精品解析：浙江省宁波市蛟川书院(甬江校区)2025-2026学年下学期6月学科素养大比拼七年级数学试题

蛟川书院（甬江校区）2025学年第二学期学科素养大比拼2 初一数学试卷 （满分100分，考试时间100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 如图，直线a，b，c两两相交，和是一对（ ） A. 同位角 B. 内错角 C. 同旁内角 D. 对顶角 2. 以下调查中，最适宜采用普查方式的是（ ） A. 检测某批次汽车的抗撞击能力 B. 调查乘坐飞机的旅客是否携带了违禁物品 C. 调查黄河的水质情况 D. 了解某市中学生课外阅读的情况 3. “燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台.”这是诗仙李白眼里的雪花，单片雪花的重量其实很轻，只有左右，则0.00003用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列等式从左到右变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点，，，四点在同一条直线上，且，，则添加一个条件后，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，河道的一侧有甲、乙两个村庄，现要铺设一条引水管道把河水引向甲、乙两村，下列四种方案中最节省材料的是（ ） A. B. C. D. 7. 若商品的进价为，售价为，则毛利率，把这个公式变形成已知，求的公式，应为（　　） A. B. C. D. 8. 若的乘积中不含项，则常数a的值为（ ） A. 3 B. C. D. －3 9. 如图，在锐角中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，，则的周长为（ ） A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 10. 如图，长方形，，，交于点P，已知长方形的面积等于长方形的面积，若要求出图中阴影部分的面积，只要知道（ ） A. 长方形与长方形的面积之差 B. 长方形与长方形的面积之差 C. 长方形与长方形的面积之和 D. 长方形与长方形的面积之和 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 要使分式有意义，则的取值范围是______． 12. 已知某组数据的频数为30，频率为0.6，则样本容量为__________． 13. 已知，则的值为____________． 14. 如图，在一次数学实践活动课中某同学将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为．若，且，则的大小为___________． 15. 关于x的分式方程无解，则a的值是______． 16. 如图，在的边、上取点M、N，连接，平分，平分，若，的面积是6，的面积是9，则的长是______． 17. 已知关于、的方程组的解为，则关于、的方程组的解为___________． 18. 如图，在四边形中，，．点E在的延长线上，点F在的延长线上，连接、、，满足．若，则__________． 三、解答题（共46分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 为了引导学生积极参与体育运动，星汇学校初中部举办了“一分钟跳绳比赛”，随机抽取了m名学生，将一分钟跳绳的次数进行调查统计，并根据调查统计结果绘制了如图的统计图和统计表： 等级 次数 频数 不合格 100≤x＜120 4 合格 120≤x＜140 a 良好 140≤x＜160 12 优秀 160≤x＜180 10 请结合上述信息完成下列问题 （1） ______； ______； （2）请补全频数分布直方图； （3）在扇形统计图中，“良好”等级对应的圆心角的度数是______； （4）若该校有1600名初中生，根据抽样调查结果，请估计该校有多少名初中生一分钟跳绳次数达到合格及以上． 22. 市中心的一家时尚咖啡店推出了两款新颖的特色饮品，一款是“陨石拿铁”另一款是“摘星摩卡”．已知2杯“陨石拿铁”和5杯“摘星摩卡”总售价为240元；3杯“陨石拿铁”和4杯“摘星摩卡”总售价为234元． （1）求“陨石拿铁”和“摘星摩卡”各自的单价； （2）咖啡豆是制作咖啡饮品的主要原料之一，咖啡店老板发现今年第三季度平均每千克咖啡豆的价格比第二季度上涨了，第三季度花元买到的咖啡豆数量比第二季度花同样的钱买到的咖啡豆数量少了12千克，求第三季度咖啡豆的单价． 23. 已知关于x的方程的两个解是；又已知关于x的方程的两个解是，，又已知关于x的方程的两个解是．小晰认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想：关于x的方程的两个解是．并且小晰在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）．小晰非常高兴，向其他同学提出了以下几个问题： （1）关于x的方程的解为 ； （2）关于x的方程的两个解分别为m，n，求的值； （3）关于x的方程的两个解是，若是正整数，求满足条件的整数k的值． 24. 