的三角形）行走，则从点到点的所有总路径数为_________． 【答案】 【解析】蚂蚁从点爬到点需要走步，其中步横向，步纵向， 所有路径数为从步中选择步横向的组合数，所以； 蚂蚁只在下三角形（对角线及以下的部分所围成的三角形）行走，如下： 共种. 故答案为：；. 题型九：限制条件数字排列问题 例25．（2026·高二·重庆·阶段检测）一个三位数字密码锁，每一位上的数字均从0—9中选取，且各位数字互不相同，已知密码的首位不能为0，末位必须是偶数，则满足条件的密码共有______个．（用数字作答） 【答案】 【解析】第一类：首位排奇数.先排首位有种排法，接着排末位有种排法，再排中间位有种排法，故共有种排法； 第二类：首位排偶数.先排首位有种排法，接着排末位有种排法，再排中间位有种排法，故共有：种排法， 由分类加法计数原理满足条件的密码共有个. 例26．（2026·高二·甘肃兰州·期末）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的自然数，能够组成多少个小于2018的正偶数_______． 【答案】个 【解析】有一位正偶数时，可选、， 当有两位正偶数时，个位可为、、，所以当最后一位为时，可能的结果为，当最后一位为或时，可能结果为，所以共有种， 当有三位正偶数时，个位可为、、，所以当最后一位为时，可能的结果为，当最后一位为或时，可能结果为，所以共有种， 当有四位正偶数时，首项为时，由种， 首位为时，只有符合条件，所以共有种. 故答案为：个. 例27．（2026·高三·安徽阜阳·阶段检测）某学校举办春季运动会，高一、高二、高三三个年级分别有 5、4、3 个班级参加 400 米接力赛.若每个年级至少有一个班级参加，且高一年级必须有偶数个班级参加，则不同的参赛方案共有 ______ 种. 【答案】1575 【解析】高一有5个班，至少一个班级且偶数个班级参赛，因此高一的参赛班数只能是2个或4个. 若高一选2个班：，高二至少选1个班：， 高三至少选1个班：， 方案数：； 若高一选4个班：，高二至少选1个班：， 高三至少选1个班：， 方案数：； 两种情况方案数相加得. 因此不同的参赛方案共有种. 故答案为：. 变式13．（2026·河北秦皇岛·二模）将1，1，1，1，2，4，6，8这8个数填入如图所示的格子中（要求每个数都要填入，每个格子中只能填一个数），则不同的填数方法共有______种；若填入的每行数之和为偶数，则不同的填数方法共有______种（用数字作答）. 【答案】 1680 912 【解析】首先任选4个格子填1，有种，再将余下的4个数填入其它4个格子，有种， 所以，不同的填数方法共有种， 要使填入的每行数之和为偶数，第1、2行填1的个数有三种情况， 若，即第1行0个1，第2行4个1，此时有种； 若，即第1行、第2行各2个1，此时有种； 若，即第1行4个1，第2行0个1，此时有种； 所以共有种. 故答案为：1680，912 1．（2026·高二·安徽滁州·期中）如图，若闭合最少的开关使小灯泡发光，则不同的方法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【解析】由图可知，上方左侧个并联开关选个闭合，右侧个并联开关选个闭合，最下方开关闭合，小灯泡发光，有种情况； 下方左侧个并联开关选个闭合，右侧个并联开关选个闭合，最下方开关闭合，小灯泡发光，有种情况； 因此，不同的方法有种，故D正确. 2．（2026·高二·新疆巴州·期中）从6本不同的数学书，4本不同的英语书中各取2本，则不同的取法种数是（ ） A．10 B．24 C． D．90 【答案】D 【解析】第一步：从6本不同数学书中取2本，取法数为：； 第二步：从4本不同英语书中取2本，取法数为：. 根据分步乘法计数原理，总取法种数为：. 3．