（复习篇）专题01 相交线与平行线的判定与性质【思维导图+知识卡片+知识梳理+十二大考点讲练+真题强化 共44题】-2026年人教版数学七升八年级暑假衔接培优讲义

2026-2027学年数学七升八年级暑期学习金牌培优讲义【温故知新篇】 暑假衔接 专题01相交线与平行线的判定与性质 思维导图+知识回顾+十二大考点讲练+真题强化（共44题） 【原卷版】 思维导图 浏览知识知晓考点 技巧点拨 知识梳理方法提炼 考点讲练 重点难点优选题型 真题强化 真题汇编查漏补缺 初中数学 七年级/下册（新教材） 版 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 课前指导讲义简介 同学，你好！该份讲义主要以复习人教版新教材七年级下学期内容为主，选取重点难，点专题内 容强化复习，讲义包含导图指引，知识梳理，，高频考点真题讲练，优选题培优训练20题等 四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型， 整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学， 教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 思维导图考点指引 1,相交线的定义 判定方法】记住这四种判定一得出两直线平行 两条直线在同一平面内相交于一点， 这个点叫做它门的交点 ∠1=∠2 1,可位角相等，两直线平行 2.对顶角 ∠2=∠3 有公共预点，且一个角的两边分制是另一个 2内错角相等，两真钱平行 一、相交线 .a//b 角两边的反向延长线的两个角，叫做对顶角 四、平行线的 特点：对顶角相等。 判定方法 ++∠4+∠5=180 3.邻补角 3同旁内角互补，两直线平行 有公共顶点，有一条公共边，且另一边互为 反向延长线的两个角，叫做第补角 一点，有且只有 特点：邻祁角互为补角，和为180 专题01 如焉直线超与第三条直线平行 1垂线的件质 那么这两条直线也互相平行 (1)在同一平面内 记作：若a/Mb,bc,则aWc 直线与己知直线 过一点有且只有 点与直线上各点的所 两直线平行(a1b】,被第三条直线所数 垂线 “a//b B C D 相交线与平行线的 1,同位角相等 ∠1=∠5，∠2=∠6. 2.点到直线的距离 判定与性质 ∠3=∠7，∠4-∠8 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的 长度叫做点到直线的距离。 七年级数学下册（人較版） 五、平行线 如围，线段PB的长傻叫做点P到直线m的距离， 暑假复习思维导图（七升八） 的性质 2.内锈角相等 ∠2=∠8，∠3=∠5 1,定义！在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线， a//b 3.同旁内角互补 2.法：线外仁点已直的平行性 1.∠4+∠5=180：∠3+∠6=180 【易槽点】平行线的定义的三个特征 三、平行线的定义及画法 4.平行公理推论 一是在同一平面内：二是不相交；三是两条直线， 如果两条直线翻与第三条直线平行 那么这两条直线也互相平行， 【画法口】一放二靠三移四画 六、平移 若a/b,a/c.则b/c 一校：将三角板的一条直角边放在已知直线上 二靠：用直尺靠家三角板的另一条直角边： 1.定义： 三移：沿直尺平移三角板： 【示例】 沿三角板的直角边画直线 2,平移三要素：图形的原来位置、平移的方向。平移的距离。 学习小贴士 易铅提醒 √理清定义一掌握判定与性质一熟练应用 1对质角。邻补角的定义要记准.特别是邻补角和为180 ,平移的性质 ③)对应角等：对应角两边分别平行。且方向一 √画图规范。标注清楚，帮助理解 2.平行线的判定与性质要注意”条件”与“铝论”，不混清 平方向 3,作平行线时，三角板一定要沿直尺平移，保持两直角边系影 4,平移作图的方法 √多做练习，举一反三，灵活运用 4.平移作图中，平移的方向和距离要一致。 (1)找关里点： (2)过每个关疆点作平移方向的平行线，截取与之相等的距离。标出对应点： (3)连接对应点，德到平移后的图形， 知识梳理 温故知新 知识点一 相交线 (1)相交线的定义 如图1所示，直线AB与直线GD相交于点O。 第2页共25页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 图1 图2 图3 (2)对顶角的定义：如图2所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。对顶角相等。 (3)邻补角的定义：如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1十∠2=180°。 知识点二垂线 1.垂线的性质： (1)在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直： (2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短. 2.点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离， 图4 如图4所示，m的垂线段PB的长度叫做点P到直线m的距离。 知识点三平行线的定义及画法 1.定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b. 【易错点拨】 ()平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一 不可； (2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意 味着它们就平行， (3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种.特别地，重合的直线视为一条 直线，不属于上述任何一种位置关系 2.平行线的画法： 用直尺和三角板作平行线的步骤： 第3页共25页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) ①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合 ②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边 ③推：沿着直尺平移三角板，使与已知直线重合的斜边通过已知点 ④画：沿着这条斜边画一条直线，所画直线与已知直线平行 原理：同位角相等，两直线平行。 知识点梳理04：三线八角 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图5所示。 (1)同位角(F型)：图中的同位角∠1与∠5∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 (2)内错角（Z型)：图中的内错角∠3与∠5，∠4与∠6。 (3)同旁内角(U型)：图中的同旁内角∠4与∠5，∠3与∠6。 知识点梳理05：平行公理及推论 1.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 2.推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 记作：如果a∥b,a∥c,那么a∥c 知识点梳理06：平行线判定 判定方法(1)：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成：同位角相等，两直线平行。 几何语言： .∠1=∠2 ∴.AB∥CD（同位角相等，两直线平行) 判定方法(2)：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 第4页共25页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 简单说成：内错角相等，两直线平行。 .∠2=∠3 ∴.AB∥CD(内错角相等，两直线平行) 判定方法(3)：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成：同旁内角互补，两直线平行。 .∠4+∠2=180° .AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行) 知识点梳理07：平行线性质 性质（1)：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：.∵a∥b ∴.∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（2)：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：.a∥b ∴.∠3=∠5（两直线平行，内错角相等) 性质(3)：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：.a∥b ∴.∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补) 知识点梳理08：平移 1,定义：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种 移动，叫做平移变换，简称平移。 2.平移三要素：图形的原来位置、平移的方向、平移的距离。 3.平移的性质 (1)对应点的连线平行（或共线）且相等 (2)对应线段平行（或共线）且相等； (3)对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。 第5页共25页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 4.平移作图的步骤和方法：平行线法、对应点连线法、全等图形法 (1)找关键点； (2)过每个关键点作平移方向的平行线，截取与之相等的距离，标出对应点 (3)连接对应点。将原图形的各个特征点按规定的方向平移，得到相应的对称点，再将各对 称点进行相应连接，即得到平移后的图形 优选题型考点讲练 考点一在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 【典例精讲】(25-26七年级下·天津·阶段检测)下列各图中，能画出AB I CD的是( ① ② ③ ④ A.①②③ B.①②④ C.③④ D.①②③④ 【变式训练】(25-26七年级上·河南南阳·期末)在同一平面内，现有2025条直线a1,a2,a3,…,a2025, 且有a11a2,a2‖ag,a31a4,a4la5,…,则直线a1与a2025的位置关系是」 一- 考点二根据平行线的性质探究角的关系 【典例精讲】(25-26七年级下·山东济南·期中)【问题情境】：在综合实践课上，老师组织班上的同 学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图1，已知直线ABⅡCD,点G分别为直线AB、CD上的 点，点F是平面内任意一点，连接EF、GF M -B 图1 图2 3 第6页共25页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 【探索发现】： (1)如图1，若∠F=60°，写出∠AEF与∠FGC的数量关系： 【深入探究】： (2)如图2点RQ分别是直线CD上的点，且∠PFQ=∠EFG=90°，直线MN‖FG,交FQ于点K,“智胜 小组”探究∠FKN与∠PFE之间的数量关系.