如图，在中，，，D，E分别为，边上的点，连接，交于点F，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，以为边作，，，连接，G为中点，连接，求证：； （3）如图3，P为上一点，连接，H为中点，连接，M，N分别为，上的点，连接，交于点O，若，，，，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 蛟川书院（甬江校区）2025学年第二学期学科素养大比拼2 初一数学试卷 （满分100分，考试时间100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 如图，直线a，b，c两两相交，和是一对（ ） A. 同位角 B. 内错角 C. 同旁内角 D. 对顶角 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了同位角，内错角，同旁内角，对顶角的定义，其中同位角，内错角，同旁内角是两直线被第三条直线所截产生的具有特殊位置关系的角，而对顶角是两直线相交产生的具有特殊位置关系的角，厘清概念是解题关键．观察和的位置关系进行判断即可． 【详解】解：如图所示，和具有公共边，另外两条边分别在直线和上，在截线的同一侧，被截线和的内部，故和是直线、被直线所截而成的同旁内角． 故选：C． 2. 以下调查中，最适宜采用普查方式的是（ ） A. 检测某批次汽车的抗撞击能力 B. 调查乘坐飞机的旅客是否携带了违禁物品 C. 调查黄河的水质情况 D. 了解某市中学生课外阅读的情况 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了普查，是否适合选择普查方式要根据所考查的对象的特征灵活选用，熟练掌握普查是解题的关键．根据普查的定义，逐一判断即可． 【详解】解：A. 检测某批次汽车的抗撞击能力，适合采用抽样调查方式，本选项不符合题意； B. 调查乘坐飞机的旅客是否携带了违禁物品，适合采用普查方式，本选项符合题意； C. 调查黄河的水质情况，适合采用抽样调查方式，本选项不符合题意； D. 了解某市中学生课外阅读的情况，适合采用抽样调查方式，本选项不符合题意． 故选：B． 3. “燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台.”这是诗仙李白眼里的雪花，单片雪花的重量其实很轻，只有左右，则0.00003用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．据此解答即可． 【详解】解：． 故选：B． 4. 下列等式从左到右变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用因式分解的定义分析得出答案． 【详解】解：因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式． A、选项化为分式的积，故错误， B、C没有化成积的形式，错误， D、符合因式分解的定义， 故选D． 【点睛】本题主要考查因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 5. 如图，点，，，四点在同一条直线上，且，，则添加一个条件后，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定等知识点的理解和掌握，分别判断选项所添加的条件，再根据三角形全等的判定定理：进行判断即可． 【详解】∵ ∴ ∴ A、∵，，，∴，故该选项正确； B、∵，，，∴，故该选项正确； C、添加，无法判断，故该选项不正确； D、∵，，∴，故该选项正确； 故选：C． 6. 如图，河道的一侧有甲、乙两个村庄，现要铺设一条引水管道把河水引向甲、乙两村，下列四种方案中最节省材料的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线段最短，两点之间，线段最短，根据垂线段最短；两点之间，线段最短解答即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据垂线段最短，两点之间，线段最短可得：四种方案中最节省材料的是， 故选：． 7. 若商品的进价为，售价为，则毛利率，把这个公式变形成已知，求的公式，应为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键． 将已知的毛利率公式进行等式变形，得出b的表达式即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 故选：C． 8. 若的乘积中不含项，则常数a的值为（ ） A. 3 B. C. D. －3 【答案】C 【解析】 【分析】利用多项式乘多项式的法则运算并合并同类项，再令项的系数为0得到关于a的方程求解即可． 【详解】解： , ∵多项式的乘积中不含项， ∴，解得：． 故选C． 【点睛】本题主要考查了整式有关性质、多项式乘多项式等知识点，令项的系数为0得到关于a的方程是解题的关键． 9. 如图，在锐角中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，，则的周长为（ ） A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，据此即可求解． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长． 10. 