浙江省2025-2026学年高一数学下学期期末复习测试（二）正弦定理、余弦定理

**基本信息** 聚焦正弦定理、余弦定理，融合浙江多地期末真题，通过塔高测量、托勒密定理等情境考查推理能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|定理直接应用|如第1-2题基础计算，源自嘉兴、宁波期末真题| |多选题|3/18|边角关系综合判断|第10题结合锐角三角形求取值范围，考查逻辑推理| |填空题|3/15|实际测量与最值|第13题塔高测量，体现数学眼光观察现实世界| |解答题|5/77|定理综合与创新应用|第19题以托勒密定理为背景，融合几何证明与面积最值，培养创新意识|

浙江省2025——2026学年高一下学期期末复习测试（二） 正弦定理、余弦定理 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1．（24-25高一下·浙江嘉兴·期末）记的内角的对边分别为，若，则（    ） A．2 B． C． D． 2．（24-25高一下·浙江宁波·期末）在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 3．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则（   ） A．1∶4∶9 B．1∶2∶3 C． D． 4．在中，角所对的边分别为，若，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 5．已知的内角的对边分别为．若，则是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 6．（23-24高一下·浙江宁波·期末）在中，，则该三角形外接圆半径与内切圆半径的比值是（    ） A． B． C． D． 7．已知锐角中，角、、所对的边分别为、、，若，，则的面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·浙江宁波·期末）在中，，，分别是，，所对的边，已知，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 二、多项选择题（本题共有3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．设a，b分别是的内角A，B所对的边，且，则（   ） A． B． C． D． 10．记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则（    ）． A． B．B的取值范围为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 11．（24-25高一下·浙江台州·期末）已知在中，BC的长为2，的面积为2，则下列命题正确的是（   ） A．外接圆面积的最小值为 B．的最大值为 C．内切圆的半径的最大值为 D．若的内角满足，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在中，角的对边分别是，若，则___________． 13．（24-25高一下·浙江宁波·期末）如图，小明为了测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测得，则塔高_______． 14．已知的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的最小值为___________． 四、解答题（本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（24-25高一下·浙江衢州·期末）已知的内角的对边分别为，且． (1)求角； (2)若，求的面积． 16．（24-25高一下·浙江宁波·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，. (1)若此三角形有两个解，求b的取值范围； (2)若，求； (3)若，求的面积. 17．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知钝角△ABC中，. (1)若，，求； (2)若，求△ABC的周长的取值范围. 18．（24-25高一下·浙江温州·期末）已知内角的对边为，点是的内心，若． (1)求角； (2)延长交于点，若，求的周长； (3)求的取值范围． 19．（24-25高一下·浙江宁波·期末）克罗狄斯托勒密（Ptolemy）是古希腊天文学家、地理学家、数学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号如图，半圆O的直径为4cm，A为直径延长线上的点，，B为半圆上任意一点，且三角形为正三角形.    (1)当时，求四边形的周长； (2)当多大时，四边形的面积最大，并求出面积的最大值； (3)若与相交于点D，则当线段的长取最大值时，求的值. 参考答案 1．B 【分析】由余弦定理计算即可. 【详解】由余弦定理可得， 所以. 故选：B 2．B 【分析】根据正弦定理即可求解. 【详解】由，和正弦定理可得， 故， 故选：B 3．D 【详解】因为，所以，，， 所以 4．B 【分析】利用余弦定理求出的值，再根据面积公式求出三角形面积. 【详解】由余弦定理得，代入， 整理可得，所以. 故选：B 5．B 【详解】由和余弦定理，可知，因此； 则， 因此是以角为直角的直角三角形. 6．C 【分析】由正弦定理可得，根据三角形正弦定理求出外接圆半径和三角形面积公式求出内切圆半径即可求解. 【详解】在中，，由正弦定理可得， 设， 由余弦定理得，所以， 则， 所以，则， 所以， 故选：C 7．C 【分析】由余弦定理求得角，然后利用三角形面积公式和正弦定理，将面积表示为的正弦型函数，根据三角函数的图象性质即可求解． 【详解】由，和余弦定理，可得， ，所以， 又由正弦定理，可得，则， 所以的面积 ， 因为为锐角三角形， 由解得，则，， 故. 8．B 【分析】先根据余弦定理化简得，再由正弦定理化边为角，得到，最后根据基本不等式求最值的可求得结果. 【详解】由余弦定理，即， 由正弦定理知，， 即，即， 在中，且、同号，故， 所以.当且仅当时，等号成立 故. ∵， ∴，时.取得最小值. 故选：B. 9．ABD 【分析】根据正弦定理以及二倍角公式求解即可. 【详解】选项A.由大边对大角和正弦定理，可得，且，A正确. 选项B.在上单调递减，，B正确. 选项C.取，，满足，此时， ，得，C错误. 选项D.因为，故，因此， 即，D正确. 10．BCD 【分析】由条件利用正弦定理边化角，可得，判断A;由三角形为锐角三角形结合A的结论，可求得B的范围，判断B;利用正弦定理表示，结合B的范围可判断C; 利用正弦定理表示，结合B的范围可判断D; 【详解】由题意得， 得， 由于 ,则 , 则，A错误． 因为是锐角三角形，所以 ， 解得，B正确． 由于，故，C正确． ， 由于，，故，故D正确， 故选：BCD 11．BCD 【分析】利用正弦定理进行判断A选项与D选项，B选项利用余弦定理判断，C选项利用内切圆半径与三角形面积公式进行判断. 【详解】设边分别为，则. 对于A选项：设外接圆半径为，由正弦定理， 所以外接圆的面积为，当，时，外接圆面积最小为； 又因为时，，由面积为2，得到，； 而与上式矛盾，故A错误. 对于B选项：,则；由余弦定理， 得到，两边同除以， 得到，令，则，， 当且仅当时，时，最大且为，故B正确； 对于C选项：由内切圆半径的公式：，而， 故最大时，最小；当时，最小，此时， 所以，故C正确； 对于D选项：由和，得到，则. ，由正弦定理， 得，即， ，两边除以，得到, 所以; 由B为锐角，所以， ，故D正确. 故答案为：BCD. 12．或 【分析】已知可先求出再由正弦定理求出，最后结合确定的两个可能值. 【详解】因为所以 由正弦定理代入得 于是所以 又因为三角形内角满足，故, 经检验，这两个解均满足构成三角形的条件，故 13． 【分析】设塔高，由题设可得，，再结合余弦定理求解即可. 【详解】设塔高，由， 则，， 在中，由余弦定理得， 则，解得或（舍去）. 故答案为：. 14．2 【分析】利用正弦定理整理原式可得，结合三角形面积公式和倍角公式建立关于和的等式，再根据三角函数的值域求解的最小值. 【详解】， 由得 当，时，分母取最大值， 此时取最小值，即，的最小值为2． 15．(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由正弦定理和正弦的二倍角公式可得解； （2）由余弦定理可得，再由三角形面积公式即可求得答案. 【详解】（1）由正弦定理及条件可得，，又， ∴，∴，又， ∴，∴，所以. （2）由余弦定理可得， ∴，∴， 故. 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三角形解的个数，代入公式，即可求解； （2）首先由正弦定理，将角转化为边，再结合余弦定理，即可求解； （3）首先正弦定理角化边得，再根据余弦定理变形求，最后代入面积公式，即可求解. 【详解】（1）由，得 （2）由正弦定理可得，， 则，，由， 可得，即. 由余弦定理可得，， 即，即，解得， 联立，解得. （3）因为，由正弦定理的边角互化可得，， 由余弦定理可得，，即， 所以，解得， 则. 17．(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理求出，再根据钝角三角形，进而确定； （2）表示周长，化成关于的函数，借助三角函数的取值范围求得答案. 【详解】（1）设的所对的边为， 则依题意，，，， 由余弦定理得，即， 即，解得或， 当，最大，最大，此时， 所以为锐角，不合题意； 当，最大，最大，此时， 所以为钝角，符合题意， 所以. （2），，设外接圆半径为， 则，则， 则周长 因为钝角△ABC，所以， 所以， 所以， 所以， 所以△ABC的周长取值范围为. 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理化简等式，求出角的值. （2）利用三角形面积相等得到，然后利用余弦定理，通过化简可求得的值，从而得到三角形的周长. （3）首先根据三角形面积相等求出内切圆半径的表达式，然后利用余弦定理求出的关系，进而可得到与的表达式，最后利用基本不等式的性质求出范围进而求出的范围. 【详解】（1）因为，所以根据正弦定理得， 化简得. 因为，所以. 所以，因为，所以. （2）如图，， 所以， 化简得：①. 根据余弦定理得②， ①②联立方程组解得：. 解得，又，所以. 所以的周长为. （3）令三角形内切圆半径为. 因为. . 所以，解得. 因为，所以. 根据余弦定理得：， 即，故‘ 又，解得， 故， 综上，的取值范围为. 19．(1) (2)， (3) 【分析】（1）依题意由余弦定理求出的长，即可求得正三角形的边长，进一步可求得四边形的周长. （2）设，由余弦定理表示出，再表示出四边形的面积，由三角函数性质即可求解. （3）解法一：依题意求得的最大值及取最大值时的条件，再由余弦定理求得的长，即可求得，的大小，由角平分线性质求得，的长，进一步求得，即可求得的值； 解法二：依题意求得的最大值及取最大值时的条件，再由余弦定理求得的长，即可求得，的大小，由角平分线性质求得，的长，由平分得，利用向量运算得，从而利用数量积的运算律求解即可. 【详解】（1）在中，由余弦定理得 ， 所以. 所以四边形的周长为. （2）设，在中，由余弦定理得， 四边形的面积为 ， 当即时，四边形的面积取到最大值为. （3）解法一：由题意，且为正三角形， ，，，即的最大值为6，取等号时，，则. 不妨设，则，得，即，故， 在中，由余弦定理得，故为的角平分线， 由角平分线性质可得，，故，. 下证角平分线性质： 已知中，是的角平分线，交于，求证：. 证明：在中， ，在中，， 因为是的角平分线，所以， 又，所以. 由，A，C，B四点共圆，由相交弦定理，得，或（舍去）. 在中，， 所以. 解法二：由题意，且为正三角形， ，，，即的最大值为6，取等号时，，则. 不妨设，则，得，即，故， 在中，由余弦定理得，故为的角平分线， 由角平分线性质可得，，故，. 由A，O，B，C四点共圆知，平分， 所以，故. 于是 . ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $