精品解析：2026年宁夏回族自治区固原市五原中学九年级考前测试 数学试题

五原中学2025--2026学年度第二学期第三次模拟考试 初三数学试卷 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列四个数中，是负数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正数和负数，掌握在正数前面加负号叫做负数是解题的关键．先利用绝对值，相反数的定义及有理数乘方的运算法则，计算各数，再根据正负数的定义判断即可． 【详解】解：A.是负数，故选项A符合题意； B. 是正数，故选项B不符合题意； C. 是正数，故选项C不符合题意； D.是正数，故选项D不符合题意； 故选：A． 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，积的乘方计算，同底数幂除法计算，二次根式的加减计算．根据相关计算法则计算即可判断． 【详解】解：A、，本选项符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：A． 3. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据从上面看到的图形是俯视图，即可求解． 【详解】解：该几何体的俯视图是 4. 某校开展安全知识竞赛，进入决赛的学生有20名，他们的决赛成绩如下表所示：则这20名学生决赛成绩的中位数和众数分别是（ ） 决赛成绩/分 100 99 98 97 人数 3 7 6 4 A. 98，98 B. 98，99 C. 98.5，99 D. 98.5，98 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了众数及中位数的定义，众数是一组数据中出现次数最多的那个数．当有奇数个数时，中位数是从小到大排列顺序后位于中间位置的数；当有偶数个数时，中位数是从小到大排列顺序后位于中间位置两个数的平均数．据此求解即可． 【详解】解：∵99出现了7次，出现的 次数最多， ∴众数是99； ∵从小到大排列后排在第10和11位的分别是98和99， ∴中位数是． 故选C． 5. 如图，在矩形中，，交于点，，，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得，结合可判定为等边三角形，从而求出的长，最后在中利用勾股定理求解． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴， ∵ ∴， ∵ ∴是等边三角形 ∴ 在中， 6. 若二次函数的图象与x轴只有一个交点，则实数c的值为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 64 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．二次函数的图象与x轴个数由判别式Δ决定．当时，图象与x轴有且仅有一个交点． 【详解】解：二次函数，其判别式为： ， 由题意，图象与x轴仅有一个交点，故，即： ， 解得： ， 因此，实数的值为4， 故选：A． 7. 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点是线段上一点，若满足，则称点是的黄金分割点．世界上最有名的建筑物中几乎都包含“黄金分割”．如图，若上海东方明珠塔的塔高为米，为塔的黄金分割点，设，则满足的方程是（ ） A. B. C. D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查黄金分割点的意义，根据黄金分割点的定义列式判断即可．正确理解新定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵为塔的黄金分割点， ∴，即， ∴． 故选：C． 8. 已知二次函数（）与反比例函数（）在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则一次函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数开口及顶点判断，的正负，根据反比例函数图象所在象限判断的正负，结合一次函数图象性质即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数图象开口向下， ∴， ∵二次函数图象与y轴交于正半轴， ∴ ∵反比例函数图象在第二，四象限， ∴， 一次函数过一、二、四象限． 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 若反比例函数的图象经过点，则的值为____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ∴ 解得． 10. 若，则____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴． 11. 不等式组的解集为____________． 【答案】 【解析】 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：． 12. 在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机抽出一个球．记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的频率是0.2，则估计盒子中大约有红球______个． 【答案】16 【解析】 【详解】解：设红球有x个，根据题意得， x=4÷0.2-4=16 解得x=16， 故答案为：16． 13. 圆锥的底面半径，高，则圆锥的全面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出圆锥的母线，再根据公式求侧面积，最后得出圆锥的全面积． 【详解】解：由勾股定理得，母线， ∴， ∵底面积为， ∴圆锥的全面积是． 14. 如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB＝7，则△ABC的周长为_____． 【答案】17 【解析】 【分析】首先根据题意可得MN是AB的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得AD=BD，再根据△ADC的周长为10可得AC+BC=10，又由条件AB=7可得△ABC的周长． 【详解】解：∵在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD． ∴MN是AB的垂直平分线， ∴AD=BD， ∵△ADC的周长为10， ∴AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=10， ∵AB=7， ∴△ABC的周长为：AC+BC+AB=10+7=17． 故答案为17． 15. 正六边形与正五边形按如图方式摆放，点A，B，G在一条直线上，则的度数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正多边形内角和公式分别求出正六边形和正五边形的内角度数，再根据平角的定义得出的度数，利用求解即可． 【详解】解：正六边形的每个内角的度数为， ， 正五边形的每个内角的度数为， ， 点A，B，G在一条直线上， ， ． 16. 嘉嘉设计了一个“幻方”游戏，现在将分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点上的个数字之和都相等，则的值为____________． 【答案】或 【解析】 【分析】由于八个数的和是，所以需满足两个圈的和是，横、竖的和也是．列等式可得结论． 【详解】解：设小圈上的数为，大圈上的数为， ，且横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等， 两个圈的和各为，横、竖的和也各为， 则， 得， 由， 得， 由， 得， 当时，，则， 当时，，则， 三、解答题（共72分） 17. 解方程：． 【答案】. 【解析】 【分析】方程先两边同时乘以，去分母化为整式方程，解得，再检验即可解答. 【详解】解：， 方程两边同时乘以，得 ， ∴， 将检验是方程的解； ∴方程的解为. 【点睛】本题考查分式方程的解；掌握分式方程的求解方法，验根是关键． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算、分母有理化等知识．先把括号内通分，并把除法转化为乘法，然后约分化简，再把代入即可即可． 【详解】解： ． 当时， 原式． 19. 如图是的正方形网格，小正方形的边长均为．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中作出的中线； （2）在图2中的线段上作点，使最短． 【答案】（1）如图所示： （2）如图所示： 【解析】 【分析】（1）取格点，，连接交于，连接，则即为所求； （2）取格点，连接交于点，由垂线段最短可知，即为所求． 【小问1详解】 解：如图1，取格点，，连接交于， 由矩形的性质可知，为中点，连接，则即为所求； 【小问2详解】 解：如图2，取格点，连接交于点， 在和中， ， ， ， 又， ， ，即， 由垂线段最短可知，即为所求． 20. 【代数推理】阅读下列材料，并完成相应任务． 我们已经知道，能被3整除的数的特征是这个数的各个数位上数的和是3的倍数．证明如下： 已知：一个三位数的百位、十位和个位上的数字分别是a，b，c，若能被3整除． 求证：这个三位数也能被3整除． 证明：根据题意，得这个三位数为． ． ∵能被3整除，也能被3整除， ∴这个三位数能被3整除． 任务：一个四位数的千位、百位、十位和个位上的数字分别是a，b，c，d，若 能被3整除，求证：这个四位数也能被3整除． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，首先得到个四位数为，仿照题干给定的方法，将表示为的形式，即可得证． 【详解】证明：根据题意，得这个四位数为． ． 因为能被3整除，也能被3整除，所以这个四位数能被3整除． 21. 如图，已知菱形的对角线相交于点，点是菱形外一点，且，连接．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定、矩形的判定及性质和菱形的性质．根据平行四边形的判定定理得四边形为平行四边形，由矩形的判定定理得出四边形是矩形，则该矩形的对角线相等，即． 【详解】证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， 即， ∴四边形为矩形， ∴． 22. 铁塔（图1）位于河南省开封市，建于公元1049年，素有“天下第一塔”的美称．某数学兴趣小组用无人机测量铁塔的高度，测量方案如下：如图2，先将无人机垂直上升至距离地面的点处，测得铁塔顶端的俯角为；再将无人机沿铁塔的方向水平飞行到达点处，测得铁塔底端的俯角为． （1）求无人机在点处与铁塔的水平距离． （2）求铁塔的高度．（参考数据：） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数，解直角三角形，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形求解； （1）延长，交的延长线于点，得出为等腰直角三角形即可求解； （2）在中，由正切值求边长，再根据进行求解． 【小问1详解】 解：如图，延长，交的延长线于点，则． 由题意，得，． ， ， ． 答：无人机在点处与铁塔的水平距离为． 【小问2详解】 解：在中，， ． 答：铁塔的高度约为． 23. 劳动教育是新时代党对教育的新要求，是中国特色社会主义教育制度的重要内容，是全面发展素质教育的重要组成部分，是大中小学必须开展的教育活动．为此，某校拟组建（烹饪）、（种植）、（陶艺）、（木雕）4个劳动小组，规定每个学生必须参加且只能参加一个小组．为了解学生参加劳动小组的意愿，学校随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果制作了如图所示的两个不完整的统计图：请根据信息，解决下列问题： （1）参加这次调查的学生总人数为多少？将条形统计图补充完整； （2）请计算扇形统计图中部分扇形所对应的圆心角； （3）若该校共有3600名学生，请根据调查结果，估计该校选择小组的学生人数． （4）若该校在，，，四项中任选两项成立课外兴趣小组，请用画树状图或列表的方法求恰好选中项目和的概率． 