请写出它们的关系，并说明理由： (3)如图3，在(2)的探究基础上，∠NKQ=∠AEF,“科创小组”探究∠CPF与∠EFK之间的数量关系.请 直接写出它们的关系。 【变式训练】(25-26七年级下·辽宁铁岭·期中)请在横线上填写合适的内容，完成下面的证明： D 图① 图② 图③ (1)如图①如果ABI‖CD,求证：∠APC=∠A+∠C; 证明：过点P作PM II AB ∴.∠A=∠APM( ,PM IIAB,AB II CD(己知)， ∴.PM CD( ∠C=( .'∠APC=∠APM+∠CPM, ∴.∠APC=∠A+∠C( ) (2)如图②，AB1CD,根据上面的推理方法，直接写出∠A+∠P+∠Q+∠C=——- (3)如图③，AB II CD,若∠ABP=x,∠BPQ=y,∠PQC=z,∠QCD=m,则m=-一（用x,,z 表示)· 第7页共25页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 考点三根据平行线的性质求角的度数 【典例精讲】(25-26七年级下·云南曲靖·阶段检测)如图，点E在CA的延长线上，DE,AB交于点F, 且∠BDF=∠E,∠B=∠C. (1)求证：AB II CD: (2)若∠EFA=60°，点P、Q在线段CD上，且∠PQF=∠PFQ,射线FG平分∠EFP,求∠GFQ的度数. 【变式训练K25-26七年级下河南安阳阶段检测)如图，己知DC∥FP,∠1=∠2，∠FED=26°，∠AGF= 80°，FH平分∠EFG. D E A G (1)求证：DC∥AB; (2)求∠PFH的度数. 第8页共25页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 考点四平行线的性质在生活中的应用 【典例精讲】(25-26七年级下·辽宁营口·期中)健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，某品牌的自行车 的平面示意图如图，自行车的前轴与后轴所在直线CD与地面平行，车架AB与地面平行，自行车的中轴处E 与座位处A在一条直线上，若AE∥BD,∠AEC=75°，则∠ABD-∠ECD的度数是( E A.105° B.115 C.135° D.150° 【变式训练】(25-26七年级下·山东枣庄·期中)在学习完《相交线和平行线》后，同学们对平行线产 生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能。 D 皿工作篮 3 20 支撑平台 B E 图1 图2 (1)问题情境：如图1，已知∠CDF+∠DFE=180°，∠C=∠DAE. ①问题探究：求证：AD∥BC: ②拓展探究：∠ADF,∠AEB,∠DFE之间满足怎样的数量关系？并说明理由. (2)迁移应用：图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行，若∠1=35°，则∠2+∠3 的度数为_· 第9页共25页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 考点五根据平行线判定与性质求角度 【典例精讲】(25-26七年级下·山东枣庄·阶段检测)如图是小志在一次野外拓展训练活动中的行动路 线，从A地出发沿北偏东65°方向到补给地B,从补给地B沿北偏西25°方向到C地与伙伴汇合，小志通过 指南针确定：从C地出发沿着与BC垂直的方向前进，就可以保持与AB的方向一致，到达目的地D,并且距 离最短。小志解释理由如下，请你填空： D F B 165 A 因为CD1BC(已知)， 所以∠C=90°（① ),且CD最短. 因为AE∥BF(己知)， 所以∠A+② =180°，（③ 因为∠A=65°， 所以∠ABF=180°-∠A=④ 因为∠CBF=25°（已知）， 所以∠ABC=∠ABF-∠CBF=⑤ 所以∠C=⑥ 所以CD⑦】 (⑧ 【变式训练】(25-26七年级下·湖南长沙·阶段检测)如图，小明在走廊上看到一个“安全出口”标志， 他从中抽象出这样一个数学图形，其中AB II DG,AE∥CF,∠BAC=52°，∠CDG=72°，∠EAC=78°， 则∠DCF 第10页共25页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 考点六根据平行线判定与性质证明 【典例精讲】(25-26七年级下·甘肃庆阳·期中)某次几何课上，老师借助字母M命制了如下两小题， 请你帮老师写出试题的证明过程， 图1 图2 (1)如图1，已知AB∥0C,∠A=∠C,求证：A0∥CD (2)如图2，若AE∥CF,AB∥CD,求证：∠A=∠C. 【变式训川练】(24-25七年级下·四川绵阳·阶段检测)如图，BN II CD,点A是直线BN上一点，P是直 线AB与直线CD之间一点，连接AP,PC. B B M 图1 图2 备用图 (1)求证：∠BAP+∠PCD=∠APC; (2)如图2，过点C作CM平分∠PCD,过点C作CE⊥CM交∠NAP的角平分线于点E,过点P作PF II AE交CM 于点F,探索∠CFP和∠APC的数量关系，并说明理由； (3)在(2)的条件下，若2∠AEC-∠CPF=240°，Q是直线CD的一点，请直接写出∠PFQ和∠FQD的数量 关系 第11页共25页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 考点七写出一个命题的已知、求证及证明过程 【典例精讲】(25-26七年级下·江苏泰州·阶段检测)如图，①∠1=∠2，②∠C=∠D,③∠A=∠F, 请从三个条件中任选两个作为条件，另一个作为结论组成命题， B (1)正确的命题有_个. (2)请你选择（1)中的一个真命题进行证明. 【变式训练】(25-26七年级下·河南信阳·阶段检测)命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内 错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”.如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请 补充完整，并写出证明过程。 E (1)已知：如图，EF分别交直线AB,CD于G,H,GI平分∠AGH,H平分∠DHE, 求证： (2)证明： (3)通过(2)的推理证明，此命题是 命题（填“真”或“假”）. 第12页共25页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 考点八已知证明过程填写理论依据 【典例精讲】补全下列推理过程： 如图，EF1BC,AD 1 BC,∠1=∠2，试说明G II BA. D G 27 E 解：，EF L BC,AD1BC,(已知)， .∠BFE=∠BDA=90°（垂直的定义）， ∴.EF II AD( ∴.∠2=∠3( .∠1=∠2（已知)， (等量代换). ∴.DG II AB( ) 【变式训练】(23-24七年级下·陕西西安·阶段检测)补全下列推理过程： 如图，已知AB II CE,∠A=∠E,试说明：∠CGD=∠FHB, A G C D 解：，AB II CE(已知) ·∠A=∠ADC() ∠A=∠E(已知) ∴∠E=∠ADC() ·AD IIEF(-） .∠CGD=∠GHE() .∠FHB=∠GHE() 第13页共25页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) ·∠CGD=∠FHB 考点九根据给出的论断组命题并证明 【典例精讲】(2026七年级下·江苏·专题练习)如图，点E、F分别在AB、CD上，连接CE、BF、AD, AD分别交CE、BF于点G、H.有三个论断：①∠1=∠2；②∠B=∠C;③AB II CD. (1)请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，写出所有的真命题： (2)在(1)中选择一个真命题，并证明其正确性. 【变式训练】(24-25七年级下·全国·单元测试)已知：如图，在△ABC中，D,E是边BC上的两点，G 是边AB上的一点，连接EG并延长，交CA的延长线于点F.从以下三个条件中选两个作为条件，另一个作为 结论，构成一个真命题，并加以证明：①AD平分∠BAC;②EF∥AD:③∠AGF=∠F, G B ED 条件： ,结论： (填序号) 证明： 第14页共25页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 考点十举反例 【典例精讲】(25-26八年级下·四川成都·期中)如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸中△ABC 的项点都在方格纸的格点上，经过平移使得△ABC的顶点C移到了点C'的位置 (1)画出平移后的△A'B'C′（点A'与点A对应，点B'与点B对应）： (2)指出平移的方向和平移的距离： (3)求线段AB在平移过程中扫过部分的面积. 【变式训练】(25-26七年级下·山东菏泽·期中)综合与探究 问题情境： 数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，将含30的三角尺ABC如图方式摆放，∠ABC=60°，∠ACB=30°， ∠BAC=90°，过点A作AE∥BC,D是线段AC上一定点，过点D作DE∥AB交AE于点E. 图1 图2 图3 (1)知识初探： 勤奋小组求出了∠AED的度数，请你直接写出∠AED=一一_°： (2)深入探究： 智慧小组将线段AE沿射线AC的方向平移，得到线段PQ(点A的对应点为P,点E的对应点为Q),连接DQ, 并提出以下两个问题.请你帮忙解决，并写出解答过程， ①如图2，当点P在线段AD上时，若∠EDQ=32°，求∠PQD的度数： ②如图3，当点P在线段DC上时，若∠EDQ=72°，求∠PQD的度数. (3)拓展延伸： 创新小组提出问题：在上述平移过程中，当∠EDQ=4∠PQD时，请直接写出∠EDQ的度数为 第15页共25页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 考点十一利用平移的性质求解 【典例精讲】(25-26七年级下·四川绵阳·阶段检测)如图，某小区计划在一块长方形的空地上铺设草 皮，其中阴影部分为预留的宽度相等的走道，则需要铺设草皮的面积为平方米 米 20米 【变式训练】(25-26七年级下·湖南湘西·期中)某商场重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设一种 红色的地毯.已知这种地毯的批发价为每平方米10元，主楼梯的宽为5米，其侧面如图所示，则购买地毯 至少需要 元 2.8米 B 5.6米 考点十二利用平移解决实际问题平移（作图） 【典例精讲】(25-26七年级下·福建龙岩·期中)如图，在平面直角坐标系x0y中，三角形ABC三个顶 点都在网格点上. B 3 5-4-3210 2345 3 -5 (1)写出点A的坐标为一，点B的坐标为一，点C的坐标为-： (2)将三角形ABC向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到三角形A'B'C',其中点A,B', C分别为点A,B,C的对应点，在图中画出三角形A'B'C',并求三角形AB′C'的面积。 (3)过B画y轴的平行线交线段AC于点D,直接写出点D的坐标 第16页共25页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 【变式训练】(25-26七年级下·湖北孝感·期中)如图，每个小正方形边长都相等，三角形ABC的三个 顶点都在格点（小正方形的顶点）上 D (I)平移三角形ABC使顶点A平移到，点D的位置，得到三角形DEF,请在图中画出三角形DEF.(注：点B的 对应点为点E,点C的对应点为点F) (2)若直线AC与直线DE相交于点M,则∠BAC与∠AMD的大小关系是，依据是 真题汇编能力强化 1.(24-25七年级上·山东聊城·期末)如图，O为直线AC上一点，OD是∠A0B的平分线，OE在∠B0C 的内部，∠B0E=号∠B0C,∠D0B=70,则∠B0c的度数为( B E D A.80° B.75° C.72 D.70° 2.(25-26九年级下·辽宁朝阳·期中)如图，将一张剪开的矩形纸片沿着AD所在直线错位拼接，点 A,B,C,D在一条直线上，若∠1=137°，则∠2的度数为( B A.30° B.37° C.43 D.53° 3.(25-26七年级下·全国·期末)两个形状、大小完全相同的△ABC和△DEF完全重叠在一起，如图所 示，固定△ABC不动，将△DEF向右平移，当点E和点C重合时，停止移动，设DE交AC于点G,下列结论： ①AB∥DE:②四边形ABEG的面积与四边形CGDF的面积相等；③若BF=9,EC=3,那么此时△DEF向右 平移了2个单位长度.其中正确的有( 第17页共25页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) D G B E A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 4.(25-26七年级下·湖北省直辖县级单位·阶段检测)如图，已知EF∥GH,A、D为GH上的两点，M、B 为EF上的两点，延长AM至点C,AB平分∠DAC,点N在直线DB上，且BN平分∠FBC,若∠ACB=110°.则 下列结论：①∠MAB=∠BAD:②∠NBC=∠BDH:©设∠CBM=,则∠BAD=55°-a:④∠DBA= 55°，其中，正确的有( M -H A.①③ B.①③④ C.①②④ D.②③④ 5.(24-25七年级下·江苏盐城·期末)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8,将△ABC沿CB 平移4个单位长度得到△A'B′C,A'C交AB于点D,若A'D=3,则四边形A'B'BD的面积是 B 6.(25-26七年级下·北京·期末)将一块三角板ABC(∠BAC=90°，∠ABC=30)按如图方式放置， 使A,B两点分别落在直线m,n上.对于给出的四个条件：①∠1=25.5°，∠2=55.5°：②∠2=2∠1： ③∠1+∠2=90°；④∠ACB=∠1+∠2：⑤∠ABC=∠2-∠1.能判断直线m∥n的有_（填序号）. m 第18页共25页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 7.(25-26七年级下·湖南长沙·期末)如图，在△ABC中，AC=4cm,BC=3cm,AB=5cm,将△ABC 沿AB方向平移acm(a<5)得到△DEF,且BC与DF相交于点G,连接CF,则阴影部分的周长为_一一cm. D 8.(24-25七年级下·河北石家庄·阶段检测)如图，直线AB,CD交于点O,OE平分∠A0C,OF1OD, 若∠BOF:∠B0D=4:5,则∠AOE的度数为 C 9.(25-26七年级下·重庆·期中)如图，AB II CD,点0在AB上，0F平分∠A0D,0E10F,∠D=130°， 则∠BOE= C D E B 10.(2026·河北张家口·三模)如图，AB II CD,CE,BF分别平分∠DCM,∠ABM,且其所在直线交于 点N,则∠M与∠N的数量关系为-一 11.（25-26七年级下·上海·期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=34°，点D是边AB上一 点，将△BCD沿直线CD翻折得到△B'CD,如果B'D与Rt△ABC的一边互相平行，那么∠BDC=_一 第19页共25页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 12.(24-25七年级下·安徽安庆·期末)如图为6×6网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶 点称为格点，点Q点A、点B均在格点上，请利用网格，用无刻度的直尺根据下列要求完成画图， B (1)画线段0B、BA: (2)过点A画线段OB的平行线AD: (3)过点O画线段AB的垂线，垂足为E (4)在线段B0、OE、OA中，最短的线段为 13.(24-25七年级下·河北保定·期末)如图，已知AB‖CD,射线AH交BC于点F,交CD于点D,从D点 引一条射线DE,且∠1=∠2. 62 D (1)求证：BC II DE: (2)若命题“己知∠CDE=-则∠B=40”是真命题，请填空，并说明理由. 第20页共25页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 14.(24-25七年级下·安徽芜湖·期末)如图，AB1AC,AB1BF,DE分别在线段AC、BF上，DF、CE 分别与AB交于点MN,若∠1=∠2，求证：∠C=∠F.请补写解答过程和括号内相应的依据. M 3y入 B 证明：∠2=∠3( ∠1=2（已知）. ∴.∠1=∠3（等量代换）. ..DFII CE ∴.∠ADM=∠C( AB1AC,AB L BF(已知)， ∠A=∠B= (内错角相等，两直线平行)· ∴.∠ADM=F( “∠C=∠℉( 15.(25-26七年级下·全国·期末)已知：如图1，直线AB,CD被直线MN所截，∠1=∠2. M M 人1 B A B C 2y 图1 图2 (1)试说明：AB‖CD: (2)如图2，点E在AB,CD之间的直线MN上，PQ分别在直线AB,CD上，连接PE、EQ ①∠BPE+∠PEQ+∠EQD=度： ②若PF平分∠BPE,QF平分∠EQD,猜想∠PEQ与∠PFQ之间的数量关系，并说明理由. 第21页共25页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 16.(25-26七年级下·全国·期末)如图，已知△ABC中，AB=7cm,∠B=80°，将△ABC沿射线BC 方向平移5cm后，得到△A'B'C',连接AA. B'C (1)若BC=6cm,求B'C′的长度： (2)若AC恰好平分∠BAA',求∠ACB的度数， 17.(25-26七年级上·福建福州·期末)己知：AB∥CD,∠1=∠2，E,G是AB上的点，F,H是CD上的 点 N M G D H D H H 图① 图② 图③ (1)如图①，求证：EF∥GH; (2)如图②，点M在HG的延长线上，其中∠GEM=30°，∠AEF=60°，射线EG以每秒15的速度绕点E逆 时针旋转，同时射线EM以每秒10°的速度绕点E顺时针旋转.当射线EG首次与AB重合时，两条射线都停止 运动.在整个运动过程中，设运动时间为t.当∠GEM=130时，求∠GEF的度数； (3)如图③，作∠CFE,∠AEM的角平分线交于点N,FN交GH于点P,作∠DHG的角平分线交AB于点Q,当 ∠HQG+3∠N=90°，求的值. ∠GEM 第22页共25页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 18.(24-25七年级下·浙江宁波·期中)如图1，直线MN与直线PQ互相平行，A、B分别是MW和PQ上的 两个点，连接AB,在直线AB的右侧取一点C,满足∠ABC=45°，∠BAC=30°. M Ps B (图1) (图2) (图3) (1)如图1，若∠NAC=2∠CBQ,则∠MAB=: (2)如图2，在直线MN上方平面内取一点F,直线AF交PQ于E,满足∠FBC=∠QBC,∠EAC=∠NAC,求 ∠F. (3)如图3，作∠MAB、∠NAC的平分线AU、AV交PQ于S、T,作射线SW和TW交于W,且使得∠TSW=;∠TSU, ∠STW=号∠STV,当四边形ASWT的一边与BC平行时，求∠MAB的度数. 第23页共25页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新） 19.(25-26七年级下·河南周口·期中)己知MA∥BN. M M B 图1 图2 备用图 (1)如图1，若∠MAC=30°，∠ACB=95°，求∠CBN的度数 (2)如图2，∠ACB=90°，∠MAC,∠CBN的平分线交于点P. ①求∠APB的度数. ②己知∠MAC=50°，E为射线BN上的一个动点，过点E作EF∥BC交直线AP于点F,连接EP.若∠FEP=10°， 请直接写出∠BPE的度数. 第24页共25页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 20.(25-26七年级下·上海·阶段检测)综合与实践 A CD 图1 图2 图3 问题背景：图1是一种弹弓模型，在支架两端挂上弹力绳，拉动弹力绳可形成如图2所示的图形，弹弓支 架的两边ABⅡCD (1)猜想与证明：如图2，当点E在AB,CD之间时，请写出∠B,∠BED与∠D之间的数量关系，并说明理由， (2)问题解决：如图3，点E在AB的上方，且∠BED=90°，过点B作直线FG交直线CD于点G,使∠ABE=∠EBF, 过点G作DE的平行线GH交EB的延长线于点H,①找出图3中的弹弓模型，直接写出由(1)可以得到的结论.② 求证：GH平分∠BG.(可直接使用①的结论) 第25页共25页2026-2027学年人教版数学七升八年级衔接金牌培优讲义（温故知新） 2026-2027学年数学七升八年级暑期学习金牌培优讲义【温故知新篇】 七年级/下册（新教材） 初中数学 专题01 相交线与平行线的判定与性质 思维导图+知识回顾+十二大考点讲练+真题强化 （共44题） 【解析版】 人教版 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 暑假衔接 考点讲练练 浏览知识 知晓考点 真题强化 思维导图 技巧点拨 真题汇编 查漏补缺 重点难点 优选题型 知识梳理 方法提炼 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 同学，你好！该份讲义主要以复习人教版新教材七年级下学期内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，知识梳理，，高频考点真题讲练，优选题培优训练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 相交线 （1） 相交线的定义 如图1所示，直线AB与直线CD相交于点O。 图1 图2 图3 （2）对顶角的定义：如图2所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。对顶角相等。 （3） 邻补角的定义：如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180°。 知识点二 垂线 1.垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 2.点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 图4 如图4所示，m 的垂线段PB 的长度叫做点P 到 直线m 的距离。 知识点三 平行线的定义及画法 1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b． 【易错点拨】 (1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可； (2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行． (3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系． 2.平行线的画法： 用直尺和三角板作平行线的步骤： ①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合. ②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边. ③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点. ④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行. 原理：同位角相等，两直线平行。 知识点梳理04：三线八角 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图5所示。 （1）同位角（F型）：图中的同位角∠1与∠5∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角（Z型）：图中的内错角∠3与∠5，∠4与∠6。 （3）同旁内角（U型）：图中的同旁内角∠4与∠5，∠3与∠6。 知识点梳理05：平行公理及推论 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 记作：如果 a∥b，a∥c，那么a∥c 知识点梳理06：平行线判定 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 知识点梳理07：平行线性质 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 知识点梳理08：平移 1.定义：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种 移动，叫做平移变换，简称平移。 2.平移三要素：图形的原来位置、平移的方向、平移的距离。 3. 平移的性质 （1）对应点的连线平行(或共线)且相等 （2）对应线段平行(或共线)且相等； （3）对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。 4.平移作图的步骤和方法：平行线法、对应点连线法、全等图形法 （1）找关键点； （2）过每个关键点作平移方向的平行线，截取与之相等的距离，标出对应点 （3）连接对应点。将原图形的各个特征点按规定的方向平移，得到相应的对称点，再将各对称点进行相应连接，即得到平移后的图形 考点一 在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 【典例精讲】（25-26七年级下·天津·阶段检测）下列各图中，能画出的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④ 【答案】D 【思路引导】根据平行线的判定定理逐项进行判断即可． 【规范解答】解：根据同位角相等，两直线平行，可得①能画出； 根据同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，可得②能画出； 根据同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，可得能画出； 根据内错角相等，两直线平行，可得④能画出； 综上所述，能画出的是①②③④． 【变式训练】（25-26七年级上·河南南阳·期末）在同一平面内，现有2025条直线，，，，，且有，，，，…，则直线与的位置关系是______． 【答案】 【思路引导】本题考查了图形规律探究，平行线的判定与性质，解题的关键是找到直线位置关系的规律．通过分析直线间位置的交替规律，与的位置关系以4为周期循环，然后即可作答． 【规范解答】解：∵，，，， ∴，，，， 依此类推，，，，，… 可以发现，与的位置关系以4为周期循环， ∵，余数为0， ∴． 故答案为：． 考点二 根据平行线的性质探究角的关系 【典例精讲】（25-26七年级下·山东济南·期中）【问题情境】：在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图1，已知直线，点E、G分别为直线、上的点，点F是平面内任意一点，连接、． 【探索发现】： (1)如图1，若，写出与的数量关系：______； 【深入探究】： (2)如图2点P、Q分别是直线上的点，且，直线，交于点K，“智胜小组”探究与之间的数量关系．请写出它们的关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的探究基础上，，“科创小组”探究与之间的数量关系．请直接写出它们的关系． 【答案】(1) (2)与之间的数量关系为，理由见解析 (3) 【思路引导】（1）过点F作平行于的直线，利用平行线的内错角相等，将和转化为同一个角的两部分． （2）利用推出，再利用平行线的性质即可求证． （3）过点M作，设，利用平行线的性质即可求证． 【规范解答】（1）解：过点F作， ， ， ，， ． （2）解：设， 与是对顶角， ， ， ， ， 又， ， ， ． （3）∵， ∴设， 过点M作， ， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【变式训练】（25-26七年级下·辽宁铁岭·期中）请在横线上填写合适的内容，完成下面的证明： (1)如图①如果，求证：； 证明：过点P作， ∴（__________________）． ∵，（已知）， ∴（__________________）． ∴_____（__________________）． ∵， ∴（__________________）． (2)如图②，，根据上面的推理方法，直接写出______． (3)如图③，，若，，，，则______（用x，y，z表示）． 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行；，两直线平行，内错角相等；等量代换； (2) (3) 【思路引导】（1）根据证明过程结合图形，利用平行线的判定与性质填空即可； （2）先过点作，过点作，再根据平行线的性质，利用同旁内角即可求出答案； （3）分别过点作，，再根据平行线的性质，进行计算变形即可得出答案． 【规范解答】（1）略 （2）解：如图， 过点作，过点作， ，． ， ， ， ． （3）解：如图③，分别过点作，， ， ∴， ∴， ，， ∴， ∴， ∵，，，， ， ． 考点三 根据平行线的性质求角的度数 【典例精讲】（25-26七年级下·云南曲靖·阶段检测）如图，点在的延长线上，，交于点，且，． (1)求证：； (2)若，点、在线段上，且，射线平分，求的度数． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 【思路引导】（1）内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等； （2）设，结合平行线的性质可得，则，由角平分线的定义可得，即可得出结果． 【规范解答】（1）略 （2）解：设， ∵， ∴， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴． 【变式训练】（25-26七年级下·河南安阳·阶段检测）如图，已知平分． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明：， ， ， ． (2) 【思路引导】（1）先证明，进一步利用平行公理推论可得结论． （2）由平行线的性质求解，，再进一步结合角平分线的含义求解即可． 【规范解答】（1）略 （2）解：∵，， ， ∵，， ， ， 平分， ， ． 考点四 平行线的性质在生活中的应用 【典例精讲】（25-26七年级下·辽宁营口·期中）健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，某品牌的自行车的平面示意图如图，自行车的前轴与后轴所在直线与地面平行，车架与地面平行，自行车的中轴处与座位处在一条直线上，若 ， ，则的度数是(     ) A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】利用和得到同旁内角互补，过点作得出，结合 得出，即可求解． 【规范解答】解：， ，即 ， ， ， ，， ， 如图，过点作 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ， ， ． 【变式训练】（25-26七年级下·山东枣庄·期中）在学习完《相交线和平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能． (1)问题情境：如图1，已知，． ①问题探究：求证：； ②拓展探究：，，之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (2)迁移应用：图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行，若，则的度数为 ． 【答案】(1)①见解析；②，见解析 (2) 【思路引导】（1）①根据同旁内角互补两直线平行，即可得，根据平行线的性质可得，结合已知条件得出，根据内错角相等两直线平行，即可得证； ②过点F作，根据两直线平行内错角相等得出，，进而即可求解； （2）根据题意以及平行线的性质得出，，即可求解． 