（2026·高二·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图所示，现要给固定位置的四棱锥的五个面涂上颜色，要求相邻的面涂不同的颜色，可供选择的颜色共有5种，则不同的涂色方案共有（    ）    A．360 B．420 C．480 D．660 【答案】B 【解析】若5种颜色全涂，有种； 若5种颜色涂4种，则左右侧面或前后侧面涂同种颜色，有种； 若5种颜色涂3种，则左右侧面涂同种颜色，前后侧面涂同种颜色，有种 可得，故不同的涂色方案共有420种. 故选：B 4．（2026·高二·广东惠州·期中）用五种不同颜色的涂料涂在如图所示的五个区域，相邻两个区域不能同色，则不同的涂色方法有（    ） A．240 B．480 C．420 D．360 【答案】C 【解析】完成涂色需要分5步，按照顺序依次涂，区域有5种颜色可选，区域有4种颜色可选，区域有3种颜色可选， 若区域与区域颜色相同，区域有1种颜色可选，则区域有3种颜色可选； 若区域与区域颜色不同，区域有2种颜色可选，则区域有2种颜色可选； 再由分步乘法计数原理和分类加法计数原理计算，可得共有. 5．（2026·高二·陕西西安·阶段检测）如图，给编号为的正六边形区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同.若有3种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（    ） A．96种 B．66种 C．48种 D．30种 【答案】B 【解析】方法一：①若涂3种颜料，其中6个区域两两颜料相同，则有以下四种涂色方案： ， 四种涂色方法，故此时涂色方法共有种； ②若涂3种颜料，其中6个区域，有3个区域颜料相同（135或246）、剩下的另2个区域颜料相同，最后一个1个区域涂剩下的一种颜色，此时涂色方法有种； ③若涂2种颜料，此时有； 综上，由分步加法计数原理，不同的涂色方案有种. 方法二：本题为6个环形区域涂色，假设有个环形区域涂色，满足题意的涂色方法有种， 则有，由于，依次赋值代入递推公式可得种. 故选：B. 6．（2026·高二·江苏南京·阶段检测）有6个座位连成一排，现有3人入座，则恰有两个空位相邻的不同坐法的种数为（   ） A．144 B．72 C．48 D．36 【答案】B 【解析】由题意，先让3人坐定，有种方法， 然后将相邻的两个空位看作一个座位，再将两个座位插入3人形成的4个空位中，有种方法， 因此，恰有两个空位相邻的不同坐法的种数为. 7．（2026·高二·重庆渝北·期中）在渝北中学某次研学活动中，班主任李老师带领甲、乙、丙等5名学生排队出发参观校史馆，李老师只能在排头或排尾：其中甲同学是新生，不能离李老师超过1名学生距离；乙同学和丙同学爱讲话不能相邻，请问这支队伍总共有（    ）种排队方式. A．48 B．56 C．64 D．72 【答案】B 【解析】分两种情况： （1）李老师在排头（位置1）：此时甲在位置2或3， 当甲在位置2时：剩余位置3、4、5、6排乙丙丁戊，乙丙相邻位置对有共3对，相邻排列数为种，所以不相邻排列有种； 当甲在位置3时：剩余位置2、4、5、6排乙丙丁戊，乙丙相邻位置对有共2对，相邻排列时为种，所以不相邻排列有种； 所以共有种； （2）李老师在排尾（位置6）：排法与排头对称，所以也有28种； 综上，共有种排法. 8．（2026·高二·陕西延安·期末）如图，三根绳子上共挂有6只气球，绳子上的球数依次为1，2，3，每枪只能打破一只气球，而且规定只有打破下面的气球才能打上面的气球，则将这些气球都打破的不同打法数是（    ） A．10 B．60 C．90 D．120 【答案】B 【解析】将6只气球进行编号为1,2,3,4,5,6号, 则下方气球号码小于上方气球号码的排列方法数就是打破气球的方法数, 将编号为1~6号的6只气球挂上3根绳子, 按下方气球号码小于上方气球号码的排列,分3步进行: 第一步,挂有1只气球的绳子,有6种挂法; 第二步,挂有2只气球的绳子,有10种挂法; 第三步,挂有3只气球的绳子,有1种挂法. 所以由分步乘法计数原理得,共有(种)方法, 因为一种挂法就是一种排列方法，也就是打破气球的方法， 所以将这些气球都打破的不同打法数是60种， 故选:B. 9．（2026·高三·江西景德镇·期末）五一假期期间，一家6人（5大人和1小孩）在某风景名胜区拍照留念.要求站成前后两排，每排各三人；每列站在后排的人比站在前排的人高.已知6人的身高各不相同，任何一名大人都比一名小孩高，则不同的排法共有（   ） A．72种 B．90种 C．108种 D．180种 【答案】B 【解析】此问题可等价于将人分为三组，每组两人，安排到三个不同的列上，每组中身高较高者在后，身高较矮者在前，第一步：为第一列挑选两人，有种方法； 第二步：为第二列挑选两人，有种方法； 第三步：剩下两人到第三列，有种方法， 根据分步乘法计数原理，总排法为种， 故选：B 10．（2026·高二·广东·期中）高一某班有5名同学报名参加学校组织的三个不同社区服务小组，每个小组至多可接受该班2名同学，每名同学只能报一个小组，则报名方案有________（用数字作答）. 【答案】 【解析】先把5名同学分成3个组，每组人数分别为“2，2，1”，再将3组分配到三个不同社区服务小组，共有种不同报名方案. 11．（2026·高二·湖北·阶段检测）现有件不同的玩具，本不同的漫画分给甲、乙两个小孩，玩具每人个，漫画其中一人本，一人本．则不同的分配方案有________种．（用数字作答） 【答案】 【解析】从件玩具中选件给甲的方案有种， 剩下的件给乙，因此玩具的分配方案有种； 从本漫画中选本给甲的方案有种， 剩下的本给乙， 或者从本漫画中选本给甲，剩下的本给乙，方案同样有种，因此漫画的分配方案有种； 因此不同的分配方案有种. 12．第六届中国国际进口博览会于年月日在上海国家会展中心盛大开幕．主题为“新时代共享未来”组委会在会议期间将这五名工作人员分配到两个不同的地点参与接待工作．若要求必须在同一组，且每组至少人，则不同分配方法的种数为________． 【答案】 【解析】根据题意，采用捆绑法将看作一个整体，可分为两类： ①在一组，都分在另一组，将两组全排列，对应两个地点即可，有（种）分配方法； ②中取出人，与一组，剩下人一组，再将两组全排列，对应两个地点，有（种）分配方法； 故一共有（种）分配方法． 13．（2026·河北·二模）智能舞蹈机器人在舞台上随音乐节奏移动，每秒随机向正东、正西、正南、正北四个方向之一移动1米，若机器人从舞台中心正北方向2米的位置起步，则机器人移动4秒恰好位于舞台中心的路径条数为_____．（用数字作答） 【答案】16 【解析】机器人从舞台中心正北方向2米的位置起步， 机器人移动4秒恰好位于舞台中心共有两种可能： 第一种情形：机器人四步中有一步向正北，三步向正南，此时共有种； 第二种情形：机器人四步中有一步向正东，一步向正西，两步向正南，此时共有种； 所以总路径条数为. 14．（2026·全国·模拟预测）为贯彻落实“立德树人”的根本任务，探索德智体美劳“五育并举”的实施路径，某校统筹推进以“五育并举＋教师教育”为特色的第二课堂养成体系，引导学生崇尚劳动、尊重劳动者、提高劳动素养，以劳动周的形式开展劳育工作的创新实践．若学生可以参加“民俗文化”“茶艺文化”“茶壶制作”“水果培育”“蔬菜种植”“3D打印”这六门劳动课中的一门，则甲、乙、丙、丁这4名学生中至少有3名所选劳动课全不相同的方法共有______种． 【答案】1080 【解析】分两种情况讨论： 若4名学生选的课全不同，则有种方法； 若有3名学生选的课全不同，即只有2名学生选的课相同，则有种方法． 