【答案】（1），补充条形统计图见解析 （2） （3）估计选择D小组的学生人数为500人 （4） 【解析】 【分析】本题主要考查调查与统计的相关计算，利用列表法求概率，掌握由样本百分比估算总体数量的方法，圆心角的计算方法，列表法是解题的关键． （1）根据C组的人数与占比计算求解调查总人数，由此得到B组人数，即可补全条形图； （2）根据圆心角的计算方法求解即可； （3）根据样本百分比估算总体数量即可求解； （4）列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：调查总人数为：（人）； 选择B人数为：（人）； 答：参加调查的总人数为180人， 补全条形图如下， 【小问2详解】 解：， 答：B部分扇形所对应的圆心角为； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计选择D小组的学生人数为500人． 【小问4详解】 解：由题意，列表如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共12种等可能的结果，其中，恰好选中项目A和D的结果有2种， ∴． 24. 如图，是的外接圆，是的直径．半径，垂足为点E，连接． （1）求证：平分； （2）若，，求的半径． （3）在（2）的条件下，设与交与点F，求． 【答案】（1）见详解； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，角平分线，直径所对的圆周角为直角，勾股定理等知识．熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由垂径定理可得，则，进而结论得证； （2）如图，设，则，由勾股定理得即，求解即可； （3）连接，得，由勾股定理得，代入求值即可． 【小问1详解】 证明：∵半径， ∴， ∴， ∴平分 【小问2详解】 解：∵半径， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 【小问3详解】 由（1）得， 连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点是抛物线上位于第一象限的动点，当时，求此时点的坐标； （3）如图2，将原抛物线水平向右平移，使点落在点处，点是原抛物线对称轴上任意一点，在平移后的新抛物线上确定一点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，求出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）将，代入，解方程组即可； （2）设，则，，确定，根据得，继而得到，求解即可； （3）由得原抛物线对称轴是直线，根据将原抛物线水平向右平移，使点落在点处，可得原抛物线水平向右平移了个单位，平移后的抛物线是，设，，分三种情况：①以、为对角线，则的中点即是中点；②以、为对角线，则的中点即是中点；③以、为对角线，则的中点即是中点；分别画图求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，设， ∵点是抛物线上位于第一象限的动点， ∴，， ∵抛物线与轴交于点， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴； 【小问3详解】 解：∵原抛物线的解析式为，，， ∴原抛物线的对称轴是直线， ∵将原抛物线水平向右平移，使点落在点处， ∴原抛物线水平向右平移了个单位， ∴平移后的抛物线是， 设，， ①以、为对角线，则的中点即是中点，如图， ∴， 解得：， 此时点的坐标为； ②以、为对角线，则的中点即是中点，如图， ∴， 解得：， 此时点的坐标为； ③以、为对角线，则的中点即是中点，如图， ∴， 解得：， 此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或． 26. 综合与探究 【问题情境】 数学课上，老师让同学们以矩形为背景，探索动点运动过程中产生的数学问题．如图，已知四边形是矩形，E是其所在平面内的一动点，且，作线段的垂直平分线，分别交直线、、于点F、G、H． 【特例探究】 （1）如图，小豫画出了点在线段的延长线上时的图形，请你判断此时四边形的形状，并说明理由； （2）如图，小郑画出了点与点重合时的图形，请你猜想线段与之间的数量关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】 小宛继续改变点的位置（但不与点A重合），其他条件不变．请直接写出当直线经过点A时，的度数． 【答案】（1）四边形是正方形，详见解析； （2），详见解析； （3）的度数为或或． 【解析】 【分析】（）由垂直平分线的性质和矩形的性质可证明四边形是矩形，结合可判定四边形是正方形； （）根据含有的直角三角形的性质进行证明即可； （）根据点在上的位置分三类讨论，结合（）中的结论可得，，结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理，计算出即可． 【小问1详解】 解：四边形是正方形； 证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵是线段的垂直平分线， ∴，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴四边形是正方形； 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图，四边形是矩形，连接， ∴，， ∵，点与点重合， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴点是中点，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在直角中，， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：直线经过点时，的度数为或或，理由如下： 依据点在上的位置分三类讨论如下： 当点在线段上时，如图，设， 由（）可知，，， ∴， ∵， ∴在点运动的过程中，， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当点在线段的延长线上时，如图，设， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当点在线段的延长线上时，如图，设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 综上所述，直线经过点时，的度数为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 五原中学2025--2026学年度第二学期第三次模拟考试 初三数学试卷 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列四个数中，是负数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 某校开展安全知识竞赛，进入决赛的学生有20名，他们的决赛成绩如下表所示：则这20名学生决赛成绩的中位数和众数分别是（ ） 决赛成绩/分 100 99 98 97 人数 3 7 6 4 A. 98，98 B. 98，99 C. 98.5，99 D. 98.5，98 5. 如图，在矩形中，，交于点，，，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 6. 若二次函数的图象与x轴只有一个交点，则实数c的值为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 64 7. 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点是线段上一点，若满足，则称点是的黄金分割点．世界上最有名的建筑物中几乎都包含“黄金分割”．如图，若上海东方明珠塔的塔高为米，为塔的黄金分割点，设，则满足的方程是（ ） A. B. C. D. 以上都不对 8. 已知二次函数（）与反比例函数（）在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则一次函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 若反比例函数的图象经过点，则的值为____________． 10. 若，则____________． 11. 不等式组的解集为____________． 12. 在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机抽出一个球．记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的频率是0.2，则估计盒子中大约有红球______个． 13. 圆锥的底面半径，高，则圆锥的全面积是________． 14. 如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB＝7，则△ABC的周长为_____． 15. 正六边形与正五边形按如图方式摆放，点A，B，G在一条直线上，则的度数为_________． 16. 嘉嘉设计了一个“幻方”游戏，现在将分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点上的个数字之和都相等，则的值为____________． 三、解答题（共72分） 17. 解方程：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图是的正方形网格，小正方形的边长均为．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中作出的中线； （2）在图2中的线段上作点，使最短． 20. 【代数推理】阅读下列材料，并完成相应任务． 我们已经知道，能被3整除的数的特征是这个数的各个数位上数的和是3的倍数．证明如下： 已知：一个三位数的百位、十位和个位上的数字分别是a，b，c，若能被3整除． 求证：这个三位数也能被3整除． 证明：根据题意，得这个三位数为． ． ∵能被3整除，也能被3整除， ∴这个三位数能被3整除． 任务：一个四位数的千位、百位、十位和个位上的数字分别是a，b，c，d，若 能被3整除，求证：这个四位数也能被3整除． 21. 如图，已知菱形的对角线相交于点，点是菱形外一点，且，连接．求证：． 22. 铁塔（图1）位于河南省开封市，建于公元1049年，素有“天下第一塔”的美称．某数学兴趣小组用无人机测量铁塔的高度，测量方案如下：如图2，先将无人机垂直上升至距离地面的点处，测得铁塔顶端的俯角为；再将无人机沿铁塔的方向水平飞行到达点处，测得铁塔底端的俯角为． （1）求无人机在点处与铁塔的水平距离． （2）求铁塔的高度．（参考数据：） 23. 劳动教育是新时代党对教育的新要求，是中国特色社会主义教育制度的重要内容，是全面发展素质教育的重要组成部分，是大中小学必须开展的教育活动．为此，某校拟组建（烹饪）、（种植）、（陶艺）、（木雕）4个劳动小组，规定每个学生必须参加且只能参加一个小组．为了解学生参加劳动小组的意愿，学校随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果制作了如图所示的两个不完整的统计图：请根据信息，解决下列问题： （1）参加这次调查的学生总人数为多少？将条形统计图补充完整； （2）请计算扇形统计图中部分扇形所对应的圆心角； （3）若该校共有3600名学生，请根据调查结果，估计该校选择小组的学生人数． （4）若该校在，，，四项中任选两项成立课外兴趣小组，请用画树状图或列表的方法求恰好选中项目和的概率． 24. 如图，是的外接圆，是的直径．半径，垂足为点E，连接． （1）求证：平分； （2）若，，求的半径． （3）在（2）的条件下，设与交与点F，求． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点是抛物线上位于第一象限的动点，当时，求此时点的坐标； （3）如图2，将原抛物线水平向右平移，使点落在点处，点是原抛物线对称轴上任意一点，在平移后的新抛物线上确定一点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，求出所有符合条件的点的坐标． 26. 综合与探究 【问题情境】 数学课上，老师让同学们以矩形为背景，探索动点运动过程中产生的数学问题．如图，已知四边形是矩形，E是其所在平面内的一动点，且，作线段的垂直平分线，分别交直线、、于点F、G、H． 【特例探究】 （1）如图，小豫画出了点在线段的延长线上时的图形，请你判断此时四边形的形状，并说明理由； （2）如图，小郑画出了点与点重合时的图形，请你猜想线段与之间的数量关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】 小宛继续改变点的位置（但不与点A重合），其他条件不变．请直接写出当直线经过点A时，的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $