浙江省2025-2026学年高一下学期数学期末复习测试（五）统计与概率

**基本信息** 浙江省高一下学期统计与概率期末复习卷，通过分层抽样（第1题）、乒乓球比赛概率（第18题）等真实情境，覆盖统计量计算、概率模型等核心知识，突出数学应用与逻辑推理素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|分层抽样、方差性质、频率分布直方图|结合宁波等地期末真题，基础概念辨析| |多选题|3/18|互斥对立事件、样本方差|选项分层设计，考查逻辑严谨性（如第9题）| |填空题|3/15|百分位数、独立事件概率|简洁考查计算能力（第12题百分位数）| |解答题|5/77|频率分布直方图（第15题）、阶梯电价（第17题）、鉴宝差异量（第19题）|情境真实（社会热点、文化），综合考查数据处理与模型构建|

浙江省2025——2026学年高一下学期期末复习测试（五） 统计与概率 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1．（24-25高一下·浙江宁波·期末）某高中三个年级共有学生1200人，其中高一500人，高二400人，高三300人，该校为了解学生睡眠情况，准备从全校学生中抽取60人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是（   ） A．20 B．25 C．30 D．35 2．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知一组数，，，的平均数是3，方差为4，则数据，，，的平均数和方差分别是（ ） A．7，8 B．7，16 C．6，8 D．6，16 3．（24-25高一下·浙江金华·期末）某次测量中得到的样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．若样本数据恰好是样本数据都加2后所得，则两样本的下列数字特征对应相同的是（    ） A．众数 B．平均数 C．中位数 D．方差 4．（24-25高一下·浙江衢州·期末）下列各单峰的频率分布直方图中，哪个图的平均数明显小于中位数（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·浙江金华·期末）设样本空间含有等可能的样本点，且，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·浙江宁波·期末）柜子里有3双不同的手套，现从中随机地取出2只．若表示事件“取出的手套是一只左手一只右手的，但不是一双手套”，表示事件“取出的手套都是右手的”，表示事件“取出的手套不成双”，则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·浙江温州·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，观察朝上面的点数．设事件甲=“第一次点数小于3”，事件乙=“第一次点数为偶数”，事件丙=“两次点数之和为8”，事件丁=“两次点数之和是奇数”，则（    ） A．事件乙和事件丙互斥 B．事件丙和事件丁互为对立 C．事件甲与事件丙相互独立 D．事件乙与事件丁相互独立 8．如图，某电子元件由，，三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，，，三种部件不能正常工作的概率分别为，，，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率是（    ）    A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共有3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．（24-25高一下·浙江宁波·期末）设是一个随机试验的两个事件，则（    ） A．若对立，则一定互斥 B．若，则 C．若，则相互独立 D．若，则一定对立 10．（24-25高一下·浙江台州·期末）在对某高中学生体质健康状况某个项目的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了高一80人，高二60人，高三60人，方差分别为，则此样本的方差不可能为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 11. （23-24高一下·浙江温州·期末）小明与小红两人做游戏，抛掷一枚质地均匀的骰子，则下列游戏中不公平的是（ ） A. 抛掷骰子一次，掷出的点数为1或2，小明获胜；否则小红获胜 B. 抛掷骰子两次，掷出的点数之和为奇数，小明获胜；否则小红获胜 C. 抛掷骰子两次，掷出的点数之和为6，小明获胜；点数之和为8，小红获胜；否则重新抛掷 D. 抛掷骰子三次，掷出的点数为连续三个自然数，小明获胜；掷出的点数都相同，小红获胜；否则重新抛掷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．某商场为优化服务，对顾客做满意度问卷调查，满意度采用计分制（满分100）．现随机抽取了其中10个数据依次为80，85，86，89，91，92，93，95，95，96，则这组数据的第25百分位数为 ． 13．（24-25高一下·浙江金华·期末）已知甲，乙两个投篮命中率分别是，并且他们投篮互不影响，每人投篮1次，则恰好有一个人命中的概率为___________． 14．（24-25高一下·浙江温州·期末）已知集合是的子集，且，则的概率为______． 四、解答题（本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（24-25高一下·浙江丽水·期末）某校为促进学生对数学文化的认识，举办了相关竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，发现得分均在区间内现将个样本数据按，，，，，分成组，得到如下频率分布直方图．    (1)求出频率分布直方图中的值； (2)请估计样本数据的众数和平均数； (3)学校决定奖励成绩排名前20%的学生，学生甲的成绩是分，请判断学生甲能否得到奖励，并说明理由． 16．（24-25高一下·浙江衢州·期末）某次竞赛共有20道题，甲、乙、丙三位同学分别能答对其中的12道题，8道题和道题．假设每道题被抽中的可能性相等，现从中任选一题，由三位同学独立作答． (1)求甲、乙两位同学中恰有一人答对的概率； (2)若甲、乙、丙三位同学中至少有一人答对的概率为，求的值． 17．（24-25高一下·浙江温州·期末）为了实现绿色发展，避免能源浪费，某市政府拟推行居民阶梯电价制度，使75%的用户缴费在第一档（最低一档），的用户缴费在第二档，的用户缴费在第三档（最高一档）．为此，相关部门随机调查了200户居民去年一年的月均用电量（单位：），并将数据整理后画出如图所示的频率分布直方图．    (1)求直方图中的值； (2)请估计月均用电量第一档的范围； (3)用频率估计概率，在该市中任选3户居民，不同居民的月均用电量相互独立，求恰有1户居民的月均用电量在的概率． 18．（24-25高一下·浙江宁波·期末）乒乓球被称为中国的“国球”，在2024年巴黎奥运会乒乓球比赛中，中国乒乓球队包揽五块金牌.11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜（比如：比分为，得12分者胜），该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立.在某局双方10：10平后，甲先发球. (1)若两人又打了2个球比赛结束且甲获胜的概率为，求的值； (2)若满足（1）中条件取值，记事件“两人又打了4个球该局比赛结束”，事件“两人又打了个球该局比赛结束”. （i）求； （ii）直接写出. 19．（23-24高一下·浙江温州·期末）给定两组数据与，称为这两组数据之间的“差异量”．鉴宝类的节目是当下非常流行的综艺节目．现有n个古董，它们的价值各不相同，最值钱的古董记为1号，第二值钱的古董记为2号，以此类推，则古董价值的真实排序为．现在某专家在不知道古董真实排序的前提下，根据自己的经验对这n个古董的价值从高到低依次进行重新排序为，其中为该专家给真实价值排第i位古董的位次编号，记，那么A与I的差异量可以有效反映一个专家的水平，该差异量越小说明专家的鉴宝能力越强． (1)当时，求的所有可能取值； (2)当时，求的概率； (3)现在有两个专家甲、乙同时进行鉴宝，已知专家甲的鉴定结果与真实价值I的差异量为a，专家甲与专家乙的鉴定结果的差异量为4，那么专家乙的鉴定结果与真实价值I的差异量是否可能为？请说明理由． 参考答案 1．B 【分析】按照分层比例抽取，列式求解. 【详解】由条件可知高一年级应抽取的人数是人. 故选：B. 2．B 【分析】根据平均数与方差的基本公式以及性质求解即可. 【详解】由题意，，. 所以，，，的平均数 ， 方差. 故选：B. 3．D 【解析】利用平均值和方差的定义和公式，即得解. 【详解】设样本的平均值为，方差为， 则样本的平均值为， ，样本的方差相同． 故选：D． 【点睛】本题考查了样本的平均数和方差，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题. 4．D 【分析】在频率分布直方图中，中位数两侧小矩形的面积相等，平均数一般用每组数据的中点值乘以频率再求和来计算，再对照各个选项的图形分析，即可求解. 【详解】对于A和B，根据频率分布直方图关于中线对称，所以平均数等于中位数，故A和B错误； 对于C，根据频率分布直方图右拖尾，易得平均数大于中位数，故C错误． 对于D，根据频率分布直方图左拖尾，易得平均数小于中位数，故D正确. 故选：D. 5．B 【分析】根据题意可得，，利用古典概型概率公式即可求解. 【详解】因为样本空间，， 则，，所以. 故选：B. 6．B 【分析】通过列举得到对应基本事件，再逐项判断即可. 【详解】记三双不同的手套为：白1，白2；红1，红2；黑1，黑2，（1为左，2为右） 从中随机取出2只共有：白1白2，白1红1，白1红2，白1黑1，白1黑2，白2红1， 白2红2，白2黑1，白2黑2，红1红2，红1黑1，红1黑2，红2黑1，红2黑2，黑1黑2，共15种情况， 事件包含：白1红2，白1黑2，白2红1，白2黑1，红1黑2，红2黑1， 6个基本事件， 事件包含：白2红2，白2黑2，红2黑2，3个基本事件， 事件包含：白1红1，白1红2，白1黑1，白1黑2，白2红1，白2红2，白2黑1， 白2黑2，红1黑1，红1黑2，红2黑1，红2黑2，12个基本事件， ，， ，， 对于A，，A错误； 对于B，事件互斥，则，B正确； 对于C：，C错误； 对于D，，，D错误. 故选：B 7．D 【分析】用表示第一枚骰子向上的点数，表示第二枚骰子向上的点数，则两枚骰子的情况用数对表示，列出所有情况，根据互斥事件、对立事件、独立事件的定义对选项逐一分析即可. 【详解】用表示第一枚骰子向上的点数，表示第二枚骰子向上的点数， 则两枚骰子的情况用数对表示， 则所有可能的情况有：， ， ， ， ， ，共36种情况， 对于：事件乙可以和事件丙同时发生，如出现， 所以事件乙和事件丙不互斥，故错误； 对于：事件丙和事件丁的所有情况不是总的样本空间， 如事件丙和事件丁不包括，所以事件丙和事件丁不互为对立，故错误； 对于：第一次点数小于3的情况有， ，共12种情况， 所以， 两次点数之和为8 的情况有， 共5种情况，所以， 第一次点数小于3且两次点数之和为8 的情况有， 所以，， 所以事件甲与事件丙不相互独立，故错误； 对于：第一次点数为偶数的情况有18种，所以， 两次点数之和为奇数的情况共有18种，所以， 第一次点数为偶数且两次点数之和为奇数的情况共有9种，所以， ，所以事件乙与事件丁相互独立，故正确. 故选：. 8．C 【分析】设上半部分正常工作为事件，下半部分正常工作为事件，该电子元件能正常工作为事件，根据相互独立事件的概率公式求出、，即可求出、，再根据对立事件及独立事件的概率公式计算可得. 【详解】设上半部分正常工作为事件，下半部分正常工作为事件， 该电子元件能正常工作为事件， 则，， ，所以， 所以， 即该电子元件能正常工作的概率是. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是利用对立事件的概率公式及相互独立事件的概率公式求出. 9．AC 【分析】根据互斥事件和对立事件的关系判断A，根据事件的包含关系判断B，利用相互独立事件的概念判断C，结合对立事件定义举反例判断D. 【详解】选项A：互斥事件为两事件不能同时发生，对立事件为两事件不能同时发生且两者必有其一发生， 所以对立事件一定互斥，互斥事件不一定对立，A说法正确； 选项B：若，则，B说法错误； 选项C：由相互独立事件的概念可知，若，则相互独立，C说法正确； 选项D：对立事件为两事件不能同时发生且两者必有其一发生，即不能保证两事件不同时发生，也不能保证两者必有其一发生， 如投掷一枚骰子，事件为：向上的点数为奇数，事件为向上的点数不小于4， 满足，但不是对立事件，D说法错误； 故选：AC 10．AB 【分析】先设出总平均数和样本平均数，再表示出方差，进而放缩得到范围即可. 【详解】设总平均数为，高一的平均数为，高二的平均数为， 高三的平均数为，该样本的方差为， 则 ， 则此样本的方差不可能为，故A，B正确. 故选：AB 11．【答案】AD 【解析】 【分析】对于每个选项，由古典概型概率计算公式计算各自获胜的概率即可求解. 【详解】对于A，小明获胜的概率为，故A符合题意； 对于B，若要点数之和为奇数，则只能是一奇一偶，而每抛一次出现奇数，偶数的概率都是， 但可能是先出现奇数，有可能先出现偶数，故小明获胜的概率为，故B不符合题意； 对于C，若点数之和为6，则两个加数可以是，即小明获胜的概率为， 若点数之和为8，则两个加数可以是，即小红获胜的概率为，故C不符合题意； 对于D，抛掷骰子三次，掷出点数为连续三个自然数，则这三个自然数可以是， 所以小明获胜的概率为， 若掷出的点数都相同，则这三个自然数可以是， 所以小红获胜的概率为，故D符合题意. 故选：AD. 【点睛】关键点点睛：关键是准确计算出各自获胜的概率，由此即可顺利得解. 12．86 【分析】根据百分位数的计算规则即可求解. 【详解】，故这组数据的第25百分位数为86， 故答案为：86 13．/ 【分析】恰好有一个人命中包含以下两种情况①甲投中，乙没投中②甲没投中，乙投中，由此能求出恰好有一个人命中的概率． 【详解】甲、乙两人投篮命中率分别为和,并且他们投篮互不影响. 现每人分别投篮1次，恰好有一个人命中包含以下两种情况： 甲投中，乙没投中，概率为：, 甲没投中，乙投中，概率为： , 所以恰好有一个人命中的概率 故答案为： 14． 【分析】首先列出集合的子集，然后根据要求列出满足题干条件的情况种数，最后计算概率值即可. 【详解】因为是的子集，， 所以集合可能是共种情况， 其中满足条件的分以下几种情况： 若均不相同，则可能为和和和， 此时共种情况； 若中有两个相同，则可能为和和和 和和和和， 此时共种情况； 若均相同，则有这1种情况； 以上共计种. 由于，那么符合条件的有： 和和和共种； 和和和共种； 以上共计种. 所以概率为. 故答案为：. 15．(1)； (2)众数、平均数依次为62分、65分； (3)学生甲能得到奖励，理由见解析. 【分析】（1）根据频率和为1列方程求参数值； （2）根据直方图求样本数据的众数和平均数即可； （3）根据已知求出对应分位数，判断甲的分数所在的位置，即可得结论. 【详解】（1）由直方图知，所以； （2）平均值为：分，众数为：分； （3）成绩低于分的频率为，成绩低于分的频率为，则得到奖励的最低成绩为，所以学生甲能得到奖励． 16．(1) (2) 【分析】（1）根据古典概型以及相互独立事件的概率计算公式即可求解； （2）根据对立事件的相关知识即可求解. 【详解】（1）记事件“任选一道题，甲答对”， 事件“任选一道题，乙答对”， 事件“任选一道题，丙答对”， 记事件“任选一道题，甲、乙两位同学恰有一人答对”， 则， （2）记事件“甲、乙、丙三位同学至少有一人答对”， 则， 所以. 17．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图中频率的和为1求出的值. （2）根据百分位数的定义和公式求75%分位数. （3）首先求出月均用电量在的概率，然后求出恰有1户居民的月均用电量在的概率. 【详解】（1）根据频率分布直方图可得： ， 解得. （2）因为75%的居民缴费在第一档，需要确定月均用电量的75%分位数. ，. 设第一档的上限为，则列方程为： ，解得. 所以月均用电量第一档的范围是. （3）用户的月均用电量在的概率为： 所以恰有1户居民的月均用电量在的概率为： . 18．(1) (2)（i）；（ii），. 【分析】（1）记表示打第个球是甲胜，由题意可得，求解即可. （2）（i），为奇数；，为偶数，根据，，，互斥，各球的结果相互独立，计算可得结论；（ii）与（i）类似可得结论. 【详解】（1）记表示打第个球是甲胜， 两人又打了2个球比赛结束且甲获胜即，各球的结果相互独立， ，，，. （2）（i），为奇数；，为偶数. . ，，，互斥，各球的结果相互独立. . . . . . （ii），. 19．(1)0，2，4 (2) (3)不可能，理由见详解 【分析】（1）利用列举法求的所有可能性结果，结合的定义运算求解； （2）分析可知样本容量，且只能调整两次两个连续序号或连续三个序号之间调整顺序，结合（1）中结论运算求解； （3）由题意可得：，，结合绝对值不等式的运算求解. 【详解】（1）若时，则，且， 可得， 所以的所有可能取值为0，2，4. （2）设“”为事件M，样本空间为， 因为，可知A共有个，即样本容量， 显然若对调两个位置的序号之差大于2，则， 可知只能调整两次两个连续序号或连续三个序号之间调整顺序， 若调整两次两个连续序号：则有， 共有3种可能； 若连续三个序号之间调整顺序，连续三个序号有：，共3组， 由（1）可知：每组均有3种可能满足， 可得共有种可能； 综上所述：. 所以. （3）不可能，理由如下： 设专家甲的排序为，记； 专家乙的排序为，记； 由题意可得：，， 因为， 结合的任意性可得， 所以专家乙的鉴定结果与真实价值I的差异量不可能为. 【点睛】方法点睛：1.对于（2）：利用转化法，将问题转为（1）中已知的结论； 2.对于（3）：结合绝对值不等式分析证明. 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