如图，长方形，，，交于点P，已知长方形的面积等于长方形的面积，若要求出图中阴影部分的面积，只要知道（ ） A. 长方形与长方形的面积之差 B. 长方形与长方形的面积之差 C. 长方形与长方形的面积之和 D. 长方形与长方形的面积之和 【答案】B 【解析】 【分析】设，推出，即可. 【详解】解：由题意，可知，四边形均为长方形， 设， ∴， ∵ ； ∵长方形的面积等于长方形的面积， ∴， ∴， ∴， ∴只要知道长方形与长方形的面积之差，即可求出图中阴影部分的面积. 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 要使分式有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，利用分母不等于0，分式有意义的性质列出不等式解答即可，熟练掌握分母不等于0，分式有意义的性质是解题的关键． 【详解】解：分式有意义，分母不等于0， ， 解得：． 故答案为：． 12. 已知某组数据的频数为30，频率为0.6，则样本容量为__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意，样本容量为. 13. 已知，则的值为____________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方与同底数幂的乘法运算，掌握将不同底数的幂转化为同底数幂，再结合已知条件中的指数和进行计算是解题的关键． 将和化为以为底的幂，再利用同底数幂的乘法法则和已知条件求解． 【详解】解：∵， ∴． 由已知 得 ， ∴． 故答案为：． 14. 如图，在一次数学实践活动课中某同学将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为．若，且，则的大小为___________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了平行线性质，折叠的性质，垂直定义，解题的关键在于灵活运用相关知识． 结合平行线性质，以及垂直定义、折叠性质得到，进而利用平行线的性质推出，结合折叠的性质推出即可解答． 【详解】解：如图： 纸带的对边互相平行，， ， 由折叠性质得， ， ， 由折叠的性质可知， 故答案为：． 15. 关于x的分式方程无解，则a的值是______． 【答案】1或2##2或1 【解析】 【分析】找出方程中各分式的公分母：，然后方程两边同乘上，化为整式方程可解． 【详解】解： ， ①当时，即，方程无解，符合题意； ②当时，即，方程的解是 又因为分式方程无解，得出分母，是分式方程的增根， 故，解得， 所以所求的值是1或2． 故答案为：1或2． 【点睛】本题考查分式方程增根情况及运用，解题的关键是注意关键词“无解”与增根的关系． 16. 如图，在的边、上取点M、N，连接，平分，平分，若，的面积是6，的面积是9，则的长是______． 【答案】10 【解析】 【分析】过点P作于E，于F，于G，连接，由角平分线的性质可得，进而由三角形的面积得到，再根据解答即可求解． 【详解】解：如图，过点P作于E，于F，于G，连接， ∵平分，，， ∴， 同理可得， ∴， ∵，的面积是， ∴， ∴， ∴， ∵的面积是， ∴， 即， ∴， ∴． 17. 已知关于、的方程组的解为，则关于、的方程组的解为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解．将方程组可化为，然后根据题意即可得出，从而求出、的值． 【详解】解：方程组可化为， 关于、的方程组的解为， 方程组的解是， 解得， 故答案为：． 18. 如图，在四边形中，，．点E在的延长线上，点F在的延长线上，连接、、，满足．若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】先作，连接，即可证明，进而说明，可得，再结合，可得答案． 【详解】证明：如图，延长到点G，使，连接， ∵， ． ∵， ∴， ，． ， ∴， ， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴． 三、解答题（共46分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式. 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值．先利用分式的混合运算计算括号中分式的减法，然后计算除法，最后把字母的值代入计算可得结果． 【详解】解： ， ， ∴原式． 21. 为了引导学生积极参与体育运动，星汇学校初中部举办了“一分钟跳绳比赛”，随机抽取了m名学生，将一分钟跳绳的次数进行调查统计，并根据调查统计结果绘制了如图的统计图和统计表： 等级 次数 频数 不合格 100≤x＜120 4 合格 120≤x＜140 a 良好 140≤x＜160 12 优秀 160≤x＜180 10 请结合上述信息完成下列问题 （1） ______； ______； （2）请补全频数分布直方图； （3）在扇形统计图中，“良好”等级对应的圆心角的度数是______； （4）若该校有1600名初中生，根据抽样调查结果，请估计该校有多少名初中生一分钟跳绳次数达到合格及以上． 【答案】（1）40；14 （2） 补充完整的频数分布直方图如下； （3） （4）1440名 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，求扇形圆心角度数，用样本估计总体等知识； （1）根据优秀的人数及其占比即可求得抽取的人数m，进而用抽取的总人数减去不合格、良好与优秀的人数，即可求得a的值； （2）由（1）中求得的a，即可补充频数分布直方图； （3）“良好”等级的占比乘以，即可求解； （4）1600与合格及以上占比的乘积即为所求． 【小问1详解】 解：（名）；； 故答案为：40；14； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：； 即扇形统计图中，“良好”等级对应的圆心角的度数是； 【小问4详解】 解：（名） 答：估计该校有1440名初中生一分钟跳绳次数达到合格及以上． 22. 市中心的一家时尚咖啡店推出了两款新颖的特色饮品，一款是“陨石拿铁”另一款是“摘星摩卡”．已知2杯“陨石拿铁”和5杯“摘星摩卡”总售价为240元；3杯“陨石拿铁”和4杯“摘星摩卡”总售价为234元． （1）求“陨石拿铁”和“摘星摩卡”各自的单价； （2）咖啡豆是制作咖啡饮品的主要原料之一，咖啡店老板发现今年第三季度平均每千克咖啡豆的价格比第二季度上涨了，第三季度花元买到的咖啡豆数量比第二季度花同样的钱买到的咖啡豆数量少了12千克，求第三季度咖啡豆的单价． 【答案】（1）“陨石拿铁”的单价为30元，“摘星摩卡”的单价为36元． （2）第三季度咖啡豆的单价为元/千克． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出分式方程． （1）设“陨石拿铁”的单价为x元，“摘星摩卡”的单价为y元，利用总价单价数量，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设第二季度咖啡豆的单价为元/千克，则第三季度咖啡豆的单价为元/千克，利用数量=总价÷单价，结合第三季度花6000元买到的绿豆数量比第二季度花同样的钱买到的绿豆数量少了12千克，即可得出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出m的值，再将其代入中，即可求出第三季度绿豆的单价． 【小问1详解】 解：(1)设“陨石拿铁”的单价为x元，“摘星摩卡”的单价为y元， 根据题意得：， 解得：． 答：“陨石拿铁”的单价为30元，“摘星摩卡”的单价为36元． 【小问2详解】 解：设第二季度咖啡豆的单价为元/千克，则第三季度咖啡豆的单价为元/千克， 根据题意得： ， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴． 答：第三季度咖啡豆的单价为元/千克． 23. 已知关于x的方程的两个解是；又已知关于x的方程的两个解是，，又已知关于x的方程的两个解是．小晰认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想：关于x的方程的两个解是．并且小晰在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）．小晰非常高兴，向其他同学提出了以下几个问题： （1）关于x的方程的解为 ； （2）关于x的方程的两个解分别为m，n，求的值； （3）关于x的方程的两个解是，若是正整数，求满足条件的整数k的值． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解，掌握题干中方程的特征和方程的解是解题的关键： （1）根据题干方法求方程的解即可； （2）由题意可知：，利用完全平方公式变形计算即可； （3）将方程变形为，得到，进而得到，再根据是正整数，进行求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ∴关于x的方程的解为，； 【小问2详解】 由题意可知：， ∴； 【小问3详解】 ， ， ∵关于x的方程的两个解是， ∴， ∴， ∴， ∵是正整数， ∴是正整数， ∴或，是5的约数， ∴或， ∵为整数， ∴或． 24. 如图，在中，，，D，E分别为，边上的点，连接，交于点F，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，以为边作，，，连接，G为中点，连接，求证：； （3）如图3，P为上一点，连接，H为中点，连接，M，N分别为，上的点，连接，交于点O，若，，，，直接写出的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）证明即可得出结论； （2）延长至点，使得，连接，则，证明，得到．由得到，从而证明，得到，因此．证明，得出，因此，进而即可得出结论； （3）延长至点K，使得，连接，则，证明，得到，，得出，因此．延长至点L，使得，连接，根据，，得到，从而证明，得到，，证明，得到，求出，得到． 【小问1详解】 证明：∵在与中， ∴ ． 【小问2详解】 证明：延长至点，使得，连接， ， 为中点， ， ∵在与中， ， ， ， ， ，即． ∵在与中， 由（1）得， ∴， ， ， ， ，即， ，即， ∴． ∵在与中， ． 【小问3详解】 解：延长至点K，使得，连接，则 ∵点H是的中点， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 延长至点L，使得，连接， ∵，， ∴在四边形中，， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $