（复习篇）专题02 平方根、立方根的性质与实数的运算【思维导图+知识卡片+知识梳理+十七大考点讲练+真题强化 共54题】-2026年人教版数学七升八年级暑假衔接金牌培优讲义

2026-2027学年数学七升八年级暑期学习金牌培优讲义【温故知新篇】 暑假衔接 专题02平方根、立方根的性质与实数的运算 思维导图+知识回顾+十七大考点讲练+真题强化（共54题） 【原卷版】 思维导图 浏览知识知晓考点 技巧点拨 知识梳理方法提炼 考点讲练 重点难点优选题型 真题强化 真题汇编查漏补缺 初中数学 七年级/下册（新教材） 教 版 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 课前指导讲义简介 同学，你好！该份讲义主要以复习人教版新教材七年级下学期内容为主，选取重点难，点专题内 容强化复习，讲义包含导图指引，知识梳理，，高频考点真题讲练，优选题培优训练20题等 四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型， 整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学， 教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 思维导图考点指引 1.平方根 8.实数 定义：如果一个数a的平方等于a, 有理数和无理数统称为实数 那么a叫做a的平方根，记作±Va. (1)实数的分类（按定义分） 表示：±√a读作“a的算术平方根”，a叫做被开方数。 有理数：有限小数或无跟循环小数 范围：只有当a≥0时，a才有平方根。 实数一 (可化为分数) -无理数：无限不循环小数 2.平方根的性质 a a>0 √a=lal={0a=0 厂正数[任充理然 -aa<0 按与0的大小关系分 -0 (Va)2=a(a≥0) 专题02 效[负有 3.平方根小数点位数移动规律 平方根、立方根的 (2)实数与数轴上的点一一对应。 被开方数的小数点向右或向左移动2位， 性质与实数的运算 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之 它的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动1位 任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应。 例如：√62500=250，V625=25.√6.25=2.5， √0.0625=0.25. 9.实数运算 4.立方根的定义 实数的运算与有理数的运算基本一致，但要注意运算顺序和符号问题 如果父=a,那么x叫做a的立方根 求一个数的立方根的运算，叫做开立方。 (1)注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。 5.立方根的性质 7.无理数 (2)运算法则： a=-a a=a (va)=a 有限小数和无限循环小数都称为有理数 ①先算乘方，再算乘除，最后算加减： 无限不循环小数叫无理数， 说明：任何实数都有立方根，且只有一个。 ②同级运算，从左到右进行： 【易错点拨】 ③如果有括号，先算括号里面的. 6.立方根小数点位数移动规律 (1)无理数的特征：无理数的小数部分位数无限 被开方数的小数点向右或向左移动3位， 无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式。 温馨提示 它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动1位。 (2)常见的无理数有三种形式： ①含π类：②看似循环而实质不循环的数， ★平方根中的被开方数必须a≥0 例如：0.000216=0.06,0.216=0.6. 如1331313111，： ★立方根对任何实数都成立： √216=6，√216000=60. ③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽， ★灵活运用性质和小数点移动规律 如√5 可以快速进行估算和简化运算。 常见知识小结 ⑦a≥0时，±√a有两个，互为相反数：√a是非负数 ⑦lal=a(a≥0). (va)=a (a20),(va)"=a(aER). ☑实数包括所有有理数和无理数 |a是数轴上点a到原点的距离 数轴上的点与实数一一对应 知识梳理温故知新 知识点一平方根 1.算术平方根的定义 a的算术平方根记作√a,读作“a的算术平方根”，a叫做被开方数 第2页共22页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 2.平方根的定义 a(a≥0)的平方根的符号表达为±√a(a≥0)，其中√a是a的算术平方根 知识点二平方根的性质 a>0 )0 a=0 -a a<0 (a=a(a≥) 知识点三平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移 a动1位.例如：√62500=250，√625=25，√6.25=2.5,0.0625=0.25 知识点四立方根的定义 如果x=a,那么x叫做a的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方， 知识点五立方根的性质 a=-ia a =a (3a3=a 知识点六立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1 位.例如，30.0002160.06,30.216=0.6,216=6,3216000=60 知识点七无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数， 【易错点拨】 (1)无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数 的形式 （2)常见的无理数有三种形式：①含π类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111… ③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如√5 知识点八实数 有理数和无理数统称为实数， 1.实数的分类 第3页共22页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 按定义分： 有理数：有限小数或无限循环小数 实数 无理数：无限不循环小数 按与0的大小关系分： 正数 正有理数 正无理数 实数0 负数 负有理数 负无理数 2.实数与数轴上的点一一对应 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应 知识点九实数运算 1.注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。 2.运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。 5优选题型考点讲练 考点一利用算术平方根的非负性解题 【典例精讲】(25-26七年级下·天津南开·期中)如果V2x-6与v2+y互为相反数，那么x+y的平方 根是 【变式训练】(25-26七年级下·辽宁大连·期中)探究以下问题： (1)【特例探究】 V52= ,02=-,V(-62=- (2)【规律总结】 对于实数a,当a之0时，a=,当a<0时，Va反=」 (3)【学以致用】 计算：VG-)+G》+-)+…+（。 第4页共22页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 考点二估计算术平方根的取值范围 【典例精讲】(25-26七年级下·重庆·期中)如图是我国古代的指南针，古人称它为司南.当它静止的 时候，勺柄就会指向南方，已知司南的长度与最大宽度的比值为2石-1.与这个比值最接近的整数是 A.3 B.4 C.5 D.6 【变式训练】(25-26七年级下·江苏南通·期中)蓝印花布是中国传统镂空版白浆防染印花工艺品，被 列入国家级非物质文化遗产名录，其以蓝白两色为主，图案朴素优雅，具有深厚的文化底蕴 现有一块长方形蓝印花布面料，长和宽之比为4：3，面料面积为588cm2, (1)求这块长方形蓝印花布面料的长和宽： (2)某工人想用这块面料沿着与边平行的方向裁出一块面积为450cm的正方形布料，他能裁出来吗？请通 过计算说明理由 考点三与算术平方根有关的规律探索题 【典例精讲】(25-26七年级下·江西·阶段检测)根据下表回答下列问题： 14 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7 14.8 14.9 196 198.81 201.64 204.49 207.36 210.25 213.16 216.09 219.04 222.01 (1)V213.16 V20736 V0.020164 (2)√22000与哪个整数最接近？求V2.1的近似值（结果精确到0.01)： (3)若143<√元<144，则满足条件的整数n有 个 【变式训练】，(25-26七年级下·吉林松原·期中)对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不 需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如： -周合1-G-(-方1- 第5页共22页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）： √(10-6)z= ；V7-9)2= (2)当a>b时，√a-b)2 ；当a<b时，√(a-b)2= 3)计算：G-1)+（任-》+√任-}+…+(-o) 考点四算术平方根的实际应用 【典例精讲】(25-26七年级下·福建南平·期中)如图，用两个边长为V18cm的小正方形纸片剪拼成一 个大正方形. (1)求大正方形的边长： (2)若沿着这个大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长宽之比为3：2且面积为12cm的长方形纸片， 若能，求出裁得的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由. 第6页共22页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 【变式训练】(25-26七年级下·湖北恩施·期中)解答下列问题： 图1 图2 图3 (1)如图1，用两个边长为1的小正方形纸片剪拼成一个大正方形.求大正方形的边长： (2)如图2，某同学把长为2，宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图所示的一个正方形，中间部分是一 个小正方形，求小正方形的边长： (3)请在网格中（图3）画出长为√10的线段，并简单说明理由. 考点五与立方根有关的规律探索 【典例精讲】(25-26七年级下·湖南岳阳·期中)观察下表规律，利用规律解答，若0.0237≈0.2872， 则V23.7≈ a 0.008 8 8000 8000000 a0.2 2 20 200 【变式训练】(25-26七年级下·云南昭通·期中)阅读材料：我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看 到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根，华罗庚脱口而出：39. 【发现问题】华罗庚是怎样准确迅速地计算59319的？ 【提出问题】如何快速计算较大完全立方数的立方根？ 【分析问题】 因为103=1000,1003=1000000， 所以V59319是两位数. 0 1 2 3 4 5 6 7 9 3 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 x3的 1 8 7 4 5 6 3 9 第7页共22页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 个位 数字 由上表，因为59319的个位数字是9，所以V59319的个位数字是9. 因为303=27000,403=64000.所以303<59319<403，即59319的十位数字是3.故59319=39. 【解决问题】阅读上面材料回答问题： (1)已知103823是整数的立方，计算103823= (2)已知7921是整数的平方，求√7921的值，并参考阅读材料的分析过程说明理由. 考点六立方根的实际应用 【典例精讲】(25-26七年级下·湖北孝感·期中)将棱长为6cm的正方体铁块在炉火中熔化，重新铸 成8个大小形状相同的长方体铁块，且长方体铁块的长、宽、高的比为1：1：8，求铸成的长方体铁块的长、 宽、高各是多少cm? 【变式训练】(25-26七年级下·广西玉林·期中)跟华罗庚学猜数： 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上 邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望 求它的立方根.华罗庚脱口而出：39，邻座的乘客十分惊奇，忙 问计算的奥妙，你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？ 请按照下面的问题试一试： ①.：1000=10，/1000000=100，又，1000<59319<1000000， ∴.10</59319<100，∴.能确定59319的立方根是个两位数. ②59319的个位数是9，又，93=729，，能确定59319的立方根的个位数是9. 第8页共22页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而V27<59<64,则3</59<4，可得30<V59319< 40,由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39.按这种方法求立方根，请求出 54872的立方根是 考点七算术平方根和立方根的综合应用 【典例精讲】(25-26七年级下·河南安阳·期中)已知x-2的平方根是士2，x+3y-9的立方根是-3. (1)求x,y的值： (2)求x2+y2的平方根. 【变式训练】(25-26七年级下·重庆江津·期中)按要求完成下列各题： (1)若一个正数的两个不同的平方根分别为4一m和2m-7,求这个正数. (2)已知5a+4的立方根是-1，b是V⑧1的算术平方根，求3a+2b的平方根. 考点八计算器-平方根和立方根 【典例精讲】(2024·山东临沂·一模)下列关于计算器的按键说法中，错误的是() A.按键Y 8 显示结果：2 8 B.按键 (-） 2 显示结果：64 C用计算器求(-23)×8的慎时，按键顺序层 2·☐3x8= (-) D.用计算器求(-8)的值时，按键顺序是 8N6 第9页共22页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 【变式训练】如图，某计算器中√□、/风、三个按健，以下是这三个按键的功能 BA II PuS 23567890 aa*i线4t (1) x2 将荧幕显示的数变成它的平方： (2) 1x: 将荧幕显示的数变成它的倒数； (3) 将荧幕显示的数变成它的算术平方根， 小明输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键， 输入xx2☐1x☐E☐ 第一步 第二步第三步 若一开始输入的数据为5，那么第2020步之后，显示的结果是( A.5 B.月 c.店 D.25 考点九无理数整数部分的有关计算 【典例精讲】(25-26七年级下·宁夏吴忠·期中)若正数x的两个平方根是2a+7和a-4,3a+b-9 的立方根是2，c是V6的整数部分. (1)求a、b、c的值： (2)求4a+2b-c+2的平方根， 第10页共22页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 【变式训练】(25-26七年级下·辽宁葫芦岛·期中)已知一个正数的两个平方根分别为2a-4和-3-Q, b是v6的整数部分 (1)求a的值，并求这个正数： (2)求3a+3b的立方根. 考点十实数的性质 【典例精讲】(25-26七年级下河南安阳·阶段检测)阅读回答问题：设m,n是有理数，且满足m+V2n= 3-2√2，求nm的值. 解：由题意，移项得m-3+√2n+2V2=0. 由结合律和分配律得(m-3)+(m+2)V2=0. m,n都是有理数， m-3,n+2也是有理数. √2是无理数， ∴.n+2=0,m-3=0 m=3,n=-2 ·nm=(-2)3=-8 问题：设x,y都是有理数，且满足x+4+V7y=5V7,求x+y的平方根. 【变式训练】(25-26七年级下·山东德州·阶段检测)实数计算 (1）-12+-27-(-2)×V9: (2)(-2)2+2-V3-V3+-64 第11页共22页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 考点十一实数与数轴 【典例精讲】(25-26七年级下·安徽合肥·期中)如图，在数轴上竖直摆放一个直径为2个单位长度的 半圆，该半圆沿数轴从原点O开始向右无滑动地滚动，半圆直径的一个端点从原点O到达点0'（如图）， 则点0'对应的数是 (结果保留π) 【变式训练】(25-26七年级下·广西北海·期中)如图，数轴上表示1，√2的对应点分别为点A,B,A为BC 的中点，设点C表示的数为x,求(x-2)·(2一x)的值. 0CAB→ 考点十二实数的大小比较 【典例精讲】(24-25七年级下·北京朝阳·期中)阅读材料： 小明对不等式的有关知识进行了自主学习，他发现，对于任意两个实数a和b比较大小，有如下规律：若a一 b>0,则a>b;若a一b=0,则a=b:若a-b<0,则a<b.上面的规律，反过来也成立.课上，通 过与老师和其他同学的交流，验证了上面的规律是正确的. 参考小明发现的规律，解决问题： (1)比较大小：3+⑤ √10+√5；（填“<”、“=”或“>”） (2)已知x+2y-2=0,且x<0,若A=5xy+y+1,B=5xy+2y,试比较A和B的大小. 【变式训练】(25-26七年级下·甘肃庆阳·期中)比较大小： 6 }(填“>”“<”或“=”)。 第12页共22页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 考点十三实数的混合运算 【典例精讲】(25-26七年级下·云南曲靖·阶段检测)计算：W2-1+27-√-2)+V2(V2-1) 【变式训练】(25-26七年级下·河南安阳·阶段检测)计算和解方程： (1)计算36--27+V2-3 (②)解方程2x2-日=0 考点十四程序设计与实数运算 【典例精讲】(25-26七年级下·重庆·期中)在如图所示的运算程序中，若输入x的值是729，则输出y 的值是( 是有理数 输入x 取算术是有理数 取立方根 是无理数 平方根 输出y 是无理数 A.V2 B.2 C.3 D.3 【变式训练】(25-26七年级下·山东临沂·期中)如图为一个数值转换器. 否 输入x 取算术平方根→<是有理数吗？ 输出y 是 (1)若输入的x值为5，则输出的y值为一一；若输入的x值为36，则输出的y值为_： (2)若输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为V7,求输入的x的值： (3)某同学输入的非负数x值后，却始终不输出y值，请你分析，他输入的x值是？ 第13页共22页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 考点十五新定义下的实数运算 【典例精讲】(25-26七年级下·重庆开州·期中)对于一个正实数m,我们规定：用符号[Vm表示不大 于√m的最大整数，称[m为m的根整数，如：「V④=2，[√11=3.如果我们对m连续求根整数，直到结 果为1为止.例如：对11连续求根整数2次，[11=3→[3=1，这时候结果为1，又例如：对17连 续求根整数3次，[1可=4→[V4=2→[V2=1,这时候结果为1.现有如下三种说法： ①[V13+[V25=8: ②若[vm=2,则满足题意的整数m有5个： ③只需进行2次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的与最小的和是19. 其中正确的说法有( A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 【变式训练】(25-26七年级下·辽宁大连·期中)小明同学学完《实数》这章知识后，类比平方根、立 方根知识探究四次方根的内容，（士1）4=1，（仕2）4=16， (1)尝试给四次方根下定义：定义：如果x4=a(a≥0)，那么这个数x叫做a的四次方根，记作x=士a; 探究性质：①16的四次方根 ②0的四次方根 ③V-81 (填“存在”或“不存在”) (2)巩固应用： ①比较V600 130(填>、<或=) ②计算：|-64+256×V3-3V3: ③解方程：57-(2x-1)4=-24. 考点十六实数运算的实际应用 【典例精讲】(25-26七年级下·山西大同·期中)阅读下列材料： 材料一：如图1，我们知道，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在 一起，得到的大正方形面积为2×12，其边长√2就是原边长为1的小正方形的对角线长. 材料二：按照国际标准，A系列纸为长方形，其中A0纸的面积为1平方米，将A0纸沿长边对折、剪开，便 成A1纸；将A1纸沿长边对折、剪开，便成A2纸：将A2纸沿长边对折、剪开，便成A3纸；将A3纸沿长 第14页共22页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 边对折、剪开，便成A4纸，如图2，我们日常使用的A4纸就是这样由A0纸多次对折裁开得到的. A, A A A: 图1 图2 将A4纸按如图3所示的方式折叠，则A4纸的长：宽= 图3 请根据材料回答下列问题： (1)A5纸的面积是 平方米 (2)A4纸的长：宽= (3)按照图2的A系列纸生成过程，经过探究发现，A系列纸有一个固定的特点：每一张纸的长与宽之比都 相等.请你估算面积为1平方米的A0纸的长与宽各是多少毫米？（结果取整数，V2≈1.414，V0.7072≈0.841） 【变式训练】(25-26七年级下·陕西榆林·期中)陕北剪纸是国家非物质文化遗产，是扎根黄土高原、 流传千年的经典民间传统艺术.它历史悠久，多在春节、婚嫁等民俗活动中用作窗花、喜花装饰.风格粗 犷古朴、造型简练夸张、大红喜庆，题材涵盖花鸟瑞兽、民俗生活、吉祥纹样，承载着陕北人民对美好生 活的祝愿，是黄土地独有的文化瑰宝.现有一张长方形红色宣纸，长、宽之比为4：3，宣纸面积为588cm2. (1)求宣纸的周长： (2)剪纸匠人想利用这张宣纸裁出一张面积为291cm2的完整圆形纸胚来创作花鸟图，她能够裁出来吗？请 说明理由.（π取3） 第15页共22页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 考点十七与实数运算相关的规律题 【典例精讲】(25-26七年级下·河南信阳·期中)定义：如果一个数的平方等于-1，记为2=-1，这 个数i叫作虚数单位，那么形如a+bi(a,b为实数)的数叫作复数，其中a叫作这个复数的实部，b叫作 这个复数的虚部.复数的运算与整式的运算类似. 例如，计算：(2-i)+(4+3)=(2+4)+（-1+3)i=6+2i: 3=2.i=(-1)·i=-i. 根据以上信息，解决下列问题. (1)填空：4=，泸= (2)计算：(1+)+(3-2i). (3)计算：i+2+3+4+…+2026 【变式训练】(25-26七年级下·河北秦皇岛·期中)同学们，本学期我们认识了无理数，数系从有理数 扩充到实数，有理数的所有运算律对实数都适用.任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为 零的有理数与一个无理数的积为无理数，而0与无理数的积为0.由此可得，如果ax+b=0,其中a,b 为有理数，x为无理数，那么a=0且b=0.运用上述知识，解决下列问题： (1)若(a+3)5+b-2=0,其中a,b为有理数，则a=一-_，b= (2)如果(3+√2a-√2b=6,其中a,b为有理数，求a-5b的立方根. 第16页共22页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 真题汇编能力强化 1.(25-26七年级下·内蒙古·期末)若一个正方形的面积扩大为原来的3倍，则它的边长要扩大为原来 的( )倍 A.3 B.V3 C.2 D.9 2.(25-26七年级下·内蒙古·期末)下列说法正确的是( ) A.负数没有立方根 B.如果一个数有立方根，那么它一定有平方根 C.一个数的立方根有两个，它们互为相反数 D.一个不为0的数的立方根与被开方数同号 3.(25-26七年级下·青海西宁·期中)下列说法中，正确的个数有( ) ①垂直于同一条直线的两条直线平行： ②无理数包括正无理数、0和负无理数： ③带根号的数都是无理数； ④经过直线外一点有且只有一条直线与己知直线平行： ⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 4.(25-26七年级上·浙江湖州·期末)小吴设计了一个如图所示的程序运算，如果输入x的值是8，那么 输出y的值是V2,当输入x的值是27时，输出y的值是( 莎 输入x 取立方根 1是有理数、 取算术平方根 是 →是否为无理数> 输出y A.3 B.-V3 C.3 D.±3 5.下列说法中正确的有( ①相等的角是对顶角；②在同一平面内，若a1b,bIc,则a1c;③W16的平方根是士2：④0的平方根和 立方根都是0：⑤带根号的数都是无理数. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.如图，若数轴上的点A,B分别与实数-√2,2对应，用圆规在数轴上画点C,则与点C对应的实数是 第17页共22页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) A 0 B A.4+V2 B.4-√2 C.2-V2 D.2+V2 7.(24-25七年级上·浙江温州·期末)如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把V2表示在数轴上 点A1处，记A1右侧最近的整数点为B1,以点B1为圆心，A1B1为半径画半圆，交数轴于点A2,记A2右侧最近 的整数点为B2,以点B2为圆心，A2B2为半径画半圆，交数轴于点A3,如此继续，则AgBg的长为() 1A B A2 B2 As A.√2-1 B.V2 C.V2+1 D.2-V2 8.有六个数：0.123，(-1.5)3,3.1416,2 ,-2π，0.2020020002…（相邻的两个2之间依次多一个0）.若 其中无理数的个数为x,非负数的个数为y,则x+y=」 9.若V25.36=5.036,V253.6≈15.906，则V253600= 10.(2025七年级下·全国·专题练习)若将三个数-V3,√⑧，√10表示在数轴上，其中能被如图所示的 墨迹覆盖的数是 -10 3 4 5 11. (25-26七年级下·河南濮阳·期中)根据下面表格中的数据规律，填空： 0.2026 2.026 20.26 202.6 2026 Vx … 0.4501 1.423 4.501 14.23 45.01 派 0.5873 1.265 2.726 5.873 12.65 若Va=m,a=n, 则v100a.0.001a= 12.(25-26七年级下·福建厦门·期中)用an表示距离Vm(n为正整数)最近的正整数.例如：a1表示距 离V1最近的正整数，∴a1=1;a2表示距离V最近的正整数，.a2=1;a3表示距离V3最近的正整数，∴a3= 2.,利用这些发现得到以下结论： ①a8=3; 第18页共22页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) ②am=3时，n的值有5个： ③a1-a2+a3-…+a11-a12=0: ④2+1+…+1=8： al a2 a20 ⑤当1+1+…+1=100时，n的值为2550. a1 a2 an 以上正确的结论有一一·（填序号） 13.(25-26七年级下·吉林松原·期中)计算：V⑧1+一64+1-V2 14.求x的值 (1)(x-1)3+8=0 (2)5(x-1)2=125 15.己知某正数的两个不同的平方根是3a-14和a+2,b+4的立方根是-2，c是V5的整数部分，求a+b+ c的值. 16.(25-26七年级下·山东德州·期中)数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规 律： 1+尽-1+-唇-1+品-原-是… 实践探究： (①按照此规律，计算：、1+-：、1+ 64 (2)计算：」 1+×1+号×1+×…×1+品 100 第19页共22页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 迁移应用： (③)若1+=x符合上述规律，请直接写出x的值： n2 17.（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中)【阅读材料】√<V10<V16,即3<√10<4，.2<√10- 1<3,∴.V10-1的整数部分是2,10-1的小数部分是10-1-2=√10-3. 【解决问题】 (1)√46的整数部分是 一，小数部分是 (2)已知m是V46-6的整数部分，n是√46-6的小数部分，求代数式m-n的值. (3)已知15-√46=p+q,其中p是整数，且0<q<1,求p-q的值. 第20页共22页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 18.(25-26七年级上·湖北恩施·期末)对于一个三位自然数n=abc=100a+10b+c(a,b,c是10 以内的自然数)，若a+c-b=6,则称这个三位数为“好六数”.例如：n=413,因为4+3-1=6， 所以413是“好六数”. (1)判断：352 一一一“好六数”；（填“是”或“不是”） (2)若n=110t+17(t为9以内的正整数)，则n是“好六数”.请将下列说明过程补充完整： 因为m=110t+17=100t+10t+10+7=100t+10(t+1)+7, 所以a=一-，b=一-’C=-一一一-· 所以a+c-b= =6, 所以n是“好六数”. (3)已知三位自然数m是“好六数”，且m=100a+10b-16,p是m去掉其百位数字后的两位数，而q是 m去掉其个位数字后的两位数，请说明p与q的和能被3整除. 19.（25-26七年级下·甘肃陇南期中)小陇在一本数学资料上看到这样一道题：计算3-2+1-3.小 陇的解题过程是这样的：V5-2+1-V3=V3-2+1-V3=-1.他在检查时，发现这个结果有些蹊 跷，两个数的绝对值的和怎么会是负数呢？他百思不得其解。 (1)请你帮小陇检查一下，他在哪里出错了？这个式子的结果应是多少？ (2)试一试，计算：1-V2+2-3+3-2+|2-V5+…+V2025-√2026-√2026， 第21页共22页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 20.(25-26七年级上·河北保定·期末)【阅读理解】 定义：如图，线段MN上一点P将线段AB分成两条线段MP,NP,若MP=2NP或NP=2MP,则称P点为线 段MN的“好点”， ● ● ● M P N M P N (1)如图1，P,P2是线段AB的“好点”，且AB=6cm,则P1P2=一一_cm. A P B 图1 【迁移运用】 (2)如图2，点C,点D是数轴上两点，表示的数分别为-6,3，一动点E从C点出发，以每秒3个单位长度 的速度沿数轴向右运动，运动时间为秒， ①点C,D之间的距离是个单位长度： ②当点E是线段CD的“好点”时，求t的值： ③若在点E出发的同时，点Q从D点出发，以每秒1.5个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点E运动到点D 时，两点同时停止运动.请直接写出点E,D,Q三点中，其中一点是另外两个点确定的线段的“好点”时t的 值. C 6 0 3 图2 第22页共22页2026-2027学年人教版数学七升八年级衔接金牌培优讲义（温故知新） 2026-2027学年数学七升八年级暑期学习金牌培优讲义【温故知新篇】 七年级/下册（新教材） 初中数学 专题02 平方根、立方根的性质与实数的运算 思维导图+知识回顾+十七大考点讲练+真题强化 （共54题） 【原卷版】 人教版 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 暑假衔接 考点讲练练 浏览知识 知晓考点 真题强化 思维导图 技巧点拨 真题汇编 查漏补缺 重点难点 优选题型 知识梳理 方法提炼 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 同学，你好！该份讲义主要以复习人教版新教材七年级下学期内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，知识梳理，，高频考点真题讲练，优选题培优训练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 平方根 1.算术平方根的定义 的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 2.平方根的定义 (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 知识点二 平方根的性质 知识点三 平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 知识点四 立方根的定义 如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 知识点五 立方根的性质 知识点六 立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，. 知识点七 无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 【易错点拨】 （1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 知识点八 实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 知识点九 实数运算 1．注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。 2．运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。 考点一 利用算术平方根的非负性解题 【典例精讲】（25-26七年级下·天津南开·期中）如果与互为相反数，那么的平方根是________． 【变式训练】（25-26七年级下·辽宁大连·期中）探究以下问题： (1)【特例探究】 _______，_______，______． (2)【规律总结】 对于实数a，当时，_______，当时，______． (3)【学以致用】 计算：． 考点二 估计算术平方根的取值范围 【典例精讲】（25-26七年级下·重庆·期中）如图是我国古代的指南针，古人称它为司南．当它静止的时候，勺柄就会指向南方，已知司南的长度与最大宽度的比值为．与这个比值最接近的整数是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式训练】（25-26七年级下·江苏南通·期中）蓝印花布是中国传统镂空版白浆防染印花工艺品，被列入国家级非物质文化遗产名录，其以蓝白两色为主，图案朴素优雅，具有深厚的文化底蕴． 现有一块长方形蓝印花布面料，长和宽之比为，面料面积为． (1)求这块长方形蓝印花布面料的长和宽； (2)某工人想用这块面料沿着与边平行的方向裁出一块面积为的正方形布料，他能裁出来吗？请通过计算说明理由． 考点三 与算术平方根有关的规律探索题 【典例精讲】（25-26七年级下·江西·阶段检测）根据下表回答下列问题： x 14 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7 14.8 14.9 x² 196 198.81 201.64 204.49 207.36 210.25 213.16 216.09 219.04 222.01 (1)_______，__________，__________ (2)与哪个整数最接近？求的近似值（结果精确到0.01）； (3)若，则满足条件的整数n有__________个． 【变式训练】．（25-26七年级下·吉林松原·期中）对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如： 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）； __________；__________； (2)当时，__________；当时，__________； (3)计算：． 考点四 算术平方根的实际应用 【典例精讲】（25-26七年级下·福建南平·期中）如图，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大正方形． (1)求大正方形的边长； (2)若沿着这个大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片，若能，求出裁得的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 【变式训练】（25-26七年级下·湖北恩施·期中）解答下列问题： (1)如图1，用两个边长为1的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．求大正方形的边长； (2)如图2，某同学把长为2，宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图所示的一个正方形，中间部分是一个小正方形，求小正方形的边长； (3)请在网格中（图3）画出长为的线段，并简单说明理由． 考点五 与立方根有关的规律探索 【典例精讲】（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）观察下表规律，利用规律解答，若，则_________． 0.008 8 8000 8000000 0.2 2 20 200 【变式训练】（25-26七年级下·云南昭通·期中）阅读材料：我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根，华罗庚脱口而出：39． 【发现问题】华罗庚是怎样准确迅速地计算59319的？ 【提出问题】如何快速计算较大完全立方数的立方根？ 【分析问题】 因为，， 所以是两位数． 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 的个位数字 0 1 8 7 4 5 6 3 2 9 由上表，因为59319的个位数字是9，所以的个位数字是9． 因为，．所以，即的十位数字是3．故． 【解决问题】阅读上面材料回答问题： (1)已知103823是整数的立方，计算___________； (2)已知7921是整数的平方，求的值，并参考阅读材料的分析过程说明理由． 考点六 立方根的实际应用 【典例精讲】（25-26七年级下·湖北孝感·期中）将棱长为的正方体铁块在炉火中熔化，重新铸成8个大小形状相同的长方体铁块，且长方体铁块的长、宽、高的比为，求铸成的长方体铁块的长、宽、高各是多少？ 【变式训练】（25-26七年级下·广西玉林·期中）跟华罗庚学猜数： 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： ①∵，，又∵， ∴，∴能确定的立方根是个两位数． ②的个位数是，又∵，∴能确定的立方根的个位数是． ③如果划去后面的三位319得到数，而，则，可得，由此能确定的立方根的十位数是，因此的立方根是．按这种方法求立方根，请求出的立方根是_______． 考点七 算术平方根和立方根的综合应用 【典例精讲】（25-26七年级下·河南安阳·期中）已知的平方根是，的立方根是． (1)求的值； (2)求的平方根． 【变式训练】（25-26七年级下·重庆江津·期中）按要求完成下列各题： (1)若一个正数的两个不同的平方根分别为和，求这个正数． (2)已知的立方根是，是的算术平方根，求的平方根． 考点八 计算器-平方根和立方根 【典例精讲】（2024·山东临沂·一模）下列关于计算器的按键说法中，错误的是（   ） A．按键显示结果：2 B．按键显示结果：64 C．用计算器求的值时，按键顺序是 D．用计算器求的值时，按键顺序是 【变式训练】如图，某计算器中、、三个按健，以下是这三个按键的功能． （1）：将荧幕显示的数变成它的平方； （2）：将荧幕显示的数变成它的倒数； （3）：将荧幕显示的数变成它的算术平方根． 小明输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键． 若一开始输入的数据为5，那么第2020步之后，显示的结果是（    ） A．5 B． C． D．25 考点九 无理数整数部分的有关计算 【典例精讲】（25-26七年级下·宁夏吴忠·期中）若正数的两个平方根是和，的立方根是，是的整数部分． (1)求、、的值； (2)求的平方根． 【变式训练】（25-26七年级下·辽宁葫芦岛·期中）已知一个正数的两个平方根分别为和，是的整数部分． (1)求的值，并求这个正数； (2)求的立方根． 考点十 实数的性质 【典例精讲】（25-26七年级下·河南安阳·阶段检测）阅读回答问题：设m，n是有理数，且满足，求的值． 解：由题意，移项得． 由结合律和分配律得． 都是有理数， 也是有理数． 是无理数， 问题：设x，y都是有理数，且满足，求的平方根． 【变式训练】（25-26七年级下·山东德州·阶段检测）实数计算 (1) ； (2)． 考点十一 实数与数轴 【典例精讲】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）如图，在数轴上竖直摆放一个直径为2个单位长度的半圆，该半圆沿数轴从原点O开始向右无滑动地滚动，半圆直径的一个端点从原点O到达点（如图），则点对应的数是______．（结果保留） 【变式训练】（25-26七年级下·广西北海·期中）如图，数轴上表示的对应点分别为点，为的中点．设点表示的数为，求的值． 考点十二 实数的大小比较 【典例精讲】（24-25七年级下·北京朝阳·期中）阅读材料： 小明对不等式的有关知识进行了自主学习，他发现，对于任意两个实数a和b比较大小，有如下规律：若，则；若，则；若，则．上面的规律，反过来也成立．课上，通过与老师和其他同学的交流，验证了上面的规律是正确的． 参考小明发现的规律，解决问题： (1)比较大小：________；（填“<”、“=”或“>”） (2)已知，且，若，，试比较A和B的大小． 【变式训练】（25-26七年级下·甘肃庆阳·期中）比较大小：________（填“>”“<”或“=”）． 考点十三 实数的混合运算 【典例精讲】（25-26七年级下·云南曲靖·阶段检测）计算：． 【变式训练】（25-26七年级下·河南安阳·阶段检测）计算和解方程： (1) 计算 (2)解方程 考点十四 程序设计与实数运算 【典例精讲】（25-26七年级下·重庆·期中）在如图所示的运算程序中，若输入的值是729，则输出的值是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级下·山东临沂·期中）如图为一个数值转换器． (1)若输入的值为，则输出的值为______；若输入的值为，则输出的值为______； (2)若输入值后，经过两次取算术平方根运算，输出的值为，求输入的的值； (3)某同学输入的非负数值后，却始终不输出值，请你分析，他输入的值是？ 考点十五 新定义下的实数运算 【典例精讲】（25-26七年级下·重庆开州·期中）对于一个正实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，如：，．如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对11连续求根整数2次，，这时候结果为1，又例如：对17连续求根整数3次，，这时候结果为1．现有如下三种说法： ①； ②若，则满足题意的整数有5个； ③只需进行2次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的与最小的和是19． 其中正确的说法有（     ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【变式训练】（25-26七年级下·辽宁大连·期中）小明同学学完《实数》这章知识后，类比平方根、立方根知识探究四次方根的内容，，． (1)尝试给四次方根下定义：定义：如果，那么这个数叫做的四次方根，记作； 探究性质： 的四次方根________； 的四次方根________； ________（填“存在”或“不存在”） (2)巩固应用： 比较________（填、或） 计算：； 解方程：． 考点十六 实数运算的实际应用 【典例精讲】（25-26七年级下·山西大同·期中）阅读下列材料： 材料一：如图1，我们知道，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到的大正方形面积为，其边长就是原边长为1的小正方形的对角线长． 材料二：按照国际标准，系列纸为长方形，其中A0纸的面积为1平方米，将A0纸沿长边对折、剪开，便成A1纸；将A1纸沿长边对折、剪开，便成A2纸；将A2纸沿长边对折、剪开，便成A3纸；将A3纸沿长边对折、剪开，便成A4纸，如图2，我们日常使用的A4纸就是这样由A0纸多次对折裁开得到的． 将A4纸按如图3所示的方式折叠，则A4纸的长宽__________． 请根据材料回答下列问题： (1)A5纸的面积是__________平方米． (2)A4纸的长宽__________． (3)按照图2的系列纸生成过程，经过探究发现，系列纸有一个固定的特点：每一张纸的长与宽之比都相等．请你估算面积为1平方米的A0纸的长与宽各是多少毫米？（结果取整数，） 【变式训练】（25-26七年级下·陕西榆林·期中）陕北剪纸是国家非物质文化遗产，是扎根黄土高原、流传千年的经典民间传统艺术．它历史悠久，多在春节、婚嫁等民俗活动中用作窗花、喜花装饰．风格粗犷古朴、造型简练夸张、大红喜庆，题材涵盖花鸟瑞兽、民俗生活、吉祥纹样，承载着陕北人民对美好生活的祝愿，是黄土地独有的文化瑰宝．现有一张长方形红色宣纸，长、宽之比为，宣纸面积为． (1)求宣纸的周长； (2)剪纸匠人想利用这张宣纸裁出一张面积为的完整圆形纸胚来创作花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 考点十七 与实数运算相关的规律题 【典例精讲】（25-26七年级下·河南信阳·期中）定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫作虚数单位，那么形如（a，b为实数）的数叫作复数，其中a叫作这个复数的实部，b叫作这个复数的虚部．复数的运算与整式的运算类似． 例如，计算：； ． 根据以上信息，解决下列问题． (1)填空：______，______ (2)计算：． (3)计算： 【变式训练】（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）同学们，本学期我们认识了无理数，数系从有理数扩充到实数，有理数的所有运算律对实数都适用．任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而0与无理数的积为0．由此可得，如果，其中，为有理数，为无理数，那么且．运用上述知识，解决下列问题： (1)若，其中，为有理数，则________，________； (2)如果，其中，为有理数，求的立方根． 1．（25-26七年级下·内蒙古·期末）若一个正方形的面积扩大为原来的倍，则它的边长要扩大为原来的（     ）倍 A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·内蒙古·期末）下列说法正确的是（     ） A．负数没有立方根 B．如果一个数有立方根，那么它一定有平方根 C．一个数的立方根有两个，它们互为相反数 D．一个不为的数的立方根与被开方数同号 3．（25-26七年级下·青海西宁·期中）下列说法中，正确的个数有（     ） ①垂直于同一条直线的两条直线平行； ②无理数包括正无理数、0和负无理数； ③带根号的数都是无理数； ④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； ⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（25-26七年级上·浙江湖州·期末）小吴设计了一个如图所示的程序运算，如果输入的值是8，那么输出的值是，当输入的值是27时，输出的值是（   ） A．3 B． C． D． 5．下列说法中正确的有（    ） ①相等的角是对顶角；②在同一平面内，若，，则；③的平方根是；④的平方根和立方根都是；⑤带根号的数都是无理数． A．个 B．个 C．个 D．个 6．如图，若数轴上的点，分别与实数，对应，用圆规在数轴上画点，则与点对应的实数是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（    ） A． B． C． D． 8．有六个数：，，，，，（相邻的两个2之间依次多一个0）．若其中无理数的个数为x，非负数的个数为y，则______． 9．若 则 _______________． 10．（2025七年级下·全国·专题练习）若将三个数，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是______． 11．（25-26七年级下·河南濮阳·期中）根据下面表格中的数据规律，填空： x … 0.2026 2.026 20.26 202.6 2026 … … 0.4501 1.423 4.501 14.23 45.01 … … 0.5873 1.265 2.726 5.873 12.65 … 若，，则_______． 12．（25-26七年级下·福建厦门·期中）用表示距离（为正整数）最近的正整数．例如：表示距离最近的正整数，；表示距离最近的正整数，；表示距离最近的正整数，，利用这些发现得到以下结论： ①； ②时，的值有5个； ③； ④； ⑤当时，的值为2550． 以上正确的结论有_____．（填序号） 13．（25-26七年级下·吉林松原·期中）计算： 14．求x的值 (1) (2) 15．已知某正数的两个不同的平方根是和，的立方根是，是的整数部分，求的值． 16．（25-26七年级下·山东德州·期中）数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ，，；… 实践探究： (1)按照此规律，计算： ； ； (2)计算：； 迁移应用： (3)若符合上述规律，请直接写出x的值： ． 17．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）【阅读材料】，即，，的整数部分是，的小数部分是． 【解决问题】 (1)的整数部分是__________，小数部分是__________； (2)已知是的整数部分，是的小数部分，求代数式的值． (3)已知，其中是整数，且，求的值． 18．（25-26七年级上·湖北恩施·期末）对于一个三位自然数（a，b，c是10以内的自然数），若，则称这个三位数为“好六数”．例如：，因为，所以413是“好六数”． (1)判断：352________“好六数”；（填“是”或“不是”） (2)若（t为9以内的正整数），则n是“好六数”．请将下列说明过程补充完整： 因为， 所以________，________，________． 所以________， 所以n是“好六数”． (3)已知三位自然数m是“好六数”，且，p是m去掉其百位数字后的两位数，而q是m去掉其个位数字后的两位数，请说明p与q的和能被3整除． 19．（25-26七年级下·甘肃陇南·期中）小陇在一本数学资料上看到这样一道题：计算．小陇的解题过程是这样的：．他在检查时，发现这个结果有些蹊跷，两个数的绝对值的和怎么会是负数呢？他百思不得其解． (1)请你帮小陇检查一下，他在哪里出错了？这个式子的结果应是多少？ (2)试一试，计算：． 20．（25-26七年级上·河北保定·期末）【阅读理解】 定义：如图，线段上一点将线段分成两条线段，，若或，则称点为线段的“好点”． （1）如图是线段的“好点”，且，则_____． 【迁移运用】 （2）如图2，点，点是数轴上两点，表示的数分别为，3，一动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，运动时间为秒． ①点，之间的距离是_____个单位长度； ②当点是线段的“好点”时，求的值； ③若在点出发的同时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点运动到点时，两点同时停止运动．请直接写出点三点中，其中一点是另外两个点确定的线段的“好点”时的值． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null2026-2027学年人教版数学七升八年级衔接金牌培优讲义（温故知新） 2026-2027学年数学七升八年级暑期学习金牌培优讲义【温故知新篇】 七年级/下册（新教材） 初中数学 专题02 平方根、立方根的性质与实数的运算 思维导图+知识回顾+十七大考点讲练+真题强化 （共54题） 【解析版】 人教版 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 暑假衔接 考点讲练练 浏览知识 知晓考点 真题强化 思维导图 技巧点拨 真题汇编 查漏补缺 重点难点 优选题型 知识梳理 方法提炼 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 同学，你好！该份讲义主要以复习人教版新教材七年级下学期内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，知识梳理，，高频考点真题讲练，优选题培优训练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 平方根 1.算术平方根的定义 的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 2.平方根的定义 (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 知识点二 平方根的性质 知识点三 平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 知识点四 立方根的定义 如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 知识点五 立方根的性质 知识点六 立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，. 知识点七 无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 【易错点拨】 （1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 知识点八 实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 知识点九 实数运算 1．注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。 2．运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。 考点一 利用算术平方根的非负性解题 【典例精讲】（25-26七年级下·天津南开·期中）如果与互为相反数，那么的平方根是________． 【答案】 【规范解答】解：与互为相反数， ， 又，，且，， ∴，， ，， 解得，， ， ∵的平方根为， ∴的平方根是． 【变式训练】（25-26七年级下·辽宁大连·期中）探究以下问题： (1)【特例探究】 _______，_______，______． (2)【规律总结】 对于实数a，当时，_______，当时，______． (3)【学以致用】 计算：． 【答案】(1)5，0，6 (2)a， (3) 【思路引导】（1）根据算术平方根的性质即可求出各数的值； （2）根据正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数，求解即可． （3）运用（2）得出的规律进行运算即可． 【规范解答】（1）解：，，． （2）解：根据算术平方根的非负性，， 当时，； 当时，． （3）解：∵，，，， ∴ ． 考点二 估计算术平方根的取值范围 【典例精讲】（25-26七年级下·重庆·期中）如图是我国古代的指南针，古人称它为司南．当它静止的时候，勺柄就会指向南方，已知司南的长度与最大宽度的比值为．与这个比值最接近的整数是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【思路引导】估算出的范围，即可得出结果. 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴， 故这个比值最接近的整数是4. 【变式训练】（25-26七年级下·江苏南通·期中）蓝印花布是中国传统镂空版白浆防染印花工艺品，被列入国家级非物质文化遗产名录，其以蓝白两色为主，图案朴素优雅，具有深厚的文化底蕴． 现有一块长方形蓝印花布面料，长和宽之比为，面料面积为． (1)求这块长方形蓝印花布面料的长和宽； (2)某工人想用这块面料沿着与边平行的方向裁出一块面积为的正方形布料，他能裁出来吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1) 长为，宽为 (2) 不能裁出来，理由见解析 【思路引导】（1）根据长宽比例设未知数，利用长方形面积公式列方程求解，得到长和宽的值； （2）先根据正方形面积求出边长，再将边长和长方形的宽比较大小，判断能否裁出，用到长方形，正方形面积公式和算术平方根的性质． 【规范解答】（1）解 ：设这块长方形蓝印花布面料的长为，宽为，其中 已知面料面积为，根据长方形面积公式可得： 整理得 化简得 因为， 所以 因此长为，宽为。 这块面料长为，宽为 ； （2）解：设裁出的正方形布料边长为，其中 已知正方形面积为，可得： 因为， 所以 因为长方形面料的宽为，且，， 所以， 即正方形边长大于长方形面料的宽， 因此不能裁出来 答：他不能裁出来符合要求的正方形布料． 考点三 与算术平方根有关的规律探索题 【典例精讲】（25-26七年级下·江西·阶段检测）根据下表回答下列问题： x 14 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7 14.8 14.9 x² 196 198.81 201.64 204.49 207.36 210.25 213.16 216.09 219.04 222.01 (1)_______，__________，__________ (2)与哪个整数最接近？求的近似值（结果精确到0.01）； (3)若，则满足条件的整数n有__________个． 【答案】(1)14.6；144；0.142 (2)148；1.45 (3)286 【思路引导】观察表格中数据，找到对应的数据即可解决问题． 【规范解答】（1）解：观察表格中数据，发现：当时，， ∴； 当时，， ∴； 当时，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵22000与21904更接近， ∴与最接近的整数是148； ∵，且2.1与2.1025更接近， 且， ∴； （3）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴整数n的个数为：． 【变式训练】．（25-26七年级下·吉林松原·期中）对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如： 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）； __________；__________； (2)当时，__________；当时，__________； (3)计算：． 【答案】(1)； (2)； (3) 【思路引导】（1）仿照例题进行解答即可； （2）根据题意，结合（1），进行解答即可； （3）化简算术平方根，再进行求和即可． 【规范解答】（1）解：根据题意可得，． （2）解：当时，；当时，． （3）原式 ． 考点四 算术平方根的实际应用 【典例精讲】（25-26七年级下·福建南平·期中）如图，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大正方形． (1)求大正方形的边长； (2)若沿着这个大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片，若能，求出裁得的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能，长为，宽为 【思路引导】（1）根据已知正方形的面积求出大正方形的边长即可； （2）先求出长方形的边长，利用长与正方形边长比较大小再判断即可． 【规范解答】（1）解：由题意可得大正方形的面积为， 所以大正方形的边长为； （2）能，理由如下： 设裁得的长方形的纸片的长为，宽为， 由题意可得，， 解得：， ， ， ， ， ， 能裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片． 【变式训练】（25-26七年级下·湖北恩施·期中）解答下列问题： (1)如图1，用两个边长为1的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．求大正方形的边长； (2)如图2，某同学把长为2，宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图所示的一个正方形，中间部分是一个小正方形，求小正方形的边长； (3)请在网格中（图3）画出长为的线段，并简单说明理由． 【答案】(1)大正方形的边长为 (2)小正方形的边长为 (3)见解析 【思路引导】（1）首先得到大正方形的面积为2，然后求出边长即可； （2）首先得到中间正方形的面积为5，然后求出边长即可； （3）仿（2）的构造方法得到正方形的面积为10，进而得到边长，，，的长为． 【规范解答】（1）解：∵用两个边长为1的小正方形纸片剪拼成一个大正方形 ∴大正方形的面积两个边长为1的小正方形的面积和 ∴大正方形的边长为； （2）解：根据题意得，中间正方形的面积为， ∴中间小正方形的边长为； （3）解：如图，，，，的长为； 仿（2）的构造方法，原网格图形面积为16个平方单位， ∴正方形的面积 ∴正方形的边长为， ∴，，，的长为． 考点五 与立方根有关的规律探索 【典例精讲】（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）观察下表规律，利用规律解答，若，则_________． 0.008 8 8000 8000000 0.2 2 20 200 【答案】2.872 【思路引导】根据表格中的数据可知，被开立方的数的小数点每向右移动3位，立方根的小数点向右移动1位，解答即可． 【规范解答】解：， ． 【变式训练】（25-26七年级下·云南昭通·期中）阅读材料：我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根，华罗庚脱口而出：39． 【发现问题】华罗庚是怎样准确迅速地计算59319的？ 【提出问题】如何快速计算较大完全立方数的立方根？ 【分析问题】 因为，， 所以是两位数． 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 的个位数字 0 1 8 7 4 5 6 3 2 9 由上表，因为59319的个位数字是9，所以的个位数字是9． 因为，．所以，即的十位数字是3．故． 【解决问题】阅读上面材料回答问题： (1)已知103823是整数的立方，计算___________； (2)已知7921是整数的平方，求的值，并参考阅读材料的分析过程说明理由． 【答案】(1)47 (2)，理由见解析 【思路引导】（1）先确定是两位数，分别依据材料内容确定个位上的数字和十位上的数字即可； （2）思路方法同（1）． 【规范解答】（1）解：因为，，且，所以是两位数； 因为103823的个位数字是3，所以的个位数字是7， 因为，，且， ∴的十位数字是4． 因此； （2）解：因为，， 所以是两位数； 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 的个位数字 0 1 4 9 6 5 6 9 4 1 由上表，因为7921的个位数字是1，所以的个位数字是1或9， 因为，即，所以的十位数字是8， 故的值可能是81或89， ∵，， ∴， 所以． 考点六 立方根的实际应用 【典例精讲】（25-26七年级下·湖北孝感·期中）将棱长为的正方体铁块在炉火中熔化，重新铸成8个大小形状相同的长方体铁块，且长方体铁块的长、宽、高的比为，求铸成的长方体铁块的长、宽、高各是多少？ 【答案】长方体铁块的长、宽、高分别为，和． 【思路引导】设铸成的长方体铁块的长、宽、高分别为，，．根据“将棱长为的正方体铁块在炉火中熔化，重新铸成8个大小形状相同的长方体铁块”列方程求解即可． 【规范解答】解：设铸成的长方体铁块的长、宽、高分别为，，． 则， ∴， ∴， ∴， ∴． 答：长方体铁块的长、宽、高分别为，和． 【变式训练】（25-26七年级下·广西玉林·期中）跟华罗庚学猜数： 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： ①∵，，又∵， ∴，∴能确定的立方根是个两位数． ②的个位数是，又∵，∴能确定的立方根的个位数是． ③如果划去后面的三位319得到数，而，则，可得，由此能确定的立方根的十位数是，因此的立方根是．按这种方法求立方根，请求出的立方根是_______． 【答案】 【思路引导】先判断它们的立方根是几位数，再判断个位、十位上的数字，得结论． 【规范解答】①∵，， 又∵， ∴，∴能确定的立方根是个两位数． ②的个位数是，又∵，∴能确定的立方根的个位数是． ③如果划去后面的三位得到数，而，则，可得，由此能确定的立方根的十位数是，因此的立方根是． 考点七 算术平方根和立方根的综合应用 【典例精讲】（25-26七年级下·河南安阳·期中）已知的平方根是，的立方根是． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)；； (2)． 【思路引导】（1）根据平方根和立方根的性质求解即可； （2）先求出，再根据平方根的性质求解即可． 【规范解答】（1）∵的平方根是， ∴， 解得：， ∵的立方根是， ∴，即， 解得：； （2）∵， ∴的平方根为． 【变式训练】（25-26七年级下·重庆江津·期中）按要求完成下列各题： (1)若一个正数的两个不同的平方根分别为和，求这个正数． (2)已知的立方根是，是的算术平方根，求的平方根． 【答案】(1)1 (2) 【思路引导】本题考查了平方根和立方根的性质： （1）根据正数的两个不同的平方根互为相反数列方程求解； （2）根据立方根和算术平方根求出，代入代数式求解． 【规范解答】（1）解： 这个正数的其中一个平方根为， 这个正数为． （2）解：根据题意得， ， 解得； ， 的算术平方根为， 即， ， 的平方根为． 考点八 计算器-平方根和立方根 【典例精讲】（2024·山东临沂·一模）下列关于计算器的按键说法中，错误的是（   ） A．按键显示结果：2 B．按键显示结果：64 C．用计算器求的值时，按键顺序是 D．用计算器求的值时，按键顺序是 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了利用计算器进行有理数的相关运算，解题的关键是掌握科学计算器中各按键的功能． 根据计算器的按键对应的功能即可求解． 【规范解答】 解：A．按键显示结果：2，正确，不符合题意； B．按键显示结果：64，正确，不符合题意；     C．用计算器求的值时，按键顺序是，正确，不符合题意； D．用计算器求的值时，按键顺序是，故原选项错误，符合题意． 故选：D． 【变式训练】如图，某计算器中、、三个按健，以下是这三个按键的功能． （1）：将荧幕显示的数变成它的平方； （2）：将荧幕显示的数变成它的倒数； （3）：将荧幕显示的数变成它的算术平方根． 小明输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键． 若一开始输入的数据为5，那么第2020步之后，显示的结果是（    ） A．5 B． C． D．25 【答案】C 【思路引导】本题考查了计算器-数的开方和找数字的规律，弄清程序中的运算是解本题的关键．根据题中的按键顺序确定出显示的数的规律，即可得出结论． 【规范解答】解：根据题意得：第一步为， 第二步为， 第三步为， 第四步为， 第五步为， 第六步为，… 综上所述，是6个数字一个循环， ∵， ∴按了第2020下后荧幕显示的数是， 故选：C． 考点九 无理数整数部分的有关计算 【典例精讲】（25-26七年级下·宁夏吴忠·期中）若正数的两个平方根是和，的立方根是，是的整数部分． (1)求、、的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)；； (2) 【思路引导】（1）根据平方根的定义，立方根的定义求出a，b的值，再估计的大小即可求出c的值即可． （2）把，，，代入计算得出结果，再求平方根即可． 【规范解答】（1）解：∵正数的两个平方根是和， ∴， 解得， ∵的立方根是， ∴， 把代入得，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：， ∴的平方根是． 【变式训练】（25-26七年级下·辽宁葫芦岛·期中）已知一个正数的两个平方根分别为和，是的整数部分． (1)求的值，并求这个正数； (2)求的立方根． 【答案】(1)，这个正数为100； (2)3； 【思路引导】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数，列出关于a的方程求出a的值，进而求出这个正数； （2）先根据无理数的估算，求得b的值，再把a，b的值代入中进行计算，最后求出它的立方根即可解答． 【规范解答】（1）解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是和， ∴， 解得， ∴， ∴这个正数是100， （2）解：∵， ∴， ∵b是的整数部分， ∴； 当，时， ， ∴的立方根． 考点十 实数的性质 【典例精讲】（25-26七年级下·河南安阳·阶段检测）阅读回答问题：设m，n是有理数，且满足，求的值． 解：由题意，移项得． 由结合律和分配律得． 都是有理数， 也是有理数． 是无理数， 问题：设x，y都是有理数，且满足，求的平方根． 【答案】 【思路引导】根据实数的性质移项可得，再进一步求解即可． 【规范解答】解：由题意，移项得， ，都是有理数， 也是有理数， 是无理数， ， ， ， 的平方根是． 【变式训练】（25-26七年级下·山东德州·阶段检测）实数计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 考点十一 实数与数轴 【典例精讲】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）如图，在数轴上竖直摆放一个直径为2个单位长度的半圆，该半圆沿数轴从原点O开始向右无滑动地滚动，半圆直径的一个端点从原点O到达点（如图），则点对应的数是______．（结果保留） 【答案】/ 【思路引导】根据题意得，点对应的数为该半圆的周长，即可． 【规范解答】解：点对应的数是半圆周长，为直径半圆弧长，即． 【变式训练】（25-26七年级下·广西北海·期中）如图，数轴上表示的对应点分别为点，为的中点．设点表示的数为，求的值． 【答案】 【思路引导】根据为的中点得，即，可得，然后用整体代入法求解即可． 【规范解答】解：， ∵为的中点， ∴，即， ∴， ∴． 考点十二 实数的大小比较 【典例精讲】（24-25七年级下·北京朝阳·期中）阅读材料： 小明对不等式的有关知识进行了自主学习，他发现，对于任意两个实数a和b比较大小，有如下规律：若，则；若，则；若，则．上面的规律，反过来也成立．课上，通过与老师和其他同学的交流，验证了上面的规律是正确的． 参考小明发现的规律，解决问题： (1)比较大小：________；（填“<”、“=”或“>”） (2)已知，且，若，，试比较A和B的大小． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）两数作差，根据可求； （2）根据，且，求得，两式作差进而求解． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式训练】（25-26七年级下·甘肃庆阳·期中）比较大小：________（填“>”“<”或“=”）． 【答案】 【思路引导】将两个分数化为同分母分数，通过比较分子大小得到两个数的大小关系，可通过平方法比较无理数和整数的大小. 【规范解答】解：对通分，得 . 比较分子和的大小： ，. 因为，所以. 因此，即. 考点十三 实数的混合运算 【典例精讲】（25-26七年级下·云南曲靖·阶段检测）计算：． 【答案】 【规范解答】解： . 【变式训练】（25-26七年级下·河南安阳·阶段检测）计算和解方程： (1)计算 (2)解方程 【答案】(1) (2) 【规范解答】（1）解：原式 （2）解：， ∴， ∴ ， 解得：． 考点十四 程序设计与实数运算 【典例精讲】（25-26七年级下·重庆·期中）在如图所示的运算程序中，若输入的值是729，则输出的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据流程图，列出算式进行计算即可． 【规范解答】解：当输入的值是729时，取算术平方根得， 27是有理数，再取立方根得， 3是有理数，再取算术平方根得， 由于是无理数， 所以输出的值是． 【变式训练】（25-26七年级下·山东临沂·期中）如图为一个数值转换器． (1)若输入的值为，则输出的值为______；若输入的值为，则输出的值为______； (2)若输入值后，经过两次取算术平方根运算，输出的值为，求输入的的值； (3)某同学输入的非负数值后，却始终不输出值，请你分析，他输入的值是？ 【答案】(1)； (2) (3)或 【思路引导】（1）由数值转换器得到的式子，将值代入计算即可； （2）逆向运用数值转换器计算即可； （3）由题意得出取算术平方根始终为有理数，再由的算术平方根是其本身即可得到答案． 【规范解答】（1）解：由图中的数值转换器得到式子， 当时，；当时，，再将代入得； （2）解：当时，，则； （3）解：由于始终不输出，说明取算术平方根始终为有理数，根据的算术平方根是其本身， ∴当或1时，始终输不出值． 考点十五 新定义下的实数运算 【典例精讲】（25-26七年级下·重庆开州·期中）对于一个正实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，如：，．如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对11连续求根整数2次，，这时候结果为1，又例如：对17连续求根整数3次，，这时候结果为1．现有如下三种说法： ①； ②若，则满足题意的整数有5个； ③只需进行2次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的与最小的和是19． 其中正确的说法有（     ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【思路引导】根据根整数的定义，结合无理数的估算逐一判断三个说法即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴根据定义得， ∴平方得， ∵是整数， ∴的取值为，共个，故②正确； 由题意，只需进行次运算得，即第二次运算结果满足对运算一次得，且第一次不能直接得到， ∵， ∴，即， 若，则，只需次运算，不符合要求，因此可取； 最小满足，得，最小正整数； 最大满足，得，最大正整数； ∴最大值与最小值的和为，故③正确； 综上，三个说法都正确． 【变式训练】（25-26七年级下·辽宁大连·期中）小明同学学完《实数》这章知识后，类比平方根、立方根知识探究四次方根的内容，，． (1)尝试给四次方根下定义：定义：如果，那么这个数叫做的四次方根，记作； 探究性质： 的四次方根________； 的四次方根________； ________（填“存在”或“不存在”） (2)巩固应用： 比较________（填、或） 计算：； 解方程：． 【答案】(1) ； ；不存在； (2) ； ； 或． 【思路引导】（）根据四次方根即可求解； 根据四次方根即可求解； 根据四次方根即可求解； （）利用无理数的估算方法即可较大小； 根据四次方根和立方根定义即可求解； 根据四次方根即可求解． 【规范解答】（1）解：∵， ∴的四次方根是， 故答案为：； ∵， ∴的四次方根是， 故答案为：； 不存在， 故答案为：不存在； （2）解：由， ∴，即， 由， ∴，即， ∴， 故答案为：； ； ， ∴或． 考点十六 实数运算的实际应用 【典例精讲】（25-26七年级下·山西大同·期中）阅读下列材料： 材料一：如图1，我们知道，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到的大正方形面积为，其边长就是原边长为1的小正方形的对角线长． 材料二：按照国际标准，系列纸为长方形，其中A0纸的面积为1平方米，将A0纸沿长边对折、剪开，便成A1纸；将A1纸沿长边对折、剪开，便成A2纸；将A2纸沿长边对折、剪开，便成A3纸；将A3纸沿长边对折、剪开，便成A4纸，如图2，我们日常使用的A4纸就是这样由A0纸多次对折裁开得到的． 将A4纸按如图3所示的方式折叠，则A4纸的长宽__________． 请根据材料回答下列问题： (1)A5纸的面积是__________平方米． (2)A4纸的长宽__________． (3)按照图2的系列纸生成过程，经过探究发现，系列纸有一个固定的特点：每一张纸的长与宽之比都相等．请你估算面积为1平方米的A0纸的长与宽各是多少毫米？（结果取整数，） 【答案】(1) (2) (3)A0纸的长为，宽为 【思路引导】（1）根据系列纸的面积规律即可求出答案； （2）根据折叠的性质和材料中得到的正方形的性质即可求出答案； （3）设纸的宽为，则长为，则，运算求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意可知， A0纸的面积为1平方米， A1纸的面积为平方米， A2纸的面积为平方米， A3纸的面积为平方米， A4纸的面积为平方米， A5纸的面积是平方米． （2）解：如图， 由折叠的性质可知，由材料一可知，在图3折叠得到正方形中， ，即A4纸的长宽之比为； （3）解：设纸的宽为，则长为， 依题意得， ， ∵， ∴， ∵（负值不合题意，舍去）， ∴， ∴， 答：纸的长为，宽为． 【变式训练】（25-26七年级下·陕西榆林·期中）陕北剪纸是国家非物质文化遗产，是扎根黄土高原、流传千年的经典民间传统艺术．它历史悠久，多在春节、婚嫁等民俗活动中用作窗花、喜花装饰．风格粗犷古朴、造型简练夸张、大红喜庆，题材涵盖花鸟瑞兽、民俗生活、吉祥纹样，承载着陕北人民对美好生活的祝愿，是黄土地独有的文化瑰宝．现有一张长方形红色宣纸，长、宽之比为，宣纸面积为． (1)求宣纸的周长； (2)剪纸匠人想利用这张宣纸裁出一张面积为的完整圆形纸胚来创作花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 【答案】(1) (2)能够裁出来，理由如下： 设圆形纸胚的半径为， 由题意得：， 解得：， ∵圆形纸胚的直径为，宣纸的宽为，且， ∴， ∴能够裁出来 【思路引导】（1）设这张宣纸的长为，宽为，由题意易得，然后进行求解即可； （2）设圆形纸胚的半径为，由题意易得，然后问题可求解． 【规范解答】（1）解：设这张宣纸的长为，宽为，由题意得： ， 解得：（负根舍去）， ∴这张宣纸的长为，宽为， ∴这张宣纸的周长为； 答：宣纸的周长为 （2）略 考点十七 与实数运算相关的规律题 【典例精讲】（25-26七年级下·河南信阳·期中）定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫作虚数单位，那么形如（a，b为实数）的数叫作复数，其中a叫作这个复数的实部，b叫作这个复数的虚部．复数的运算与整式的运算类似． 例如，计算：； ． 根据以上信息，解决下列问题． (1)填空：______，______ (2)计算：． (3)计算： 【答案】(1)1；i (2) (3) 【思路引导】（1）把化为，把化为，根据新定义计算即可； （2）根据复数的运算法则进行计算即可； （3）根据题干和（1）的结果，得出的结果以i，，，1循环，据此求解即可． 【规范解答】（1）解；； ； （2）解：原式； （3）解：∵，，，，，…， ∴的结果以i，，，1循环， ∵，， ∴原式． 【变式训练】（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）同学们，本学期我们认识了无理数，数系从有理数扩充到实数，有理数的所有运算律对实数都适用．任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而0与无理数的积为0．由此可得，如果，其中，为有理数，为无理数，那么且．运用上述知识，解决下列问题： (1)若，其中，为有理数，则________，________； (2)如果，其中，为有理数，求的立方根． 【答案】(1)；2 (2) 【思路引导】（1）根据题意可得：，然后进行计算即可解答； （2）将已知等式进行整理可得，再根据题意可得，，进而可得，然后代入式子中进行计算，即可解答． 【规范解答】（1）解：由题意可得：， 解得：． （2）解：， ， ． ，为有理数， ，， 解得，， ， ∴的立方根为． 1．（25-26七年级下·内蒙古·期末）若一个正方形的面积扩大为原来的倍，则它的边长要扩大为原来的（     ）倍 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】通过设原边长，计算面积扩大后的边长，即可得到边长扩大的倍数． 【规范解答】解：设原正方形的边长为，则原正方形的面积为， ∵面积扩大为原来的倍， ∴扩大后的面积为， 设扩大后边长为，则， ∵边长为正数， ∴， ∴， 即边长扩大为原来的倍． 2．（25-26七年级下·内蒙古·期末）下列说法正确的是（     ） A．负数没有立方根 B．如果一个数有立方根，那么它一定有平方根 C．一个数的立方根有两个，它们互为相反数 D．一个不为的数的立方根与被开方数同号 【答案】D 【规范解答】解：∵负数有立方根，例如，∴A选项错误； ∵负数有立方根，但负数没有平方根，∴ B选项错误； ∵任意数都只有一个立方根，∴ C选项错误； ∵正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，因此不为的数的立方根与被开方数同号，∴ D选项正确． 3．（25-26七年级下·青海西宁·期中）下列说法中，正确的个数有（     ） ①垂直于同一条直线的两条直线平行； ②无理数包括正无理数、0和负无理数； ③带根号的数都是无理数； ④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； ⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【思路引导】根据平行公理及推论，平行线的判定与性质，实数的分类，点到直线距离的定义判断即可． 【规范解答】解：①在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，故①错误； ②无理数包括正无理数和负无理数，故②错误； ③带根号的数不一定是无理数，故③错误； ④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故④正确； ⑤从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，故⑤错误． 故正确的有1个． 4．（25-26七年级上·浙江湖州·期末）小吴设计了一个如图所示的程序运算，如果输入的值是8，那么输出的值是，当输入的值是27时，输出的值是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【规范解答】解：输入的值是27时，取立方根为，为有理数， 则取算术平方根为，为无理数， 则输出的值是． 5．下列说法中正确的有（    ） ①相等的角是对顶角；②在同一平面内，若，，则；③的平方根是；④的平方根和立方根都是；⑤带根号的数都是无理数． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【思路引导】根据对顶角定义、平行线的性质、平方根立方根定义、无理数的概念逐个判断说法正误，统计正确说法的个数得到结果． 【规范解答】解：①相等的角不一定是对顶角，例如两平行线被截得的同位角相等，但不是对顶角，故①错误； ②同一平面内，若一条直线垂直于两条平行线中的一条，则垂直于另一条，∵，，∴，故②正确； ③∵，的平方根是，∴的平方根是；∴③正确； ④的平方根和立方根都是，故④正确； ⑤带根号的数不一定是无理数，例如：是有理数，故⑤错误； 综上，正确的说法共有个． 6．如图，若数轴上的点，分别与实数，对应，用圆规在数轴上画点，则与点对应的实数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了实数与数轴，根据实数与数轴上的点一一对应，先求出，再根据半径相等得到，即可求出与点对应的实数． 【规范解答】解：数轴上的点，分别与实数，对应， ， ， 与点对应的实数是：， 故选：． 7．（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】先根据数轴和题意求得、、、，以此规律即可解答． 【规范解答】解：由题意可得，则表示的数为， ， 表示的数为3， ， 同理：，，， …… ，即选项A符合题意． 8．（25-26八年级下·黑龙江大庆·阶段检测）有六个数：，，，，，（相邻的两个2之间依次多一个0）．若其中无理数的个数为x，非负数的个数为y，则______． 【答案】6 【思路引导】先根据无理数的定义确定无理数的个数得到的值，再根据非负数的定义确定非负数的个数得到的值，最后计算即可． 【规范解答】解：无理数为：，（相邻的两个2之间依次多一个0），共个，即， 非负数为：，，，，共个，即， 则． 9．若 则 _______________． 【答案】 【思路引导】当被开方数的小数点每向右（或向左）移动2位，它的算术平方根的小数点就相应的向右（或向左）移动1位，据此解答即可． 【规范解答】解：∵，且， ∴． 10．若将三个数，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是______． 【答案】 【思路引导】确定墨迹覆盖的数值范围，并利用夹逼法估算出各无理数的取值范围，进而判断哪个数落在该范围内． 【规范解答】解：由数轴可知，墨迹覆盖的范围在与之间， ， 不在墨迹覆盖范围内； ， ， 在墨迹覆盖范围内； ， ， 不在墨迹覆盖范围内， 能被墨迹覆盖的数是． 11．根据下面表格中的数据规律，填空： x … 0.2026 2.026 20.26 202.6 2026 … … 0.4501 1.423 4.501 14.23 45.01 … … 0.5873 1.265 2.726 5.873 12.65 … 若，，则_______． 【答案】 【规范解答】解：由表格可得，被开方数的小数点向右或者向左移动两位，它的算术平方根的小数点相应地向右或者向左移动一位；被开方数的小数点向右或者向左移动三位，它的立方根的小数点相应地向右或者向左移动一位， ∴，， ∴． 12．（25-26七年级下·福建厦门·期中）用表示距离（为正整数）最近的正整数．例如：表示距离最近的正整数，；表示距离最近的正整数，；表示距离最近的正整数，，利用这些发现得到以下结论： ①； ②时，的值有5个； ③； ④； ⑤当时，的值为2550． 以上正确的结论有_____．（填序号） 【答案】①③④⑤ 【思路引导】根据定义通过估算无理数的值，找到数字变化的规律，再用规律去解答题． 【规范解答】解：①表示距离最近的正整数， ，所以①正确； ②当时，为，，，，，一共有个， 所以②错误； ③，，，，，，，，，，，， ， 所以③正确； ④由，，，，，，，，，，，；可得个，个，个，个， 所以； 故④正确； ⑤， ， 所以⑤正确； 综上，①③④⑤正确． 13．（25-26七年级下·吉林松原·期中）计算： 【答案】 【思路引导】根据算术平方根，立方根以及绝对值的化简计算即可． 【规范解答】解： ． 14．求x的值 (1) (2) 【答案】(1) (2)或 【规范解答】（1）解：移项得：， ， ． （2）解：方程两边同时除以得： ， ， 当时，， 当时，， 或． 15．已知某正数的两个不同的平方根是和，的立方根是，是的整数部分，求的值． 【答案】 【规范解答】解：某正数的两个不同的平方根是和， ， ， 的立方根为， ， ， 是的整数部分，， ， 故． 16．（25-26七年级下·山东德州·期中）数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ，，；… 实践探究： (1)按照此规律，计算： ； ； (2)计算：； 迁移应用： (3)若符合上述规律，请直接写出x的值： ． 【答案】(1)； (2) (3) 【思路引导】（1）根据题中所给方法可进行求解； （2）利用题中所给规律可进行求解； （3）找出规律，据此即可求解． 【规范解答】（1）解：    ； （2）解：由题意得：； （3）解：∵； ； ； ……； ∴（为正整数）， ∵， ∴， 解得：， ∴． 17．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）【阅读材料】，即，，的整数部分是，的小数部分是． 【解决问题】 (1)的整数部分是__________，小数部分是__________； (2)已知是的整数部分，是的小数部分，求代数式的值． (3)已知，其中是整数，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）利用夹逼法估算无理数的大小即可； （2）夹逼法求出，再进行计算即可； （3）夹逼法求出，再进行计算即可. 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是6，小数部分是； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分，小数部分， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， 即， ∵，其中是整数，， ∴，， ∴. 18．（25-26七年级上·湖北恩施·期末）对于一个三位自然数（a，b，c是10以内的自然数），若，则称这个三位数为“好六数”．例如：，因为，所以413是“好六数”． (1)判断：352________“好六数”；（填“是”或“不是”） (2)若（t为9以内的正整数），则n是“好六数”．请将下列说明过程补充完整： 因为， 所以________，________，________． 所以________， 所以n是“好六数”． (3)已知三位自然数m是“好六数”，且，p是m去掉其百位数字后的两位数，而q是m去掉其个位数字后的两位数，请说明p与q的和能被3整除． 【答案】(1)不是 (2)，，7； (3)见解析 【思路引导】本题主要考查了新定义下的整式的加减，有理数的混合运算，列代数式，解题的关键是掌握新定义． （1）根据新定义进行验证即可； （2）整理代数式，然后根据新定义进行验证即可； （3）整理整式，表示出原数各位上的数字，表示出p与q，然后得出p与q的和，进行求解即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴352不是“好六数”， 故答案为：不是； （2）解：因为， 所以，，． 所以， 所以n是“好六数”． 故答案为：，，7；； （3）解： ， 的百位上数字为，十位上数字为，个位上数字为4， 是“好六数”， ， 即， 是去掉其百位数字后的两位数，而是去掉其个位数字后的两位数， ，， ， 又∵， ， ∵， 且为正整数， 为正整数， 能被3整除． 19．（25-26七年级下·甘肃陇南·期中）小陇在一本数学资料上看到这样一道题：计算．小陇的解题过程是这样的：．他在检查时，发现这个结果有些蹊跷，两个数的绝对值的和怎么会是负数呢？他百思不得其解． (1)请你帮小陇检查一下，他在哪里出错了？这个式子的结果应是多少？ (2)试一试，计算：． 【答案】(1)小陇在去绝对值符号时出错了，式子的结果应是1 (2) 【思路引导】（1）小陇在去绝对值符号时出错，取绝对值后进行加减运算即可； （2）去绝对值后，进行加减运算即可. 【规范解答】（1）解：小陇的错误：小陇在去绝对值符号时出错了， 原式； （2）解：原式 ． 20．（25-26七年级上·河北保定·期末）【阅读理解】 定义：如图，线段上一点将线段分成两条线段，，若或，则称点为线段的“好点”． （1）如图是线段的“好点”，且，则_____． 【迁移运用】 （2）如图2，点，点是数轴上两点，表示的数分别为，3，一动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，运动时间为秒． ①点，之间的距离是_____个单位长度； ②当点是线段的“好点”时，求的值； ③若在点出发的同时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点运动到点时，两点同时停止运动．请直接写出点三点中，其中一点是另外两个点确定的线段的“好点”时的值． 【答案】（1）2；（2）①9；②或；③或 【思路引导】本题主要考查了新定义下的线段关系，线段的和差，实数和数轴，两点之间的距离，解一元一次方程，解题的关键是掌握数形结合的思想． （1）根据新定义求出相关线段的长度，然后利用线段的和差进行求解即可； （2）①根据两点之间的距离公式进行求解即可； ②根据“好点”定义分两种情况进行讨论即可； ③求出秒后点和点表示的数，表示出和的长度，然后分两种情况进行求解即可． 【规范解答】解：（1）根据“好点”定义得， ，， ∴， 故答案为：2； （2）①点，之间的距离为， 故答案为：9； ②当时， ； 当时， ； 综上，或； （3）秒后点表示的数为，点表示的数为， ，， 当时，， 解得； 当时，， 解得； 综上，或． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null