精品解析： 浙江省宁波大学青藤书院2024-2025学年七年级下学期月考数学试卷（5月份）

2024-2025学年浙江省宁波大学青藤书院七年级（下） 月考数学试卷（5月份） 一、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方，给出下面四个单项式：，，，其中满足条件的共有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 由于式子“…”较长，书写不方便，我们可以将其表示为，这里“”是求积符号．例如：…可表示为，又如…可表示为，阅读上述材料后请计算 （ ） A. B. C. D. 3. 把棱长为4的正方体分割成29个棱长为整数的正方体（且没有剩余），其中棱长为1的正方体的个数为( ) A. 23 B. 24 C. 25 D. 26 4. 已知实数，满足，则代数式值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 5. 关于x的分式方程无解，则a的值是______． 6. 已知关于，的二元一次方程，当每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，这个公共解为______． 7. 已知代数式的值为0，则的值为______． 8. 已知实数a，b，c满足，则值为______． 9. 已知关于x方程的解为和，则关于x的方程的解为______． 10. 已知，，均是大于的正整数，且满足，则符合条件的数对共有______组． 三、解答题：本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 11 因式分解： （1）； （2）； （3） 12. 一组数：，，…，，它们分别从0，1，2这三个数中任意选取，若…且…，则，，…，中取值为2的个数有多少个？ 13. 【阅读理解】配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值．对于任意正实数a，b，可作如下变形（提示：）； ， 又， ，即. 当且仅当，即时等号成立． 【小试牛刀】（1）若，代数式的最小值为______，此时______． 【实际应用】（2）某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，一面利用墙体将该区域用篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，如图1所示，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少为多少米？ 【灵活应用】（3）如图2，四边形的对角线、相交于点O，、的面积分别为9和4，求四边形面积的最小值． 14. 欧拉是18世纪瑞士著名的数学家、物理学家、天文学家．以欧拉命名的常数、公式、定理随处可见．在分式中，就有这样一个欧拉分式： （1）请你对欧拉分式中，当时的情况进行证明； （2）请你利用欧拉分式解决下列问题： 计算：； 求值．（带特殊值不给分） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年浙江省宁波大学青藤书院七年级（下） 月考数学试卷（5月份） 一、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方，给出下面四个单项式：，，，其中满足条件的共有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式的特点是解此题的关键，根据公式的特点逐个进行判断，即可得出答案． 【详解】解：由题意可知， 是完全平方式，满足条件； 不是完全平方式，不满足条件； 是完全平方式，满足条件； 是完全平方式，满足条件， 所以满足题意的条件有个． 故选：． 2. 由于式子“…”较长，书写不方便，我们可以将其表示为，这里“”是求积符号．例如：…可表示为，又如…可表示为，阅读上述材料后请计算 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查数式规律问题，分式的加减法，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． 根据题意列式为…，然后利用平方差公式计算即可． 【详解】解：原式… … … ， 故选：B． 3. 把棱长为4的正方体分割成29个棱长为整数的正方体（且没有剩余），其中棱长为1的正方体的个数为( ) A. 23 B. 24 C. 25 D. 26 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，立体图形的求解，解题的关键是分三种情况考虑，得到符合题意的可能，再列方程求解． 从三种情况进行分析：（1）只有棱长为1的正方体；（2）分成棱长为3的正方体和棱长为1的正方体；（3）分成棱长为2的正方体和棱长为1的正方体． 【详解】棱长为4的正方体的体积为64， 如果只有棱长为1的正方体就是64个不符合题意排除； 如果有一个的立方体（体积27），就只能有的立方体个，，不符合题意排除； 所以应该是有和两种立方体． 则设棱长为1的有x个，则棱长为2的有个， 解方程：， 解得：． 所以小明分割的立方体应为：棱长为1的24个，棱长为2的5个． 故选：B． 4. 已知实数，满足，则代数式值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，解题关键是注意配方法的基本步骤，在变形过程中不能改变式子的值．把第个多项式中的写成，第个多项式中的写成，然后每个多项式都写成一个完全平方公式与一个常数的和，再根据平方项的非负性，列出关于和的方程，解方程求出，，再代入所求式子进行计算即可． 详解】解：， ， 则， ，， 最小值为，最小值为， 当，时，满足， 解得：，， ， 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 5. 关于x的分式方程无解，则a的值是______． 【答案】1或2##2或1 【解析】 【分析】找出方程中各分式的公分母：，然后方程两边同乘上，化为整式方程可解． 【详解】解： ， ①当时，即，方程无解，符合题意； ②当时，即，方程的解是 又因为分式方程无解，得出分母，是分式方程的增根， 故，解得， 所以所求的值是1或2． 故答案为：1或2． 【点睛】本题考查分式方程增根情况及运用，解题的关键是注意关键词“无解”与增根的关系． 6. 已知关于，的二元一次方程，当每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，这个公共解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，解二元一次方程组，理解题意并列出正确的方程组是解题的关键．将原方程整理后得到关于，的方程组，解方程组即可得到这些方程的公共解． 【详解】解：已知是关于，的二元一次方程， 去括号得：， 整理得：， 当每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解， 可得方程组， 解得：， 这些方程的公共解为， 故答案为： 7. 已知代数式的值为0，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是正确的进行化简，利用整体代入法进行计算． 根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可． 【详解】解：， ，， 原式 ． 故答案为：． 8. 已知实数a，b，c满足，则的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】依据题意可得，进而得到，则或，再计算即可得解． 本题主要考查了分式的混合运算，解题时要能根据题意利用完全平方式进行转化是关键 【详解】解：由题意，∵ ∴ ∵ ∵ ∴ ∴ 或 则，即或，即 或 故答案为：或 9. 已知关于x的方程的解为和，则关于x的方程的解为______． 【答案】和 【解析】 【分析】本题考查了分式方程，熟练掌握分式方程的解法，利用换元法求解方程是解题的关键 令代入方程，整理得到，则和是方程解，由此可求关于x的方程的解． 【详解】解：令， 方程可化为， 整理得， 方程的解为和， 和， 关于x的方程的解为和， 经检验，和是方程的解， 方程的解为和， 故答案为：和 10. 已知，，均是大于的正整数，且满足，则符合条件的数对共有______组． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了提取公因式中基本公式的形式认知，同时考查了分情况讨论的能力，基本公式和枚举法的应用是解题关键．通过将给定的方程重新排列移项，然后再进行分层次提取公因式，再根据式子的关系枚举法求数值的取值个数即可． 【详解】解：， ， ， ， ，，均是大于的正整数， 当时，， 当，时，， ，，即； 当，时，， ，，即； 当，时，， ，，即； 当时，无法得到符合题意的值， ，，三个取值可以互换， 所对应的，，三个取值有种可能， 所对应的，，三个取值有种可能， 所对应的，，三个取值有种可能． (组)． 故答案为： 三、解答题：本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 11. 因式分解： （1）； （2）； （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是用提公因式法和公式法分解因式； （1）运用完全平方公式分解因式即可； （2）运用整体代入思想分解因式即可； （3）运用公式法、提公因式法分解因式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， 设， 原式 ； 【小问3详解】 解： ． 12. 一组数：，，…，，它们分别从0，1，2这三个数中任意选取，若…且…，则，，…，中取值为2的个数有多少个？ 【答案】个数有1000个 【解析】 【分析】本题考查数字的变化规律，根据所给的式子的结果，找到数的运算规律是解题的关键 根据题意先求1的个数为个，再求2的个数为个即可． 【详解】解：…， 的个数为个，0和2两个数共有1002个数， …， ，其中2000是所有0和2两个数的和， 个2和是2000，其余是0， 的个数有个， ，，…，中取值为2的个数有1000个． 13. 【阅读理解】配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值．对于任意正实数a，b，可作如下变形（提示：）； ， 又， ，即. 当且仅当，即时等号成立． 【小试牛刀】（1）若，代数式的最小值为______，此时______． 【实际应用】（2）某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，一面利用墙体将该区域用篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，如图1所示，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少为多少米？ 【灵活应用】（3）如图2，四边形的对角线、相交于点O，、的面积分别为9和4，求四边形面积的最小值． 【答案】（1）6； （2）所用的篱笆至少为36米 （3）最小值为 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较、完全平方公式的运用，用配方法求最值，理解在（a、b均为正实数）中，当且仅当a、b满足时，有最小值是解题的关键． 本题主要考查了完全平方公式的变形在求最值中的应用，正确理解题意并举一反三是解题关键； （1）依据题意，设，则由，得，进而当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为6，故可得解； （2）设花圃的宽为x米，则长为米，所用的篱笆，据此即可求解； （3）设，由三角形的面积公式可知，若两三角形底边上的高相等，则其面积比等于底边之比，由此可将表示出来．写出四边形ABCD的面积的表达式，利用题中结论求其最小值即可． 【详解】解：（1）由题意，设， 由，得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为 故答案为：6； （2）由题意，设花圃的宽为x米，则长为米， 所用的篱笆， 又令，， 由， ． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为36， 答：所用的篱笆至少为36米． （3）由题意，设， 与底边上的高相等，与底边上的高相等， ， 又， ， 当时，即时取等号． 四边形面积的最小值为25． 14. 欧拉是18世纪瑞士著名的数学家、物理学家、天文学家．以欧拉命名的常数、公式、定理随处可见．在分式中，就有这样一个欧拉分式： （1）请你对欧拉分式中，当时的情况进行证明； （2）请你利用欧拉分式解决下列问题： 计算：； 求的值．（带特殊值不给分） 【答案】（1）详见解析 （2）； 【解析】 【分析】本题主要考查分式的加减法、有理数的加减混合运算、分式的值，熟练掌握以上运算法则是解题的关键． （1）先通分，再化简计算即可； （2）①令，，，进而得出答案； ②对原式进行变形，即可得出答案． 【小问1详解】 解：当时， 原式 ； 【小问2详解】 解：①令，，， 则原式； ②原式 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$