（复习篇）专题05 不等式与不等式组的解法与应用【思维导图+知识卡片+知识梳理+十五大考点讲练+真题强化 共50题】-2026年人教版数学七升八年级暑假衔接培优讲义

2026-2027学年人教版数学七升八年级衔接金牌培优讲义（温故知新） 2026-2027学年数学七升八年级暑期学习金牌培优讲义【温故知新篇】 七年级/下册（新教材） 初中数学 专题05 不等式与不等式组的解法与应用 人教版 思维导图+知识回顾+十五大考点讲练+真题强化 （共50题） 【解析版】 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 暑假衔接 考点讲练练 浏览知识 知晓考点 真题强化 思维导图 技巧点拨 真题汇编 查漏补缺 重点难点 优选题型 知识梳理 方法提炼 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 同学，你好！该份讲义主要以复习人教版新教材七年级下学期内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，知识梳理，，高频考点真题讲练，优选题培优训练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 一元一次不等式组 定义：关于同一个未知数的几个一元一次不等式联立在一起，就组成了一个一元一次不等式组. 特征：①不等式组中的所有不等式都是一元一次不等式； ②不等式组中的所有一元一次不等式都含有同一个未知数； ③不等式组中的一元一次不等式的个数为两个或两个以上. 知识点二 一元一次不等式组的解集 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集．解不等式组就是求它的解集. 【补充】 1）如果不等式的解集无公共部分，就说这个不等式组无解. 2）在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来表示不等式组的解集的.确定方法如下表所示： 不等式组 设a＞b 解集 x＞a x＜b 无解 数轴上的表示 口诀 同大取大 同小取小 大大小小无处找 大小，小大中间找 知识点三 解一元一次不等式组的一般步骤 第一步：求出不等式组中各不等式的解集； 第二步：将各不等式的解集在数轴上表示出来； 第三步：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 【易错点拨】 1）利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分. 2）当不等式组中含有“≥”或“≤”时，边界点处要用实心圆点，解集的取法不变. 3）关于x的不等式组的解集为x=a，关于x的不等式组无解. 知识点四 一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 知识点五 一元一次不等式组的应用 对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解． 一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答． 考点一 求一元一次不等式的整数解 【典例精讲】（25-26七年级下·陕西安康·阶段检测）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法． 解：将方程②变形：，即，③ 把方程①代入③得：，解得， 把代入①得， 原方程组的解为 请你根据上述材料解决以下问题： (1)模仿小军的“整体代换”法解方程组 (2)若关于x，y的二元一次方程组的解满足，请求出满足条件的m的所有正整数值． 【答案】(1) (2)m的正整数值为1，2，3 【思路引导】（1）根据题干方法求解即可； （2）将两式相加，再解不等式． 【规范解答】（1）解： 由②得：，③   把①代入③中，得，解得，   把代入①中，得，解得， 原方程组的解为； （2）解：由①＋②得：，则，   ， ，   解得， 满足条件的m的正整数值为1，2，3． 【变式训练】（25-26七年级下·山东德州·阶段检测）已知关于k不等式 ，其中m是关于k的不等式的最大整数解，求关于x的不等式的解集． 【答案】 【思路引导】先解不等式得出，根据m是关于k的不等式的最大整数解，求出，然后把代入关于x的不等式，得到关于x的不等式，解不等式即可． 【规范解答】解：，   化简，得， 解得， ∴， 把代入关于x的不等式，得， 解得：． 考点二 在数轴上表示不等式的解集 【典例精讲】（25-26七年级下·河南驻马店·阶段检测）李老师在黑板上出示了如图1的一个算式，但是老师用手遮挡了其中的一个数． (1)若被手遮挡的数是4，求这个算式的结果； (2)若这个算式的结果落在图2所示的范围内，求被遮挡的数的最小值． 【答案】(1)3 (2)10 【思路引导】（1）根据实数的混合运算法则进行计算即可； （2）设被遮挡的数为x，根据题意，列出不等式进行求解即可. 【规范解答】（1）解：若被手遮挡的数是4，则原式 ， ∴这个算式的结果为3． （2）解：设被遮挡的数为x， 由题意得． 整理得．解得． ∴被遮挡的数的最小值为10． 【变式训练】．（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图是两位同学在讨论一个一元一次不等式，根据对话中提供的信息，判断他们讨论的不等式可能是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】在数轴上表示一元一次不等式的解集，找到未知数系数为负数，并且不等式的解为的即为所求． 【规范解答】解：A、，解得：，系数为正数，不改变不等式的符号，故该选项不符合题意； B、，解得，解集不符合，故该选项不符合题意； C、，解得：，解集不符合，故该选项不符合题意； D、，解得：，系数为负数，改变不等式的符号，故该选项符合题意． 考点三 求一元一次不等式解的最值 【典例精讲】（25-26七年级上·安徽六安·阶段检测）定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式的解，称这个方程（组）的解是这个不等式的“内含解”．例如：方程的解是，同时也是不等式的解，则方程的解是不等式的“内含解”． (1)判断方程的解是不是不等式的“内含解”，并说明理由； (2)若关于的方程组的解是不等式的“内含解”，求的取值范围； (3)当时，方程的解是不等式的“内含解”，求整数的最小值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) (3)整数的最小值为2． 【思路引导】（1）解方程求得方程的解，根据定义判定求解即可； （2）解方程组求得方程组的解，根据定义建立不等式，求解即可； （3）根据定义求解即可． 【规范解答】（1）解：是，理由如下： 解方程，得． 解不等式，得， 又因为， 所以方程的解是不等式的“内含解”； （2）解：， 由，得， 又因为， 所以， 解得； （3）解：解方程，得． 因为， 所以． 解不等式， 得． 由“内含解”的定义，得， 解得， 所以整数的最小值为2． 【变式训练】（2025·河北沧州·模拟预测）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上2，同时区就会自动减去1，且均显示计算结果．已知A，两区初始显示的数分别是和7． (1)按键1次后，求A，两区显示的结果的和； (2)若按键次后，A区的结果大于区的结果，求的最小值． 【答案】(1)5 (2)4 【思路引导】本题考查有理数的混合运算以及一元一次不等式，能根据题意分别列出算式和不等式是关键． （1）根据题意列出算式计算即可； （2）根据A区的计算结果大于B区的计算结果列不等式，解出即可． 【规范解答】（1）解：按键1次后，，两区显示的结果的和； （2）解：由题意，得， 解得， 为整数， 的最小值为4． 考点四 用一元一次不等式解决实际问题 【典例精讲】（25-26七年级下·河南许昌·阶段检测）幸福社区安排在庆祝中国共产党成立105周年期间举行《颂歌献给党》歌唱比赛，准备从某超市购买若干个A型台灯和B型台灯作为比赛奖品． (1)若该社区第一次到该超市购买，A型台灯和B型台灯共100个，且购买B型台灯数量不少于A型台灯数量的，那么该社区最多可以购买多少个A型台灯？ (2)若此超市A型台灯的售价为每个160元，B型台灯的售价为每个120元，社区第二次从该超市一次性购买A型台灯和B型台灯共60个，总费用不超过8640元，那么社区最多可以购买多少个A型台灯？ 【答案】(1)该社区最多可以购买60个A型台灯 (2)社区最多可以购买A型台灯36个 【思路引导】（1）设社区购买A型台灯个，则购买B型台灯个，根据“购买B型台灯数量不少于A型台灯数量的”列不等式求解即可； （2）设社区购买A型台灯个，则购买B型台灯个，根据售价与总费用的关系列不等式求解即可． 【规范解答】（1）解：设社区购买A型台灯个，则购买B型台灯个， 依题意得：． 解得：． 答：该社区最多可以购买60个A型台灯． （2）解：设社区购买A型台灯个，则购买B型台灯个， 依题意得：． 解得， 答：社区最多可以购买A型台灯36个． 【变式训练】（25-26七年级下·河南驻马店·阶段检测）河南万岁山武侠城最新引进了一批机器人和机器狗进行跳舞表演，结合银丝古建场景，科技感与复古氛围交融．引进前该景区对机器人和机器狗的价格进行了调查，发现购买1台机器人比购买3台机器狗多9万元，购买1台机器人和购买6台机器狗的费用相同． (1)求机器人和机器狗的单价各是多少； (2)若该景区想购买机器人和机器狗共10台（两种都要购买），预算不超过87万元．求该景区所有购买方案． 【答案】(1)机器人的单价为18万元，机器狗的单价为3万元 (2)该景区共有三种购买方案：方案1：购买机器人1台，机器狗9台；方案2：购买机器人2台，机器狗8台；方案3：购买机器人3台，机器狗7台 【思路引导】（1）设机器人和机器狗的单价分别为x万元，y万元，根据题意，列出方程组进行求解即可； （2）设购买机器人m台，则购买机器狗台，根据题意，列出不等式进行求解即可． 【规范解答】（1）解：设机器人和机器狗的单价分别为x万元，y万元． 根据题意，得解得 答：机器人的单价为18万元，机器狗的单价为3万元． （2）解：设购买机器人m台，则购买机器狗台． 根据题意，得．解得． 又∵m为正整数， ∴m取1，2，3，对应的的值依次为9，8，7． ∴该景区共有三种购买方案： 方案1：购买机器人1台，机器狗9台； 方案2：购买机器人2台，机器狗8台； 方案3：购买机器人3台，机器狗7台． 考点五 用一元一次不等式解决几何问题 【典例精讲】（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止．设点运动的时间为秒． (1)点整个运动过程中，共需____秒； (2)当的面积为时，求的值； (3)当的面积大于时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)当或时，的面积为 (3)当时，的面积大于 【思路引导】（1）根据，，可以求出点运动的路程，根据点运动速度即可求出需要的时间； （2）当点在上运动时，，则有，根据三角形的面积公式可得，解方程即可求出的值；当点在上运动时，，则有，根据三角形的面积公式可得，解方程即可求出的值； （3）当点在上运动时，可得，当点在上运动时，可得，解不等式即可求出的取值范围． 【规范解答】（1）解：在中，，，， ， 点的运动速度为个单位长度每秒， 点整个运动过程中，共需秒； （2）解：当点在上运动时，， 则有， ， 解得：； 当点在上运动时，， 则有， ， 解得：； 综上所述，当或时，的面积为； （3）解：当点在上运动时，， 则有， ， 解得：， 当点在上运动时，， 则有， ， 解得：， 当时，的面积大于． 【变式训练】（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）如图，在中，，，，点D为的中点，动点P从A点出发，先以的速度沿运动，到达点B后再以的速度沿运动，到达C停止．设点P运动的时间为，的面积为，规定线段是特殊的三角形． (1)当__________时，点P运动到点B； (2)当点P在上运动，且点P在点D左侧时，的长度为__________（用含t的代数式表示） (3)在点P运动过程中，请用含t的代数式表示S； (4)当时，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1)2 (2) (3) (4)当或时， 【思路引导】（1）根据时间等于路程除以速度求解即可； （2）根据题意列式即可； （3）分或或三种情况讨论，根据题意列式即可； （4）分或或三种情况讨论，列出不等式，计算即可求解． 【规范解答】（1）解：在上运动的时间为． （2）解：当点在运动时，， 点是的中点， ， 当在的左侧时，即，． （3）解：当在的右侧时，即，； 当点在上时，即， 根据题意，得； 当点在上时，即， 根据题意，得， 当点在上时，即， 根据题意，得， ∴． （4）解：当时， 根据题意，得，解得, ∴； 当时， 根据题意，得，解得 ∴； 当时， 根据题意，得，解得， ∴； 综上所述，当或时，． 考点六 求一元—次不等式组的整数解 【典例精讲】（25-26七年级下·江苏南京·阶段检测）解不等式组，并写出它的整数解． 【答案】不等式组的解集为，整数解为和． 【规范解答】解：， 解①，得， 解②，得 ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为和． 【变式训练】（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）已知方程组的解满足为负数，为非正数． (1)求的取值范围； (2)在的取值范围内，当取何整数时，不等式的解集为？ 【答案】(1) (2) 和 【思路引导】（1）求出方程组的解，根据方程组的解的情况，列出不等式组，进行求解即可； （2）根据不等式的性质，得到，结合（1）中的取值范围，进行求解即可. 【规范解答】（1）解：解方程组， 两式相加得，解得. 两式相减得，解得. 根据题意可得，代入得. 解得； （2）解：对不等式整理得， 不等式的解集为，不等号方向改变. ，解得； 由（1）知， ∴， 该范围内的整数为和， 即符合条件的整数为和. 考点七 由一元一次不等式组的解集求参数 【典例精讲】（25-26七年级下·河南许昌·期中）若关于x的不等式有且仅有1个负整数解，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【思路引导】先解一元一次不等式得到的取值范围，再根据不等式仅有1个负整数解确定的范围，进而求解的取值范围． 【规范解答】解：解不等式，移项得， 不等式有且仅有个负整数解， 唯一的负整数解为， 可得，不等式两边同乘，根据不等式的基本性质，不等号方向改变，得． 【变式训练】（25-26七年级下·四川宜宾·期中）定义新运算：，若关于正数的不等式组恰有三个整数解，则的取值范围_____． 【答案】 【思路引导】根据新运算定义化简不等式组，得到不等式组的解集后，再根据整数解的个数确定参数的取值范围即可． 【规范解答】解：为正数，， 对于， ，即， ， 由得，解得， 对于， ，即， ， 由得，解得． 因此不等式组的解集为． 不等式组恰有三个整数解，三个整数解为， ， 不等式两边同时加，得． 考点八 由不等式组解集的情况求参数 【典例精讲】（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）若不等式（组）①的解都是不等式（组）②的解，则称不等式（组）②是不等式（组）①的“覆盖不等式”，特别地，若一个不等式（组）无解，则其他任意不等式（组）都是它的“覆盖不等式”．例如：不等式的解都是不等式的解，则是的“覆盖不等式”；不等式组无解，则其他任意不等式（组）都是它的“覆盖不等式”．根据以上信息，解决下列问题： (1)_______的“覆盖不等式”（填“是”或“不是”）； (2)若是关于x的不等式的“覆盖不等式”，试求m的取值范围； (3)若是关于x的不等式组的“覆盖不等式”，请直接写出a的取值范围． 【答案】(1)是 (2) (3)或 【思路引导】（1）根据“覆盖不等式”定义判断即可； （2）先解含参数的不等式,得到它的解集；根据题意：是该不等式的覆盖不等式，即不等式的所有解都满足，转化为解集的包含关系列不等式求解范围； （3）先分别求解不等式组里两个一元一次不等式，写出不等式组的解集；根据题意是该不等式组的覆盖不等式，即不等式组的全部解都包含在这个区间内，分两种情况：不等式组无解、不等式组有解联立不等式求出范围． 【规范解答】（1）解：，它的每一个解都在范围内， 所以是的“覆盖不等式”． （2）解：解不等式， 移项：， 系数化为1（除以负数，不等号反向）：， 根据覆盖不等式定义：是的覆盖不等式，说明不等式的全部解都属于的解集， 要满足该子集关系，只需区间右端点满足： ， ， 综上，的取值范围为． （3）解：解： ， ； 解： ， ， 因此不等式组的解集为：， 根据覆盖不等式定义:是该不等式组的覆盖不等式，分两类讨论： 情况一：不等式组无解，则， ， ， 得：； 情况二：不等式组有解，此时，且不等式组的全部解都落在内， 有， ； ； ， 得， 综上，的取值范围是或． 【变式训练】（25-26七年级下·辽宁盘锦·期中）已知关于x的不等式组，甲、乙两位同学分别得出以下结论：甲：如果不等式组有且仅有2个整数解，那么a的取值范围是；乙：如果此不等式组无解，那么．其中下列判断正确的是（     ）． A．甲、乙都对 B．甲错，乙对 C．甲对，乙错 D．甲、乙都错 【答案】C 【思路引导】先确定不等式组的解集范围，再分别根据甲，乙给出的条件求出的取值范围，判断两人结论是否正确即可． 【规范解答】解：解得原不等式组的解集为， 判断甲的结论：不等式组有且仅有个整数解，且， 两个整数解为和， ， 解得，与甲的结论一致，故甲正确； 判断乙的结论： 不等式组无解， ， 解得， 即不等式组无解时的取值范围是，并非，故乙错误， 因此甲对，乙错． 考点九 不等式组和方程组结合的问题 【典例精讲】（25-26七年级下·吉林长春·期中）【教材呈现】如下是华师版七年级下册数学教材第77页的部分内容． 7．已知关于的方程的解是非负数，求的取值范围． (1)请写出这道题完整的解题过程． 【拓展】已知关于、的方程组满足为非正数、为非负数； (2)求的取值范围； (3)化简：． 【答案】(1)过程见解析 (2) (3) 【思路引导】（1）先求出方程的解，再根据题意得到关于的一元一次不等式，求解即可； （2）先求出方程组的解，根据题意得到关于的一元一次不等式组，求解即可； （3）由（2）可知，，从而判断出和的符号，结合绝对值的意义进行化简即可． 【规范解答】（1）解：， 解得， ∵是非负数， ∴， 解得； （2）解：， 解得， ∵为非正数、为非负数， ∴， 解得； （3）解：由（2）可知，， ∴，， ∴． 【变式训练】（25-26七年级下·全国·期末）学科素养·应用意识阅读下列材料： 问题：已知，且，，求的取值范围． 解：，．又，，．又，①，．即②．①+②得．的取值范围是． 请按照上述方法，完成下列问题： (1)已知，且，，则的取值范围是________；的取值范围是________； (2)已知，且，，根据上述做法得到，求、的值． 【答案】(1)； (2) 【思路引导】（1）根据题干的方法及不等式的性质求解即可； （2）仿照题干的方法得出，确定方程组求解即可． 【规范解答】（1）解：， ． 又， ， ． 又， ①， ． 即②． ①+②得． 的取值范围是． （2）， ， 又， ， ， 又， ， ①． ， ，即， ②， ①+②，得． ， ， 解得． 考点十 不等式组的行程问题 【典例精讲】（25-26八年级下·山东青岛·阶段检测）北斗高精导航能够实时显示当前路口的信号灯颜色以及时长，一辆小车行驶在限速的路段上，当距离下一路口时，发现导航显示下一路口的信号灯为绿灯，且剩余时间为，此时导航提示：按照当前时速行驶能通过下一路口，则小车当前行驶速度的取值范围是______． 【答案】 【思路引导】先统一单位，求出60秒内通过所需的最小速度，再结合路段限速即可得到的取值范围． 【规范解答】解：要在绿灯剩余的内通过路口，小车的速度至少满足， 将单位转换为，可得． 又∵该路段限速，且按照当前时速行驶能通过下一路口， ∴小车当前行驶速度的取值范围是． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地 甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发 在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以 的速度行驶，乙车始终以 的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 【答案】(1)①M，N；② (2)①，②或 【思路引导】①根据题意，分别得到，，，，根据甲乙两车的速度，即可得到两车行驶的距离，即可得到结果； ②根据甲车在段和段的速度不同，得到甲车的行驶时间，结合乙车比甲车晚出发，得到乙车所用时间； ①两车在P处相遇与N重合，分别求出甲乙所用的时间，从而得到乙车的速度； ②分类讨论相遇点在上，分别表示甲乙所行驶的路程，根据总路程为，得到等式，表示出速度，同时结合限速的要求，得到结果． 本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，以及路程、速度、时间之间的关系的应用，正确理解题意是解题的关键． 【规范解答】（1）解：①依题意，，，， ， 甲车从A地出发，始终以的速度行驶， 甲车2小时共行驶了， 甲车出发2小时，行至M处， 乙车从B地出发，比甲车晚出发小时，以的速度行驶， 乙车共行驶了， 乙车行至N处， 故答案为：M，N； ②甲车行至的中点时，所用时间为：， 此时乙车行驶所用时间：， 故答案为：； （2）①两车在P处相遇，P与N重合， 甲车所用时间为， 此时乙车所用时间为， 乙车的速度为； ②P在非施工道路上不与M，N重合， 若P在上，设甲的行驶时间为t，则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 若P在上，设甲的行驶时间为t，， 则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 综上所述或． 考点十一 不等式组的经济问题 【典例精讲】（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）某文具店购进笔记本和签字笔，已知购进2本笔记本和3支签字笔共花费18元；购进4本笔记本和5支签字笔共花费32元． (1)求一本笔记本、一支签字笔的进价分别是多少元？ (2)若商店准备再次采购笔记本和签字笔共50件，总费用不超过200元，最多可以购进笔记本多少本？ 【答案】(1)一本笔记本3元，一支签字笔4元 (2)最多可购进笔记本50本 【思路引导】（1）设笔记本x元/本，签字笔y元/支，列出方程组求解即可； （2）设购进笔记本m本，根据题意列不等式组进行求解即可． 【规范解答】（1）解：设笔记本x元/本，签字笔y元/支， ， 解得：， 答：一本笔记本3元，一支签字笔4元． （2）解：设购进笔记本m本，则签字笔支， 由题意则有， 解得， 所以的最大值为50， 答：最多可购进笔记本50本． 【变式训练】（25-26七年级下·河南新乡·期中）3月19日，“开封清明上河园·忘忧清乐杯”第三届中国围棋国手赛决赛三番棋第二局在河南开封进行，卫冕冠军丁浩九段中盘胜挑战者范廷钰九段，从而以大比分2比0夺冠，实现赛事三连冠．某商家销售A，B两种围棋，每套的进价分别为200元，170元，下表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种 B种 第一周 2套 3套 1080元 第二周 3套 4套 1520元 (1)求A，B两种围棋每套的售价； (2)若商家准备再采购A，B两种围棋共40套，其中B种围棋的数量不少于A种围棋数量的3倍，要使销售完这40套围棋的利润不少于1280元，共有几种进货方案？（不考虑其他支出） 【答案】(1)A种围棋每套的售价为240元，B种围棋每套的售价为200元； (2)商家共有3种进货方案． 【思路引导】（1）设A种围棋每套的售价为x元，B种围棋每套的售价为y元，利用表格信息建立方程组解题即可； （2）设采购A种围棋m套．则采购B种围棋套，利用商家准备购进A，B两种围棋共40套，获利不低于1280元，再建立不等式组解题即可． 【规范解答】（1）解：设A种围棋每套的售价为x元，B种围棋每套的售价为y元． 根据题意，得．解得． 答：A种围棋每套的售价为240元，B种围棋每套的售价为200元． （2）解：设商家采购A种围棋m套，则采购B种围棋套． 根据题意，得． 解得． 是正整数， 可以取8，9或10． 答：商家共有3种进货方案． 考点十二 不等式组的分配问题 【典例精讲】（25-26七年级下·四川乐山·期中）用若干张规格为的大纸板剪裁成图①所示的型长方形纸板和型正方形纸板，再制作成图②所示的横式和竖式两种无盖长方体纸盒．已知一张大纸板可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板． (1)制作一个横式纸盒需要型长方形纸板_____张，制作一个竖式纸盒需要型长方形纸板 张． (2)若用8张大纸板裁成型长方形纸板，用3张大纸板剪裁型正方形纸板，且裁成的、两种型号纸板恰好都用完，求可以制作横式纸盒和竖式纸盒各多少个？ (3)如果一张大纸板既可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板，也可以同时裁出2张型长方形纸板和6张型正方形纸板．若要用15张大纸板，剪裁后再制作成横式纸盒，在充分利用大纸板的情况下，最多可以制作横式纸盒多少个？ 【答案】(1)解：3；4 (2)解：制作横式纸盒12个，竖式纸盒3个； (3)解：最多可以制作横式纸盒20个． 【思路引导】本题考查二元一次方程和不等式的应用，找准数量关系，列等式或不等式解题即可； （1）根据无盖纸盒的图示可以得到结果； （2）设制作横式纸盒个，竖式纸盒个，根据所需纸板的数量列方程组解题即可； （3）设a张大纸板全部裁成A型，b张全部裁成B型，c张同时裁出2张型长方形纸板和6张型正方形纸板,可以制作横式纸盒个，根据题意列不等式组，求最大值即可． 【规范解答】（1）解：由题意可得，1个横式无盖长方体纸盒需要3张型和2张型，1个竖式无盖长方体纸盒需要4张型和1张型， 故答案为：3，4； （2）解：设制作横式纸盒个，竖式纸盒个，根据题意得， ，解得， 答：制作横式纸盒12个，竖式纸盒3个； （3）解：设a张大纸板全部裁成A型，b张全部裁成B型，c张同时裁出2张型长方形纸板和6张型正方形纸板,可以制作横式纸盒个， ∴， 由①得， 代入③得：， ∴， ∴（）， 由， 则， 得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵t是整数， 解得t的最大值为20， 在充分利用大纸板的情况下，最多可以制作横式纸盒20个． 【变式训练】某工厂计划生产A、B两种产品共15件，其生产成本和利润如表： A种产品 B种产品 成本（万元/件） 3 4 利润（万元/件） 1 3 (1)若工厂计划获利23万元，问A、B两种产品应分别生产多少件？ (2)若工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元，问工厂有哪几种生产方案？ (3)在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润 【答案】(1)A种产品应生产件，B种产品生产件； (2)有三种生产方案：第一种A种产品应生产件，B种产品生产件；第二种A种产品应生产件，B种产品生产件；第三种A种产品应生产件，B种产品生产件； (3)生产A种产品4件，B种产品11件的方案获利最大，最大利润为37万元 【思路引导】（1）设A产品应生产x件，则B产品应生产件，根据“工厂计划获利23万元”及两种产品的利润列方程求解即可； （2）设A产品应生产a件，则B产品应生产件，根据“工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元”列出不等式组，求出，即可得到答案； （3）分别求出三种方案获利，比较即可． 【规范解答】（1）解：设A产品应生产x件，则B产品应生产件， ∵工厂计划获利23万元， ∴， 解得：， ∴， 即A种产品应生产件，B种产品生产件； （2）解：设A产品应生产a件，则B产品应生产件， ∵工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元， ∴， 解得： ∴， 可知有三种生产方案：第一种A种产品应生产件，B种产品生产件；第二种A种产品应生产件，B种产品生产件；第三种A种产品应生产件，B种产品生产件； （3）解：第一种A种产品应生产件，B种产品生产件获利（万元）； 第二种A种产品应生产件，B种产品生产件获利（万元）； 第三种A种产品应生产件，B种产品生产件获利（万元）； 可知第一种获利最大，最大利润为37万元． 考点十三 不等式组的方案选择问题 【典例精讲】（25-26七年级下·云南大理·阶段检测）【综合与实践】阅读下面的素材，完成三个任务． 如何安排销售，使总收益最大 素材1：我县某乡镇为助力农户增收，将红米和核桃加工包装成礼盒（款梯田红米礼盒和款高山核桃礼盒）再出售．已知每件礼盒比礼盒售价少元，卖出件礼盒和件礼盒，一共收入元． 素材2：已知礼盒成本元/件，礼盒成本元/件．乡镇计划在某展销活动中售出，两种礼盒共件，且礼盒数量不超过礼盒数量的倍，总成本不超过元． 问题解决 (1)求，两种礼盒每件的售价分别为多少元； (2)求所有的销售方案； (3)要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排，两种礼盒的销售方案？并求出农户在这次展销活动中的最大收益是多少元？ 【答案】(1)款礼盒每件的售价为元，款礼盒每件的售价为元； (2)共有种销售方案： 方案1：销售款礼盒件，款礼盒件； 方案2：销售款礼盒件，款礼盒件； 方案3：销售款礼盒件，款礼盒件； 方案4：销售款礼盒件，款礼盒件； (3)销售款礼盒件，款礼盒件时，收益最大，最大收益为元． 【思路引导】（1）设款礼盒每件的售价为元，款礼盒每件的售价为元，列方程组求解即可； （2）设售出款礼盒件，则售出款礼盒件，列不等式组求出，根据为款礼盒的件数，必须为整数，求出的取值，根据的值得到销售方案； （3）分别计算种销售方案所获的利润，通过比较得出最佳方案． 【规范解答】（1）解：设款礼盒每件的售价为元，款礼盒每件的售价为元， 根据题意得：， 解得：， 答：款礼盒每件的售价为元，款礼盒每件的售价为元； （2）解：设售出款礼盒件，则售出款礼盒件， 根据题意得：， 解得：， 取整数， 可取，，，， 共有种销售方案： 方案1：销售款礼盒件，款礼盒件； 方案2：销售款礼盒件，款礼盒件； 方案3：销售款礼盒件，款礼盒件； 方案4：销售款礼盒件，款礼盒件； （3）解：根据题意得： 选择方案可获得的收益为（元） 选择方案可获得的收益为（元） 选择方案可获得的收益为（元） 选择方案可获得的收益为（元） ， 销售款礼盒件，款礼盒件时，收益最大，最大收益为元． 【变式训练】（24-25七年级下·四川绵阳·阶段检测）新冠疫情期间，某医药器材经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的口罩，若购进箱甲型口罩和箱乙型口罩，共需要资金元；若购进箱甲型口罩和箱乙型口罩，共需要资金元． (1)求甲、乙型号口罩每箱的进价为多少元？ (2)该医药器材经销商计划购进甲、乙两种型号的口罩用于销售，预计用不多于元且不少于元的资金购进这两种型号口罩共箱，请问有几种进货方案？并写出具体的进货方案； 【答案】(1)甲型口罩每箱的进价为300元，乙型口罩每箱的进价为240元． (2)共有5种进货方案，具体为：方案1：购进8箱甲型口罩，12箱乙型口罩；方案2：购进9箱甲型口罩，11箱乙型口罩；方案3：购进10箱甲型口罩，10箱乙型口罩；方案4：购进11箱甲型口罩，9箱乙型口罩；方案5：购进12箱甲型口罩，8箱乙型口罩． 【思路引导】（1）设甲型口罩每箱的进价为x元，乙型口罩每箱的进价为y元，然后根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设购进a箱甲型口罩，则购进箱乙型口罩，再根据资金的限制范围列出一元一次不等式组，求出a的取值范围，结合a为正整数的条件，列举出所有符合要求的进货方案即可解答． 【规范解答】（1）解：设甲型口罩每箱的进价为x元，乙型口罩每箱的进价为y元， 依题意，得：，解得：． 答：甲型口罩每箱的进价为300元，乙型口罩每箱的进价为240元． （2）解：设购进a箱甲型口罩，则购进箱乙型口罩， 依题意，得：，解得：． ∵a为正整数， ∴a可取8、9、10、11、12， ∴共有5种进货方案，具体为：方案1：购进8箱甲型口罩，12箱乙型口罩；方案2：购进9箱甲型口罩，11箱乙型口罩；方案3：购进10箱甲型口罩，10箱乙型口罩；方案4：购进11箱甲型口罩，9箱乙型口罩；方案5：购进12箱甲型口罩，8箱乙型口罩． 考点十四 不等式组的阶梯收费问题 【典例精讲】（24-25七年级下·重庆·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 【答案】(1)； (2)，； (3)3月份用水立方米，4月份用水立方米． 【思路引导】本题主要考查了分段计费问题，涉及有理数运算、列代数式及一元一次方程的应用．熟练掌握分段计算费用的方法，根据不同用水量范围准确列出算式或方程是解题的关键． （1）根据价目表，将12.5立方米的用水量按不同单价分段计算，分别算出各段水费再求和． （2）当时，水费由6立方米按2元/立方米和超出6立方米部分按4元/立方米计算；当时，水费由6立方米按2元/立方米、4立方米（6到10立方米）按4元/立方米、超出10立方米部分按8元/立方米计算，据此列代数式． （3）分情况讨论3月用水量的范围，根据不同范围的水费计算方式列方程求解． 【规范解答】（1）解：应交水费：（元）， 故答案为：； （2）解：当时， 水费为（元） 当时， 水费为（元） 故答案为：，； （3）解：设3月份用水立方米，则4月份用水立方米，由题意得， ，即． 当，即时， 水费为． 令， 解得（舍去）． 若，即， 水费为． 令， 解得． ∴3月份用水立方米，4月份用水立方米． 【变式训练】（24-25七年级下·湖南长沙·阶段检测）为践行“四季莫负春光日，人生不负少年时”的教育理念，我校七年级拟于5月29号组织60名老师和1160名学生前往浏阳博士村开展研学活动．活动前年级组准备租用A、B两种型号的客车(每种型号的客车至少租用5辆)．A型车每辆租金是500元，B型车每辆租金是600元，若2辆A型车和1辆B型车坐满后共载客140人，3辆A型车和4辆B型车坐满后共载客335人． (1)每辆A型车、B型车坐满后各载多少人？ (2)若年级组计划租用A型车和B型车共28辆，要求B型车数量不超过A型车数量的3倍，请问一共有多少种租车方案？哪种租车方案租金费用最少？最小租金费用为多少元？ 【答案】(1)每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人； (2)一共有种租车方案，当租用辆型车、辆型车时，租金费用最少，最小租金费用为元． 【思路引导】题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用； （1）设每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人，根据辆型车和辆型车坐满后共载客人，辆型车和辆型车坐满后共载客人”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用辆型车，则租用辆型车，根据租用的两种客车的共载客量不少于人且租用型车数量不超过型车数量的倍，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合，均为不小于的正整数，可得出，进而可得出共有种租车方案，由即型车每辆租金小于型车每辆租金，可得出当租用型车越多时，总租金越小，结合的取值范围，即可找出租金最少的租车方案，再求出此时的总租金即可． 【规范解答】（1）解：设每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人， 根据题意得：， 解得：． 答：每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人； （2）设租用辆型车，则租用辆型车， 根据题意得：， 解得：， 又，均为不小于的正整数， ， 种， 一共有种租车方案． ， 即型车每辆租金小于型车每辆租金， 当租用型车越多时，总租金越小， 当时，辆，总租金为元． 答：一共有种租车方案，当租用辆型车、辆型车时，租金费用最少，最小租金费用为元． 考点十五 一元一次不等式组的其他应用 【典例精讲】（25-26七年级下·江苏南通·期中）已知非负数，，满足，设，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】设，则，，，，利用非负数的性质求出的取值范围，进而得到的取值范围． 【规范解答】解：设， ∴，，， ∴， ∵，，是非负数， ∴， 解得， ∴， ∴的最大值为． 【变式训练】（25-26七年级下·北京·期中）2026年3月北京市第五十五中学第20届校园体育节暨“班超”比赛热闹开场．学校需要购买A种品牌的排球20个，B种品牌的排球30个，共花费2100元，已知B种品牌排球的单价比A种品牌排球的单价高20元． (1)求A、B两种品牌排球的单价各多少元？ (2)根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的排球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的排球单价优惠5元，B种品牌的排球单价打8折．如果此次学校购买A、B两种品牌排球的总费用不超过1550元，且购买B种品牌的排球不少于18个，则有几种购买方案？ (3)在(2)的条件下，为了节约资金，学校应选择哪种方案？为什么？ 【答案】(1) A种品牌排球的单价是30元，B种品牌排球的单价是50元 (2) 共有3种购买方案 (3) 为了节约资金，学校应选择购买A种品牌的排球32个，购买B种品牌排球18个，理由见解析 【思路引导】(1)设A种品牌排球的单价是x元，则B种品牌排球的单价是y元，再根据购买A种品牌的排球20个，B种品牌的排球30个，共花费2100元；B种品牌排球的单价比A种品牌排球的单价高20元，列出关于的二元一次方程组求解即可； (2)设购买A种品牌排球m个，则购买B种品牌排球个，根据商店“优惠促销”活动及学校给出的已知条件，列出关于m的一元一次不等式组，解不等式组求出m的取值范围，又由m为整数，确定购买方案即可； (3)由(2)得三种购买方案及总购买资金，比较数值大小即可得出资金最少的购买方案． 【规范解答】（1）解：设A种品牌的排球的单价是x元，则B种品牌的排球的单价是y元， 根据题意，得，解得， 答：A种品牌的排球的单价是30元，则B种品牌的排球的单价是50元； （2）解：设购买A种品牌的排球m个，则购买B种品牌的排球个， 根据题意，得，解得，即， 又∵m为整数， ∴m的值为30，31，32， ∴共有3种购买方案； （3）解：为了节约资金，学校应该选择购买A种品牌的排球32个，购买B种品牌排球18个．理由如下： 由(2)知3种购买方案及总购买资金分别为 方案一：购买A种品牌的排球30个，则购买B种品牌排球20个，购买资金为(元)； 方案二：购买A种品牌的排球31个，则购买B种品牌排球19个，购买资金为(元)； 方案三：购买A种品牌的排球32个，则购买B种品牌排球18个，购买资金为(元)； ∵， ∴为了节约资金，学校应该选择方案三：购买A种品牌的排球32个，购买B种品牌排球18个． 1．（25-26七年级下·安徽六安·期中）若，则下列各式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【规范解答】解：A、∵，∴，该选项不符合题意； B、∵，当时，，该选项不符合题意； C、∵，∴，该选项符合题意； D、∵，∴，该选项不符合题意． 2．（25-26七年级下·全国·期末）不等式：的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】先求出解集，再在数轴上表示，注意数轴上实心点与空心点的区别． 【规范解答】解：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 解得， 在数轴上表示为： 3．（25-26七年级下·云南大理·阶段检测）“一个数的与的差不大于这个数的2倍加上4所得的和”可列不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】将文字语言转化为代数式，明确“不大于”表示小于等于，对应不等号为，按题意拆解列出不等式即可． 【规范解答】解：的为，与的差为，的2倍加上4的结果为， ∵“不大于”对应的不等号为， ∴可列不等式为． 4．（25-26七年级下·北京顺义·期中）如图是某个一元一次不等式的解集在数轴上的表示，若该不等式恰有2个非负整数解，则a的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】首先根据数轴确定不等式的解集为，再根据“恰有2个非负整数解”确定这两个非负整数分别为和，从而确定的取值范围． 【规范解答】解：由数轴可知，该不等式的解集为， ∵非负整数包括，且该不等式恰有2个非负整数解， ∴这两个非负整数解只能是和， ∴必须满足． 5．解关于的不等式组的整数解有4个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】分别求出每个不等式的解集，再结合关于的不等式组的整数解有4个，即可得出结果． 【规范解答】解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∵关于的不等式组的整数解有4个， ∴不等式组的整数解为，，，， ∴． 6．已知关于x，y的方程组的解都是正数，，，则p的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【规范解答】解：解方程组得， ∵方程组的解都是正数， ∴， 解得， ∵，即， ∴ ， 则， ∴， ∴． 7．关于的不等式组的解集是，则的取值范围是________． 【答案】/ 【思路引导】先确定两个不等式的解集，再根据不等式组解集的确定规则“同小取小”，判断的取值范围． 【规范解答】解：已知不等式组中的两个不等式的解集分别为，， 因为不等式组的解集为，根据“同小取小”的原则，可得． 8．（25-26七年级下·吉林长春·期中）关于x的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是______． 【答案】 【思路引导】根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”即可求解． 【规范解答】解：由数轴可得，两个不等式的解集分别为， ∴不等式组的解集是． 9．某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分本，则多本；若每人分本，则最后一人分到了书但不到本书．共有________学生． 【答案】 【思路引导】设一共有名学生，根据每人分本，则多本，可知图书共有本，根据每人分本，则最后一人分到了书但不到本书，列不等式组求解． 【规范解答】解：设一共有名学生，则图书共有本， 由题意得：， 解得：， 又学生人数为正整数， ， 学生人数为． 10．小周的妈妈需要购买一批厨房用品，经了解发现，甲、乙两家超市的优惠方式如下： 超市 优惠方式 甲 所有厨房用品按标价的八折优惠 乙 总标价不超过200元的部分，按九五折优惠 总标价超过200元的部分，按六折优惠 通过计算，小周的妈妈发现在乙超市购买这批厨房用品更加划算，设这批厨房用品的总标价为x元，则x的取值范围为______． 【答案】 【思路引导】根据在乙超市购买这批厨房用品更加划算，可列出关于x的一元一次不等式，解之即可． 【规范解答】解：根据题意可得总标价不超过200元时甲的折扣更多，更优惠， ∴在乙超市购买这批厨房用品更加划算时，， ∴根据题意得， 解得． 11．若关于的不等式可化为，则的取值范围是______． 【答案】 【思路引导】利用不等式的基本性质，根据变形后不等号方向改变，可得的系数为负数，据此求解的取值范围． 【规范解答】解：不等式可化为，不等号方向发生改变， ， 解得：． 12．（25-26七年级下·重庆·期中）已知关于的不等式组的解集为，且使得关于、的二元一次方程组有正整数解．则所有满足条件的整数的和为________． 【答案】19 【思路引导】先解不等式组，根据已知解集确定的取值范围，再解二元一次方程组，根据方程组的解为正整数确定符合条件的整数，最后计算所有满足条件的的和． 【规范解答】解：解不等式，得， 解不等式得， 不等式组的解集为， ∴， 解方程组， 由第一个方程得， 代入第二个方程得， 解得， 将代入 得， 方程组的解为正整数，且为整数， ∴是的正因数，的正因数有， 当时，，不满足，舍去； 当时，，不满足，舍去； 当时，，满足条件，此时 均为正整数； 当 时，，满足条件，此时均为正整数； 所有满足条件的整数的和为，故答案为． 13．解二元一次方程组和解一元一次不等式． (1) (2)，并把解集表示在数轴上． 【答案】(1) (2)，数轴表示如图： 【规范解答】（1）解： 由得， 解得 将代入②得，，解得 ∴原方程组的解为； （2）解： 解得 ∴不等式的解集为． 数轴表示见答案． 14．（25-26七年级下·陕西安康·阶段检测）解不等式，并把它的解集在如图所示的数轴上表示出来． 【答案】， 【规范解答】解：， 去分母，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得， 数轴表示：略． 15．（25-26七年级下·湖北武汉·阶段检测）解不等式组，请按下列步骤完成解答： (1)解不等式①，得___________； (2)解不等式②，得___________； (3)将不等式①和②的解集在数轴上表示出来； (4)原不等式组的解集是___________． 【答案】(1) (2) (3)如图所示： (4) 【思路引导】（1）先移项，合并同类项，再将未知数系数化为1即可； （2）先去括号，然后移项，合并同类项，再将未知数系数化为1即可； （3）将解集表示在数轴上即可； （4）根据两个不等式的解集得出不等式组的解集即可． 【规范解答】（1）解：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：， 去括号，得：， 移项，合并同类项得：； （3）略 （4）略 16．五一期间，小明、小亮等同学随家人一同到某景区游玩，下图是购买门票时小明与爸爸的对话． (1)小明他们一共去了几个成人？几个学生？ (2)请你帮小明算一算，用哪种方式买票更省钱？并说明理由． 【答案】(1)小明他们一共去了8个成人，4个学生 (2)按16人购买团体票的方式买票更省钱，理由如下： ∵， ∴购团体票更省钱． 【规范解答】（1）解：设小明他们一共去了x个成人，则去了个学生， 根据题意，得， 解得， ∴． 答：小明他们一共去了8个成人，4个学生． （2）略 17．（25-26七年级下·全国·期末）【问题情境】 某校大力开展社团活动，其中该校“陕北民俗”社团准备去工艺品店购买“陕北剪纸”和“榆林泥塑”两种民俗手工艺品． 【素材展现】 素材1：工艺品店无促销活动：购买2幅陕北剪纸和6个榆林泥塑共需130元；购买3幅陕北剪纸所需的钱数和购买4个榆林泥塑所需的钱数相同． 素材2：工艺品店开展促销活动： 活动一：“疯狂打折”：陕北剪纸打八折，榆林泥塑打四折； 活动二：“买一送一”：购买一幅陕北剪纸送一个榆林泥塑． 【解决问题】 (1)该工艺品店在无促销活动时，陕北剪纸和榆林泥塑的销售单价各是多少元？ (2)社团决定购买陕北剪纸、榆林泥塑共100件，其中陕北剪纸不超过50幅．购买陕北剪纸的数量在什么范围内时，活动二更实惠？ 【答案】(1)陕北剪纸的销售单价为20元，榆林泥塑的销售单价为15元； (2)当时，活动二更实惠． 【思路引导】(1) 设陕北剪纸的销售单价为元，榆林泥塑的销售单价为元，根据题意列方程得，，求解即可； (2) 设购买陕北剪纸幅，则购买榆林泥塑个，根据题意分别表示出活动一、二的费用再列不等式求解即可． 【规范解答】（1）解;设陕北剪纸的销售单价为元，榆林泥塑的销售单价为元， 依题意列二元一次方程组得， 解得， 即陕北剪纸的销售单价为20元，榆林泥塑的销售单价为15元； （2）解：设购买陕北剪纸幅，则购买榆林泥塑个， 活动一的费用为：元， 活动二的费用为：元， 当时， 解得， 又， ， 答：当时，活动二更实惠． 18．（25-26七年级下·安徽芜湖·阶段检测）某电商销售如图所示的甲、乙两种型号以马为主题的生肖玩偶，已知销售8个甲型玩偶和12个乙型玩偶的销售额共620元，销售30个甲型玩偶和20个乙型玩偶的销售额共1450元． (1)分别求甲、乙两种型号玩偶的销售单价． (2)某幼儿园计划在该电商处总共采购130个两种型号的玩偶，总采购费用不超过4000元，求最多可以采购乙型玩偶的个数． 【答案】(1)甲型玩偶的单价为25元，乙型玩偶的单价为35元 (2)该幼儿园最多可以采购75个乙型玩偶 【思路引导】（1）设甲型玩偶的单价为元，乙型玩偶的单价为元，根据两种玩偶的销售信息构造方程组求解即可； （2）设这个幼儿园在该电商处采购个乙型玩偶，则采购个甲型玩偶，利用总采购费用不超过4000元的条件构造不等式求解． 【规范解答】（1）解：设甲型玩偶的单价为元，乙型玩偶的单价为元． 根据题意得 解得 答：甲型玩偶的单价为25元，乙型玩偶的单价为35元． （2）解：设这个幼儿园在该电商处采购个乙型玩偶，则采购个甲型玩偶． 根据题意得， 整理得， 解得． 答：该幼儿园最多可以采购75个乙型玩偶． 19．（25-26七年级下·吉林长春·期中）综合与实践： 【问题情境】近日，第十三届吉林省登山大会在长白山景区拉开帷幕，吸引了众多登山爱好者和游客参加．活动期间，小明所在的班级开展知识竞赛，需要去商店购买，两种款式的运动盲盒作为奖品． 【素材展现】 素材：某商店在无促销活动时，若买个款运动盲盒、个款运动盲盒，共需元；若买个款运动盲盒、个款运动盲盒，共需元． 素材：该商店开展促销活动：用元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）；线上网店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的折出售且包邮． (1)【解决问题】该商店在无促销活动时，求款运动盲盒和款运动盲盒的销售单价各是多少？ (2)【拓展提升】小明计划在促销期间购买，两款运动盲盒共个，其中款运动盲盒个（），若在线下商店成为会员购买，共需要______元；若在线上网店购买，共需要______元；（均用含的代数式表示） (3)【综合应用】请你帮小明算一算，在（）的条件下，购买款运动盲盒的数量超过多少个，线下购买方式更合算？ 【答案】(1)该商店在无促销活动时，款盲盒销售单价为元，款盲盒销售的单价为元 (2)， (3)购买款运动盲盒的数量超过个，线下购买方式更合算 【思路引导】（）设该商店在无促销活动时，款盲盒销售单价为元，款盲盒销售的单价为元，根据题意列出方程组，然后解方程组即可； （）根据题意得在线下商店成为会员购买，共需要；在线上网店购买，共需要，然后进行化简即可； （）由（）得在线下商店成为会员购买，共需要元，在线上网店购买，共需要元，根据题意得，然后解不等式即可． 【规范解答】（1）解：设该商店在无促销活动时，款盲盒销售单价为元，款盲盒销售的单价为元， 根据题意得，， 解得：， 答：该商店在无促销活动时，款盲盒销售单价为元，款盲盒销售的单价为元； （2）解：在线下商店成为会员购买，共需要： （元）； 在线上网店购买，共需要： （元）； 故答案为：，； （3）解：由（）得，在线下商店成为会员购买，共需要元，在线上网店购买，共需要元， 根据题意得，， 解得：， 答：购买款运动盲盒的数量超过个，线下购买方式更合算． 20．（25-26七年级下·重庆·期中）某服装厂购进A型、B型两种尺寸的布料加工成T恤和长裤出售．已知一匹A型布料的进价比一匹B型布料多20元，且购买3匹A型布料和2匹B型布料共花费210元． (1)每匹A型布料与B型布料的进价各是多少元？ (2)根据生产计划，该厂决定用不超过3800元购进A型、B型布料共100匹，（两种布料购进的匹数均为整数）．已知一匹A型布料可制成3件T恤和2条长裤，一匹B型布料可制成2件T恤和3条长裤，且生产出来的T恤数量不少于长裤数量的．则该服装厂有几种进货方案？ (3)某服装店从该厂购进一批足量的T恤和长裤进行销售．为提升购物体验，商家推出礼盒包装服务：每个礼盒仅能包装一件T恤或一条长裤，顾客可自主选择是否使用礼盒包装．已知每件T恤零售价65元，每条长裤零售价80元，每个礼盒售价15元．小罗用4280元购买了一批T恤和长裤，其中不用礼盒包装的T恤件数占总购买件数的．则用礼盒包装的长裤买了多少条？ 【答案】(1)每匹A型布料的进价是元，每匹B型布料的进价是元； (2)该服装厂有3种进货方案； (3)用礼盒包装的长裤买了14条． 【思路引导】（1）设每匹B型布料的进价是元，则A型布料的进价是元，根据购买3匹A型布料和2匹B型布料共花费210元列出方程并解方程即可； （2）设购进A型布料匹，则购进B型布料匹，根据题意列出不等式组并解不等式组，求出整数解即可； （3）设购买商品件数为则不用礼盒包装的T恤为件，设包装的T恤为件，包装的长裤为条，不用礼盒包装的长裤为条，其中为正整数，均为非负数，由题意得到，由题意可得， ，解得，进一步求出即可得到答案． 【规范解答】（1）解：设每匹B型布料的进价是元，则A型布料的进价是元， 则， 解得， ∴， 答：每匹A型布料的进价是元，每匹B型布料的进价是元； （2）解：设购进A型布料匹，则购进B型布料匹，由题意可得， ， 解得， ∵两种布料购进的匹数均为整数， ∴或或， 答：该服装厂有3种进货方案； （3）解：设购买商品件数为则不用礼盒包装的T恤为件，设包装的T恤为件，包装的长裤为条，不用礼盒包装的长裤为条，其中为正整数，均为非负数，根据题意可得， ， 即， 由题意可得， 把代入并整理得到，， 即， 解得， 由及,可得， 代入得到， 由得到，解得， ∴， 代入，符合题意， 答：用礼盒包装的长裤买了14条． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null2026-2027学年数学七升八年级暑期学习金牌培优讲义【温故知新篇】 暑假衔接 专题05不等式与不等式组的解法与应用 思维导图+知识回顾+十五大考点讲练+真题强化（共50题） 【原卷版】 思维导图 浏览知识知晓考点 技巧点拨 知识梳理方法提炼 考点讲练 重点难点优选题型 真题强化 真题汇编查漏补缺 初中数学 七年级/下册（新教材） 版 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 课前指导讲义简介 同学，你好！该份讲义主要以复习人教版新教材七年级下学期内容为主，选取重点难，点专题内 容强化复习，讲义包含导图指引，知识梳理，，高频考点真题讲练，优选题培优训练20题等 四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型， 整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学， 教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 思维导图考点指引 ①一元一次不等式组的概念 ④一元一次不等式组的整数解 定义 关于同一个未知数的几个一元一次不等式联立在一起 (1)利用数轴确定不等式组的解（整数解）， 就组成了一个一元一次不等式组。 解法此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集 ①不等式组中的所有不等式都是一元一次不等式： 然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件。 特征②不等式组中的所有一元一次不等式都含有同一个未知数： 再根摇得到的条件进而求得不等式组的整数解， ③不等式组中的一元一次不等式的个数为两个或两个以上 (2)已知解集（整数解）求字母的取值 2一元一次不等式组的解集 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等 定义八个一元一次不等式的解集的公共部分，叫微由它们组成的 式组或方程组等。然后再根据爱目中对结果的限制的条件得到有 不等式组的解集。解不等式组就是求它的解集， 关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案 【补充】 ①如果不等式的解集无公共部分，就说这个不等式组无解 人教版七年级数学下册 ②在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来表示不等 ⑤一元一次不等式组的应用 式组的解集的，确定方法如下表所示： 专题05 对具有多种不等关系的问题。考虑列一元一次不等式组。并求解 不等式组 x>a [x<a x>a x<a 不等式与不等式组的 一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题 设a>b x>b x<b x<b xzb 其一般步骤： 解集 x>a x<b 无解 b≤x<a 解法与应用 ①分析题意，找出不等关系： 数轴上的 食自 ②设未知数，列出不等式组： 表示 b a b a ③解不等式组： 口诀 同大取大 同小取小 大大小小无处找 大小，小大中间找 ④从不等式组解集中找出符合题意的答素： 5作答. (③解一元一次不等式组的一般步骤 第一步求出不等式组中各不等式的解集： ☆知识梳理小结 第二步]将各不等式的解集在数轴上表示出来。 ★一元一次不等式组由两个或两个以上的一元一次不等式组成 第三步在数轴上找出各不等式解集的公共部分 ★解集是公共部分，数轴是好帮手： 这个公共部分戴是不等式组的解集， ◆注章边界点的表示：“”“<”用空心园点，“≥”“≤”用实心圆点 【易错点拨】 ★解应用题要抓住不等关系，按步潭列出不等式组求解， ①利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分 ②当不等式组中含有“≥”或“≤”时，边界点要用实心圆点，解集的取法不变。 ③关于<的不等式组任之日的解集为×=，关于x的不等式组{之8无解。 X≤a 勤学善思夯实基础灵活应用 知识梳理温故知新 知识点一一元一次不等式组 定义：关于同一个未知数的几个一元一次不等式联立在一起，就组成了一个一元一次不等式组 特征：①不等式组中的所有不等式都是一元一次不等式； 第2页共21页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) ②不等式组中的所有一元一次不等式都含有同一个未知数； ③不等式组中的一元一次不等式的个数为两个或两个以上 知识点二一元一次不等式组的解集 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式 组的解集。解不等式组就是求它的解集 【补充】 1)如果不等式的解集无公共部分，就说这个不等式组无解， 2)在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来表示不等式组的解集的.确定方法如下表 所示： 不等式 x a x<a x>d x<a 组 x>b [x<b x≤b x≥b 设a>b 解集 x>a x<b 无解 b≤x<a 数轴上 的表示 h 口诀 同大取大 同小取小 大大小小无处找 大小，小大中间找 知识点三解一元一次不等式组的一般步骤 第一步：求出不等式组中各不等式的解集； 第二步：将各不等式的解集在数轴上表示出来； 第三步：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集 【易错点拨】 1)利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分 2)当不等式组中含有“≥”或“≤”时，边界点处要用实心圆点，解集的取法不变 x≥a x>a 3)关于x的不等式组 的解集为x=a,关于x的不等式组 无解 X≤a x<a 知识点四一元一次不等式组的整数解 (1)利用数轴确定不等式组的解（整数解）. 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限 制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解. 第3页共21页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) (2)已知解集（整数解)求字母的取值 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据 题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案， 知识点五一元一次不等式组的应用 对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解. 一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤： (1)分析题意，找出不等关系； (2)设未知数，列出不等式组； (3)解不等式组； (4)从不等式组解集中找出符合题意的答案； (5)作答 优选题型考点讲练 考点一求一元一次不等式的整数解 【典例精讲】(25-26七年级下·陕西安康·阶段检测)阅读材料：善于思考的小军在解方程组 [2x+5y=3① 4x+11y=5② 时，采用了一种“整体代换”的解法。 解：将方程②变形：4x+10y+y=5,即2(2x+5y)+y=5,③ 把方程①代入③得：2×3+y=5,解得y=-1, 把y=-1代入①得x=4, 原方程细的解为儿一 请你根据上述材料解决以下问题： 0焕仿小军的“整体代换”法解方程年(6”》-3) (2)若关于x,y的二元一次方程组} 2x+y=-3m+2① x+2y=7② 的解满足x十y>一吾请求出满足条件的如的所有 正整数值. 第4页共21页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 【变式训练】(25-26七年级下·山东德州·阶段检测)已知关于k不等式2(k-3)<0,其中m是 关于k的不等式的最大整数解，求关于x的不等式m2x->x一m的解集。 考点二在数轴上表示不等式的解集 【典例精讲】(25-26七年级下·河南驻马店·阶段检测)李老师在黑板上出示了如图1的一个算式，但 是老师用手遮挡了其中的一个数. 3×-64÷(-2)+(-1)2026乙 -4-3-2-101 图1 图2 (1)若被手遮挡的数是4，求这个算式的结果： (2)若这个算式的结果落在图2所示的范围内，求被遮挡的数的最小值. 【变式训练】，(25-26七年级下·河南南阳·期末)如图是两位同学在讨论一个一元一次不等式，根据 对话中提供的信息，判断他们讨论的不等式可能是( 不等式在求解的 不等式的解集为 过程中需要改变 不等号的方向 A.2x<6 B.-2X>-6 C.-X≤3 D.-2x≤-6 考点三求一元一次不等式解的最值 【典例精讲】(25-26七年级上·安徽六安·阶段检测)定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式的 解，称这个方程（组）的解是这个不等式的“内含解”.例如：方程3x-6=0的解是x=2,同时x=2 也是不等式2x+5>0的解，则方程3x-6=0的解x=2是不等式2x+5>0的“内含解”. (1)判断方程5x+4=2x-2的解是不是不等式生>0的“内含解”，并说明理由： 国老天于y的方程伦任二8致名的解足个等式3xy>5的“内含都”，求的取伯范国： (3)当n≤3时，方程3x-n=3的解是不等式2(2x-m)≤x+3的“内含解”，求整数m的最小值. 第5页共21页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 【变式训练】(2025·河北沧州·模拟预测)有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上2， 同时B区就会自动减去1，且均显示计算结果.已知A,B两区初始显示的数分别是一3和7. (1)按键1次后，求A,B两区显示的结果的和： (2)若按键n次后，A区的结果大于B区的结果，求n的最小值. 考点四用一元一次不等式解决实际问题 【典例精讲】(25-26七年级下·河南许昌·阶段检测)幸福社区安排在庆祝中国共产党成立105周年期 间举行《颂歌献给党》歌唱比赛，准备从某超市购买若干个A型台灯和B型台灯作为比赛奖品， (1)若该社区第一次到该超市购买，A型台灯和B型台灯共100个，且购买B型台灯数量不少于A型台灯数 量的，那么该社区最多可以购买多少个A型台灯？ (2)若此超市A型台灯的售价为每个160元，B型台灯的售价为每个120元，社区第二次从该超市一次性购 买A型台灯和B型台灯共60个，总费用不超过8640元，那么社区最多可以购买多少个A型台灯？ 【变式训练】(25-26七年级下·河南驻马店·阶段检测)河南万岁山武侠城最新引进了一批机器人和机 器狗进行跳舞表演，结合银丝古建场景，科技感与复古氛围交融.引进前该景区对机器人和机器狗的价格 进行了调查，发现购买1台机器人比购买3台机器狗多9万元，购买1台机器人和购买6台机器狗的费用 相同 (1)求机器人和机器狗的单价各是多少： (2)若该景区想购买机器人和机器狗共10台（两种都要购买），预算不超过87万元.求该景区所有购买方 案。 第6页共21页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 考点五用一元一次不等式解决几何问题 【典例精讲】(25-26七年级下·重庆·期中)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6,BC=4.动 点P从点A出发，沿折线A→B→C以每秒1个单位长度运动，到达点C时停止.设点P运动的时间为t秒. 8h (1)点P整个运动过程中，共需一秒； (2)当△APC的面积为6时，求t的值： (3)当△APC的面积大于5时，求t的取值范围. 【变式训练】(25-26七年级下·湖南衡阳·期中)如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm,BC=8cm, 点D为BC的中点，动点P从A点出发，先以3cm/s的速度沿A→B运动，到达点B后再以4cm/s的速度沿B→C 运动，到达C停止.设点P运动的时间为t(s),△APD的面积为S(cm),规定线段是特殊的三角形， ■ B D 备用图) (1)当t=」 时，点P运动到点B: (2)当点P在BC上运动，且点P在点D左侧时，PD的长度为 cm(用含t的代数式表示) (3)在点P运动过程中，请用含t的代数式表示S: (4)当S<6时，请直接写出t的取值范围. 第7页共21页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 考点六求一元一次不等式组的整数解 5x-1>3(x+1) 【典例精讲】(25-26七年级下·江苏南京·阶段检测)解不等式组} 之x-1，并写出它的整 3 数解. 【变式训练】(25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测)已知方程组+y二，7m的解满足x为负数， x-y=1+3m y为非正数. (1)求m的取值范围： (2)在m的取值范围内，当m取何整数时，不等式3mx+x>3m+1的解集为x<1? 考点七由一元一次不等式组的解集求参数 【典例精讲】(25-26七年级下·河南许昌·期中)若关于x的不等式x+a≥0有且仅有1个负整数解， 则实数a的取值范围是_一一· 【变式训练】(25-26七年级下·四川宜宾·期中)定义新运算F:F(a,b)= b-2aa<月，若关于正 a-2b(a≥b) 数x的不等式组 (r(x-引>4恰有三个整数解，则m的取值范围一· F(-1,x≤m 考点八由不等式组解集的情况求参数 【典例精讲】(25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测)若不等式（组）①的解都是不等式（组）②的解， 则称不等式（组）②是不等式（组）①的“覆盖不等式”，特别地，若一个不等式（组）无解，则其他任 意不等式（组）都是它的“覆盖不等式”.例如：不等式x>1的解都是不等式x≥0的解，则x≥0是x>1 的“覆盖不等式”；不等式组x3无解，则其他任意不等式（组）都是它的“覆盖不等式”.根据以上 (x≥5 信息，解决下列问题： 第8页共21页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) (1)x<-1x<-2的“覆盖不等式”（填“是”或“不是”）； (2)若x<-2是关于x的不等式4m-3x>0的“覆盖不等式”，试求m的取值范围： (@若2≤x≤7是关于x的不等式组(+5>a的“腰益不等式，请直接写出a的取值范国。 【变式训练】（防七年级下·辽宁盘编·期中）已知关于的不等式二。乙1甲、7两位同学 分别得出以下结论：甲：如果不等式组有且仅有2个整数解，那么a的取值范围是5≤a<6;乙：如果此 不等式组无解，那么a<3.其中下列判断正确的是( ). A.甲、乙都对B.甲错，乙对 C.甲对，乙错D.甲、乙都错 考点九不等式组和方程组结合的问题 【典例精讲】(25-26七年级下·吉林长春·期中)【教材呈现】如下是华师版七年级下册数学教材第77 页的部分内容。 7. 已知关于x的方程3k-5x=一9的解是非负数，求k的取值范围. (1)请写出这道题完整的解题过程. 【拓民】已如关、y的方帮十》二3+病足x为非数、防负数。 (2)求m的取值范围； (3)化简：|m-31-lm+2. 第9页共21页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 【变式训练】(25-26七年级下·全国·期末)学科素养·应用意识阅读下列材料： 问题：已知x-y=2,且x>1,y<0,求x+y的取值范围 解：x-y=2,.x=y+2.又x>1,.y+2>1,y>-1.又y<0,.-1<y<0①，.-1+2<y+ 2<0+2.即1<x<2②.①+②得-1+1<x+y<0+2..x+y的取值范围是0<x+y<2. 请按照上述方法，完成下列问题： (1)己知x-y=3,且x>-1,y<0,则x的取值范围是 -一；x+y的取值范围是 (2)已知x-y=a,且x<-b,y>2b,根据上述做法得到-2<3x-y<10,求a、b的值. 考点十不等式组的行程问题 【典例精讲】(25-26八年级下·山东青岛·阶段检测)北斗高精导航能够实时显示当前路口的信号灯颜 色以及时长，一辆小车行驶在限速60m/h的路段上，当距离下一路口900m时，发现导航显示下一路口 的信号灯为绿灯，且剩余时间为60s,此时导航提示：按照当前时速行驶能通过下一路口，则小车当前行驶 速度xkm/h的取值范围是 【变式训练】(24-25七年级下·江苏南京·期末)如图(1)，A,B两地间的公路长360km,其中有一段 长10km的施工道路MW,M距离A地200km·甲、乙两辆轿车分别从A,B两地出发，沿该公路相向而 行，乙车比甲车晚出发20min·在非施工道路（其限速情况如图(2）所示)，甲车始终以100km/h的速度 行驶，乙车始终以Vkm/h的速度行驶：在施工道路，两车均以40km/h的速度行驶. 120 60 ■■■ 00 60 M 100 60 图(1) 图(2) (1)若V=90. ①甲车出发2h时，甲车行至 处，乙车行至一 处；（填“”“W”或“MN的中点”） ②甲车行至MN的中点时，乙车行驶的时间为_一一h. (2)已知两车在P处相遇， ①若P与W重合，求V的值； ②若P在非施工道路上(P不与M,W重合)，直接写出V的取值范围. 第10页共21页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 考点十一不等式组的经济问题 【典例精讲】(25-26七年级下·河南周口·阶段检测)某文具店购进笔记本和签字笔，已知购进2本笔 记本和3支签字笔共花费18元：购进4本笔记本和5支签字笔共花费32元. (1)求一本笔记本、一支签字笔的进价分别是多少元？ (2)若商店准备再次采购笔记本和签字笔共50件，总费用不超过200元，最多可以购进笔记本多少本？ 【变式训练】(25-26七年级下·河南新乡·期中)3月19日，“开封清明上河园·忘忧清乐杯”第三届 中国围棋国手赛决赛三番棋第二局在河南开封进行，卫冕冠军丁浩九段中盘胜挑战者范廷钰九段，从而以 大比分2比0夺冠，实现赛事三连冠.某商家销售A,B两种围棋，每套的进价分别为200元，170元，下 表是近两周的销售情况： 销售数量 销售时段 销售收入 A种 B种 第一周 2套 3套 1080元 第二周 3套 4套 1520元 (1)求A,B两种围棋每套的售价： (2)若商家准备再采购A,B两种围棋共40套，其中B种围棋的数量不少于A种围棋数量的3倍，要使销售 完这40套围棋的利润不少于1280元，共有几种进货方案？（不考虑其他支出） 第11页共21页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 考点十二不等式组的分配问题 【典例精讲】(25-26七年级下·四川乐山·期中)用若干张规格为6dm×6dm的大纸板剪裁成图①所 示的A型长方形纸板和B型正方形纸板，再制作成图②所示的横式和竖式两种无盖长方体纸盒.已知一张大 纸板可以恰好裁成6张A型长方形纸板或者恰好裁成9张B型正方形纸板， 3dm 2dm 2dm 2dm B 横式 竖式 图① 图② (1)制作一个横式纸盒需要A型长方形纸板张，制作一个竖式纸盒需要A型长方形纸板_张， (2)若用8张大纸板裁成A型长方形纸板，用3张大纸板剪裁B型正方形纸板，且裁成的A、B两种型号纸板 恰好都用完，求可以制作横式纸盒和竖式纸盒各多少个？ (3)如果一张大纸板既可以恰好裁成6张A型长方形纸板或者恰好裁成9张B型正方形纸板，也可以同时裁出 2张A型长方形纸板和6张B型正方形纸板.若要用15张大纸板，剪裁后再制作成横式纸盒，在充分利用大 纸板的情况下，最多可以制作横式纸盒多少个？ 【变式训练】某工厂计划生产A、B两种产品共15件，其生产成本和利润如表： A种产品 B种产品 成本（万元/件） 3 利润（万元/件） 1 3 (1)若工厂计划获利23万元，问A、B两种产品应分别生产多少件？ (2)若工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元，问工厂有哪几种生产方案？ (3)在(2)的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润 第12页共21页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 考点十三不等式组的方案选择问题 【典例精讲】(25-26七年级下·云南大理·阶段检测)【综合与实践】阅读下面的素材，完成三个任务， 如何安排销售，使总收益最大 素材1：我县某乡镇为助力农户增收，将红米和核桃加工包装成礼盒(A款梯田红米礼盒和B款高山核桃礼 盒)再出售.已知每件A礼盒比B礼盒售价少10元，卖出6件A礼盒和4件B礼盒，一共收入500元. 素材2：己知A礼盒成本25元/件，B礼盒成本40元/件.乡镇计划在某展销活动中售出A,B两种礼盒共300 件，且A礼盒数量不超过B礼盒数量的2倍，总成本不超过9045元. 问题解决 (1)求A,B两种礼盒每件的售价分别为多少元： (2)求所有的销售方案： (3)要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排A,B两种礼盒的销售方案？并求出农户在这次展销活动中的最大 收益是多少元？ 【变式训练】(24-25七年级下·四川绵阳·阶段检测)新冠疫情期间，某医药器材经销商计划同时购进 一批甲、乙两种型号的口罩，若购进2箱甲型口罩和1箱乙型口罩，共需要资金840元；若购进3箱甲型 口罩和2箱乙型口罩，共需要资金1380元. (1)求甲、乙型号口罩每箱的进价为多少元？ (2)该医药器材经销商计划购进甲、乙两种型号的口罩用于销售，预计用不多于5520元且不少于5280元 的资金购进这两种型号口罩共20箱，请问有几种进货方案？并写出具体的进货方案： 第13页共21页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 考点十四不等式组的阶梯收费问题 【典例精讲】(24-25七年级下·重庆·期中)为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用 价格调控的方式达到节水的目的.重庆市自来水的收费价格见价目表.注：水费按月结算.若某户居民1 月份用水8立方米，则应交水费：2×6+4×8一6)=20（元）. 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水12.5立方米，则应交水费 元： (2)若小明家3月用水量为a立方米，当6<a≤10时，小明家应交水费元，当a>10时，小明家应 交水费元；（请用含a的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米(4月份用水量多于3月份)，共交水费38元，则小明家3， 4月份各用水多少立方米？ 第14页共21页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 【变式训练】(24-25七年级下·湖南长沙·阶段检测)为践行“四季莫负春光日，人生不负少年时”的 教育理念，我校七年级拟于5月29号组织60名老师和1160名学生前往浏阳博士村开展研学活动.活动前 年级组准备租用A、B两种型号的客车（每种型号的客车至少租用5辆）.A型车每辆租金是500元，B型车 每辆租金是600元，若2辆A型车和1辆B型车坐满后共载客140人，3辆A型车和4辆B型车坐满后共载 客335人. (1)每辆A型车、B型车坐满后各载多少人？ (②)若年级组计划租用A型车和B型车共28辆，要求B型车数量不超过A型车数量的3倍，请问一共有多 少种租车方案？哪种租车方案租金费用最少？最小租金费用为多少元？ 考点十五一元一次不等式组的其他应用 【典例精讲】(25-26七年级下江苏南通期中)已知非负数x,y少，z满足=生=华，设w=x-y+2, 3 4 则W的最大值是( A月 B.3 C. . 【变式训练】(25-26七年级下·北京·期中)2026年3月北京市第五十五中学第20届校园体育节暨“班 超”比赛热闹开场.学校需要购买A种品牌的排球20个，B种品牌的排球30个，共花费2100元，已知B 种品牌排球的单价比A种品牌排球的单价高20元. (1)求A、B两种品牌排球的单价各多少元？ (2)根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的排球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种 品牌的排球单价优惠5元，B种品牌的排球单价打8折.如果此次学校购买A、B两种品牌排球的总费用不 超过1550元，且购买B种品牌的排球不少于18个，则有几种购买方案？ (3)在(2)的条件下，为了节约资金，学校应选择哪种方案？为什么？ 第15页共21页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 真题汇编能力强化 1.(25-26七年级下·安徽六安·期中)若a<b,则下列各式中一定成立的是( A.-2a<-2b B.ac<bc C.a-4<b-4 2.(25-26七年级下·全国·期末)不等式：2x+1≥3的解集在数轴上表示正确的是( ) 。 A. -2-1012 B.-2-1012 c.-2-1012 D.-2-1012 3.(25-26七年级下·云南大理·阶段检测)“一个数x的与3的差不大于这个数的2倍加上4所得的和” 可列不等式为( A.-3≤2x+4B.-3≤2x+4C.等+3<2x+4D.；-3<2x+4 4.(25-26七年级下·北京顺义·期中)如图是某个一元一次不等式的解集在数轴上的表示，若该不等式 恰有2个非负整数解，则a的取值范围是() 0 a A.2≤a<3 B.1<a≤2 C.1≤a<2 D.1≤a≤2 5.解关于x的不等式组（货一9的整数解有4个，则的取直范国是〈 A.6<a<7 B.6≤a<7 C.6≤a≤7 D.6<a≤7 6。已知关于的方程组+2二3+5的解都是正数，m+n=5,D=2m-机10.则p的取值 范围为( ) A.p<-42 B.p>-42 C.p<-24 D.p>-24 元.关于的不等式组化石的解柴是x<a,则a的取值范围是 8.(25-26七年级下·吉林长春·期中)关于x的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等 式组的解集是 01234567 第16页共21页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 9.某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分3本，则多10本；若每人分5 本，则最后一人分到了书但不到3本书.共有 学生 10.小周的妈妈需要购买一批厨房用品，经了解发现，甲、乙两家超市的优惠方式如下： 超市 优惠方式 甲 所有厨房用品按标价的八折优惠 总标价不超过200元的部分，按九五折优惠 总标价超过200元的部分，按六折优惠 通过计算，小周的妈妈发现在乙超市购买这批厨房用品更加划算，设这批厨房用品的总标价为x元，则x 的取值范围为一一· 11.若关于x的不等式(a-2)x<-3可化为x>, 2-a' 则a的取值范围是 x-4 12.（25-26七年级下·重庆·期中)已知关于x的不等式组3 -X>-号的解柴为x<3,且使得关于×、 (x-m<0 州二元一次方帮年四-y8有正整数解，则所有满足条件的娶致m的和为 13.解二元一次方程组和解一元一次不等式. a+=, ②)1+2x<,并把解集表示在数轴上. 14.(25-26七年级下·陕西安康·阶段检测)解不等式2x二1<x+1,并把它的解集在如图所示的数轴上 表示出来. 54321012345 第17页共21页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 2x+1≤3① 15.（25-26七年级下·湖北武汉·阶段检测)解不等式组{ 请按下列步骤完成解答： 3(x+2)>2x+3② -4-3-2-101234> (1)解不等式①，得 _ (2)解不等式②，得 (3)将不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集是 16.五一期间，小明、小亮等同学随家人一同到某景区游玩，下图是购买门票时小明与爸爸的对话. 成人门票每张35元， 爸爸，等一下，让我 学生门票按成人票5折优 算一算，换一种方式 惠，我们共有12个人， 买票是否更省钱。 共需350元。 票价 成人：35元张 学生：按成人票5折优惠 团体票：(16人以上，含 16人)：按成人票6折优惠 (1)小明他们一共去了几个成人？几个学生？ (2)请你帮小明算一算，用哪种方式买票更省钱？并说明理由. 第18页共21页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 17.(25-26七年级下·全国·期末)【问题情境】 某校大力开展社团活动，其中该校“陕北民俗”社团准备去工艺品店购买“陕北剪纸”和“榆林泥塑”两 种民俗手工艺品， 【素材展现】 素材1：工艺品店无促销活动：购买2幅陕北剪纸和6个榆林泥塑共需130元：购买3幅陕北剪纸所需的钱 数和购买4个榆林泥塑所需的钱数相同。 素材2：工艺品店开展促销活动： 活动一：“疯狂打折”：陕北剪纸打八折，榆林泥塑打四折： 活动二：“买一送一”：购买一幅陕北剪纸送一个榆林泥塑. 【解决问题】 (1)该工艺品店在无促销活动时，陕北剪纸和榆林泥塑的销售单价各是多少元？ (2)社团决定购买陕北剪纸、榆林泥塑共100件，其中陕北剪纸不超过50幅.购买陕北剪纸的数量在什么 范围内时，活动二更实惠？ 18.(25-26七年级下·安徽芜湖·阶段检测)某电商销售如图所示的甲、乙两种型号以马为主题的生肖玩 偶，己知销售8个甲型玩偶和12个乙型玩偶的销售额共620元，销售30个甲型玩偶和20个乙型玩偶的销 售额共1450元. 2026 甲 乙 (1)分别求甲、乙两种型号玩偶的销售单价， (2)某幼儿园计划在该电商处总共采购130个两种型号的玩偶，总采购费用不超过4000元，求最多可以采 购乙型玩偶的个数. 第19页共21页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 19.(25-26七年级下·吉林长春·期中)综合与实践： 【问题情境】近日，第十三届吉林省登山大会在长白山景区拉开帷幕，吸引了众多登山爱好者和游客参加.活 动期间，小明所在的班级开展知识竞赛，需要去商店购买A,B两种款式的运动盲盒作为奖品， 【素材展现】 素材1：某商店在无促销活动时，若买15个A款运动盲盒、10个B款运动盲盒，共需230元；若买25个 A款运动盲盒、25个B款运动盲盒，共需450元. 素材2：该商店开展促销活动：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商 品价格的8折出售（己知小明在此之前不是该商店的会员）；线上网店促销活动：购买商店内任何商品， 律按商品价格的9折出售且包邮， (1)【解决问题】该商店在无促销活动时，求A款运动盲盒和B款运动盲盒的销售单价各是多少？ (2)【拓展提升】小明计划在促销期间购买A,B两款运动盲盒共40个，其中A款运动盲盒m个(0<m<40), 若在线下商店成为会员购买，共需要元；若在线上网店购买，共需要元；（均用含m的代数式 表示) (3)【综合应用】请你帮小明算一算，在(2)的条件下，购买A款运动盲盒的数量超过多少个，线下购买 方式更合算？ 第20页共21页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 20.(25-26七年级下·重庆·期中)某服装厂购进A型、B型两种尺寸的布料加工成T恤和长裤出售.已 知一匹A型布料的进价比一匹B型布料多20元，且购买3匹A型布料和2匹B型布料共花费210元. (1)每匹A型布料与B型布料的进价各是多少元？ (2)根据生产计划，该厂决定用不超过3800元购进A型、B型布料共100匹，（两种布料购进的匹数均为整 数).已知一匹A型布料可制成3件T恤和2条长裤，一匹B型布料可制成2件T恤和3条长裤，且生产 出来的T恤数量不少于长裤数量的品。则该服装厂有几种进货方案？ (3)某服装店从该厂购进一批足量的T恤和长裤进行销售.为提升购物体验，商家推出礼盒包装服务：每个 礼盒仅能包装一件T恤或一条长裤，顾客可自主选择是否使用礼盒包装，.已知每件T恤零售价65元，每条 长裤零售价80元，每个礼盒售价15元.小罗用4280元购买了一批T恤和长裤，其中不用礼盒包装的T恤 件数占总购买件数的号则用礼盒包装的长裤买了多少条？ 第21页共21页2026-2027学年人教版数学七升八年级衔接金牌培优讲义（温故知新） 2026-2027学年数学七升八年级暑期学习金牌培优讲义【温故知新篇】 七年级/下册（新教材） 初中数学 专题05 不等式与不等式组的解法与应用 人教版 思维导图+知识回顾+十五大考点讲练+真题强化 （共50题） 【原卷版】 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 暑假衔接 考点讲练练 浏览知识 知晓考点 真题强化 思维导图 技巧点拨 真题汇编 查漏补缺 重点难点 优选题型 知识梳理 方法提炼 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 同学，你好！该份讲义主要以复习人教版新教材七年级下学期内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，知识梳理，，高频考点真题讲练，优选题培优训练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 一元一次不等式组 定义：关于同一个未知数的几个一元一次不等式联立在一起，就组成了一个一元一次不等式组. 特征：①不等式组中的所有不等式都是一元一次不等式； ②不等式组中的所有一元一次不等式都含有同一个未知数； ③不等式组中的一元一次不等式的个数为两个或两个以上. 知识点二 一元一次不等式组的解集 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集．解不等式组就是求它的解集. 【补充】 1）如果不等式的解集无公共部分，就说这个不等式组无解. 2）在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来表示不等式组的解集的.确定方法如下表所示： 不等式组 设a＞b 解集 x＞a x＜b 无解 数轴上的表示 口诀 同大取大 同小取小 大大小小无处找 大小，小大中间找 知识点三 解一元一次不等式组的一般步骤 第一步：求出不等式组中各不等式的解集； 第二步：将各不等式的解集在数轴上表示出来； 第三步：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 【易错点拨】 1）利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分. 2）当不等式组中含有“≥”或“≤”时，边界点处要用实心圆点，解集的取法不变. 3）关于x的不等式组的解集为x=a，关于x的不等式组无解. 知识点四 一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 知识点五 一元一次不等式组的应用 对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解． 一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答． 考点一 求一元一次不等式的整数解 【典例精讲】（25-26七年级下·陕西安康·阶段检测）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法． 解：将方程②变形：，即，③ 把方程①代入③得：，解得， 把代入①得， 原方程组的解为 请你根据上述材料解决以下问题： (1)模仿小军的“整体代换”法解方程组 (2)若关于x，y的二元一次方程组的解满足，请求出满足条件的m的所有正整数值． 【变式训练】（25-26七年级下·山东德州·阶段检测）已知关于k不等式 ，其中m是关于k的不等式的最大整数解，求关于x的不等式的解集． 考点二 在数轴上表示不等式的解集 【典例精讲】（25-26七年级下·河南驻马店·阶段检测）李老师在黑板上出示了如图1的一个算式，但是老师用手遮挡了其中的一个数． (1)若被手遮挡的数是4，求这个算式的结果； (2)若这个算式的结果落在图2所示的范围内，求被遮挡的数的最小值． 【变式训练】．（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图是两位同学在讨论一个一元一次不等式，根据对话中提供的信息，判断他们讨论的不等式可能是（   ）． A． B． C． D． 考点三 求一元一次不等式解的最值 【典例精讲】（25-26七年级上·安徽六安·阶段检测）定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式的解，称这个方程（组）的解是这个不等式的“内含解”．例如：方程的解是，同时也是不等式的解，则方程的解是不等式的“内含解”． (1)判断方程的解是不是不等式的“内含解”，并说明理由； (2)若关于的方程组的解是不等式的“内含解”，求的取值范围； (3)当时，方程的解是不等式的“内含解”，求整数的最小值． 【变式训练】（2025·河北沧州·模拟预测）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上2，同时区就会自动减去1，且均显示计算结果．已知A，两区初始显示的数分别是和7． (1)按键1次后，求A，两区显示的结果的和； (2)若按键次后，A区的结果大于区的结果，求的最小值． 考点四 用一元一次不等式解决实际问题 【典例精讲】（25-26七年级下·河南许昌·阶段检测）幸福社区安排在庆祝中国共产党成立105周年期间举行《颂歌献给党》歌唱比赛，准备从某超市购买若干个A型台灯和B型台灯作为比赛奖品． (1)若该社区第一次到该超市购买，A型台灯和B型台灯共100个，且购买B型台灯数量不少于A型台灯数量的，那么该社区最多可以购买多少个A型台灯？ (2)若此超市A型台灯的售价为每个160元，B型台灯的售价为每个120元，社区第二次从该超市一次性购买A型台灯和B型台灯共60个，总费用不超过8640元，那么社区最多可以购买多少个A型台灯？ 【变式训练】（25-26七年级下·河南驻马店·阶段检测）河南万岁山武侠城最新引进了一批机器人和机器狗进行跳舞表演，结合银丝古建场景，科技感与复古氛围交融．引进前该景区对机器人和机器狗的价格进行了调查，发现购买1台机器人比购买3台机器狗多9万元，购买1台机器人和购买6台机器狗的费用相同． (1)求机器人和机器狗的单价各是多少； (2)若该景区想购买机器人和机器狗共10台（两种都要购买），预算不超过87万元．求该景区所有购买方案． 考点五 用一元一次不等式解决几何问题 【典例精讲】（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止．设点运动的时间为秒． (1)点整个运动过程中，共需____秒； (2)当的面积为时，求的值； (3)当的面积大于时，求的取值范围． 【变式训练】（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）如图，在中，，，，点D为的中点，动点P从A点出发，先以的速度沿运动，到达点B后再以的速度沿运动，到达C停止．设点P运动的时间为，的面积为，规定线段是特殊的三角形． (1)当__________时，点P运动到点B； (2)当点P在上运动，且点P在点D左侧时，的长度为__________（用含t的代数式表示） (3)在点P运动过程中，请用含t的代数式表示S； (4)当时，请直接写出t的取值范围． 考点六 求一元—次不等式组的整数解 【典例精讲】（25-26七年级下·江苏南京·阶段检测）解不等式组，并写出它的整数解． 【变式训练】（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）已知方程组的解满足为负数，为非正数． (1)求的取值范围； (2)在的取值范围内，当取何整数时，不等式的解集为？ 考点七 由一元一次不等式组的解集求参数 【典例精讲】（25-26七年级下·河南许昌·期中）若关于x的不等式有且仅有1个负整数解，则实数a的取值范围是______． 【变式训练】（25-26七年级下·四川宜宾·期中）定义新运算：，若关于正数的不等式组恰有三个整数解，则的取值范围_____． 考点八 由不等式组解集的情况求参数 【典例精讲】（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）若不等式（组）①的解都是不等式（组）②的解，则称不等式（组）②是不等式（组）①的“覆盖不等式”，特别地，若一个不等式（组）无解，则其他任意不等式（组）都是它的“覆盖不等式”．例如：不等式的解都是不等式的解，则是的“覆盖不等式”；不等式组无解，则其他任意不等式（组）都是它的“覆盖不等式”．根据以上信息，解决下列问题： (1)_______的“覆盖不等式”（填“是”或“不是”）； (2)若是关于x的不等式的“覆盖不等式”，试求m的取值范围； (3)若是关于x的不等式组的“覆盖不等式”，请直接写出a的取值范围． 【变式训练】（25-26七年级下·辽宁盘锦·期中）已知关于x的不等式组，甲、乙两位同学分别得出以下结论：甲：如果不等式组有且仅有2个整数解，那么a的取值范围是；乙：如果此不等式组无解，那么．其中下列判断正确的是（     ）． A．甲、乙都对 B．甲错，乙对 C．甲对，乙错 D．甲、乙都错 考点九 不等式组和方程组结合的问题 【典例精讲】（25-26七年级下·吉林长春·期中）【教材呈现】如下是华师版七年级下册数学教材第77页的部分内容． 7．已知关于的方程的解是非负数，求的取值范围． (1)请写出这道题完整的解题过程． 【拓展】已知关于、的方程组满足为非正数、为非负数； (2)求的取值范围； (3)化简：． 【变式训练】（25-26七年级下·全国·期末）学科素养·应用意识阅读下列材料： 问题：已知，且，，求的取值范围． 解：，．又，，．又，①，．即②．①+②得．的取值范围是． 请按照上述方法，完成下列问题： (1)已知，且，，则的取值范围是________；的取值范围是________； (2)已知，且，，根据上述做法得到，求、的值． 考点十 不等式组的行程问题 【典例精讲】（25-26八年级下·山东青岛·阶段检测）北斗高精导航能够实时显示当前路口的信号灯颜色以及时长，一辆小车行驶在限速的路段上，当距离下一路口时，发现导航显示下一路口的信号灯为绿灯，且剩余时间为，此时导航提示：按照当前时速行驶能通过下一路口，则小车当前行驶速度的取值范围是______． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地 甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发 在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以 的速度行驶，乙车始终以 的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 考点十一 不等式组的经济问题 【典例精讲】（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）某文具店购进笔记本和签字笔，已知购进2本笔记本和3支签字笔共花费18元；购进4本笔记本和5支签字笔共花费32元． (1)求一本笔记本、一支签字笔的进价分别是多少元？ (2)若商店准备再次采购笔记本和签字笔共50件，总费用不超过200元，最多可以购进笔记本多少本？ 【变式训练】（25-26七年级下·河南新乡·期中）3月19日，“开封清明上河园·忘忧清乐杯”第三届中国围棋国手赛决赛三番棋第二局在河南开封进行，卫冕冠军丁浩九段中盘胜挑战者范廷钰九段，从而以大比分2比0夺冠，实现赛事三连冠．某商家销售A，B两种围棋，每套的进价分别为200元，170元，下表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种 B种 第一周 2套 3套 1080元 第二周 3套 4套 1520元 (1)求A，B两种围棋每套的售价； (2)若商家准备再采购A，B两种围棋共40套，其中B种围棋的数量不少于A种围棋数量的3倍，要使销售完这40套围棋的利润不少于1280元，共有几种进货方案？（不考虑其他支出） 考点十二 不等式组的分配问题 【典例精讲】（25-26七年级下·四川乐山·期中）用若干张规格为的大纸板剪裁成图①所示的型长方形纸板和型正方形纸板，再制作成图②所示的横式和竖式两种无盖长方体纸盒．已知一张大纸板可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板． (1)制作一个横式纸盒需要型长方形纸板_____张，制作一个竖式纸盒需要型长方形纸板 张． (2)若用8张大纸板裁成型长方形纸板，用3张大纸板剪裁型正方形纸板，且裁成的、两种型号纸板恰好都用完，求可以制作横式纸盒和竖式纸盒各多少个？ (3)如果一张大纸板既可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板，也可以同时裁出2张型长方形纸板和6张型正方形纸板．若要用15张大纸板，剪裁后再制作成横式纸盒，在充分利用大纸板的情况下，最多可以制作横式纸盒多少个？ 【变式训练】某工厂计划生产A、B两种产品共15件，其生产成本和利润如表： A种产品 B种产品 成本（万元/件） 3 4 利润（万元/件） 1 3 (1)若工厂计划获利23万元，问A、B两种产品应分别生产多少件？ (2)若工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元，问工厂有哪几种生产方案？ (3)在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润 考点十三 不等式组的方案选择问题 【典例精讲】（25-26七年级下·云南大理·阶段检测）【综合与实践】阅读下面的素材，完成三个任务． 如何安排销售，使总收益最大 素材1：我县某乡镇为助力农户增收，将红米和核桃加工包装成礼盒（款梯田红米礼盒和款高山核桃礼盒）再出售．已知每件礼盒比礼盒售价少元，卖出件礼盒和件礼盒，一共收入元． 素材2：已知礼盒成本元/件，礼盒成本元/件．乡镇计划在某展销活动中售出，两种礼盒共件，且礼盒数量不超过礼盒数量的倍，总成本不超过元． 问题解决 (1)求，两种礼盒每件的售价分别为多少元； (2)求所有的销售方案； (3)要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排，两种礼盒的销售方案？并求出农户在这次展销活动中的最大收益是多少元？ 【变式训练】（24-25七年级下·四川绵阳·阶段检测）新冠疫情期间，某医药器材经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的口罩，若购进箱甲型口罩和箱乙型口罩，共需要资金元；若购进箱甲型口罩和箱乙型口罩，共需要资金元． (1)求甲、乙型号口罩每箱的进价为多少元？ (2)该医药器材经销商计划购进甲、乙两种型号的口罩用于销售，预计用不多于元且不少于元的资金购进这两种型号口罩共箱，请问有几种进货方案？并写出具体的进货方案； 考点十四 不等式组的阶梯收费问题 【典例精讲】（24-25七年级下·重庆·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 【变式训练】（24-25七年级下·湖南长沙·阶段检测）为践行“四季莫负春光日，人生不负少年时”的教育理念，我校七年级拟于5月29号组织60名老师和1160名学生前往浏阳博士村开展研学活动．活动前年级组准备租用A、B两种型号的客车(每种型号的客车至少租用5辆)．A型车每辆租金是500元，B型车每辆租金是600元，若2辆A型车和1辆B型车坐满后共载客140人，3辆A型车和4辆B型车坐满后共载客335人． (1)每辆A型车、B型车坐满后各载多少人？ (2)若年级组计划租用A型车和B型车共28辆，要求B型车数量不超过A型车数量的3倍，请问一共有多少种租车方案？哪种租车方案租金费用最少？最小租金费用为多少元？ 考点十五 一元一次不等式组的其他应用 【典例精讲】（25-26七年级下·江苏南通·期中）已知非负数，，满足，设，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级下·北京·期中）2026年3月北京市第五十五中学第20届校园体育节暨“班超”比赛热闹开场．学校需要购买A种品牌的排球20个，B种品牌的排球30个，共花费2100元，已知B种品牌排球的单价比A种品牌排球的单价高20元． (1)求A、B两种品牌排球的单价各多少元？ (2)根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的排球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的排球单价优惠5元，B种品牌的排球单价打8折．如果此次学校购买A、B两种品牌排球的总费用不超过1550元，且购买B种品牌的排球不少于18个，则有几种购买方案？ (3)在(2)的条件下，为了节约资金，学校应选择哪种方案？为什么？ 1．（25-26七年级下·安徽六安·期中）若，则下列各式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·全国·期末）不等式：的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·云南大理·阶段检测）“一个数的与的差不大于这个数的2倍加上4所得的和”可列不等式为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·北京顺义·期中）如图是某个一元一次不等式的解集在数轴上的表示，若该不等式恰有2个非负整数解，则a的取值范围是（） A． B． C． D． 5．解关于的不等式组的整数解有4个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知关于x，y的方程组的解都是正数，，，则p的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．关于的不等式组的解集是，则的取值范围是________． 8．（25-26七年级下·吉林长春·期中）关于x的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是______． 9．某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分本，则多本；若每人分本，则最后一人分到了书但不到本书．共有________学生． 10．小周的妈妈需要购买一批厨房用品，经了解发现，甲、乙两家超市的优惠方式如下： 超市 优惠方式 甲 所有厨房用品按标价的八折优惠 乙 总标价不超过200元的部分，按九五折优惠 总标价超过200元的部分，按六折优惠 通过计算，小周的妈妈发现在乙超市购买这批厨房用品更加划算，设这批厨房用品的总标价为x元，则x的取值范围为______． 11．若关于的不等式可化为，则的取值范围是______． 12．（25-26七年级下·重庆·期中）已知关于的不等式组的解集为，且使得关于、的二元一次方程组有正整数解．则所有满足条件的整数的和为________． 13．解二元一次方程组和解一元一次不等式． (1) (2)，并把解集表示在数轴上． 14．（25-26七年级下·陕西安康·阶段检测）解不等式，并把它的解集在如图所示的数轴上表示出来． 15．（25-26七年级下·湖北武汉·阶段检测）解不等式组，请按下列步骤完成解答： (1)解不等式①，得___________； (2)解不等式②，得___________； (3)将不等式①和②的解集在数轴上表示出来； (4)原不等式组的解集是___________． 16．五一期间，小明、小亮等同学随家人一同到某景区游玩，下图是购买门票时小明与爸爸的对话． (1)小明他们一共去了几个成人？几个学生？ (2)请你帮小明算一算，用哪种方式买票更省钱？并说明理由． 17．（25-26七年级下·全国·期末）【问题情境】 某校大力开展社团活动，其中该校“陕北民俗”社团准备去工艺品店购买“陕北剪纸”和“榆林泥塑”两种民俗手工艺品． 【素材展现】 素材1：工艺品店无促销活动：购买2幅陕北剪纸和6个榆林泥塑共需130元；购买3幅陕北剪纸所需的钱数和购买4个榆林泥塑所需的钱数相同． 素材2：工艺品店开展促销活动： 活动一：“疯狂打折”：陕北剪纸打八折，榆林泥塑打四折； 活动二：“买一送一”：购买一幅陕北剪纸送一个榆林泥塑． 【解决问题】 (1)该工艺品店在无促销活动时，陕北剪纸和榆林泥塑的销售单价各是多少元？ (2)社团决定购买陕北剪纸、榆林泥塑共100件，其中陕北剪纸不超过50幅．购买陕北剪纸的数量在什么范围内时，活动二更实惠？ 18．（25-26七年级下·安徽芜湖·阶段检测）某电商销售如图所示的甲、乙两种型号以马为主题的生肖玩偶，已知销售8个甲型玩偶和12个乙型玩偶的销售额共620元，销售30个甲型玩偶和20个乙型玩偶的销售额共1450元． (1)分别求甲、乙两种型号玩偶的销售单价． (2)某幼儿园计划在该电商处总共采购130个两种型号的玩偶，总采购费用不超过4000元，求最多可以采购乙型玩偶的个数． 19．（25-26七年级下·吉林长春·期中）综合与实践： 【问题情境】近日，第十三届吉林省登山大会在长白山景区拉开帷幕，吸引了众多登山爱好者和游客参加．活动期间，小明所在的班级开展知识竞赛，需要去商店购买，两种款式的运动盲盒作为奖品． 【素材展现】 素材：某商店在无促销活动时，若买个款运动盲盒、个款运动盲盒，共需元；若买个款运动盲盒、个款运动盲盒，共需元． 素材：该商店开展促销活动：用元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）；线上网店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的折出售且包邮． (1)【解决问题】该商店在无促销活动时，求款运动盲盒和款运动盲盒的销售单价各是多少？ (2)【拓展提升】小明计划在促销期间购买，两款运动盲盒共个，其中款运动盲盒个（），若在线下商店成为会员购买，共需要______元；若在线上网店购买，共需要______元；（均用含的代数式表示） (3)【综合应用】请你帮小明算一算，在（）的条件下，购买款运动盲盒的数量超过多少个，线下购买方式更合算？ 20．（25-26七年级下·重庆·期中）某服装厂购进A型、B型两种尺寸的布料加工成T恤和长裤出售．已知一匹A型布料的进价比一匹B型布料多20元，且购买3匹A型布料和2匹B型布料共花费210元． (1)每匹A型布料与B型布料的进价各是多少元？ (2)根据生产计划，该厂决定用不超过3800元购进A型、B型布料共100匹，（两种布料购进的匹数均为整数）．已知一匹A型布料可制成3件T恤和2条长裤，一匹B型布料可制成2件T恤和3条长裤，且生产出来的T恤数量不少于长裤数量的．则该服装厂有几种进货方案？ (3)某服装店从该厂购进一批足量的T恤和长裤进行销售．为提升购物体验，商家推出礼盒包装服务：每个礼盒仅能包装一件T恤或一条长裤，顾客可自主选择是否使用礼盒包装．已知每件T恤零售价65元，每条长裤零售价80元，每个礼盒售价15元．小罗用4280元购买了一批T恤和长裤，其中不用礼盒包装的T恤件数占总购买件数的．则用礼盒包装的长裤买了多少条？ 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null