故共有种方法． 故答案为：1080 15．（2026·高二·广东广州·阶段检测）中国新冠疫苗研究路径有两种技术路线：一个是灭活疫苗，一个是腺病毒载体疫苗，其中在腺病毒载体疫苗研制过程中，科研者要依次完成七项不同的任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A必须排在前三位，且任务D、E必须排在一起，则这七项任务的安排方案共有______种（用数字作答） 【答案】624 【解析】分三种情况： （1）任务排在首位，将捆绑在一起，与剩下任务全排列，有种排法； （2）任务排在第二位，先从除的任务中选一个安排在首位，再将捆绑在一起，与剩下任务全排列，有种排法； （3）任务排在第三位，分两类：①在之前，有种；②在之后，有种，共有48＋144=192种； 由分类加法计数原理知，共有240+192+192=624种不同的排法. 故答案为：624. 16．（2026·吉林白山·模拟预测）从0，1，2，3，4中取两个数字，从5，6，7，8，9中取出两个数字，可组成___________个没有重复数字的奇数. 【答案】1064 【解析】情况1：个位是来自第一组（0，1，2，3，4）的奇数（即个位为1或3，共2种选择） 再分两小类： 子情况1a：第一组另一个取到0： 第一组取法：（个位）（取0）种；第二组取2个：种； 排前三位：0不能放首位，首位有2种选择，剩余两位全排列，共种排法； 总数：. 子情况1b：第一组另一个不取0： 第一组取法：（个位）种；第二组取2个：种； 前三位无特殊限制，全排列共种排法； 总数：，情况1总个数： 情况2：个位是来自第二组（5，6，7，8，9）的奇数（即个位为5，7，9，共3种选择） 再分两小类： 子情况2a：第一组取出的两个数含0： 第二组取法：（个位）种；第一组取法：（取0后再取1个非0）种； 排前三位：0不能放首位，共种排法； 总数：. 子情况2b：第一组取出的两个数不含0： 第二组取法：（个位）种；第一组取法：种； 前三位全排列共种排法； 总数：，情况2总个数：. 将两类相加：. 17．（2026·高二·北京·期中）由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的三位数，奇数共有___________个，其中个位数字比十位数字大的奇数共有__________个.（用数字作答） 【答案】 36 18 【解析】对于第一空：分2步分析： 要求是没有重复数字的三位奇数，其个位是1、3或5，有3种情况， ②在剩下的4个数字中任选2个，安排在前2个数位，有种情况， 则有符合题意的三位奇数； 对于第二空：分2种情况讨论： 当其个位为3时，十位数字只能是1，2，百位数字有3种情况，此时有个符合题意的三位数； 当其个位为5时，十位数字可以是1、2、3，4，百位数字有3种情况， 此时有个符合题意的三位数； 则有个符合题意的三位数； 故答案为：36；18 18．（2026·高三·辽宁·期末）某商场举办一个促销活动，一次性消费达到一定金额可抽奖一次，抽奖规则：在一个不透明的箱子中放有7个质地、大小完全相同的小球，每个小球的表面上均标有1个数字，数字为1或2，每次抽奖从箱子中一次性随机摸取3个小球，若3个小球表面上所标数字之和为奇数，则中奖，否则不中奖.记标有数字1的小球个数为，从商场的角度考虑，若想使中奖率最低，则______. 【答案】5 【解析】设标有数字2的小球个数为，则， 当，时，中奖的概率为； 当，时，中奖的概率为； 当，时，中奖的概率为； 当，时，中奖的概率为； 当，时，中奖的概率为， 综上可知，当时，中奖率最低. 故答案为：5. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $