精品解析：宁夏回族自治区银川市第十七中学2025-2026学年第二学期九年级中考考前学情自测数学试卷

银川市第十七中学2025-2026学年第二学期 九年级数学学科三模考试试卷 （时间120分钟，满分120分） 一、选择题．（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 围棋是中华民族发明的博弈活动．下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 《2025年中国卫星导航与位置服务产业发展白皮书》显示，去年我国卫星导航与位置服务产业总产值达5758亿元．将“5758亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日兰州正午太阳光线与水平面的夹角为．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角度数是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，下列四个点中，表示1的点可能是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形是的内接四边形，，，直线与相切于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是（ ） A. 的值是5 B. 该组数据的平均数是7 C. 该组数据的众数是6 D. 若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小 8. 将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（ ） A. 图象与轴的交点坐标是 B. 当时，函数取得最大值 C. 图象与轴两个交点之间的距离为 D. 当时，的值随值的增大而增大 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 分解因式：_______． 10. 计算：________． 11. 如图，五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，．若的长为3，则的长为________． 12. 如图是小华与人工智能软件的对话内容，人工智能软件在深度思考后，给出的正确答案是________ 有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再加上这个数，其运算结果等于这个数的相反数． 13. 如图，正八边形的顶点A，B，G，H在坐标轴上，顶点C，D，E，F在第一象限．点F在反比例函数的图象上，若，则k的值为________． 14. 一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单位：）如图，这枚古钱币的半径为____________ ． 15. 如图，在矩形中，，把该矩形绕点顺时针旋转度得矩形，点落在的延长线上，则图中阴影部分的面积是_____． 16. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，C分别在x轴，y轴上，点O是坐标原点，点是边上一点，点M、N都是x轴上的动点，若点，（点M在点N的左侧），则最小时，点M的坐标是___________． 三、解答题（本题共10小题，共72分） 17. 解不等式组： 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 由边长为1的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，请用无刻度直尺按要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中画出的外心点O． （2）如图②，在线段上找一点D使得． （3）在图③中的线段上作点Q，使最短． 20. 2025年1月，哈尔滨亚冬会举办前，亚冬会组委会为使参与服务的志愿者队伍整齐一致，随机抽取部分志愿者，对其身高情况进行了调查，将身高（单位：）数据分为、、、、五组，并制成了如下不完整的统计图表． 组别 身高分组 人数 5 4 12 9 根据以上信息回答： （1）这次抽查的志愿者共有________人，扇形统计图中的圆心角度数是________，请补全条形统计图． （2）若组的4人中，男女志愿者各有2人，从中随机抽取2人担任组长，请用列表法或画树状图法，求出刚好抽中两名女志愿者担任组长的概率． 21. 根据图中的信息，解答下列问题． （1）如果放入6个球，水面升高了，那么放入的大球、小球各多少个？ （2）要使水面升高，有哪几种放球的方案？ 22. 如图，码头位于码头的南偏东方向，，之间的距离为，灯塔在的中点处．轮船甲从出发，沿正南方向航行，轮船乙从出发，沿正东方向航行．当甲航行到处时，乙航行了相同的距离到达处，此时，，，三点恰好在一条直线上．求甲航行的距离．（参考数据：） 23. 如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°． （1）求∠ABC的度数； （2）求证：AE是⊙O的切线； （3）当BC=4时，求劣弧AC的长． 24. 如图，在中，是边上的中线，以为边作，连接分别与相交于点． （1）求证：四边形为正方形； （2）若，求的长． 25. 综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合． 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为． 数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，所在直线为x轴，过点O与所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长； （3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，．仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）． 26. 如图，矩形中，对角线，相交于点O．M是的中点，交于点G． （1）求证：； （2）设，的角平分线交于点I． ①当，时，求点I到的距离； ②若，作直线分别交，于E，F两点，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川市第十七中学2025-2026学年第二学期 九年级数学学科三模考试试卷 （时间120分钟，满分120分） 一、选择题．（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 围棋是中华民族发明的博弈活动．下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意； B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故B不符合题意； C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C不符合题意； D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故D符合题意． 故选：D． 2. 《2025年中国卫星导航与位置服务产业发展白皮书》显示，去年我国卫星导航与位置服务产业总产值达5758亿元．将“5758亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：将数据5758亿用科学记数法表示为； 故选B． 3. 如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日兰州正午太阳光线与水平面的夹角为．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂直的定义，余角的性质．由题意得，代入数据计算即可求解． 【详解】解：∵集热板与太阳光线垂直， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查幂的相关运算与合并同类项法则，根据对应运算法则逐个计算选项即可得到正确结果． 【详解】解：， 选项A不符合题意； ， 选项B不符合题意； ， 选项C不符合题意； ， 选项D符合题意． 5. 实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，下列四个点中，表示1的点可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用数轴比较大小，实数与数轴，先理解题意，得与是符号不相同，再由数轴得 ，则，得，故表示1的点可能是，即可作答． 【详解】解：依题意，，且与是符号不相同， 观察数轴，得， ∴， 则， ∴在和之间， ∴表示1的点可能是， 故选：C 6. 如图，四边形是的内接四边形，，，直线与相切于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，以及切线性质定理，等腰三角形的性质，根据可得，可求出的度数，再由和圆内接四边形的性质可求解的度数，根据圆周角定理求出，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，最后根据切线性质定理即可求解． 【详解】解：连接，，，如图， ∵，， ∴， ∵，四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵直线为的切线， ∴， ∴． 故选：C ． 7. 求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是（ ） A. 的值是5 B. 该组数据的平均数是7 C. 该组数据的众数是6 D. 若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是方差的计算，众数的含义，平均数的含义，根据方差公式及数据特征，逐一分析选项的正误． 【详解】解：选项A、算式中平方差项数为5，对应数据个数，正确． 选项B、平均数，正确． 选项C、数据中6和8均出现2次，次数最多，故众数为6和8，而非仅6，错误． 选项D、加入两个7后，数据更集中，方差由减小为，正确． 综上，错误的说法是C． 故选C 8. 将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（ ） A. 图象与轴的交点坐标是 B. 当时，函数取得最大值 C. 图象与轴两个交点之间的距离为 D. 当时，的值随值的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，以及图象的翻折变换，图象的翻折变化对函数图象的影响变化，正确分析变换前后点的坐标，函数的最值，以及增减性是解决本题的关键． 先求出二次函数翻折前图象与轴的交点坐标，即可求解翻折后图象与轴的交点坐标，判断A选项即可；根据图象可知函数的最大值，判断B选项即可；求解出二次函数与轴的交点坐标，求解距离判断C选项；根据函数图象即可判断D选项． 【详解】解：A选项，二次函数， 令，解得， ∴原二次函数与轴的交点坐标为， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标是，A选项错误； B选项，二次函数， 对称轴为， 将代入函数解析式可得， ∴原二次函数顶点坐标为， 翻折后新函数图象的对称轴不变，为， 在处，函数没有最大值，B选项错误； C选项，二次函数， 令，则有， 即，解得，， ∴原二次函数与轴的交点坐标为，， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标不变，为，， ∴图象与轴两个交点之间的距离为，C选项正确； D选项，新函数图象的对称轴为， 由图象可知，函数在时，的值随值的增大而减小， 当时，的值随值的增大而增大，D选项错误． 故选：C ． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 原式提取7，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 10. 计算：________． 【答案】1 【解析】 【详解】解： 11. 如图，五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，．若的长为3，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据A，的坐标求出位似比，即可求出的长． 【详解】解：∵点A，的坐标分别为， ∴五边形，的位似比为， ∴， ∴． 12. 如图是小华与人工智能软件的对话内容，人工智能软件在深度思考后，给出的正确答案是________ 有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再加上这个数，其运算结果等于这个数的相反数． 【答案】或 【解析】 【分析】设这个数为，根据题意列出一元二次方程，再通过因式分解法求解方程，得到符合条件的数． 【详解】解：设这个数为，根据题意得 ， 解得， 故给出的正确答案是或． 13. 如图，正八边形的顶点A，B，G，H在坐标轴上，顶点C，D，E，F在第一象限．点F在反比例函数的图象上，若，则k的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正八边形的性质，等腰直角三角形的性质，待定系数法求反比例函数解析式，求得的坐标是解题的关键．作轴于，求得正八边形的内角的度数，即可求得△是等腰直角三角形，△是等腰直角三角形，进而得出，得到，利用待定系数法即可求得的值． 【详解】解：作轴于， 正八边形中，内角的度数为， ， ， △是等腰直角三角形， 同理△是等腰直角三角形， ， ， ， 点在反比例函数的图象上， ． 故答案为：． 14. 一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单位：）如图，这枚古钱币的半径为____________ ． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，正方形的性质，勾股定理，先根据题意，则是的直径，过作，连接，再结合正方形的性质以及垂径定理得，，由勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：如图所示：是的直径，过作，连接， 依题意，， ∵， ∴，， ∵一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔， ∴， 在中，， 即这枚古钱币的半径为， 故答案为：13 15. 如图，在矩形中，，把该矩形绕点顺时针旋转度得矩形，点落在的延长线上，则图中阴影部分的面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据题意利用锐角三角函数关系得出旋转角的度数，进而求出，即可得出阴影部分面积． 【详解】解：∵在矩形中，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了矩形的性质以及旋转的性质以及扇形面积公式等知识，得出旋转角的度数是解题关键． 16. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，C分别在x轴，y轴上，点O是坐标原点，点是边上一点，点M、N都是x轴上的动点，若点，（点M在点N的左侧），则最小时，点M的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据是固定长度，要使最小，只需让最小．将点向右平移1个单位得到，此时，问题转化为：在x轴上找一点，使最小．作点关于x轴的对称点，则，连接，其与x轴的交点即为使最小的点．求出直线的解析式，令得，再根据向左平移1个单位，得到． 【详解】解：∵四边形是正方形，点， ∴，点，点． ∵为定值， ∴要使最小，只需使最小． 将点向右平移1个单位，得到点． ∵轴，且， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∴， 作点关于轴的对称点，则． 根据轴对称的性质，， ∴． 根据“两点之间，线段最短”，连接，与轴的交点即为使最小的点，即最小时的点， 设直线的解析式为（， 将、代入，得：， 解得． ∴直线的解析式为． 令，则， 解得， ∴点的坐标为． ∵点在点的左侧，且， ∴点的横坐标为，纵坐标为． ∴点的坐标为． 三、解答题（本题共10小题，共72分） 17. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【详解】解：， 解不等式①得： 解不等式②得：， 不等式组的解集为 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算、分母有理化等知识．先把括号内通分，并把除法转化为乘法，然后约分化简，再把代入即可即可． 【详解】解： ． 当时， 原式． 19. 由边长为1的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，请用无刻度直尺按要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中画出的外心点O． （2）如图②，在线段上找一点D使得． （3）在图③中的线段上作点Q，使最短． 【答案】（1）如图，点O即为所求； （2）如图，点D即为所求； （3）如图，点Q即为所求． 【解析】 【分析】（1）取中点O即为所求； （2）取与网格线交点D即为所求； （3）取格点G，连接交于点Q即为所求． 【小问1详解】 解：如图，连接， 由网格特点得，， ∴点A，B，C在以点O为圆心的圆上， ∴点O为的外心； 【小问2详解】 解：如图，取格点E，F， ∵ ∴ ∴； 【小问3详解】 解：如图，取格点H， ∵，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴最短． 20. 2025年1月，哈尔滨亚冬会举办前，亚冬会组委会为使参与服务的志愿者队伍整齐一致，随机抽取部分志愿者，对其身高情况进行了调查，将身高（单位：）数据分为、、、、五组，并制成了如下不完整的统计图表． 组别 身高分组 人数 5 4 12 9 根据以上信息回答： （1）这次抽查的志愿者共有________人，扇形统计图中的圆心角度数是________，请补全条形统计图． （2）若组的4人中，男女志愿者各有2人，从中随机抽取2人担任组长，请用列表法或画树状图法，求出刚好抽中两名女志愿者担任组长的概率． 【答案】（1）40，， 补全条形统计图如下： （2） 【解析】 【分析】此题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，树状图或列表法求概率，准确理解题意是解题的关键． （1）先根据D组的人数和百分比求出抽查的总人数，再利用乘以组的的百分比即可求出扇形统计图中的圆心角度数，再求出C组的人数并补全统计图即可； （2）画出树状图或列表法得到所有等可能情况，用概率公式求出答案即可． 【小问1详解】 解：这次抽查的志愿者共有：（人）， 扇形统计图中的圆心角度数是， C组的人数为（人）， 故答案为：40， 【小问2详解】 解：设2名男志愿者分别记作、，2名女志愿者分别记作、 根据题意可以画出如下的树状图 列表法如下图 由树状图法或列表法可以看出共有12种结果出现的可能性相等，选中的2名女志愿者担任组长的是和的情况有两种. 21. 根据图中的信息，解答下列问题． （1）如果放入6个球，水面升高了，那么放入的大球、小球各多少个？ （2）要使水面升高，有哪几种放球的方案？ 【答案】（1）放入2个大球，4个小球 （2）放球的方案有：只放入6个小球；放入3个大球和2个小球 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程（组）解实际应用题，读懂题意，找准等量关系列出方程或方程组求解是解决问题的关键． （1）由题意可知放入一个小球水面升高的高度、放入一个大球水面升高的高度为，设放入大球个，小球个，列二元一次方程组求解即可得到答案； （2）设放入大球个，小球个，列二元一次方程，讨论求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：由图知，放入一个小球水面升高的高度为：； 放入一个大球水面升高的高度为：； 设放入大球个，小球个， 根据题意得， 解得， 放入2个大球，4个小球水面升高； 【小问2详解】 解：设放入大球个，小球个， 根据题意得， 解得或， 放球的方案有：只放入6个小球；放入3个大球和2个小球． 22. 如图，码头位于码头的南偏东方向，，之间的距离为，灯塔在的中点处．轮船甲从出发，沿正南方向航行，轮船乙从出发，沿正东方向航行．当甲航行到处时，乙航行了相同的距离到达处，此时，，，三点恰好在一条直线上．求甲航行的距离．（参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】延长，交点为，过点作于点，过作交于点．设，根据题意可得，解方程得出答案． 【详解】解：如图，延长，交点为，过点作于点，过作交于点． 由题意得，，，， ，之间的距离为，在的中点处， ， ∵中，， ，， ，为中点， ∴， 为的中点， 即，， 设， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ∴, , ， ， 解得， 答：甲航行的距离约为． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，勾股定理，平行线分线段成比例定理，全等三角形的性质和判定，掌握锐角三角函数的定义，理解方向角的概念是解题的关键． 23. 如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°． （1）求∠ABC的度数； （2）求证：AE是⊙O的切线； （3）当BC=4时，求劣弧AC的长． 【答案】（1）60°;(2)证明略;(3) 【解析】 【分析】（1）根据∠ABC与∠D都是劣弧AC所对的圆周角，利用圆周角定理可证出∠ABC=∠D=60°； （2）根据AB是⊙O的直径，利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，结合∠ABC=60°求得∠BAC=30°，从而推出∠BAE=90°，即OA⊥AE，可得AE是⊙O的切线； （3）连结OC，证出△OBC是等边三角形，算出∠BOC=60°且⊙O的半径等于4，可得劣弧AC所对的圆心角∠AOC=120°，再由弧长公式加以计算，可得劣弧AC的长． 【详解】（1）∵∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角， ∴∠ABC=∠D=60°； （2）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°． ∴∠BAC=30°， ∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°， 即BA⊥AE， ∴AE是⊙O的切线； （3）如图，连接OC， ∵OB=OC，∠ABC=60°， ∴△OBC是等边三角形， ∴OB=BC=4，∠BOC=60°， ∴∠AOC=120°， ∴劣弧AC的长为==． 【点睛】本题考查了切线长定理及弧长公式，熟练掌握定理及公式是解题的关键. 24. 如图，在中，是边上的中线，以为边作，连接分别与相交于点． （1）求证：四边形为正方形； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的“三线合一”得到，从而是矩形，由直角三角形斜边上中线的性质得到，从而得到矩形是正方形； （2）先由勾股定理求得，进而得到，根据正方形的性质得到，，因此，，证明得到，即可解答． 【小问1详解】 证明：∵，是边上的中线， ∴， ∴是矩形， ∵，是边上的中线， ∴，， ∴， ∴矩形是正方形． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，． ∵在正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查直角三角形的性质，正方形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握直角三角形的性质及正方形的性质是解题的关键． 25. 综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合． 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为． 数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，所在直线为x轴，过点O与所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长； （3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，．仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）． 【答案】（1），；（2）起跳点P与落地点Q的水平距离的长为；（3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，读懂题意，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据起跳点与落地点的距离为，得到对称轴为直线，根据运动路线的最高点距地面，得到顶点纵坐标为，写出顶点坐标，列出顶点式，把代入，求出函数解析式即可； （2）根据抛物线的形状不变，利用平移思想，写出新的函数解析式，令，求出的值，进而求出的长即可； （3）设该平台的高度为，根据题意，得到新的抛物线的解析式为：，根据仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物，得到抛物线过点，代入求解即可； 【详解】解：（1）由题意，得：抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为， ∴顶点坐标为， 设抛物线的函数解析式为：， ∵图象过原点， ∴，解：， ∴； （2）∵抛物线的形状不变，点， 故第二次的函数图象可以看作由（1）的抛物线向上平移75个单位长度，得到的， ∴新的抛物线的解析式为：， 当时，， 解得：，（舍去）； 故起跳点P与落地点Q的水平距离的长为； （3）设该平台的高度为，由题意，设新的函数解析式为：， ∵，仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳， 由题意，仿青蛙机器人经过正上方处，即抛物线经过点，即：， ∴把代入，得：，解得：； 故设该平台的高度为． 26. 如图，矩形中，对角线，相交于点O．M是的中点，交于点G． （1）求证：； （2）设，的角平分线交于点I． ①当，时，求点I到的距离； ②若，作直线分别交，于E，F两点，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）①2；② 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的性质、平行四边形性质与判定及相似三角形判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先证明，根据相似三角形性质即可证明结论； （2）①过点I作，垂足为H，设，借助三角形面积求出即可；②作，垂足为H，作，垂足为Q，设，，，借助三角形面积求出，再通过求出，证明四边形是平行四边形，从而证明，即可求出结论． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①在中，∵，， ∴， ∴， 如图，过点I作，垂足为H， 设，则， 即， ∴，即， ∴点I到的距离为2； ②如图，作，垂足为H，作，垂足为Q， 设，，， 由可得：， 在中，由可得， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $