（复习篇）专题03 平面直角坐标系的认识及简单应用【思维导图+知识卡片+知识梳理+十二大考点讲练+真题强化 共44题】-2026年人教版数学七升八年级暑假衔接金牌培优讲义

2026-2027学年人教版数学七升八年级衔接金牌培优讲义（温故知新） 2026-2027学年数学七升八年级暑期学习金牌培优讲义【温故知新篇】 七年级/下册（新教材） 初中数学 专题03 平面直角坐标系的认识及简单应用 思维导图+知识回顾+十二大考点讲练+真题强化 （共44题） 【解析版】 人教版 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 暑假衔接 考点讲练练 浏览知识 知晓考点 真题强化 思维导图 技巧点拨 真题汇编 查漏补缺 重点难点 优选题型 知识梳理 方法提炼 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 同学，你好！该份讲义主要以复习人教版新教材七年级下学期内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，知识梳理，，高频考点真题讲练，优选题培优训练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 平面直角坐标系有关概念 1.平面直角坐标系的概念： 平面内两条相互垂直且原点重合的数轴组成平面直角坐标系。 ①坐标轴：水平的数轴称为横轴（x轴）；竖直的数轴称为纵轴（y轴）。 ②坐标原点：两条坐标轴的交点是平面直角坐标系的原点。 ③坐标平面：坐标轴所在的平面为坐标平面。 2.象限： 如图，坐标轴把坐标平面分成了四个部分，每一个部分称为象限，从右上角为第一象限；逆时针一次得到第二象限、第三象限以及第四象限。 特别地，坐标轴不属于任何一个象限。 知识点二 平面直角坐标系内点的坐标及其特征 1.点的坐标： 横坐标：过平面内一点做x轴的垂线，垂足在x轴上对应的数为这个点的横坐标； 纵坐标：过平面内一点做y轴的垂线，垂足在y轴上对应的数为这个点的纵坐标； 2.象限内的点的坐标特点： 第一象限内的所有点的坐标，横坐标纵坐标均大于0；可以表示为 （+，+）。 第二象限内的所有点的坐标，横坐标小于0，纵坐标大于0；可以表示为（－，+）。 第三象限内的所有点的坐标，横坐标小于0，纵坐标小于0；可以表示为（－，－）。 第四象限内的所有点的坐标，横坐标大于0，纵坐标小于0；可以表示为（+，－）。 3.坐标轴上的点的坐标特点： ①x轴上的所有点的纵坐标等于 0 ，可表示为（x，0）。 ②y轴上的所有点的横坐标等于 0 ，可表示为（0，y）。 4.象限角平分线上的点的坐标特点： ①一、三象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标 相等 。 ②二、四象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标 互为相反数 。 5.平行与x轴（垂直于y轴）的直线上的点的坐标特点： 平行与x轴（垂直于y轴）的直线上的所有点的坐标 纵坐标 相等。 6.平行与y轴（垂直于x轴）的直线上的点的坐标特点： 平行与y轴（垂直于x轴）的直线上的所有点的坐标 横坐标 相等。 7.点到坐标轴的距离： 点到横坐标轴的距离等于该点的 纵坐标的绝对值 。 点到纵坐标轴的距离等于该点的 横坐标的绝对值 。 知识点三 利用坐标表示位置 1.建立平面直角坐标系表示地理位置： 第一步：建立坐标系，选择合适的参照点作为原点，确定x轴与y轴的正方形。 第二步：根据具体问题确定 单位长度 。 第三步：在平面直角坐标系内画出待表示的点，写出各点的坐标与名称。 2.用“表示方向的角+距离”表示平面内物体的位置： 以一点为参照点，用 某个方向 加上与该参照点的 距离 来确定一点的位置。 知识点四 点在坐标系中的平移 左右平移：点在平面直角坐标系中进行左右平移时，纵坐标 不变 ，横坐标进行 加减 。向右平移时 加 ，向左平移时 减 。 巧记：左右平移，横加减，纵不变，右加左减。 上下平移：点在平面直角坐标系中进行上下平移时，横坐标 不变 ，纵坐标进行 加减 。向上平移时 加 ，向下平移时 减 。 巧记：上下平移，纵加减，横不变，上加下减。 知识点五 图形在坐标系中的平移 在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度． 【易错点拨】 平移是图形的整体运动，某一个点的坐标发生变化，其他点的坐标也进行了相应的变化，反过来点的坐标发生了相应的变化，也就意味着点的位置也发生了变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”． 考点一 已知点所在的象限求参数 【典例精讲】（25-26八年级下·贵州铜仁·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“完美点”．如：点的“长距”为2，点称为“完美点”． (1)若点是“完美点”，求的值； (2)若点的长距为4，且点在第四象限内，点的坐标为，试说明点是“完美点”． 【答案】(1)或 (2)见解析 【思路引导】（1）根据完美点的定义可得，求出答案； （2）先根据“长距”是4求出b，进而得出点D的坐标，然后根据“完美点”的定义判断即可． 【规范解答】（1）解：∵点是“完美点”， ∴， 或， 解得或； （2）解：∵点的长距为4，， ∴． 又∵点C在第四象限内， ∴， ， 解得， ， ∴点D的坐标为， ∴点D到x轴、y轴的距离都是5， ∴D是“完美点”． 【变式训练】（25-26七年级下·陕西延安·期中）在平面直角坐标系中，已知点的坐标为． (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若点的坐标为，且轴，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据轴上点的坐标特征，即纵坐标为0进行计算即可； （2）根据平行于轴的直线上点的坐标特征，即横坐标相等进行计算即可． 【规范解答】（1）解：∵点在轴上， ，解得． ． ∴点的坐标为． （2）解：∵点的坐标为，且轴， ∴，解得． ． ∴点的坐标为． 考点二 坐标中描点 【典例精讲】（25-26七年级下·陕西西安·期中）某公园有6个景点．如图所示是景点在平面直角坐标系中的分布示意图，景点A的坐标是，景点B的坐标是． (1)根据以上描述，在图中建立平面直角坐标系，并写出景点C的坐标； (2)若景点D的坐标为，景点E的坐标为，景点F的坐标为，请在图中的平面直角坐标系中描出点D，E，F． 【答案】(1)图见解析， (2)见解析 【思路引导】（1）根据A和B的坐标建立适当的平面直角坐标系，根据直角坐标系即可得出点的坐标； （2）根据D的坐标为，E点的坐标为，F点的坐标为，在坐标系中标注的位置． 【规范解答】（1）解：如图所示， ， 景点C的坐标为： （2）解：点D，E，F的位置如图所示 【变式训练】（25-26七年级下·陕西渭南·期中）中华传统文化是中华民族五千多年历史积淀的智慧结晶．某景区以中国经典文化元素为主题，打造了活字工坊、匠心体验、典籍之光、节气食肆等主题区域．如图是某些主题区域的分布示意图，小珂和妈妈在游玩的过程中，分别对活字工坊和匠心体验的位置做出如下描述：小珂；“活字工坊的坐标是”．妈妈：“匠心体验的坐标为”． (1)根据以上描述，在图中建立平面直角坐标系； (2)请写出典籍之光和节气食肆的坐标； (3)已知该景区的汉服体验中心的坐标为，请在图中标出汉服体验中心的位置． 【答案】(1)见解析； (2)典籍之光的坐标为，节气食肆的坐标为； (3)见解析． 【思路引导】（1）活字工坊和匠心体验的坐标可建立平面直角坐标系； （2）根据平面直角坐标系可得出答案； （3）汉服体验中心的坐标为，可得出其位置． 【规范解答】（1）解：根据活字工坊的坐标是和匠心体验的坐标为建立平面直角坐标系，如图： （2）解：由平面直角坐标系可知， 典籍之光的坐标为，节气食肆的坐标为； （3）解：汉服体验中心的坐标为，则汉服体验中心的位置如图： 考点三 坐标与图形综合 【典例精讲】（25-26七年级下·山西吕梁·期中）综合与实践 如图，学校有一个四边形劳动基地，与交于点，以点为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，点的坐标为，点的坐标为，且，满足，点的坐标为． (1)求点和点的坐标． (2)若三角形的面积和三角形的面积相等，求点的坐标． (3)学校计划扩展劳动基地的面积，使其变为五边形，点的坐标为，其中，请直接写出三角形的面积．（用含的代数式表示） 【答案】(1)点， (2) (3) 【思路引导】（1）利用平方数与绝对值的非负性，若两个非负数的和为 0，则各自为 0，求出 、 的值，即可得到坐标； （2）利用三角形面积公式，根据建立等式，求出长度，结合在轴负半轴确定坐标； （3）用割补法：过点作轴于，利用梯形、三角形面积和差求解． 【规范解答】（1）解：， 且 ，， ，， 解得 ，， 点 ，点 ． （2）解：由题意：，，， ，，， ， 设，， ， ， ， 解得， ． （3）解：过点作轴于， 则，，，，， ． 【变式训练】（25-26七年级下·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，将横、纵坐标之和为6的点称为“幸运点”，已知点，现有以下结论： ①第一象限内有无数个“幸运点”； ②第三象限内不存在“幸运点”； ③若点是“幸运点”且在坐标轴上，则点到直线的距离为8； ④若点是“幸运点”且在第一象限或坐标轴上，将三角形的面积的最大值记为，最小值记为，则． ⑤若点是“幸运点”且在第二象限内，它的横坐标为，三角形的面积记为，则． 其中正确的有（    ） A．①② B．③④ C．②③④⑤ D．①②④⑤ 【答案】D 【思路引导】本题根据“幸运点”的定义即横纵坐标之和为6，结合平面直角坐标系中象限的坐标特征，点到直线的距离计算，三角形面积公式，逐一判断各结论即可． 【规范解答】∵ “幸运点”满足横纵坐标之和为6，即对任意“幸运点”，有 ① 第一象限内，满足的点有无数个，故①正确； ② 第三象限内， 则 ，不存在满足条件的点，故②正确； ③ ∵ ， ∴直线为，平行于y轴， ∵点是“幸运点”且在坐标轴上， 若在x轴，则，得，即 ，到的距离为 ； 若在轴，则，得，即 ，到的距离为； ∴点到直线的距离为或，故③错误； ④ ∵ ， ∴ ，平行于轴， 设 ，则，在第一象限或坐标轴上， 故，得， 三角形 的面积 ， 当最大为时，最大， ， 当最小为时，最小， ， ∴ ，故④正确； ⑤ ∵点在第二象限，横坐标为，是“幸运点”， ∴ 的纵坐标为 ， ， 整理得，故⑤正确； 综上，正确的结论为①②④⑤． 考点四 求点沿x轴、y轴平移后的坐标 【典例精讲】（25-26七年级下·北京·期中）平面直角坐标系中，已知点，将点左右平移得到点，且三角形的面积为6，则点的坐标为_______． 【答案】或 【思路引导】根据平移的性质，点左右平移时纵坐标不变，仅横坐标改变，可设出点的坐标，再利用三角形面积公式列方程求解即可． 【规范解答】解：点左右平移得到点，由平移的性质可知，左右平移时点的纵坐标不变， 可设 ，则的长度为，且原点到直线的距离为， ∵三角形的面积为6， ∴ 解得或， ∴点的坐标为或． 【变式训练】（24-25七年级下·云南昭通·期末）如图，已知点，且满足．将线段先向上平移5个单位，再向左平移1个单位后得到线段，连接． (1)求、的值； (2)点从点出发，以每秒1个单位的速度沿向上运动．设运动时间为秒，当为多少时，四边形的面积等于？ (3)在（2）的条件下，点从点出发的同时，点从点出发，以每秒个单位的速度沿轴向右运动，直线交轴于点．在运动过程中，三角形与三角形的面积之差是否会发生变化？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不会发生变化，理由见解析 【思路引导】本题考查了平面直角坐标系、平移的性质、一元一次方程的应用、图形的面积公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据完全平方式和绝对值的非负性得到，即可求解； （2）根据平移的性质可得，再利用梯形的面积公式求出，推出点在线段上，再利用列出方程，求出的值即可； （3）分①点在点左侧；②点在点的右侧两种情况讨论，再利用图形的面积公式即可解答． 【规范解答】（1）解：， ， 解得：； （2）解：由（1）可知：，， 由平移的性质可得， ， 点在线段上， 由题意知，， ， 由题得：， 解得：， 当时，四边形的面积等于； （3）解：不会发生变化，理由如下： ①当点在点左侧时，易知点在线段上． 如图所示： 则 ； ②当点在点的右侧时，如图所示，连接． 则 ； ∴由①②可得，在运动过程中三角形与三角形的面积之差不会发生变化． 考点五 由平移方式确定点的坐标 【典例精讲】（25-26七年级下·河南驻马店·阶段检测）如图，透明胶片上有一平行四边形，该平行四边形的一顶点M的坐标为，另一顶点N的坐标为，移动胶片，使顶点M移动至点N处，顶点N移动至点P处，则点P的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据给出的点的坐标，判断平移方式，再进行求解即可. 【规范解答】解：由题意，点先向右移动5个单位长度，再向上移动个单位长度，得到点， ∴点先向右移动5个单位长度，再向上移动个单位长度，得到点， ∴，即. 【变式训练】（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，将三角形平移，使点与点重合，点、的对应点分别是点、．此时点的坐标是． (1)请画出平移后的三角形，则点的坐标为________； (2)若点是三角形内的一点，则平移后对应点的坐标为________； (3)三角形的面积是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题主要考查平面直角坐标系中点的平移以及面积的计算，熟练掌握平面直角坐标系中点的平移是解题的关键． （1）由题意可知将点向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点，根据此特点再将点，向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点，，然后依次连接可得，最后根据点的位置得出答案； （2）由（1）可得，平移规律，即可得到点的坐标； （3）用三角形外围矩形面积减去周围个直角三角形面积，即可． 【规范解答】（1）解：即为所求； 点． （2）解：由（1）可得，平移的规律为：向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度； ∴． （3）解：． 考点六 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【典例精讲】（25-26七年级下·辽宁铁岭·期中）在平面直角坐标系中，三角形经过平移得到三角形，位置如图所示． (1)分别写出A，的坐标：A ， ； (2)请说明三角形是由三角形经过怎样的平移得到； (3)若是三角形内部的一点，经过平移后，点M在三角形中的对应点的坐标为，求m和n的值． 【答案】(1)， (2)向左平移2个单位长度，再向下移动3个单位长度 (3)， 【思路引导】（1）观察A，在坐标系中的位置即可； （2）根据A，的坐标可确定平移方式； （3）根据平移方式确定对应点的坐标，结合给出的坐标列方程，即可求解． 【规范解答】（1）解：由图可得，； （2）解：由的对应点为，得点A向左平移2个单位长度，再向下移动3个单位长度得到点， 三角形是由三角形向左平移2个单位长度，再向下移动3个单位长度得到的； （3）解：平移后对应点的坐标为，即， 又 的坐标为， ，， 解得，． 【变式训练】（25-26七年级下·重庆·期中）结合图形，解答下列各题： (1)如图1，把直角梯形按图示平移得到梯形，其中，求阴影部分的面积． (2)如图2，在平面直角坐标系中点，将线段平移至点，过点A 作直线轴，点在直线上，且，求 的值． 【答案】(1)168 (2)1或9 【思路引导】（1）由平移的性质可知，梯形的面积等于梯形的面积，得阴影部分的面积=梯形的面积，根据梯形面积公式可得结论； （2）由平行的性质求出的值，再代入计算即可． 【规范解答】（1）解：如图， 由平移的性质可知，梯形的面积等于梯形的面积， 则阴影部分的面积=梯形的面积： 由图可知，， ∴阴影部分的面积 答：阴影部分的面积为168； （2）解：∵点平移至 ∴纵坐标增加了， ∵点平移至 ∴横坐标增加了， ， ∵直线轴且过点， ∴直线上所有点的纵坐标均为 1，即。 即 ， 解得或， 当时， ； 当时， ． 所以，的值为1或9． 考点七 已知图形的平移，求点的坐标 【典例精讲】（25-26七年级下·广东江门·期中）已知点，点，点，且． (1)求三点的坐标： (2)将线段平移到线段，点对应点，点对应点． ①如图1，连接交轴于点，求三角形的面积； ②如图2，点从原点出发以2个单位长度/秒的速度沿轴正方向运动，过点作的平行线交轴于点，在点运动的过程中始终保持．设点运动时间为秒，当三角形的面积等于三角形面积的两倍时，求的值． 【答案】(1) (2)①6；②的值为2或10 【思路引导】（1）利用非负数的性质求解； （2）①如图，过点D作轴于点H．利用面积法求解； ②首先证明，再构建方程求解． 【规范解答】（1）解：∵，且， ∴， ∴， ∴； （2）解：①过点D作轴于点H， 由线段平移到线段，且点可知：点向右平移个单位，再向下平移个单位得到点，所以点， ∵， ∴， ∴ ； ②由题意可得如图所示： 由题意得：， ∵， ∴， ∴， ∵三角形的面积等于三角形面积的两倍， ∴， 整理得：， 当时，则有，解得：； 当时，则有，解得：； 综上所述：当三角形的面积等于三角形面积的两倍时，的值为2或10． 【变式训练】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，平移线段至线段． (1)直接写出点D的坐标； (2)如图2，当点D在第一象限时，连接，点P为四边形内部一点，连接，，设点P的纵坐标为t，三角形的面积记为S，请用含t的式子表示S； (3)在（2）的条件下，若三角形的面积与三角形的面积比为，且点P在线段上，求点P的坐标． 【答案】(1)或 (2) (3) 【思路引导】（1）由平移线段至线段，先确定对应点，即可确定平移方式，最后根据平移方式求解即可； （2）由（1）可得，当点D在第一象限时，，过作轴于，则，，，根据求解即可； （3）在（2）的条件下，，设，过作轴于，轴于，过作轴于，由三角形的面积与三角形的面积比为，得到，再根据，得到，即可求出，． 【规范解答】（1）解：∵，，，平移线段至线段，如图： ∴当与是对应点时，即线段向右平移个单位长度得到线段，则向右平移个单位长度得到点； 当与是对应点时，即线段向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到线段，则向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点，即； 综上所述，点D的坐标为或； （2）解：由（1）可得，当点D在第一象限时，， 过作轴于， ∵点P的纵坐标为t，，点P为四边形内部一点， ∴，，, ∴； （3）解：在（2）的条件下，，设， 过作轴于，轴于，过作轴于， ∵，，，， ∴，，，，， ∵三角形的面积与三角形的面积比为， ∴，即， 整理， ∵点P在线段上， ∴， ∴， 即， 整理得， 把代入得， 解得， ∴， ∴． 考点八 已知平移后的坐标求原坐标 【典例精讲】（25-26七年级下·福建莆田·期中）如图，将三角形向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度．请回答下列问题： (1)平移后的三个顶点坐标分别为：（ ， ），（ ， ），（ ， ）； (2)画出平移后三角形； (3)若平移后的三角形内部有任意一点，则平移前对应点的坐标为：P（ ， ）． 【答案】(1)；； (2)见解析 (3) 【思路引导】（1）在平面直角坐标系中得到三角形三个顶点的坐标，再由图形的平移方式即可得到平移后图形的坐标； （2）由（1）中的坐标直接描点连线即可得到答案； （3）根据点的平移规律作答即可． 【规范解答】（1）解：由图可知、、， 将三角形向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度， 、、； （2）解：如图所示： 即为所求； （3）解：∵将三角形向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度得到，平移后的三角形内部有任意一点， ∴平移前对应点的坐标为：． 【变式训练】（24-25七年级下·福建福州·期中）已知，点，，且． (1)求的值． (2)平移线段，点的对应点在轴的正半轴上，点的对应点恰好在轴的负半轴上，点以每秒3个单位长度从点向轴负半轴运动，同时，点以每秒2个单位长度从点向轴正半轴运动，直线交于点，设点运动的时间为秒． ①如图，当时，探究三角形的面积和三角形的面积的数量关系，并说明理由； ②若三角形的面积为10，直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2)①；理由见解析；②点D的坐标为或 【思路引导】（1）由算术平方根、绝对值的非负性知，解得，； （2）根据题意，，沿y轴负方向平移2个单位，得，，①，，  ，，于是， 可证.   ② 时，，，，点D不存在.当，如图1，点D在三角形内部，此时，不符合题意.当时，如图2，点D在第四象限，设，由①得，得，连接，则，解得；当时，如图3，点D在第二象限，得，连接OD，则，解得． 【规范解答】（1）解：由可知， ，， 解得：，； （2）解：依题意，平移后点的对应点M在y轴的正半轴上，点的对应点N在x轴的负半轴上， ∴，沿y轴负方向平移2个单位得到， ∴，     ①. 理由如下：由题意得，， ∵， ，，     ，    ， ，         ， 即.    ②当 时，， 可以看作由向下平移3个单位长度，向右平移2个单位长度得到， 此时，点D不存在； 当，如图，点D在三角形内部，此时，不符合题意；    当时，如图，点D在第四象限，    设，由①得， ， ， 连接， ， ， ， ，， ； 当时，如图，点D在第二象限，    ， ， 连接， ， ， ， ，， ； 综上，点D的坐标为或． 【考点剖析】本题考查坐标系内图象平移与坐标变化，直角坐标系内求三角形面积，结合动点的运动情况判断图形的状态，分类讨论是解题的关键． 考点九 坐标系中的平移 【典例精讲】（25-26七年级下·辽宁盘锦·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，且，满足，现将线段向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到线段，连接，． (1)直接写出坐标：点（________），点（________） (2)，分别是线段，上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度，点的运动时间为秒． 若两点同时出发，当取何值时，轴？ 连接，，当取何值时，三角形的面积为？ (3)点是直线上一个动点，连接，当点在直线上运动时，请画出图形并直接写出与，的数量关系． 【答案】(1)，； (2)当秒时，轴； 或； (3)或或． 【思路引导】（）由，得，，所以，，然后通过点的平移规律即可求解； （）由（）得，根据题意可得，，通过轴，得，然后求出的值即可； 由得，然后通过三角形的面积为，得出，即或，然后解方程即可 （）分当在线段延长线上时，当在线段上时，当在线段延长线上时三种情况，然后通过平行线的判定与性质进行求解即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵将线段向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到线段， ∴，，即，； （2）解：如图， 由（）得：， ∵点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度，点的运动时间为秒， ∴，， ∵轴， ∴，解得：， ∴当秒时，轴； 如图，由得， ∵， ∴， ∴三角形的面积为， ∴， ∴或， 解得：或； （3）解：如图，当在线段延长线上时，过作，交轴于点， 由平移性质可知，， ∴， ∴，， ∵， ∴； 如图，当在线段上时，过作，交轴于点， 由平移性质可知，， ∴， ∴，， ∵， ∴； 如图，当在线段延长线上时，过作，交轴于点， 由平移性质可知，， ∴， ∴，， ∵， ∴； 综上可得：或或． 【变式训练】（25-26七年级下·福建莆田·期中）如图，在平面直角坐标系中，，坐标分别为、，且，满足：，现同时将点，分别向下平移3个单位，再向左平移1个单位，分别得到点，的对应点，，连接，，． (1)求，两点的坐标及四边形的面积； (2)点是线段上的一个动点，连接，，当点在上移动时（不与，重合），的值是否发生变化，并说明理由； (3)已知点在轴上，连接、，若的面积与四边形的面积相等，求点的坐标． 【答案】(1)，，四边形的面积； (2)不发生变化；理由见详解； (3)或． 【思路引导】（1）由，根据非负数的性质得，，则，，由平移得，，即可求得四边形的面积为15； （2）由及三角形内角和定理可推导出，所以，可知的值不发生变化； （3）设点M的坐标为，分三种情况，一是点M在直线的上方，则；二是点M在x轴的下方，且点D在的外部，则；三是点M在x轴的下方，且点D在的内部，则，分别列方程求出符合题意的m的值即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∵点分别向下平移3个单位，再向左平移1个单位，分别得到点的对应点， ∴，， ∴四边形的面积； （2）解：不发生变化，理由：如图1， ∵点分别向下平移3个单位，再向左平移1个单位，分别得到点的对应点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的值不发生变化； （3）解：设点M的坐标为， ∴， 如图2，点M在直线的上方， ∵， ∴， 解得：， 此时点M的坐标为； 如图3，点M在x轴的下方，且点D在的外部， ∵， ∴， ∴解得：，不符合题意，舍去， 如图4，点M在x轴的下方，且点D在的内部， ∵， ∴， 解得， 此时点M的坐标为 综上所述，点M的坐标为或． 考点十 坐标系中的动点问题（不含函数） 【典例精讲】（25-26七年级下·江西南昌·期中）如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为，点C的坐标为，且a，b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着 的线路移动． (1) ________， ________，点B的坐标为__________； (2)当点P移动时，点P的坐标为_______________； (3)在移动过程中，当点P到x轴的距离为 4 个单位长度时，点P移动的时间为________； (4)在移动过程中，当三角形的面积等于6时，求点P的坐标． 【答案】(1)4， 6， (2) (3)2秒或6秒 (4)或 【思路引导】（1）先利用算术平方根的非负性与绝对值的非负性求出，再得到，即可求解． （2）求出点P移动的路程，再除以时间即可求解． （3）确定出当点P到x轴的距离为4个单位长度时的坐标，再利用路程除以速度即可求解． （4）求出边上的高为2时即可求解． 【规范解答】（1）解：∵，且， ∴， ∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∴， ∴点B的坐标为； （2）解：点P移动时，运动路程为个单位， ∵，， ∴点P在上，距离点C两个单位长度， ∴； （3）解：在移动过程中，当点P到x轴的距离为4个单位长度时，则或， 当运动到时，时间为， 当运动到时，时间为， ∴点P移动的时间为或； （4）解：∵点B的坐标为， ∴， ∴当三角形的面积等于6时，边上的高为，，此时，点在上或上， ∴或． 【变式训练】（25-26七年级下·四川南充·期中）在平面直角坐标系中，已知长方形，其中点，点． (1)填空：点的坐标为______，点的坐标为______； (2)若点是轴上的动点，连接． ①如图1，当点在轴正半轴时，线段与线段相交于点，用等式表示三角形的面积与三角形的面积之间的关系，并说明理由； ②当将四边形分成面积相等的两部分时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)①，理由见解析；② 【思路引导】（1）根据长方形的性质，结合坐标系，即可求解； （2）①先求出，再用三角形的面积公式得出，，即可得出结论； ②当将四边形分成面积相等的两部分时，经过点，则重合，连接并延长交轴于点，连接，延长交轴于点，则，根据①得出，则，设，则，得出，解方程，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵已知长方形，其中点，点． ∴ ∴，； （2）①，理由如下： 如图1，过点作于， 由平移知，轴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴，即：； ②如图，∵四边形是长方形， ∴当将四边形分成面积相等的两部分时，经过点，则重合， 连接并延长交轴于点，连接，延长交轴于点，则， ∵ 设 ∴ 由①可得 ∴ ∴即 解得： ∴ 考点十一 中点坐标 【典例精讲】（25-26七年级下·广东汕头·期中）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面李老师在“平面直角坐标系中线段的中点”主题下设计的问题，请你解答． (1)观察发现 在下面给出的平面直角坐标系中，描出下列各点：，并连接，请写出线段的中点坐标：___________，线段的中点坐标：___________． (2)探究迁移 如果有，两点，那么线段的中点坐标是___________． (3)拓展应用 已知三点，点与点中的一个点构成的线段的中点与另外两个点构成的线段的中点重合，求点的坐标． 【答案】(1)图见解析，， (2) (3)点的坐标为或或 【思路引导】（1）根据要求描点，连线，进而确定中点坐标即可； （2）根据（1）中的两个中点坐标，进行猜想即可； （3）分3种情况，结合中点坐标公式 进行求解即可. 【规范解答】（1）解：由题意，描点，连接线段，如下图， 由图可知：线段的中点坐标为，线段的中点坐标为； （2）解：由（1）可知：的中点坐标为，线段的中点坐标为； 猜想：如果有，两点， 则线段的中点坐标是； （3）解：①与中点重合时， ， 此时 ②与中点重合时， ， 此时 ③与中点重合时， ， ， 此时 综上所述，点的坐标为或或． 【变式训练】（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）综合与实践 基本图形 如图1，在平面直角坐标系中，轴于点，点满足，平移线段使点与原点重合，点的对应点为点． (1)________，________，点的坐标为________． 拓展延伸 (2)如图2，是的中点，过点作直线轴，直线与轴交于点，是线段上一点，连接，．若三角形的面积为15，求三角形的面积． (3)如图3，以为边作，交线段于点，是线段上一动点（不含端点），连接交于点．当点在线段上运动时，的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)8；； (2) (3)的值不发生变化，理由见解析 【思路引导】（1）利用非负数的性质求解，，再进一步求解即可； （2）表示点D的坐标为，点E的坐标为，可得，，，设点F的坐标为，，，再进一步求解即可； （3）过点C作，过点P作．证明，证明．证明，再进一步证明即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴，， 解得：，， ∵轴于点B， ∴，， ∴． ∵平移线段使点A与原点O重合，点B的对应点为点C． ∴ ∴． （2）解：由（1）可知点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． D是的中点， 点D的坐标为， 直线l上的点的纵坐标均为，点E的坐标为， ，，， ， 设点F的坐标为，，， ，． ， ， 解得， ； （3）解：的值不发生变化，理由如下： 如图，过点C作，过点P作． 线段是由线段平移得到的， ， ， ， ， ． ， ． ，， ， ． ， ， ， ， 当点N在线段上运动时，的值不变，其值为3． 考点十二 点坐标规律探索 【典例精讲】．（25-26七年级下·黑龙江牡丹江·期中）如图，正方形，正方形，正方形，…（每个正方形从第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序，依次记为，，，，，，，，，，，…）的中心均在坐标原点O，各边均与x轴或y轴平行，若它们的边长依次是2，4，6…，则顶点A2026的坐标为_________． 【答案】 【思路引导】观察图形及题干描述可知，正方形的顶点坐标变化具有规律性，每4个顶点为一个循环组，分别位于第三、二、一、四象限．根据除以的商和余数，确定点所在的象限以及所属正方形的序号，结合正方形边长规律即可求解． 【规范解答】解：由题意可知，正方形的中心均在坐标原点，各边均与轴或轴平行，每个正方形有个顶点，从第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序依次排列， ∵第个正方形的边长为， ∴正方形顶点到坐标轴的距离均为， ∵， ∴点位于第个正方形，且是该正方形的第个顶点，该点位于第二象限，横坐标为负，纵坐标为正， ∵第个正方形的顶点坐标绝对值为 ∴点的坐标为． 【变式训练】（25-26七年级下·安徽芜湖·阶段检测）在平面直角坐标系中，一个点从开始按图中箭头所示方向运动，即点的坐标依次为 ，由此规律可得点的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】观察点的运动轨迹，分别寻找横坐标与纵坐标的变化规律．由已知点的坐标可知，每运动一步横坐标均增加；纵坐标呈现周期为的循环规律，据此可确定的坐标． 【规范解答】解：由题意及图象可知，点的坐标依次为 观察横坐标： 第个点的横坐标为． 因此点的横坐标为． 观察纵坐标： 可知纵坐标以为一个周期循环出现，周期为． 点的纵坐标与的纵坐标相同，即为． 1．如图，在一次活动中，位于A处的佳佳准备前往相距的B处与琪琪会合．请你用方向和距离描述佳佳相对于琪琪的位置，其中描述正确的是（    ） A．佳佳在琪琪的北偏东，处 B．佳佳在琪琪的北偏东，处 C．佳佳在琪琪的南偏西，处 D．佳佳在琪琪的南偏西，处 【答案】B 【规范解答】解：由题意可知：佳佳在琪琪的北偏东，处． 2．法国数学家笛卡尔首先建立了坐标思想，从而使数学的两大要素“数”与“形”统一起来．在平面直角坐标系中，关于点和，下列结论正确的是（   ）． A．横坐标相同 B．纵坐标相同 C．所在象限相同 D．到轴距离相等 【答案】D 【思路引导】根据平面直角坐标系中点的坐标性质，逐一判断各选项即可． 【规范解答】解：已知两点坐标为和，逐一判断各选项， ，横坐标不相同，故选项错误； ，纵坐标不相同，故选项错误； 在第二象限，在第四象限，所在象限不同，故选项错误； 点到轴的距离等于横坐标的绝对值，又因为，两点到轴距离相等，故选项正确． 3．（25-26七年级下·北京海淀·期中）2026年2月，北京大学董豪教授团队研发的“空间大脑”技术，让机器人能像人类一样理解空间关系、距离和方位．搭载“空间大脑”技术的机器人从起始位置点出发，按以下指令移动：指令1：向北移动4米到点；指令2：右转，向东移动3米到点；指令3：右转，向南移动2米到点；指令4：右转，向西移动5米到点．判断下列结论中不正确的是（     ） A．直线与直线垂直 B．直线与直线平行 C．点位于点的北偏东方向 D．点与点之间的距离大于3米 【答案】C 【思路引导】根据题意作出示意图，再逐项判断即可． 【规范解答】解：如图，设与相交于点 则直线与直线垂直，故A正确，不符合题意； 直线与直线平行，故B正确，不符合题意； 点位于点的正西方向，故C错误，符合题意； 点与点之间的距离，故D正确，不符合题意． 4．（25-26七年级下·四川南充·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆，，…组成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2026秒时，点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查点的坐标规律探索，根据速度和时间求出点运动的总路程，结合半圆的周长确定点运动到的位置是解题关键；先求出半圆的弧长，再求出点运动一个半圆所需的时间，进而得出点的坐标变化规律． 【规范解答】半圆的弧长为：， 点运动一个半圆所需时间为：（秒）， 所以第秒时，点运动的半圆个数为：（个）， 由于每个半圆在轴上的跨度为直径，且点刚好走完第个半圆， 所以点的横坐标为：，纵坐标为， 即点的坐标为． 5．（25-26七年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，，将边长为1的正方形一边与x轴重合，按图中规律摆放，其中相邻两个正方形的间距都是1，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】由图可得，第一个正方形中，，，，，各点的横坐标依次为1，1，2，2，纵坐标依次为0，1，1，0；第二个正方形中，，，，，各点的横坐标依次为3，3，4，4，纵坐标依次为0，，，0；得出每8个点循环一次．然后求解即可 【规范解答】解：由图可得，第一个正方形中，，，，，各点的横坐标依次为1，1，2，2，纵坐标依次为0，1，1，0； 第二个正方形中，，，，，各点的横坐标依次为3，3，4，4，纵坐标依次为0，，，0； 根据纵坐标的变化规律得，每8个点循环一次． ， 点在第254个循环中的第2个点的位置，其纵坐标为1， 又的横坐标为1，的横坐标为2，的横坐标为3， 的横坐标为， 点的坐标为． 6．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）在平面直角坐标系中，有一点，先将点A向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点B，则点B的坐标是______． 【答案】 【思路引导】本题考查坐标与图形变化-平移，掌握点平移的坐标变化规律“右移加，左移减，上移加，下移减”即可求解． 【规范解答】解：点向右平移3个单位长度，横坐标加3，再向下平移2个单位长度，纵坐标减2，得到点，则点的坐标为，即． 7．（23-24八年级下·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，已知点和，将线段平移到线段（点A对应点C，点B对应点D），已知点C坐标为，则点D坐标为 __________ ． 【答案】 【规范解答】解：∵点的对应点C的坐标为， ，， ∴平移规律为向右平移6个单位，向下平移3个单位， ∴的对应点D的坐标为，即． 8．（25-26七年级下·河北沧州·期中）如图是三艘军舰的位置示意图，已知C舰到A舰的图上距离为4cm，实际A舰在C舰的正东方向40千米处，B舰到C舰的图上距离为2cm，请通过计算，用方向和距离描述B舰相对于C舰的实际位置：______． 【答案】北偏东方向，距离C舰20千米处 【思路引导】根据题意可得之间的距离为千米，且在的北偏东方向，求解即可． 【规范解答】解：根据已知C舰到A舰的图上距离为4cm，实际A舰在C舰的正东方向40千米处可得，代表的距离为千米， B舰到C舰的图上距离为2cm，则之间的距离为千米， 根据图形可得，在的北偏东方向， 则B舰相对于C舰的实际位置为北偏东方向，距离C舰20千米处． 9．（25-26七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，……，按这样的运动规律，点的坐标是_____． 【答案】 【思路引导】结合图象，可以发现图象上点的规律是：纵坐标的变化是以点为起点，以点为终点，4个点为一组循环变化，横坐标的变化是每增加一个点，横坐标增加1，据此规律即可解答． 【规范解答】解：由图象得：，，，， ∴图象上点的规律是：纵坐标的变化是以点为起点，以点为终点，4个点为一组循环变化；横坐标的变化是每增加一个点，横坐标增加1， ∵从到共有2026个点， ∴纵坐标的循环次数为：， ∴的横坐标为2026，纵坐标为0．即坐标为． 10．（25-26七年级下·陕西安康·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点坐标分别是，，，，直线交边于点D，点E在边上．若，则的长为___________． 【答案】1 【思路引导】由长方形的性质以及点的坐标可得出，，求出长方形的面积，进而可得出，进而可求出的长，进而求出，再根据即可求出，进而可求出的长． 【规范解答】解：∵长方形的顶点坐标分别是，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 11．在平面直角坐标系中，将横、纵坐标之和为6的点称为“吉祥点”． （1）若点是“吉祥点”，则的值为________； （2）下列结论正确的是________（写出所有正确结论的序号）． ①第一象限内有无数个“吉祥点”； ②已知点，，若点是“吉祥点”且在坐标轴上，则点到直线的距离为； ③已知点，，若点是第一象限内的“吉祥点”，三角形的面积记为，则． 【答案】 / 【思路引导】（1）根据“吉祥点”的定义列一元一次方程求解即可； （2）结合象限内点的坐标特征，点到直线的距离计算，三角形面积公式逐一判断每个结论即可． 【规范解答】解：（1）点是“吉祥点” ， ，解得 ． （2）对于结论： 第一象限内点的横，纵坐标均为正数， 满足的点有无数个， 第一象限内有无数个“吉祥点”，故正确； 对于结论： ，， 直线轴，直线为， 点是“吉祥点”且在坐标轴上， 若点在轴上，令，得，即， 点到直线的距离为， 若点在轴上，令，得，即，点到直线的距离为， 点到直线的距离为或，故错误； 对于结论： ，， 轴，， 设第一象限内“吉祥点”的坐标为， ，即， ∴点到直线的距离为， ， ， ，即，故正确； 综上，故答案为（1）；（2） 12．（25-26七年级下·陕西安康·阶段检测）如图，在正方形网格中，标明了学校附近的一些地方，其中每一个小正方形网格的边长代表1个单位长度．已知学校的坐标为，体育馆的坐标为． (1)请在图中画出这个平面直角坐标系； (2)请直接写出超市和电影院所在位置的坐标． 【答案】(1) (2)超市，电影院 【思路引导】（1）根据学校和体育馆的坐标建立平面直角坐标系； （2）根据超市和电影院所在位置写出坐标． 【规范解答】（1）略 （2）解：超市所在位置的坐标为，电影院所在位置的坐标为． 13．（25-26七年级下·吉林松原·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系．已知三角形的顶点的坐标为，顶点的坐标为，顶点的坐标为． (1)把三角形ABC先向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度得到三角形，请你画出三角形（点A、B、C的对应点分别为点）； (2)请直接写出点的坐标； (3)已知点是三角形ABC内部的一点，则平移后的对应点的坐标为_________． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【思路引导】（1）根据平移的性质，分别将点、、向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到对应点、、，顺次连接即可画出三角形． （2）根据横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减的平移规律，分别计算点、、平移后的坐标． （3）根据点的平移规律，直接计算点平移后的对应点的坐标． 【规范解答】（1）解：如图所示； （2）解：由（1）作图得； （3）解：∵，三角形ABC先向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度得到三角形， ∴，， ∴． 14．（25-26七年级下·湖北恩施·期中）根据指令（，单位：，），机器人在平面上能完成下列动作：先原地逆时针旋转角度，再面向旋转后角度的方向，沿直线行走s个单位，如表示机器人由点运动到点（如图1）． (1)如图2，若机器人从运动到，则机器人收到一个什么指令？ (2)若机器人接到指令运动到点处，请你在图3中画出机器人从到的运动路径． 【答案】(1) (2)见解析 【思路引导】（1）根据图示求解即可； （2）由指令得到先原地逆时针旋转，再面向旋转后的方向，沿直线行走，然后画图即可． 【规范解答】（1）解：根据题意得，机器人从运动到，收到的指令为； （2）解：如图，即为所求． 15．（25-26七年级下·吉林白山·期中）已知，为4的算术平方根，在平面直角坐标系中，点，，，且． (1)直接写出______，______，______； (2)如图①，当点在直线上时，连接，求三角形的面积； (3)平移线段，使点的对应点在轴的正半轴上，点的对应点恰好在轴的负半轴上，点以每秒3个单位长度从点向轴负半轴运动，同时点以每秒2个单位长度从点向轴正半轴运动，直线、交于点，设点、运动的时间为（秒）． ①如图②，当时，探究三角形的面积和三角形的面积的数量关系，并说明理由； ②若三角形的面积为10，直接写出点的坐标． 【答案】(1)5，，2 (2) (3)①，理由见解析；②点D的坐标为或 【思路引导】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性得到，，求出，，然后根据算术平方根的定义求出； （2）根据题意得到，然后三角形面积公式求解； （3）①首先表示出，由平移的性质得到，，表示出，，，，，，然后得到，进而求解即可； ②根据题意分三种情况讨论，分别判断求解即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴，， 解得，， ∵为4的算术平方根， ∴； （2）解：由（1）得，， ∴，， ∴， ∴三角形的面积； （3）解：①，理由如下： ∵，， ∴， ∵平移后点的对应点M在y轴的正半轴上，点的对应点N在x轴的负半轴上，且， ∴平移方式为向下平移2个单位，向左平移a个单位， ∴，， ∴，， 由题意得，， ，， ， ， ， ， 即； ②当时，，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴PQ可以看作由向下平移3个单位长度，向右平移2个单位长度得到， 此时，点D不存在； 当，如图1，点D在三角形内部或和点O重合，此时，不符合题意； 当时，如图2，点D在第四象限，连接， 设，由①得， ， ， ， ， ， ，， ； 当时，如图3，点D在第二象限，连接， ， ， ， ， ， ， ，， ， 综上，点D的坐标为或． 16．（25-26七年级下·吉林松原·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，且a，b满足，现将线段先向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度得到线段，其中点A对应点为C，点B对应点为D，连接，． (1)直接写出A，B，C，D四个点的坐标． (2)如图2，点M是线段上的一个动点，点N是线段上的一个定点，连接，，当点M在线段上移动时（不与A，C重合），探究，，之间的数量关系，并说明理由． (3)在y轴上存在点P，使的面积与的面积相等，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)点，点，点，点 (2)，理由见解析 (3)或 【思路引导】（1）先由绝对值的非负性与算术平方根的非负性求解a，b的值，由此可得点A，B的坐标，再根据平移的性质可得点C，D的坐标． （2）添加辅助线，过点M作，由平行线的性质可得，再由平角的定义即可得． （3）先求解出的面积，再表示出的面积求解即可． 【规范解答】（1）解：∵a，b满足， ∴且，解得，， ∴点，点， ∵先将点A向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度得到点C， ∴点，即点， ∵将点B向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度得到点D， ∴点，即点． （2）解：，理由如下： 过点M作，如图， 则有， 由平移的性质可得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 即． （3）解：由（1）可知，点，点，点，点， ∴， ∴， 设点， ∴， ∴，即， 则有， 当时，；当时，， ∴点P的坐标为或． 17．（25-26七年级下·福建莆田·期中）如图①，在平面直角坐标系中，三角形的顶点A在x轴负半轴上，点B在x轴正半轴上，点C的坐标为，点A到y轴的距离等于点C到x轴的距离，． (1)求三角形的面积； (2)如图②，过点B作的平行线交y轴于点M，作和的平分线相交于点N，求的度数． (3)若点是第二象限内一点，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）根据点C的坐标为，以及题意，求得的坐标，再利用三角形面积求解即可； （2）过点N作，利用平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，，即可求解； （3）连接，根据题意可得，用表示出的面积，化简即可． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴， ∴点B的坐标为， ∵点A到y轴的距离等于点C到x轴的距离， ∴点A的坐标为， ∴， ∴； （2）解：如图②，过点N作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，分别平分，， ∴，， ∴， ∴， （3）解：如图③，连接， ， ∵点是第二象限内一点，， ∴， ∴，化简可得． 18．（25-26七年级下·云南曲靖·阶段检测）新定义：在平面直角坐标系中，过某一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的长方形的周长与面积数值相等，则这个点叫做“优美点”，例如，如图1，过点分别作轴、轴的垂线，与坐标轴围成长方形的周长与面积数值均为16，则点是“优美点”． (1)判断点是否是“优美点”?说明理由； (2)若点是“优美点”，求的值； (3)已知点是“优美点”，过点作轴于点，点在线段上，且，求点的坐标． 【答案】(1)点不是“优美点”，理由： 过点分别作轴、轴的垂线，与坐标轴围成长方形的周长为，面积为， ∵， ∴点不是“优美点”； (2)或 (3)点的坐标为或 【思路引导】（1）先求出过点分别作轴、轴的垂线，与坐标轴围成长方形的周长和面积，比较即可得出结果； （2）根据“优美点”的定义可得，求解即可； （3）根据“优美点”的定义求出或，再分两种情况，结合三角形面积公式计算即可得出结果． 【规范解答】（1）略 （2）解：∵点是“优美点”， ∴， 整理可得， 解得或； （3）解：∵点是“优美点”， ∴， 解得或， ∴或， 当时，此时，设， ∴，，， ∵， ∴， 解得，此时； 当时，此时，设， ∴，，， ∵， ∴， 解得，此时， 综上所述，点的坐标为或． 19．（25-26七年级下·重庆·期中）在平面直角坐标系中，，，其中，满足． (1)如图1，已知点，求的面积； (2)如图2，过点向轴作垂线，垂足为，请问在轴的上方是否存在点，使与的面积相等，且的面积是面积的3倍？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)40 (2)存在，或 【思路引导】（1）利用绝对值与算术平方根的非负性可得，，如图，作梯形，其中，，，进一步利用割补法求解面积即可； （2）由题意可得：必在和之间，由，，，轴，可得：， ，再分两种情况：如图，当在四边形内时，且在右侧，如图，当在四边形左侧时，进一步求解即可. 【规范解答】（1）解：∵， ∴，， 解得，， ∴，， 如图，作梯形，其中，，， ∴ . （2）解：由题意可得：必在和之间， ∵，，，轴， ∴， ∴， 解得：， ∴ ， 如图，当在四边形内时，且在右侧， ∴，， ∴ ， ∵的面积是面积的3倍， ∴，解得； ∴， 如图，当在四边形左侧时， ∴， ， 同理：， 解得； ∴， 综上或． 20．（25-26七年级下·重庆·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，其中和满足，连接和． (1)点A的坐标为__________，点的坐标为__________； (2)如图2，点是内一点，连接，动点从点出发，沿方向运动到点，再沿轴正方向运动，连接，当的面积等于面积的时，求点的坐标； (3)如图3，点为轴上一点，连接，将绕着点以每秒的速度顺时针旋转得，在旋转过程中，作的三等分线；同时绕着点以每秒的速度顺时针旋转得，当和轴负半轴重合时，立即以原来速度的两倍逆时针旋转；当第二次和轴重合时，整个旋转过程停止．请直接写出旋转过程中的一边与的一边互相垂直时，旋转时间的值． 【答案】(1) (2)或或 (3)或或或或 【思路引导】（1）根据根号内为非负数，可得，再代入可得，然后解方程组即可求解； （2）先根据题意可得，再分点在上和点在轴两种情况，结合三角形面积公式求解； （3）根据旋转，分未旋转过轴，、时，旋转过轴，、当和轴负半轴重合后逆时针旋转，、五种情况讨论求解． 【规范解答】（1）解：， ，则，， ， ， 由解得， ； （2）解：由题可知， 当点在上时，设，， ，解得， ； 当点在轴时，设， 由（1）知，又， 所以直线的解析式为，则在直线上，延长交于原点， 设，则， ，解得， ， ； 综上，或或； （3）解：设与相交于点， ①如图，当未旋转过轴，时， 此时，，为等腰直角三角形， ， 的三等分线为， ， ， ， 解得； ②如图，当时，延长交于点， 此时，， ， 解得； ③如图，当旋转过轴，时， 此时， ， ， ， 解得； ④如图，当和轴负半轴重合后逆时针旋转，且时， 此时， 与轴负半轴重合需要， ， ， 解得； ⑤如图，当和轴负半轴重合后逆时针旋转，且时， 此时，，， ， 解得； 综上，或或或或． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年人教版数学七升八年级衔接金牌培优讲义（温故知新） 2026-2027学年数学七升八年级暑期学习金牌培优讲义【温故知新篇】 七年级/下册（新教材） 初中数学 专题03 平面直角坐标系的认识及简单应用 思维导图+知识回顾+十二大考点讲练+真题强化 （共44题） 【原卷版】 人教版 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 暑假衔接 考点讲练练 浏览知识 知晓考点 真题强化 思维导图 技巧点拨 真题汇编 查漏补缺 重点难点 优选题型 知识梳理 方法提炼 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 同学，你好！该份讲义主要以复习人教版新教材七年级下学期内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，知识梳理，，高频考点真题讲练，优选题培优训练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 平面直角坐标系有关概念 1.平面直角坐标系的概念： 平面内两条相互垂直且原点重合的数轴组成平面直角坐标系。 ①坐标轴：水平的数轴称为横轴（x轴）；竖直的数轴称为纵轴（y轴）。 ②坐标原点：两条坐标轴的交点是平面直角坐标系的原点。 ③坐标平面：坐标轴所在的平面为坐标平面。 2.象限： 如图，坐标轴把坐标平面分成了四个部分，每一个部分称为象限，从右上角为第一象限；逆时针一次得到第二象限、第三象限以及第四象限。 特别地，坐标轴不属于任何一个象限。 知识点二 平面直角坐标系内点的坐标及其特征 1.点的坐标： 横坐标：过平面内一点做x轴的垂线，垂足在x轴上对应的数为这个点的横坐标； 纵坐标：过平面内一点做y轴的垂线，垂足在y轴上对应的数为这个点的纵坐标； 2.象限内的点的坐标特点： 第一象限内的所有点的坐标，横坐标纵坐标均大于0；可以表示为 （+，+）。 第二象限内的所有点的坐标，横坐标小于0，纵坐标大于0；可以表示为（－，+）。 第三象限内的所有点的坐标，横坐标小于0，纵坐标小于0；可以表示为（－，－）。 第四象限内的所有点的坐标，横坐标大于0，纵坐标小于0；可以表示为（+，－）。 3.坐标轴上的点的坐标特点： ①x轴上的所有点的纵坐标等于 0 ，可表示为（x，0）。 ②y轴上的所有点的横坐标等于 0 ，可表示为（0，y）。 4.象限角平分线上的点的坐标特点： ①一、三象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标 相等 。 ②二、四象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标 互为相反数 。 5.平行与x轴（垂直于y轴）的直线上的点的坐标特点： 平行与x轴（垂直于y轴）的直线上的所有点的坐标 纵坐标 相等。 6.平行与y轴（垂直于x轴）的直线上的点的坐标特点： 平行与y轴（垂直于x轴）的直线上的所有点的坐标 横坐标 相等。 7.点到坐标轴的距离： 点到横坐标轴的距离等于该点的 纵坐标的绝对值 。 点到纵坐标轴的距离等于该点的 横坐标的绝对值 。 知识点三 利用坐标表示位置 1.建立平面直角坐标系表示地理位置： 第一步：建立坐标系，选择合适的参照点作为原点，确定x轴与y轴的正方形。 第二步：根据具体问题确定 单位长度 。 第三步：在平面直角坐标系内画出待表示的点，写出各点的坐标与名称。 2.用“表示方向的角+距离”表示平面内物体的位置： 以一点为参照点，用 某个方向 加上与该参照点的 距离 来确定一点的位置。 知识点四 点在坐标系中的平移 左右平移：点在平面直角坐标系中进行左右平移时，纵坐标 不变 ，横坐标进行 加减 。向右平移时 加 ，向左平移时 减 。 巧记：左右平移，横加减，纵不变，右加左减。 上下平移：点在平面直角坐标系中进行上下平移时，横坐标 不变 ，纵坐标进行 加减 。向上平移时 加 ，向下平移时 减 。 巧记：上下平移，纵加减，横不变，上加下减。 知识点五 图形在坐标系中的平移 在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度． 【易错点拨】 平移是图形的整体运动，某一个点的坐标发生变化，其他点的坐标也进行了相应的变化，反过来点的坐标发生了相应的变化，也就意味着点的位置也发生了变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”． 考点一 已知点所在的象限求参数 【典例精讲】（25-26八年级下·贵州铜仁·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“完美点”．如：点的“长距”为2，点称为“完美点”． (1)若点是“完美点”，求的值； (2)若点的长距为4，且点在第四象限内，点的坐标为，试说明点是“完美点”． 【变式训练】（25-26七年级下·陕西延安·期中）在平面直角坐标系中，已知点的坐标为． (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若点的坐标为，且轴，求点的坐标． 考点二 坐标中描点 【典例精讲】（25-26七年级下·陕西西安·期中）某公园有6个景点．如图所示是景点在平面直角坐标系中的分布示意图，景点A的坐标是，景点B的坐标是． (1)根据以上描述，在图中建立平面直角坐标系，并写出景点C的坐标； (2)若景点D的坐标为，景点E的坐标为，景点F的坐标为，请在图中的平面直角坐标系中描出点D，E，F． 【变式训练】（25-26七年级下·陕西渭南·期中）中华传统文化是中华民族五千多年历史积淀的智慧结晶．某景区以中国经典文化元素为主题，打造了活字工坊、匠心体验、典籍之光、节气食肆等主题区域．如图是某些主题区域的分布示意图，小珂和妈妈在游玩的过程中，分别对活字工坊和匠心体验的位置做出如下描述：小珂；“活字工坊的坐标是”．妈妈：“匠心体验的坐标为”． (1)根据以上描述，在图中建立平面直角坐标系； (2)请写出典籍之光和节气食肆的坐标； (3)已知该景区的汉服体验中心的坐标为，请在图中标出汉服体验中心的位置． 考点三 坐标与图形综合 【典例精讲】（25-26七年级下·山西吕梁·期中）综合与实践 如图，学校有一个四边形劳动基地，与交于点，以点为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，点的坐标为，点的坐标为，且，满足，点的坐标为． (1)求点和点的坐标． (2)若三角形的面积和三角形的面积相等，求点的坐标． (3)学校计划扩展劳动基地的面积，使其变为五边形，点的坐标为，其中，请直接写出三角形的面积．（用含的代数式表示） 【变式训练】（25-26七年级下·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，将横、纵坐标之和为6的点称为“幸运点”，已知点，现有以下结论： ①第一象限内有无数个“幸运点”； ②第三象限内不存在“幸运点”； ③若点是“幸运点”且在坐标轴上，则点到直线的距离为8； ④若点是“幸运点”且在第一象限或坐标轴上，将三角形的面积的最大值记为，最小值记为，则． ⑤若点是“幸运点”且在第二象限内，它的横坐标为，三角形的面积记为，则． 其中正确的有（    ） A．①② B．③④ C．②③④⑤ D．①②④⑤ 考点四 求点沿x轴、y轴平移后的坐标 【典例精讲】（25-26七年级下·北京·期中）平面直角坐标系中，已知点，将点左右平移得到点，且三角形的面积为6，则点的坐标为_______． 【变式训练】（24-25七年级下·云南昭通·期末）如图，已知点，且满足．将线段先向上平移5个单位，再向左平移1个单位后得到线段，连接． (1)求、的值； (2)点从点出发，以每秒1个单位的速度沿向上运动．设运动时间为秒，当为多少时，四边形的面积等于？ (3)在（2）的条件下，点从点出发的同时，点从点出发，以每秒个单位的速度沿轴向右运动，直线交轴于点．在运动过程中，三角形与三角形的面积之差是否会发生变化？请说明理由． 考点五 由平移方式确定点的坐标 【典例精讲】（25-26七年级下·河南驻马店·阶段检测）如图，透明胶片上有一平行四边形，该平行四边形的一顶点M的坐标为，另一顶点N的坐标为，移动胶片，使顶点M移动至点N处，顶点N移动至点P处，则点P的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，将三角形平移，使点与点重合，点、的对应点分别是点、．此时点的坐标是． (1)请画出平移后的三角形，则点的坐标为________； (2)若点是三角形内的一点，则平移后对应点的坐标为________； (3)三角形的面积是多少？ 考点六 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【典例精讲】（25-26七年级下·辽宁铁岭·期中）在平面直角坐标系中，三角形经过平移得到三角形，位置如图所示． (1)分别写出A，的坐标：A ， ； (2)请说明三角形是由三角形经过怎样的平移得到； (3)若是三角形内部的一点，经过平移后，点M在三角形中的对应点的坐标为，求m和n的值． 【变式训练】（25-26七年级下·重庆·期中）结合图形，解答下列各题： (1)如图1，把直角梯形按图示平移得到梯形，其中，求阴影部分的面积． (2)如图2，在平面直角坐标系中点，将线段平移至点，过点A 作直线轴，点在直线上，且，求 的值． 考点七 已知图形的平移，求点的坐标 【典例精讲】（25-26七年级下·广东江门·期中）已知点，点，点，且． (1)求三点的坐标： (2)将线段平移到线段，点对应点，点对应点． ①如图1，连接交轴于点，求三角形的面积； ②如图2，点从原点出发以2个单位长度/秒的速度沿轴正方向运动，过点作的平行线交轴于点，在点运动的过程中始终保持．设点运动时间为秒，当三角形的面积等于三角形面积的两倍时，求的值． 【变式训练】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，平移线段至线段． (1)直接写出点D的坐标； (2)如图2，当点D在第一象限时，连接，点P为四边形内部一点，连接，，设点P的纵坐标为t，三角形的面积记为S，请用含t的式子表示S； (3)在（2）的条件下，若三角形的面积与三角形的面积比为，且点P在线段上，求点P的坐标． 考点八 已知平移后的坐标求原坐标 【典例精讲】（25-26七年级下·福建莆田·期中）如图，将三角形向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度．请回答下列问题： (1)平移后的三个顶点坐标分别为：（ ， ），（ ， ），（ ， ）； (2)画出平移后三角形； (3)若平移后的三角形内部有任意一点，则平移前对应点的坐标为：P（ ， ）． 【变式训练】（24-25七年级下·福建福州·期中）已知，点，，且． (1)求的值． (2)平移线段，点的对应点在轴的正半轴上，点的对应点恰好在轴的负半轴上，点以每秒3个单位长度从点向轴负半轴运动，同时，点以每秒2个单位长度从点向轴正半轴运动，直线交于点，设点运动的时间为秒． ①如图，当时，探究三角形的面积和三角形的面积的数量关系，并说明理由； ②若三角形的面积为10，直接写出点的坐标． 考点九 坐标系中的平移 【典例精讲】（25-26七年级下·辽宁盘锦·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，且，满足，现将线段向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到线段，连接，． (1)直接写出坐标：点（________），点（________） (2)，分别是线段，上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度，点的运动时间为秒． 若两点同时出发，当取何值时，轴？ 连接，，当取何值时，三角形的面积为？ (3)点是直线上一个动点，连接，当点在直线上运动时，请画出图形并直接写出与，的数量关系． 【变式训练】（25-26七年级下·福建莆田·期中）如图，在平面直角坐标系中，，坐标分别为、，且，满足：，现同时将点，分别向下平移3个单位，再向左平移1个单位，分别得到点，的对应点，，连接，，． (1)求，两点的坐标及四边形的面积； (2)点是线段上的一个动点，连接，，当点在上移动时（不与，重合），的值是否发生变化，并说明理由； (3)已知点在轴上，连接、，若的面积与四边形的面积相等，求点的坐标． 考点十 坐标系中的动点问题（不含函数） 【典例精讲】（25-26七年级下·江西南昌·期中）如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为，点C的坐标为，且a，b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着 的线路移动． (1) ________， ________，点B的坐标为__________； (2)当点P移动时，点P的坐标为_______________； (3)在移动过程中，当点P到x轴的距离为 4 个单位长度时，点P移动的时间为________； (4)在移动过程中，当三角形的面积等于6时，求点P的坐标． 【变式训练】（25-26七年级下·四川南充·期中）在平面直角坐标系中，已知长方形，其中点，点． (1)填空：点的坐标为______，点的坐标为______； (2)若点是轴上的动点，连接． ①如图1，当点在轴正半轴时，线段与线段相交于点，用等式表示三角形的面积与三角形的面积之间的关系，并说明理由； ②当将四边形分成面积相等的两部分时，求点的坐标． 考点十一 中点坐标 【典例精讲】（25-26七年级下·广东汕头·期中）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面李老师在“平面直角坐标系中线段的中点”主题下设计的问题，请你解答． (1)观察发现 在下面给出的平面直角坐标系中，描出下列各点：，并连接，请写出线段的中点坐标：___________，线段的中点坐标：___________． (2)探究迁移 如果有，两点，那么线段的中点坐标是___________． (3)拓展应用 已知三点，点与点中的一个点构成的线段的中点与另外两个点构成的线段的中点重合，求点的坐标． 【变式训练】（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）综合与实践 基本图形 如图1，在平面直角坐标系中，轴于点，点满足，平移线段使点与原点重合，点的对应点为点． (1)________，________，点的坐标为________． 拓展延伸 (2)如图2，是的中点，过点作直线轴，直线与轴交于点，是线段上一点，连接，．若三角形的面积为15，求三角形的面积． (3)如图3，以为边作，交线段于点，是线段上一动点（不含端点），连接交于点．当点在线段上运动时，的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由． 考点十二 点坐标规律探索 【典例精讲】．（25-26七年级下·黑龙江牡丹江·期中）如图，正方形，正方形，正方形，…（每个正方形从第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序，依次记为，，，，，，，，，，，…）的中心均在坐标原点O，各边均与x轴或y轴平行，若它们的边长依次是2，4，6…，则顶点A2026的坐标为_________． 【变式训练】（25-26七年级下·安徽芜湖·阶段检测）在平面直角坐标系中，一个点从开始按图中箭头所示方向运动，即点的坐标依次为 ，由此规律可得点的坐标为（  ） A． B． C． D． 1．如图，在一次活动中，位于A处的佳佳准备前往相距的B处与琪琪会合．请你用方向和距离描述佳佳相对于琪琪的位置，其中描述正确的是（    ） A．佳佳在琪琪的北偏东，处 B．佳佳在琪琪的北偏东，处 C．佳佳在琪琪的南偏西，处 D．佳佳在琪琪的南偏西，处 2．法国数学家笛卡尔首先建立了坐标思想，从而使数学的两大要素“数”与“形”统一起来．在平面直角坐标系中，关于点和，下列结论正确的是（   ）． A．横坐标相同 B．纵坐标相同 C．所在象限相同 D．到轴距离相等 3．（25-26七年级下·北京海淀·期中）2026年2月，北京大学董豪教授团队研发的“空间大脑”技术，让机器人能像人类一样理解空间关系、距离和方位．搭载“空间大脑”技术的机器人从起始位置点出发，按以下指令移动：指令1：向北移动4米到点；指令2：右转，向东移动3米到点；指令3：右转，向南移动2米到点；指令4：右转，向西移动5米到点．判断下列结论中不正确的是（     ） A．直线与直线垂直 B．直线与直线平行 C．点位于点的北偏东方向 D．点与点之间的距离大于3米 4．（25-26七年级下·四川南充·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆，，…组成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2026秒时，点的坐标是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，，将边长为1的正方形一边与x轴重合，按图中规律摆放，其中相邻两个正方形的间距都是1，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）在平面直角坐标系中，有一点，先将点A向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点B，则点B的坐标是______． 7．（23-24八年级下·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，已知点和，将线段平移到线段（点A对应点C，点B对应点D），已知点C坐标为，则点D坐标为 __________ ． 8．（25-26七年级下·河北沧州·期中）如图是三艘军舰的位置示意图，已知C舰到A舰的图上距离为4cm，实际A舰在C舰的正东方向40千米处，B舰到C舰的图上距离为2cm，请通过计算，用方向和距离描述B舰相对于C舰的实际位置：______． 9．（25-26七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，……，按这样的运动规律，点的坐标是_____． 10．（25-26七年级下·陕西安康·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点坐标分别是，，，，直线交边于点D，点E在边上．若，则的长为___________． 11．在平面直角坐标系中，将横、纵坐标之和为6的点称为“吉祥点”． （1）若点是“吉祥点”，则的值为________； （2）下列结论正确的是________（写出所有正确结论的序号）． ①第一象限内有无数个“吉祥点”； ②已知点，，若点是“吉祥点”且在坐标轴上，则点到直线的距离为； ③已知点，，若点是第一象限内的“吉祥点”，三角形的面积记为，则． 12．（25-26七年级下·陕西安康·阶段检测）如图，在正方形网格中，标明了学校附近的一些地方，其中每一个小正方形网格的边长代表1个单位长度．已知学校的坐标为，体育馆的坐标为． (1)请在图中画出这个平面直角坐标系； (2)请直接写出超市和电影院所在位置的坐标． 13．（25-26七年级下·吉林松原·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系．已知三角形的顶点的坐标为，顶点的坐标为，顶点的坐标为． (1)把三角形ABC先向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度得到三角形，请你画出三角形（点A、B、C的对应点分别为点）； (2)请直接写出点的坐标； (3)已知点是三角形ABC内部的一点，则平移后的对应点的坐标为_________． 14．（25-26七年级下·湖北恩施·期中）根据指令（，单位：，），机器人在平面上能完成下列动作：先原地逆时针旋转角度，再面向旋转后角度的方向，沿直线行走s个单位，如表示机器人由点运动到点（如图1）． (1)如图2，若机器人从运动到，则机器人收到一个什么指令？ (2)若机器人接到指令运动到点处，请你在图3中画出机器人从到的运动路径． 15．（25-26七年级下·吉林白山·期中）已知，为4的算术平方根，在平面直角坐标系中，点，，，且． (1)直接写出______，______，______； (2)如图①，当点在直线上时，连接，求三角形的面积； (3)平移线段，使点的对应点在轴的正半轴上，点的对应点恰好在轴的负半轴上，点以每秒3个单位长度从点向轴负半轴运动，同时点以每秒2个单位长度从点向轴正半轴运动，直线、交于点，设点、运动的时间为（秒）． ①如图②，当时，探究三角形的面积和三角形的面积的数量关系，并说明理由； ②若三角形的面积为10，直接写出点的坐标． 16．（25-26七年级下·吉林松原·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，且a，b满足，现将线段先向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度得到线段，其中点A对应点为C，点B对应点为D，连接，． (1)直接写出A，B，C，D四个点的坐标． (2)如图2，点M是线段上的一个动点，点N是线段上的一个定点，连接，，当点M在线段上移动时（不与A，C重合），探究，，之间的数量关系，并说明理由． (3)在y轴上存在点P，使的面积与的面积相等，直接写出点P的坐标． 17．（25-26七年级下·福建莆田·期中）如图①，在平面直角坐标系中，三角形的顶点A在x轴负半轴上，点B在x轴正半轴上，点C的坐标为，点A到y轴的距离等于点C到x轴的距离，． (1)求三角形的面积； (2)如图②，过点B作的平行线交y轴于点M，作和的平分线相交于点N，求的度数． (3)若点是第二象限内一点，，求的值． 18．（25-26七年级下·云南曲靖·阶段检测）新定义：在平面直角坐标系中，过某一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的长方形的周长与面积数值相等，则这个点叫做“优美点”，例如，如图1，过点分别作轴、轴的垂线，与坐标轴围成长方形的周长与面积数值均为16，则点是“优美点”． (1)判断点是否是“优美点”?说明理由； (2)若点是“优美点”，求的值； (3)已知点是“优美点”，过点作轴于点，点在线段上，且，求点的坐标． 19．（25-26七年级下·重庆·期中）在平面直角坐标系中，，，其中，满足． (1)如图1，已知点，求的面积； (2)如图2，过点向轴作垂线，垂足为，请问在轴的上方是否存在点，使与的面积相等，且的面积是面积的3倍？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 20．（25-26七年级下·重庆·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，其中和满足，连接和． (1)点A的坐标为__________，点的坐标为__________； (2)如图2，点是内一点，连接，动点从点出发，沿方向运动到点，再沿轴正方向运动，连接，当的面积等于面积的时，求点的坐标； (3)如图3，点为轴上一点，连接，将绕着点以每秒的速度顺时针旋转得，在旋转过程中，作的三等分线；同时绕着点以每秒的速度顺时针旋转得，当和轴负半轴重合时，立即以原来速度的两倍逆时针旋转；当第二次和轴重合时，整个旋转过程停止．请直接写出旋转过程中的一边与的一边互相垂直时，旋转时间的值． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $nullnull2026-2027学年数学七升八年级暑期学习金牌培优讲义【温故知新篇】 暑假衔接 专题03平面直角坐标系的认识及简单应用 思维导图+知识回顾+十二大考点讲练+真题强化（共44题） 【原卷版】 思维导图 浏览知识知晓考点 技巧点拨 知识梳理方法提炼 考点讲练 重点难点优选题型 真题强化 真题汇编查漏补缺 初中数学 七年级/下册（新教材） 版 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 课前指导讲义简介 同学，你好！该份讲义主要以复习人教版新教材七年级下学期内容为主，选取重点难，点专题内 容强化复习，讲义包含导图指引，知识梳理，，高频考点真题讲练，优选题培优训练20题等 四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型， 整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学， 教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 思维导图考点指引 ①坐标轴 (①建立平面直角坐标系表示地理位置（步骤】 水平的数轴称为横轴(x轴)： 竖直的数轴称为纵轴(y轴) 第一步：建立坐标系，选择合适的参照点作为原点，确定x轴与y轴的正方向 ②坐标原点 第二步：根据具体问题确定单位长度 两条坐标轴的交点是平面直角坐标系的原点 第三步：在平面直角坐标系内画出待表示的点，写出各点的坐标与名称。 记为00.0)。 1.平面直角坐标系 3.利用坐标 ③坐标平面 ②用“表示方向的角+距离”表示平面内物体的位置 有关概念 表示位置 坐标轴所在的平面为坐标平面。 以一点为参照点，用某个方向（如北偏东30°） ④象限 加上与该参照点的距离来确定一点的位置。 ③点到坐标轴的距离 第二象限 3 第一象限 点到横坐标轴的距离=纵坐标的绝对值 1 4-3-2-1,01234x 点到纵坐标轴的距离=横坐标的绝对值 第三象限 第四象限 【易错点拨】 专题03 仅知道点到坐标轴的距离，不能确定点的位置： 平面直角坐标系的 需结合所在象限或其他条件确定坐标的符号。 第二象限、第三象限、第四象限。 坐标轴不属于任何象限。 认识及简单应用 (人教版七下) ①左右平移（横坐标变化，纵坐标不变） ①点的坐标 能足对应的验为减的隔性面足在：结上 横坐标：过平面内一点作x轴的题线 向右平移a个单位：(x,y)一(x+a,y) 向左平移a个单位：(x,y)一(x-a,y) ②上下平移（纵坐标变化，横坐标不变） ②象限内的点的坐标特征 第一象限内的点：提坐标>0，纵坐标>0，记作(+，+) 向上平移a个单位：(x,y)一(x,y+a) 第二象限内的点：祸坐标<0，纵坐标>0。记作（一，+】 2.平面直角坐标系内 4.点在坐标系中 向下平移a个单位：(x,y)→(x,y一a) 第三象限内的点：横坐标<0，纵坐标<0，记作(-，-) 点的坐标及其特征 的平移 第四象限内的点：横坐标>0，纵坐标<0.记作(+，-) ③综合平移 ③坐标轴上的点的坐标特征 先左右平移，再上下平移： x轴上的点：纵坐标=0，记作(x,0) (x,y)一(x±a,y)→(x±a,y±b) y轴上的点：横坐标=0.记作(0，y) 或先上下平移，再左右平移： (x,y)→(x,y±b)→(x±a,y±b) ④象限角平分线上的点的特征 一、三象限的角平分钱(y■x)上的点：横坐标■纵坐标， 【易错点拨】 二、四象限的角平分线(y=一x)上的点：横坐标=一纵坐标 平移是图形的整体运动，点的坐标发生变化，其它点的坐标也 会发生相应变化，形状和大小不变。 ★小结：熟练掌握平面直角坐标系的相关知识，是学习函数、图形变换等数学内容的基础！ 知识梳理温故知新 知识点一平面直角坐标系有关概念 1.平面直角坐标系的概念： 平面内两条相互垂直且原点重合的数轴组成平面直角坐标系。 第2页共25页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) ①坐标轴：水平的数轴称为横轴(x轴)；竖直的数轴称为纵轴（y轴)。 ②坐标原点：两条坐标轴的交点是平面直角坐标系的原点。 ③坐标平面：坐标轴所在的平面为坐标平面。 2.象限： 轴 4 第二象限2第一象限 1 4321 1234x轴 第三象限-2 第四象限 -3 -4 如图，坐标轴把坐标平面分成了四个部分，每一个部分称为象限，从右上角为第一象限；逆时 针一次得到第二象限、第三象限以及第四象限。特别地，坐标轴不属于任何一个象限。 知识点二平面直角坐标系内点的坐标及其特征 1.点的坐标： 横坐标：过平面内一点做x轴的垂线，垂足在x轴上对应的数为这个点的横坐标； 纵坐标：过平面内一点做y轴的垂线，垂足在y轴上对应的数为这个点的纵坐标； 2.象限内的点的坐标特点： 第一象限内的所有点的坐标，横坐标纵坐标均大于0；可以表示为（+，+)。 第二象限内的所有点的坐标，横坐标小于0，纵坐标大于0；可以表示为（一，+）。 第三象限内的所有点的坐标，横坐标小于0，纵坐标小于0；可以表示为（一，一）。 第四象限内的所有点的坐标，横坐标大于0，纵坐标小于0；可以表示为(+，一)。 3.坐标轴上的点的坐标特点： ①x轴上的所有点的纵坐标等于0，可表示为（x,0)。 ②y轴上的所有点的横坐标等于0，可表示为(0，y)。 4.象限角平分线上的点的坐标特点： ①一、三象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等。 ②二、四象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标互为相反数。 5.平行与x轴（垂直于y轴)的直线上的点的坐标特点： 平行与x轴（垂直于y轴)的直线上的所有点的坐标纵坐标相等。 6.平行与y轴（垂直于x轴)的直线上的点的坐标特点： 第3页共25页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 平行与y轴（垂直于x轴)的直线上的所有点的坐标横坐标相等。 7.点到坐标轴的距离： 点到横坐标轴的距离等于该点的纵坐标的绝对值。 点到纵坐标轴的距离等于该点的横坐标的绝对值。 知识点三利用坐标表示位置 1.建立平面直角坐标系表示地理位置： 第一步：建立坐标系，选择合适的参照点作为原点，确定x轴与y轴的正方形。 第二步：根据具体问题确定单位长度 第三步：在平面直角坐标系内画出待表示的点，写出各点的坐标与名称。 2.用“表示方向的角+距离”表示平面内物体的位置： 以一点为参照点，用某个方向加上与该参照点的距离来确定一点的位置。 知识点四点在坐标系中的平移 左右平移：点在平面直角坐标系中进行左右平移时，纵坐标不变，横坐标进行加减。向右 平移时加，向左平移时减。 巧记：左右平移，横加减，纵不变，右加左减。 上下平移：点在平面直角坐标系中进行上下平移时，横坐标不变，纵坐标进行加减。向上 平移时加，向下平移时减。 巧记：上下平移，纵加减，横不变，上加下减。 知识点五图形在坐标系中的平移 在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减去）一个正数，相应的 新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去） 一个正数a,相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度. 【易错点拨】 平移是图形的整体运动，某一个点的坐标发生变化，其他点的坐标也进行了相应的变化，反过 来点的坐标发生了相应的变化，也就意味着点的位置也发生了变化，其变化规律遵循：“右加 左减，纵不变；上加下减，横不变” 优选题型考点讲练 考点一已知点所在的象限求参数 第4页共25页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 【典例精讲】(25-26八年级下·贵州铜仁·期中)在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y 轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”.如：点A(-1,2) 的“长距”为2，点B(-3,3)称为“完美点”. (1)若点B(2a-3,-5)是“完美点”，求a的值： (2)若点C(3b-2,-2)的长距为4，且点C在第四象限内，点D的坐标为(-5,9-2b),试说明点D是“完美点”. 【变式训川练】(25-26七年级下·陕西延安·期中)在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(3+a,6-2a). (1)若点A在x轴上，求点A的坐标： (2)若点B的坐标为(5,3)，且AB∥y轴，求点A的坐标. 考点二坐标中描点 【典例精讲】(25-26七年级下·陕西西安·期中)某公园有6个景点.如图所示是景点在平面直角坐标 系中的分布示意图，景点A的坐标是(1,0)，景点B的坐标是(-3,3). (1)根据以上描述，在图中建立平面直角坐标系，并写出景点C的坐标： (2)若景点D的坐标为(-2，-2)，景点E的坐标为(5，-1)，景点F的坐标为(0，-3)，请在图中的平面直角 坐标系中描出点D,E,F 第5页共25页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 【变式训练】(25-26七年级下·陕西渭南·期中)中华传统文化是中华民族五千多年历史积淀的智慧结 晶.某景区以中国经典文化元素为主题，打造了活字工坊、匠心体验、典籍之光、节气食肆等主题区域.如 图是某些主题区域的分布示意图，小珂和妈妈在游玩的过程中，分别对活字工坊和匠心体验的位置做出如 下描述：小珂；“活字工坊的坐标是(42)”.妈妈：“匠心体验的坐标为(-1，-2)”· 活字工坊 节气食肆 匠心体验 典籍之光 (1)根据以上描述，在图中建立平面直角坐标系； (2)请写出典籍之光和节气食肆的坐标： (3)己知该景区的汉服体验中心A的坐标为(2，一1)，请在图中标出汉服体验中心A的位置. 考点三坐标与图形综合 【典例精讲】(25-26七年级下·山西吕梁·期中)综合与实践 如图，学校有一个四边形劳动基地ABCD,AC与BD交于点O,以点O为坐标原点，BD所在的直线为x轴，AC 所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，点A的坐标为(0，a),点B的坐标为(b,0),且a,b满足(a-5)2+Ib+ 2引=0，点D的坐标为(4,0). (1)求点A和点B的坐标. (2)若三角形ACD的面积和三角形ABD的面积相等，求点C的坐标. (3)学校计划扩展劳动基地的面积，使其变为五边形EABCD,点E的坐标为(m,8),其中m>0,请直接写出 三角形EAD的面积.（用含m的代数式表示） 第6页共25页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 【变式训练】(25-26七年级下·北京西城·期中)在平面直角坐标系中，将横、纵坐标之和为6的点称 为“幸运点”，己知点A(-2,2),B(-2,-2),C(-1,-2),D(3,-2),现有以下结论： ①第一象限内有无数个“幸运点”： ②第三象限内不存在“幸运点”： ③若点P是“幸运点”且在坐标轴上，则点P到直线AB的距离为8： ④若点Q是“幸运点”且在第一象限或坐标轴上，将三角形QCD的面积的最大值记为m,最小值记为n,则m n=12. ⑤若点M是“幸运点”且在第二象限内，它的横坐标为m,三角形MCD的面积记为S,则m=8- 其中正确的有( ) A.①② B.③④ c.②③④⑤ D.①②④⑤ 考点四求点沿x轴、y轴平移后的坐标 【典例精讲】(25-26七年级下·北京·期中)平面直角坐标系x0y中，已知点M(1,4),将点M左右平移 得到点N,且三角形OMN的面积为6，则点N的坐标为 【变式训练】(24-25七年级下·云南昭通·期末)如图，已知点A(a,0),B(b,0),且满足 (Q+5)2+|b-1|=0.将线段AB先向上平移5个单位，再向左平移1个单位后得到线段DC,连接AD,BC. B OB 备用图 (1)求a、b的值： (2)点M从O点出发，以每秒1个单位的速度沿OC向上运动.设运动时间为t秒，当t为多少时，四边形0ADM 的面积等于？ (3)在(2)的条件下，点M从O点出发的同时，点N从A点出发，以每秒个单位的速度沿x轴向右运动，直线 DN交y轴于点E.在运动过程中，三角形EMD与三角形EON的面积之差是否会发生变化？请说明理由， 第7页共25页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 考点五由平移方式确定点的坐标 【典例精讲】(25-26七年级下·河南驻马店·阶段检测)如图，透明胶片上有一平行四边形，该平行四 边形的一顶点M的坐标为(O,2),另一顶点N的坐标为(5,6)，移动胶片，使顶点M移动至点N处，顶点N移 动至点P处，则点P的坐标为( ) M ○ A.(10,9) B.(9,10) C.(10,10) D.(10,11) 【变式训川练】(25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期中)如图，将三角形ABC平移，使点A与点A1 重合，点B、C的对应点分别是点B'、C',此时点A'的坐标是(-2,2) yA 6 -1---T-1--r4 A73 --r1t 65432-L0234.56 --2 3 片4 6 (1)请画出平移后的三角形AB'C,则点B'的坐标为 (2)若点P(a,b)是三角形ABC内的一点，则平移后对应点P'的坐标为 (3)三角形A'B'C'的面积是多少？ 第8页共25页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 考点六已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【典例精讲】（25-26七年级下·辽宁铁岭·期中)在平面直角坐标系中，三角形ABC经过平移得到三角 形A'B'C',位置如图所示 3 1-2 B -4-3-2 34x --- (1)分别写出A,A'的坐标：A,A一： (2)请说明三角形A'B'C'是由三角形ABC经过怎样的平移得到： (3)若M(m,4-n)是三角形ABC内部的一点，经过平移后，点M在三角形A'B'C'中的对应点M'的坐标为 (2m-8,n-4),求m和n的值. 【变式训练】(25-26七年级下·重庆·期中)结合图形，解答下列各题： A D YA A B B M B G 图1 图2 (1)如图1，把直角梯形ABCD按图示平移得到梯形EFGH,其中FG=24,MG=8,CM=6,求阴影部分的 面积。 (2)如图2，在平面直角坐标系中点A(-2,1),B(0,-1),将线段AB平移至A1B1,点A1(a,3),B1(3,b), 过点A作直线l‖x轴，点C(m,n)在直线l上，且AC=4,求√a+3b+n-m的值. 第9页共25页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 考点七已知图形的平移，求点的坐标 【典例精讲】(25-26七年级下广东江门期中)己知点A(a,0),点B(0,b),点C(0,c),且Ia+4+√2-b+ (c+42=0. yA B A D D 图1 图2 (1)求A、B、C三点的坐标： (2)将线段AB平移到线段CD,点A对应点C,点B对应点D. ①如图1，连接BD交x轴于点E(2,0),求三角形CED的面积： ②如图2，点M从原点O出发以2个单位长度/秒的速度沿x轴正方向运动，过点M作AB的平行线交y轴于点N, 在点M运动的过程中始终保持OM=2ON.设点M运动时间为t秒，当三角形AMN的面积等于三角形MNC面 积的两倍时，求t的值， 【变式训练】(25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中)如图，在平面直角坐标系中，已知A(0,3),B(-2,0), C(5,0),平移线段AB至线段CD. W VA O B 图1 图2 图3 (1)直接写出点D的坐标： (2)如图2，当点D在第一象限时，连接AD,点P为四边形OADC内部一点，连接PO,PC,设点P的纵坐标 为t,三角形POC的面积记为S,请用含t的式子表示S: (3)在(2)的条件下，若三角形POA的面积与三角形POC的面积比为6：5，且点P在线段BD上，求点P的 坐标. 第10页共25页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 考点八已知平移后的坐标求原坐标 【典例精讲】(25-26七年级下·福建莆田·期中)如图，将三角形ABC向右平移5个单位长度，再向上 平移3个单位长度.请回答下列问题： (1)平移后的三个顶点坐标分别为：A1(-,_),B1(,-),C1（-,_）; (2)画出平移后三角形A1B1C1: (3)若平移后的三角形A1B1C1内部有任意一点P1(a,b),则平移前对应点的坐标为：P(_,_). 【变式训练】(24-25七年级下福建福州·期中)已知Vb-5+Ib-c-3=0,点A(a,b),B(a-c,b-3), 且a>0. (1)求b,c的值. (②)平移线段AB,点A的对应点M在y轴的正半轴上，点B的对应点N恰好在x轴的负半轴上，点P以每秒3个 单位长度从点M向y轴负半轴运动，同时，点Q以每秒2个单位长度从N点向x轴正半轴运动，直线NP,MQ 交于点D,设点P,Q运动的时间为t秒， ①如图，当1<t<2时，探究三角形MPD的面积和三角形NQD的面积的数量关系，并说明理由： ②若三角形MDN的面积为10，直接写出点D的坐标. 第11页共25页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 考点九坐标系中的平移 【典例精讲】(25-26七年级下辽宁盘锦·期中)如图，在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为A(a,b), B(a,0),且a,b满足Ia一4+V6-b=0,现将线段AB向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度， 得到线段CD,连接AC,BD A 备用图 (1)直接写出坐标：点C（一)，点D(一一) (2)M,N分别是线段AB,CD上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1.5个单位长度，点N从点D 出发向点C运动，速度为每秒1个单位长度，点N的运动时间为t秒. ①若两点同时出发，当t取何值时，MN∥x轴？ ②连接NO,NB,当t取何值时，三角形NOB的面积为？ (3)点P是直线AC上一个动点，连接PD、PB,当点P在直线AC上运动时，请画出图形并直接写出∠BPD与 ∠PDC,∠PBA的数量关系. 第12页共25页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 【变式训练】(25-26七年级下·福建莆田·期中)如图，在平面直角坐标系中，A,B坐标分别为A(0,a)、 B(b,a),且a,b满足：VQ-3+b-5引=0，现同时将点A,B分别向下平移3个单位，再向左平移1个单 位，分别得到点A,B的对应点C,D,连接AC,BD,AB. A B D (1)求C,D两点的坐标及四边形ABDC的面积； (②)点P是线段BD上的一个动点，连接PA,PO,当点P在BD上移动时（不与B,D重合），BAP+DOP的值 ∠APO 是否发生变化，并说明理由： (3)己知点M在y轴上，连接MB、MD,若△MBD的面积与四边形ABDC的面积相等，求点M的坐标. 第13页共25页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 考点十坐标系中的动点问题（不含函数） 【典例精讲】(25-26七年级下·江西南昌·期中)如图，在长方形0ABC中，0为平面直角坐标系的原 点，点A的坐标为(a,0),点C的坐标为(0，b),且a,b满足VQ-4+|b-6=0,点B在第一象限内，点P 从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着0-C-B-A一0的线路移动. A 备用图 (1)a= ,b= 一一，点B的坐标为 (2)当点P移动4s时，点P的坐标为 (3)在移动过程中，当点P到x轴的距离为4个单位长度时，点P移动的时间为 (4)在移动过程中，当三角形PAB的面积等于6时，求点P的坐标. 第14页共25页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 【变式训练】(25-26七年级下·四川南充·期中)在平面直角坐标系中，己知长方形ACDB,其中点A(2,4), 点D(6,-1). 图1 备用图 (1)填空：点B的坐标为， 点C的坐标为 (2)若点P是y轴上的动点，连接PD ①如图1，当点P在y轴正半轴时，线段PD与线段AC相交于点E,用等式表示三角形PEC的面积与三角形ECD 的面积之间的关系，并说明理由： ②当PD将四边形ACDB分成面积相等的两部分时，求点P的坐标. 考点十一中点坐标 【典例精讲】(25-26七年级下·广东汕头·期中)李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学 们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯.下面李老师在“平面直角坐标系中线段 的中点”主题下设计的问题，请你解答， 4 1 -5-4-3-2-10 12345x -2 3 第15页共25页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) (1)观察发现 在下面给出的平面直角坐标系中，描出下列各点：A(1,1),B(5,1),C(-4,-2),D(-4,6),并连接AB,CD,请 写出线段AB的中点坐标： ,线段CD的中点坐标： 24 (2)探究迁移 如果有M(x,y1),N(x2,y2)两点，那么线段MN的中点坐标是 (3)拓展应用 己知三点E(4,-2),F(-3,-1),G(-1,-4),点H(x,y)与点E,F,G中的一个点构成的线段的中点与另外 两个点构成的线段的中点重合，求点H的坐标. 【变式训练】(25-26七年级下·安徽芜湖·期中)综合与实践 基本图形 图1 图2 图3 如图1，在平面直角坐标系中，AB1x轴于点B,点A(a,b)满足VQ-8+Ib+4=0,平移线段AB使点A与 原点O重合，点B的对应点为点C. (1)a= ,b= ,点C的坐标为 拓展延伸 (2)如图2，D是AB的中点，过点D作直线LIIx轴，直线与y轴交于点E,F是线段DE上一点，连接CF,BF.若 三角形BCF的面积为15，求三角形CEF的面积. (3)如图3，以OB为边作∠BOM=2∠OBC,交线段BC于点M,N是线段OB上一动点（不含端点），连接CN 交OM于点P.当点N在线段OB上运动时，OPC-BCN的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，请 ∠AOB 说明理由。 第16页共25页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 考点十二点坐标规律探索 【典例精讲】.(25-26七年级下·黑龙江牡丹江·期中)如图，正方形A1A2A3A4,正方形A5A6A7A8, 正方形AgA1oA11A12,·（每个正方形从第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序，依次记为A1,A2,A3, A4,A5,A6,A7,A8,Ag,A10,A11,A12…)的中心均在坐标原点O,各边均与x轴或y轴平行，若它们 的边长依次是2,4,6…，则顶点As的坐标为 A10 A3 0 A A4 As A8 19 【变式训练】(25-26七年级下·安徽芜湖·阶段检测)在平面直角坐标系中，一个点从(-1,0)开始按图 中箭头所示方向运动，即点的坐标依次为A1(0,1)→A2(1,0)→A3(2,-1)→·→A2026(m,n),由此规律 可得点A2026的坐标为（） A.(2025,0)B.(2026,0) C.(2025,-1) D.(2025,1) 真题汇编能力强化 1.如图，在一次活动中，位于A处的佳佳准备前往相距15m的B处与琪琪会合.请你用方向和距离描述 佳佳相对于琪琪的位置，其中描述正确的是() A.佳佳在琪琪的北偏东50°，15m处 B.佳佳在琪琪的北偏东40°，15m处 C.佳佳在琪琪的南偏西40°，10m处 第17页共25页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) D.佳佳在琪琪的南偏西50°，10m处 2.法国数学家笛卡尔首先建立了坐标思想，从而使数学的两大要素“数”与“形”统一起来.在平面直角 坐标系中，关于点(-2,4)和(2，-4)，下列结论正确的是( A.横坐标相同 B.纵坐标相同 C.所在象限相同 D.到y轴距离相等 3.(25-26七年级下·北京海淀·期中)2026年2月，北京大学董豪教授团队研发的“空间大脑”技术， 让机器人能像人类一样理解空间关系、距离和方位.搭载“空间大脑”技术的机器人从起始位置点0出发， 按以下指令移动：指令1：向北移动4米到点A;指令2：右转90°，向东移动3米到点B;指令3：右转90°， 向南移动2米到点C;指令4：右转90°，向西移动5米到点D.判断下列结论中不正确的是( 精确转动路位 A.直线0A与直线CD垂直 B.直线AB与直线CD平行 C.点D位于点0的北偏东45方向 D.点0与点C之间的距离大于3米 4.(25-26七年级下·四川南充·期中)如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆01， 02,03…组成一条平滑的曲线，点P从原点0出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第 2026秒时，点P的坐标是( A.(2026,0) B.(2025,-1) C.(2025,1) D.(2024,0) 5.(25-26七年级下·全国·期末)如图，在平面直角坐标系中，0A1=1,将边长为1的正方形一边与x 轴重合，按图中规律摆放，其中相邻两个正方形的间距都是1，则点A226的坐标为( 第18页共25页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) yA A2 As Ao Au As As A6 A7 A.(1013,-1)B.(1012,1) C.(1013,1) D.(1012,-1) 6.(25-26七年级下·河南周口·阶段检测)在平面直角坐标系中，有一点A(-2,1),先将点A向右平移3 个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点B,则点B的坐标是 7.(23-24八年级下·四川成都·期末)在平面直角坐标系中，己知点A(-2,0)和B(0,3),将线段AB平移到 线段CD(点A对应点C,点B对应点D),己知点C坐标为(4，一3)，则点D坐标为 8.(25-26七年级下·河北沧州·期中)如图是三艘军舰的位置示意图，己知C舰到A舰的图上距离为4cm, 实际A舰在C舰的正东方向40千米处，B舰到C舰的图上距离为2cm,请通过计算，用方向和距离描述B 舰相对于C舰的实际位置： 9.(25-26七年级下·辽宁鞍山·期中)如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点出发，第1次运动到点 P1(1,1),第2次运动到点P2(2,0),第3次运动到点P3(3,一2)，第4次运动到点P4(4,0),…,按这样的 运动规律，点P2026的坐标是 (1.1) (5,1) (9.1) (2,0) (6,00.0 4.0) 18.0) 12,0)x (3,-2) (7,-2) (11,-2) 10.（25-26七年级下·陕西安康·期中)如图，在平面直角坐标系中，长方形0ACB的顶点坐标分别是0(0,0)， A(3,0),B(0,2),C(3,2),直线AD交边BC于点D,点E在边0B上.若S三角形4cD=S三角形BDE=名S长方形0ACB 则OE的长为 第19页共25页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) D B E 11.在平面直角坐标系中，将横、纵坐标之和为6的点称为“吉祥点”. (1)若点M(-1,m)是“吉祥点”，则m的值为 (2)下列结论正确的是 (写出所有正确结论的序号)， ①第一象限内有无数个“吉祥点”： ②已知点A(-2,1),B(-2,-3),若点P是“吉祥点”且在坐标轴上，则点P到直线AB的距离为8； ③已知点C(-1,-1),D(3,-1),若点Q是第一象限内的“吉祥点”，三角形QCD的面积记为S,则2<S<14, 12.(25-26七年级下·陕西安康·阶段检测)如图，在正方形网格中，标明了学校附近的一些地方，其中 每一个小正方形网格的边长代表1个单位长度.己知学校的坐标为(-3，一1)，体育馆的坐标为(6,1). 超市 电影院 体育馆 学校 (1)请在图中画出这个平面直角坐标系： (2)请直接写出超市和电影院所在位置的坐标. 第20页共25页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 13.(25-26七年级下·吉林松原·期中)如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐 标系.已知三角形ABC的顶点A的坐标为A(-1,3),顶点B的坐标为(-4,2)，顶点C的坐标为(-3,0). (1)把三角形ABC先向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度得到三角形A'B'C',请你画出三角 形A'B'C'(点A、B、C的对应点分别为点A'、B'、C'): (2)请直接写出点A′、B'、C的坐标； (3)己知点M(-3,2)是三角形ABC内部的一点，则平移后的对应点M'的坐标为」 14.(25-26七年级下·湖北恩施·期中)根据指令(s,A)(s≥0，单位：cm,0°≤A<180°)，机器人在 平面上能完成下列动作：先原地逆时针旋转角度A,再面向旋转后角度A的方向，沿直线行走s个单位，如 (2,30)表示机器人由点B运动到点C(如图1)· N 2cm C 3cm 130 机器人初始面对的方向B一0 M机器人初始面对的方向 M 图3 机器人初始面对的方向 图1 图2 (1)如图2，若机器人从M运动到N,则机器人收到一个什么指令？ (2)若机器人接到指令(3,60)运动到点Q处，请你在图3中画出机器人从M到Q的运动路径. 第21页共25页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 15.(25-26七年级下·吉林白山·期中)已知vb-5+b-c-8=0,d为4的算术平方根，在平面直角 坐标系中，点A(a,b),B(a-d,b-3),C(c,0),且a>0. B 图① 图② (1)直接写出b=_ C= d= (2)如图①，当点C在直线AB上时，连接AO,求三角形AC0的面积： (3)平移线段AB,使点A的对应点M在y轴的正半轴上，点B的对应点N恰好在x轴的负半轴上，点P以每秒3 个单位长度从点M向y轴负半轴运动，同时点Q以每秒2个单位长度从N点向x轴正半轴运动，直线NP、MQ 交于点D,设点P、Q运动的时间为t(秒). ①如图②，当1<t<2时，探究三角形MPD的面积和三角形NQD的面积的数量关系，并说明理由： ②若三角形MDN的面积为10，直接写出点D的坐标， 第22页共25页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 16.(25-26七年级下·吉林松原·期中)如图1，在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为A(a,0),B(b,0), 且a,b满足|a+6+√2b-8=0,现将线段AB先向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度得到 线段CD,其中点A对应点为C,点B对应点为D,连接AC,BD D B 图1 图2 备用图 (1)直接写出A,B,C,D四个点的坐标. (2)如图2，点M是线段AC上的一个动点，点N是线段CD上的一个定点，连接MN,MO,当点M在线段AC 上移动时（不与A,C重合），探究∠DNM,∠OMN,∠MOB之间的数量关系，并说明理由. (3)在y轴上存在点P,使△PBC的面积与△ABD的面积相等，直接写出点P的坐标. 17.（25-26七年级下·福建莆田·期中)如图①，在平面直角坐标系中，三角形ABC的项点A在x轴负半 轴上，点B在x轴正半轴上，点C的坐标为(2,2)，点A到y轴的距离等于点C到x轴的距离，AB1BC, B 图① 图② 备用图 (1)求三角形ABC的面积； (2)如图②，过点B作AC的平行线交y轴于点M,作∠CAB和∠OMB的平分线相交于点N,求∠ANM的度数. (3)若点P(m,n)是第二象限内一点，S△4Pc=20,求2n-m的值. 第23页共25页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 18.(25-26七年级下·云南曲靖·阶段检测)新定义：在平面直角坐标系中，过某一点分别作坐标轴的垂 线，若与坐标轴围成的长方形的周长与面积数值相等，则这个点叫做“优美点”，例如，如图1，过点P(4,4) 分别作x轴、y轴的垂线，与坐标轴围成长方形0APB的周长与面积数值均为16，则点P是“优美点”， A 图1 图2 (1)判断点(2,2)是否是“优美点”？说明理由： (2)若点M(-4m)是“优美点”，求m的值： (3)己知点P(a,3)是“优美点”，过点P作PB1y轴于点B,点E在线段PB上，且S△oBE-S△oP=2,求点E 的坐标. 19.(25-26七年级下重庆期中)在平面直角坐标系中，A(m,6),B(m,0),其中m,n满足m-4+Vn-8=0. B B衣 图1 图2 (1)如图1，己知点C(-2,-5),求△ABC的面积： (2)如图2，过点A向y轴作垂线，垂足为D,请问在x轴的上方是否存在点E,使△EAD与△EOB的面积相等， 且△EAB的面积是△EOD面积的3倍？若存在，求出E点坐标；若不存在，请说明理由. 第24页共25页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 20.(25-26七年级下·重庆·期中)如图1，在平面直角坐标系中，己知点A(-6,m),B(n,0),C(-6,0), 其中m和n满足Vm+n-9+V9-m-n=m-n-3,连接AB和AC. y D B衣 B B 图1 图2 图3 (1)点A的坐标为 点B的坐标为 (2)如图2，点D(-3,3)是△ABC内一点，连接AD,动点P从点A出发，沿A→C方向运动到点C,再沿x轴正 方向运动，连接AP,PD,当△APD的面积等于△ABC面积的时，求点P的坐标： (3)如图3，点E(O,3)为y轴上一点，连接BE,将BE绕着点B以每秒6的速度顺时针旋转得BE'，在旋转过 程中，作∠OBE′的三等分线BF'（∠FB0<∠F'BE):同时∠ACB绕着点C以每秒4的速度顺时针旋转 得∠ACB',当B'C和x轴负半轴重合时，∠ACB'立即以原来速度的两倍逆时针旋转；当BE'第二次和x 轴重合时，整个旋转过程停止.请直接写出旋转过程中∠F'BE'的一边与∠A'CB'的一边互相垂直时，旋 转时间t的值. 第25页共25页