【规范解答】（1）证明：① ， ， ， ， ， ； ②如图所示，过点F作， ， ， ， ； （2）如图所示，过点作， 依题意，， ∴ ∴， ∴． 考点五 根据平行线判定与性质求角度 【典例精讲】（25-26七年级下·山东枣庄·阶段检测）如图是小志在一次野外拓展训练活动中的行动路线，从A地出发沿北偏东方向到补给地B，从补给地B沿北偏西方向到C地与伙伴汇合，小志通过指南针确定：从C地出发沿着与BC垂直的方向前进，就可以保持与AB的方向一致，到达目的地D，并且距离最短。小志解释理由如下，请你填空： 因为（已知）， 所以（①_______），且CD最短． 因为（已知）， 所以②_______，（③_______） 因为， 所以④_______°． 因为（已知）， 所以⑤_______°， 所以⑥________， 所以⑦________（⑧________）． 【答案】①垂直的定义，②，③两直线平行，同旁内角互补，④，⑤，⑥，⑦，⑧内错角相等，两直线平行 【思路引导】根据垂直的定义和平行的判定和性质解答即可． 【规范解答】略． 【变式训练】（25-26七年级下·湖南长沙·阶段检测）如图，小明在走廊上看到一个“安全出口”标志，他从中抽象出这样一个数学图形，其中，，，，，则_________． 【答案】 【思路引导】过点作，得出，由平行线的性质得出，，，根据角的和差关系即可得答案．能正确作出辅助线是解题关键． 【规范解答】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 考点六 根据平行线判定与性质证明 【典例精讲】（25-26七年级下·甘肃庆阳·期中）某次几何课上，老师借助字母M，命制了如下两小题，请你帮老师写出试题的证明过程． (1)如图1，已知，，求证：． (2)如图2，若，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）利用得内错角相等，结合，推出内错角相等，从而证明； （2）过点作，过点作，两线交于点；由得，由得；再利用两直线平行，内错角相等，完成角的等量代换，证明． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴（两直线平行，内错角相等）． 又∵， ∴． ∴（内错角相等，两直线平行）． （2）证明：过点作，过点作，两线交于点． ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵， ∴（平行于同一直线的两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵，， ∴（平行于同一直线的两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∴， 即． 【变式训练】（24-25七年级下·四川绵阳·阶段检测）如图，，点是直线上一点，是直线与直线之间一点，连接，． (1)求证：； (2)如图，过点作平分，过点作交的角平分线于点，过点作交于点，探索和的数量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，是直线的一点，请直接写出和的数量关系． 【答案】(1)证明：如图过作 ， ， ， ， ， ． (2) ，理由如下： 平分，平分， 可设，, ． 由（1）同理可得，． ， ，即， ． ， ， ，即． (3)或 【思路引导】（1）过点作 ，利用平行线性质将和转移为的两部分； （2）设，，则，，由（1）结论得．由得，从而，利用三角形内角和定理求得，代入计算化简得； （3）由（2）的结论设，，，，作延长线得，利用（1）结论得，代入，解得，再分点在直线左侧和右侧两种情况，利用三角形内角和、邻补角关系及角度代换，即可求解． 【规范解答】（1）略 （2）略 （3）解：根据题意，设，， 由（2）得，，， 如图，作的延长线，点是延长线上一点， ， ， ，即， 由（1）同理可得， ，即， 解得， ． 如图，当在左侧时， ，， ，即 ， ， 即． 如图，当在右侧时， 同理，， ， ，即． 综上，或． 考点七 写出一个命题的已知、求证及证明过程 【典例精讲】（25-26七年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，①，②，③，请从三个条件中任选两个作为条件，另一个作为结论组成命题， (1)正确的命题有 个． (2)请你选择（1）中的一个真命题进行证明． 【答案】(1)3 (2)解：如图： 已知，，求证：． 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 已知，，求证：． 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 已知，，求证：． 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴．（三选一即可） 【思路引导】（1）利用平行线的判定和性质，进行判定即可； （2）利用平行线的判定和性质，进行证明即可． 【规范解答】（1）解：从①，②，③请从三个条件中任选两个作为条件，另一个作为结论组成命题，共可组成三个命题，均为真命题， 即正确的命题有3个； 【变式训练】（25-26七年级下·河南信阳·阶段检测）命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程． (1)已知：如图，分别交直线于平分，平分，___________．求证：___________． (2)证明： (3)通过（2）的推理证明，此命题是___________命题（填“真”或“假”）． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)真 【思路引导】（1）根据题意、结合图形写出已知和求证即可； （2）根据平行线的性质和判定证明即可； （3）根据题意，直接写出结论． 【规范解答】（1）解：已知：如图，分别交，于，，平分，平分，．求证：． （2）证明：平分 平分， ， ， ； （3）通过（2）的推理证明，此命题是真命题． 考点八 已知证明过程填写理论依据 【典例精讲】补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 【答案】答案见详解； 【思路引导】本题考查证明补充条件，根据条件与结论因果关系直接填写即可得到答案； 【规范解答】解：∵，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（　同位角相等，两直线平行　）， ∴（　两直线平行，同位角相等　）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（　内错角相等，两直线平行　）． 【变式训练】（23-24七年级下·陕西西安·阶段检测）补全下列推理过程： 如图，已知，，试说明：， 解：∵（已知） （______） （已知） （______） （______） （______） （______） 【答案】答案见详解； 【思路引导】本题考查证明补充条件，平行线的性质与判定，根据条件及结论逐个写明理由即可得到答案； 【规范解答】解：∵（已知）， （两直线平行，内错角相等）， （已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， （对顶角相等）， ． 考点九 根据给出的论断组命题并证明 【典例精讲】（2026七年级下·江苏·专题练习）如图，点、分别在、上，连接、、，分别交、于点、．有三个论断：①；②；③． (1)请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，写出所有的真命题； (2)在（1）中选择一个真命题，并证明其正确性． 【答案】(1)命题见解析 (2)证明见解析 【思路引导】（1）根据命题的定义进行书写即可； （2）利用平行线的判定与性质结合对顶角相等进行证明． 【规范解答】（1）解：命题1：若，，则； 命题2： 若，，则； 命题3：若，，则； （2）解：第一种情况： 已知：，， 求证：． 证明：如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 第二种情况： 已知：，， 求证：． 证明：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 第三种情况： 已知：，， 求证：． 证明：如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知：如图，在中，D，E是边上的两点，G是边上的一点，连接并延长，交的延长线于点F．从以下三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明：①平分；②；③． 条件：_______，结论：_______．（填序号） 证明： 【答案】见解析，证明见解析 【思路引导】本题考查命题的证明，先选择条件和结论，再根据平行线的性质和判定，角平分线的定义，以及三角形的外角的性质，进行证明即可． 【规范解答】解：当条件是①平分，②；结论是③时： 证明：平分， ． ， ，． ； 当条件是①③，结论是②时： 证明：平分， ． ∵， ∴， ∴， ∴； 当条件是②③，结论是①时： ， ，． ， ， ∴平分． 考点十 举反例 【典例精讲】（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸中的顶点都在方格纸的格点上，经过平移使得的顶点C移到了点的位置． (1)画出平移后的（点与点A对应，点与点B对应）； (2)指出平移的方向和平移的距离； (3)求线段在平移过程中扫过部分的面积． 【答案】(1)见详解 (2)向右平移4个单位，向下平移1个单位 (3)8 【思路引导】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置； （2）利用平移的性质即可求解． （3）线段在平移过程中扫过部分是两个平行四边形的面积之和． 【规范解答】（1）解：如图所示：即为所求； （2）解：根据（1）中图象可得平移方向是：向右平移4个单位，向下平移1个单位． （3）解：线段在平移过程中扫过部分的面积为． 【变式训练】（25-26七年级下·山东菏泽·期中）综合与探究 问题情境： 数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，将含的三角尺如图方式摆放，，，，过点作，是线段上一定点，过点作交于点． (1)知识初探： 勤奋小组求出了的度数，请你直接写出______： (2)深入探究： 智慧小组将线段沿射线的方向平移，得到线段（点的对应点为，点的对应点为），连接，并提出以下两个问题．请你帮忙解决，并写出解答过程． ①如图2，当点在线段上时，若，求的度数； ②如图3，当点在线段上时，若，求的度数． (3)拓展延伸： 创新小组提出问题：在上述平移过程中，当时，请直接写出的度数为_______． 【答案】(1)60 (2)①；② (3)或 【思路引导】（1）利用平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补），结合已知的的度数，直接求出的度数． （2）① 过点作，由得，利用平行线的性质将转化为，再通过与的差求解． ② 同理过点作，利用平行线的性质，通过与的差，得到的度数，即为的度数． （3）分两种情况（点在线段上、点在线段上），根据的关系列方程求解，得到的度数． 【规范解答】（1）解：， ． ， ， ； （2）解：①过点作， 则， ，， ， 线段是由线段平移得到， ， ， ； ②过点作， 则， ，， ， 线段是由线段平移得到， ， ， ； （3）解：如图2， 当时， 由（2）①知， 即， ∴ ， ； 如图3， 当时， 由（2）②知， 即， ∴， ． 考点十一 利用平移的性质求解 【典例精讲】（25-26七年级下·四川绵阳·阶段检测）如图，某小区计划在一块长方形的空地上铺设草皮，其中阴影部分为预留的宽度相等的走道，则需要铺设草皮的面积为______平方米． 【答案】171 【思路引导】利用平移的性质，将分散的草皮区域通过平移拼凑成一个完整的长方形，确定新长方形的长和宽，利用长方形面积公式求解． 【规范解答】解：利用平移的性质，将图中的阴影部分走道分别向右和向下平移至长方形的边缘，则剩余铺设草皮的部分可拼成一个新的长方形． 该新长方形的长为米，宽为米. 根据长方形的面积公式，得： ． 【变式训练】（25-26七年级下·湖南湘西·期中）某商场重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设一种红色的地毯．已知这种地毯的批发价为每平方米元，主楼梯的宽为米，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要______元． 【答案】 【思路引导】根据图中数据可以求出地毯的长度为米，宽度为米，根据矩形的面积即可求出地毯的面积为平方米，根据每平方米元，计算出购买地毯所需要的费用． 【规范解答】解：由图可知，需要购买地毯的长度为米， 主楼梯的宽为米， 地毯的长度为米，宽度为米， 地毯的面积为平方米， 地毯的批发价为每平方米元， 购买地毯至少需要元． 考点十二 利用平移解决实际问题平移（作图） 【典例精讲】（25-26七年级下·福建龙岩·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点都在网格点上． (1)写出点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ； (2)将三角形向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到三角形，其中点，，分别为点A，B，C的对应点．在图中画出三角形，并求三角形的面积． (3)过B画y轴的平行线交线段于点D，直接写出点D的坐标_____________ 【答案】(1)，， (2)作图见详解，三角形的面积为7 (3)作图见详解， 【思路引导】（1）根据题中的图形利用平面直角坐标系特征分别找出对应的点A，B，C的坐标即可； （2）根据题中平移的方式找出平移后点A、B、C的对应点，，，并依次连接即可画出，利用割补法求出的面积即可； （3）先作出对应的图形，利用平行线的性质结合图形求出点D的横坐标，再观察点A，C的坐标，找出对应规律后，从而求得点D的纵坐标，进而得出点D的坐标． 【规范解答】（1）解：根据图象可知， ，，． （2）解：如图所示，即为所求： ∴． （3）解：如图所示，点D为所求： ∵轴，， ∴， ∵点D为线段的交点，，， 从点A到点C，横坐标增加了，纵坐标减少了， ∴横坐标每增加1，则纵坐标减少， ∵，点D的横坐标比点A的横坐标增加了1， 由横坐标每增加1，则纵坐标减少可知， ∵， ∴， ∴． 【变式训练】（25-26七年级下·湖北孝感·期中）如图，每个小正方形边长都相等，三角形的三个顶点都在格点（小正方形的顶点）上． (1)平移三角形使顶点平移到点的位置，得到三角形，请在图中画出三角形．（注：点的对应点为点，点的对应点为点） (2)若直线与直线相交于点，则与的大小关系是_____，依据是_______． 【答案】(1)见解析 (2)相等； 两直线平行，内错角相等 【思路引导】本题主要考查了平移变换，平行线的性质等知识点，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用平行线的性质得出与的大小关系； 【规范解答】（1）解：如图所示，三角形即为所求； （2）解：∵， ∴， ∴与的大小关系是相等，依据是两直线平行，内错角相等． 1．（24-25七年级上·山东聊城·期末）如图，O为直线上一点，是的平分线，在的内部，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】设，由题意可得，，再根据平角的定义列方程，求出，即可得解． 【规范解答】解：设， ，， ，， 是的平分线， ， ， ， ， ． 2．（25-26九年级下·辽宁朝阳·期中）如图，将一张剪开的矩形纸片沿着所在直线错位拼接，点在一条直线上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据题意，由平行线的性质得到，求出，再由对顶角相等即可得到答案． 【规范解答】解：如图所示： 由平行线的性质可知， ， ， ． 3．（25-26七年级下·全国·期末）两个形状、大小完全相同的和完全重叠在一起，如图所示，固定不动，将向右平移，当点和点重合时，停止移动，设交于点，下列结论：①；②四边形的面积与四边形的面积相等；③若，，那么此时向右平移了2个单位长度．其中正确的有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【规范解答】解：由平移的性质可得，，，故①正确； ，即四边形的面积与四边形的面积相等，故②正确； 若，，那么，即三角形向右平移了3个单位长度，故③错误， 综上所述，正确的有①②，共2个． 4．（25-26七年级下·湖北省直辖县级单位·阶段检测）如图，已知，为上的两点，为上的两点，延长至点，平分，点在直线上，且平分，若．则下列结论： ； ；设，则； ，其中，正确的有（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据角平分线的定义和平行线的性质，分别对四个结论逐一验证即可． 【规范解答】解：∵平分， ∴，故正确，符合题意； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，故正确，符合题意； 如图，过点作， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴，故错误，不符合题意； ∵， ∴， ∵平分， ∴， 由知， ∴， ∴， ∵点在直线上， ∴，故正确，符合题意； 综上可知，正确． 5．（24-25七年级下·江苏盐城·期末）如图，在中，，，，将沿平移个单位长度得到，交于点，若，则四边形的面积是________． 【答案】 【思路引导】根据平移的性质得出即可得到结论． 【规范解答】解：∵将沿平移个单位长度得到， ∴， ， ∵， ∴ ∵ ∴. 6．（25-26七年级下·北京·期末）将一块三角板（，）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上．对于给出的四个条件：①，；②；③；④；⑤．能判断直线的有______（填序号）． 【答案】①⑤ 【思路引导】根据平行线的判定和性质及角的和差逐一判断即可． 【规范解答】解：∵，，， ∴， ∴，故符合题意； ∵，， ∴不一定等于， ∴和不一定平行，故不符合题意； ∵，， ∴不一定等于， ∴和不一定平行，故不符合题意； 如图，过点作， ∴， ∵，， ∴不能得出，从而不能得出， ∴和不一定平行，故不符合题意； ∵， ∴， ∴，故符合题意． 7．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）如图，在中，，，，将沿方向平移得到，且与相交于点G，连接，则阴影部分的周长为_______． 【答案】 【思路引导】由平移性质得，，，则有，从而求出阴影部分的周长． 【规范解答】解：由平移性质得，，， ∴， ∴， ∴阴影部分的周长为． 8．（24-25七年级下·河北石家庄·阶段检测）如图，直线，交于点，平分，，若，则的度数为_________． 【答案】 /25度 【思路引导】首先根据垂直的定义得出，结合已知比例关系求出的度数，再利用对顶角相等得出的度数，最后根据角平分线的定义计算的度数． 【规范解答】解：， ， ，且， ， 直线，交于点， ， 平分， ． 9．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，，点在上，平分，则______． 【答案】/65度 【思路引导】由平行线的性质推出，求出，由角平分线定义得到，由垂直的定义得到，由平角定义得到． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 10．（2026·河北张家口·三模）如图，，，分别平分，，且其所在直线交于点，则与的数量关系为______． 【答案】 【思路引导】由角平分线的定义得，，设 ， ，作，根据平行线的判定与性质，求出 ，同理求出，即可得答案． 【规范解答】解：分别平分，， ，， 设 ， ， 如下图，过点M作，则， ， ， 如上图，过点N作，则， ， ， ，即． 11．（25-26七年级下·上海·期中）如图，在中，，，点是边上一点，将沿直线翻折得到，如果与的一边互相平行，那么______ 【答案】或 【思路引导】分类讨论是解答本题的关键．分和两种情况求解即可． 【规范解答】解：当时， ∵，， ∴． ∵， ∴． 由折叠的性质可知，， ∴， ∵， ∴ ∴． 当时， ∴， ∴， 由折叠的性质可知，， ∵ ∴ 综上可得： 或． 12．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）如图为网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点O、点A、点B均在格点上，请利用网格，用无刻度的直尺根据下列要求完成画图． (1)画线段、； (2)过点A画线段的平行线； (3)过点O画线段的垂线，垂足为E； (4)在线段、、中，最短的线段为_______． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】（1）连接、即可； （2）点O可以看作由点B先向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度得到，将点A也作同样的平移，得到点D，过点A，D作直线，则由平移的性质得到； （3）根据网格特点可直接解答； （4）根据垂线段最短进行解答． 【规范解答】（1）解：连接、即可； （2）解：点O可以看作由点B先向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度得到，将点A也作同样的平移，得到点D，过点A，D作直线即可； （3）解：根据网格是由边长均为1的小正方形组成，在上找到与O在同一水平线上的点E，画垂线即可； （4）解：根据直线外一点到直线上点的所有连线中，垂线段最短，可知最短的线段为． 13．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，已知，射线交于点F，交于点D，从D点引一条射线，且． (1)求证：； (2)若命题“已知 ，则”是真命题，请填空，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析 【思路引导】（1）由对顶角相等得到，因此，推出； （2）由平行线的性质推出，，求出，即可得到的度数． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∴； （2）解：命题“已知，则”是真命题，理由如下： 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 14．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）如图，，，D、E分别在线段、上，、分别与交于点M、N，若，求证：．请补写解答过程和括号内相应的依据． 证明：（________）， （已知）． （等量代换）． （________，________）． （________，________）． ，（已知）， ∴______（__________） ________（内错角相等，两直线平行）． （________，________）． （________）． 【答案】对顶角相等；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；垂直的定义；；两直线平行，内错角相等；等量代换 【思路引导】根据证明思路，运用平行线的判定及性质，垂线的定义解答即可． 【规范解答】证明：（对顶角相等）， （已知）． （等量代换）． （同位角相等，两直线平行）． （两直线平行，同位角相等）． ，（已知）， ∴（垂直的定义） （内错角相等，两直线平行）． （两直线平行，内错角相等）． （等量代换）． 15．（25-26七年级下·全国·期末）已知：如图1，直线，被直线所截，． (1)试说明：； (2)如图2，点E在，之间的直线上，P、Q分别在直线，上，连接、 ① 度； ②若平分，平分，猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：设与相交于点O，与交于点K， 因为，， 所以， 所以； (2)①360； ②．理由：过点E向右作， 因为， 所以， 所以，， 所以， 所以， 同理可证：． 因为，，，， 所以， 所以， 所以． 【思路引导】（1）根据对顶角以及同位角相等证明平行即可； （2）①过点E向右作，则，再由“两直线平行，同旁内角互补”求解即可；②过点E向右作，则，主要根据“两直线平行，内错角相等”，结合角平分线的定义求解即可． 【规范解答】（1）略 （2）①解：过点E向右作 因为， 所以， 所以， 所以 因为 所以； ②略 16．（25-26七年级下·全国·期末）如图，已知中，，将沿射线方向平移后，得到，连接． (1)若，求的长度； (2)若恰好平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据平移的性质得出的长度与的长度相等，据此可解决问题． （2）根据平移的性质得出，再结合的度数及平行线的性质即可解决问题． 【规范解答】（1）解：由平移可知，； （2）由平移可知，， 所以． 因为， 所以． 又因为平分， 所以． 因为， 所以． 17．（25-26七年级上·福建福州·期末）已知：，，E，G是上的点，F，H是上的点． (1)如图①，求证：； (2)如图②，点M在的延长线上，其中，，射线以每秒的速度绕点E逆时针旋转，同时射线以每秒的速度绕点E顺时针旋转．当射线首次与重合时，两条射线都停止运动．在整个运动过程中，设运动时间为t．当时，求的度数； (3)如图③，作，的角平分线交于点N，交于点P，作的角平分线交于点Q，当，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 (3) 【思路引导】（1）根据平行线的判定与性质证明即可； （2）由题意得：，当时，运动停止．由得，然后分两种情况，根据角的和差列方程求解即可； （3）由题意设，则，根据角平分线和平行线的性质得到，则，则，过点作，则，由平行线的传递性可得，则，则，即可求解比值． 【规范解答】（1）证明：如图①， ， ， ， ， ； （2）解：由题意得：，当时，运动停止． 由得， ①当时，， 解得， ， ， ②当时，， 解得， ， ， 综上所述，的度数为或； （3）解：， 设，则， ， ， 平分， ， ， ， ， 平分， ， 过点作， ， ， ， ， ， ， ． 18．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图1，直线与直线互相平行，、分别是和上的两个点，连接，在直线的右侧取一点，满足，． (1)如图1，若，则______； (2)如图2，在直线上方平面内取一点，直线交于，满足，，求． (3)如图3，作、的平分线、交于、，作射线和交于，且使得，，当四边形的一边与平行时，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)的度数为或或 【思路引导】（1）设，可得：，根据角之间的关系可得：，，根据，可得方程，解方程求出的值，把的值代入即可求出结果； （2）过点作，设，，可得，根据平行线的性质可得，即可求出； （3）设，，根据角平分线的性质可得，根据平行线的性质可得，由平分，，可得，所以可得，因为四边形的一边与平行，分四种情况求解． 【规范解答】（1）解：设， ， ， ，， ，即， 解得：， ； （2）解：如下图所示，过点作， 设，， ，，， ，即， ，即， ，， ，， ，， ，，， ， ， ； （3）解：设，， 平分， ， ， ， ， ，， ，即， ， 平分，， ， ， ， ， 如下图所示，当时，则， ， 解得：， 即； 如下图所示，当时，则， ； 如下图所示，当时，则， ，，， 即， 解得：， ， 当时， 则， 即， 解得：（不符合实际，舍去）； 综上，当四边形的一边与平行时，的度数为或或． 19．（25-26七年级下·河南周口·期中）已知． (1)如图1，若，，求的度数． (2)如图2，，，的平分线交于点． ①求的度数． ②已知，为射线上的一个动点，过点作交直线于点，连接．若，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①②当点F在点P的左侧时，；当点F在点P的右侧时， 【思路引导】（1）过点C作，则有，然后得到，然后计算解题； （2）①过点C作，过点P作，求出，，，根据角平分线的定义结合平行线的性质求出 ，由计算即可得到结论； ②由①可得，，然后分点F在点P的左侧和点F在点P的右侧两种情况进行解题． 【规范解答】（1）解：过点C作， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2）解：①过点C作，过点P作， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵的角平分线交于点P， ∴，， ∴， ∴． ②由①得，，， ∵， ∴， 过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 当点F在点P的左侧时，如图，则， ∴， ∴； 当点F在点P的右侧时，如图， 则， ∴， ∴． 综上所述，当点F在点P的左侧时，；当点F在点P的右侧时，． 20．（25-26七年级下·上海·阶段检测）综合与实践 问题背景：图1是一种弹弓模型，在支架两端挂上弹力绳，拉动弹力绳可形成如图2所示的图形，弹弓支架的两边． (1)猜想与证明：如图2，当点在，之间时，请写出，与之间的数量关系，并说明理由． (2)问题解决：如图3，点在的上方，且，过点作直线交直线于点，使，过点作的平行线交的延长线于点，①找出图3中的弹弓模型，直接写出由（1）可以得到的结论．②求证：平分．（可直接使用①的结论） 【答案】(1) (2)①②见解析 【思路引导】（1）过点作，利用平行线的性质及判定论证即可； （2）①过点作，利用平行线的性质及判定论证即可；②利用，可得，再结合平行线的性质及等量代换得到，即可得出结论. 【规范解答】（1）答：，理由如下： 过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）①解：，理由如下： 过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：； ②证明：∵，， ∴， ∵，（对顶角相等）， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：平分． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null2026-2027学年人教版数学七升八年级衔接金牌培优讲义（温故知新） 2026-2027学年数学七升八年级暑期学习金牌培优讲义【温故知新篇】 七年级/下册（新教材） 初中数学 专题01 相交线与平行线的判定与性质 思维导图+知识回顾+十二大考点讲练+真题强化 （共44题） 【原卷版】 人教版 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 暑假衔接 考点讲练练 浏览知识 知晓考点 真题强化 思维导图 技巧点拨 真题汇编 查漏补缺 重点难点 优选题型 知识梳理 方法提炼 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 同学，你好！该份讲义主要以复习人教版新教材七年级下学期内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，知识梳理，，高频考点真题讲练，优选题培优训练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 相交线 （1） 相交线的定义 如图1所示，直线AB与直线CD相交于点O。 图1 图2 图3 （2）对顶角的定义：如图2所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。对顶角相等。 （3） 邻补角的定义：如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180°。 知识点二 垂线 1.垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 2.点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 图4 如图4所示，m 的垂线段PB 的长度叫做点P 到 直线m 的距离。 知识点三 平行线的定义及画法 1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b． 【易错点拨】 (1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可； (2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行． (3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系． 2.平行线的画法： 用直尺和三角板作平行线的步骤： ①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合. ②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边. ③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点. ④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行. 原理：同位角相等，两直线平行。 知识点梳理04：三线八角 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图5所示。 （1）同位角（F型）：图中的同位角∠1与∠5∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角（Z型）：图中的内错角∠3与∠5，∠4与∠6。 （3）同旁内角（U型）：图中的同旁内角∠4与∠5，∠3与∠6。 知识点梳理05：平行公理及推论 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 记作：如果 a∥b，a∥c，那么a∥c 知识点梳理06：平行线判定 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 知识点梳理07：平行线性质 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 知识点梳理08：平移 1.定义：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种 移动，叫做平移变换，简称平移。 2.平移三要素：图形的原来位置、平移的方向、平移的距离。 3. 平移的性质 （1）对应点的连线平行(或共线)且相等 （2）对应线段平行(或共线)且相等； （3）对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。 4.平移作图的步骤和方法：平行线法、对应点连线法、全等图形法 （1）找关键点； （2）过每个关键点作平移方向的平行线，截取与之相等的距离，标出对应点 （3）连接对应点。将原图形的各个特征点按规定的方向平移，得到相应的对称点，再将各对称点进行相应连接，即得到平移后的图形 考点一 在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 【典例精讲】（25-26七年级下·天津·阶段检测）下列各图中，能画出的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④ 【变式训练】（25-26七年级上·河南南阳·期末）在同一平面内，现有2025条直线，，，，，且有，，，，…，则直线与的位置关系是______． 考点二 根据平行线的性质探究角的关系 【典例精讲】（25-26七年级下·山东济南·期中）【问题情境】：在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图1，已知直线，点E、G分别为直线、上的点，点F是平面内任意一点，连接、． 【探索发现】： (1)如图1，若，写出与的数量关系：______； 【深入探究】： (2)如图2点P、Q分别是直线上的点，且，直线，交于点K，“智胜小组”探究与之间的数量关系．请写出它们的关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的探究基础上，，“科创小组”探究与之间的数量关系．请直接写出它们的关系． 【变式训练】（25-26七年级下·辽宁铁岭·期中）请在横线上填写合适的内容，完成下面的证明： (1)如图①如果，求证：； 证明：过点P作， ∴（__________________）． ∵，（已知）， ∴（__________________）． ∴_____（__________________）． ∵， ∴（__________________）． (2)如图②，，根据上面的推理方法，直接写出______． (3)如图③，，若，，，，则______（用x，y，z表示）． 考点三 根据平行线的性质求角的度数 【典例精讲】（25-26七年级下·云南曲靖·阶段检测）如图，点在的延长线上，，交于点，且，． (1)求证：； (2)若，点、在线段上，且，射线平分，求的度数． 【变式训练】（25-26七年级下·河南安阳·阶段检测）如图，已知平分． (1)求证：； (2)求的度数． 考点四 平行线的性质在生活中的应用 【典例精讲】（25-26七年级下·辽宁营口·期中）健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，某品牌的自行车的平面示意图如图，自行车的前轴与后轴所在直线与地面平行，车架与地面平行，自行车的中轴处与座位处在一条直线上，若 ， ，则的度数是(     ) A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级下·山东枣庄·期中）在学习完《相交线和平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能． (1)问题情境：如图1，已知，． ①问题探究：求证：； ②拓展探究：，，之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (2)迁移应用：图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行，若，则的度数为 ． 考点五 根据平行线判定与性质求角度 【典例精讲】（25-26七年级下·山东枣庄·阶段检测）如图是小志在一次野外拓展训练活动中的行动路线，从A地出发沿北偏东方向到补给地B，从补给地B沿北偏西方向到C地与伙伴汇合，小志通过指南针确定：从C地出发沿着与BC垂直的方向前进，就可以保持与AB的方向一致，到达目的地D，并且距离最短。小志解释理由如下，请你填空： 因为（已知）， 所以（①_______），且CD最短． 因为（已知）， 所以②_______，（③_______） 因为， 所以④_______°． 因为（已知）， 所以⑤_______°， 所以⑥________， 所以⑦________（⑧________）． 【变式训练】（25-26七年级下·湖南长沙·阶段检测）如图，小明在走廊上看到一个“安全出口”标志，他从中抽象出这样一个数学图形，其中，，，，，则_________． 考点六 根据平行线判定与性质证明 【典例精讲】（25-26七年级下·甘肃庆阳·期中）某次几何课上，老师借助字母M，命制了如下两小题，请你帮老师写出试题的证明过程． (1)如图1，已知，，求证：． (2)如图2，若，，求证：． 【变式训练】（24-25七年级下·四川绵阳·阶段检测）如图，，点是直线上一点，是直线与直线之间一点，连接，． (1)求证：； (2)如图，过点作平分，过点作交的角平分线于点，过点作交于点，探索和的数量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，是直线的一点，请直接写出和的数量关系． 考点七 写出一个命题的已知、求证及证明过程 【典例精讲】（25-26七年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，①，②，③，请从三个条件中任选两个作为条件，另一个作为结论组成命题， (1)正确的命题有 个． (2)请你选择（1）中的一个真命题进行证明． 【变式训练】（25-26七年级下·河南信阳·阶段检测）命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程． (1)已知：如图，分别交直线于平分，平分，___________．求证：___________． (2)证明： (3)通过（2）的推理证明，此命题是___________命题（填“真”或“假”）． 考点八 已知证明过程填写理论依据 【典例精讲】补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 【变式训练】（23-24七年级下·陕西西安·阶段检测）补全下列推理过程： 如图，已知，，试说明：， 解：∵（已知） （______） （已知） （______） （______） （______） （______） 考点九 根据给出的论断组命题并证明 【典例精讲】（2026七年级下·江苏·专题练习）如图，点、分别在、上，连接、、，分别交、于点、．有三个论断：①；②；③． (1)请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，写出所有的真命题； (2)在（1）中选择一个真命题，并证明其正确性． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知：如图，在中，D，E是边上的两点，G是边上的一点，连接并延长，交的延长线于点F．从以下三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明：①平分；②；③． 条件：_______，结论：_______．（填序号） 证明： 考点十 举反例 【典例精讲】（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸中的顶点都在方格纸的格点上，经过平移使得的顶点C移到了点的位置． (1)画出平移后的（点与点A对应，点与点B对应）； (2)指出平移的方向和平移的距离； (3)求线段在平移过程中扫过部分的面积． 【变式训练】（25-26七年级下·山东菏泽·期中）综合与探究 问题情境： 数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，将含的三角尺如图方式摆放，，，，过点作，是线段上一定点，过点作交于点． (1)知识初探： 勤奋小组求出了的度数，请你直接写出______： (2)深入探究： 智慧小组将线段沿射线的方向平移，得到线段（点的对应点为，点的对应点为），连接，并提出以下两个问题．请你帮忙解决，并写出解答过程． ①如图2，当点在线段上时，若，求的度数； ②如图3，当点在线段上时，若，求的度数． (3)拓展延伸： 创新小组提出问题：在上述平移过程中，当时，请直接写出的度数为_______． 考点十一 利用平移的性质求解 【典例精讲】（25-26七年级下·四川绵阳·阶段检测）如图，某小区计划在一块长方形的空地上铺设草皮，其中阴影部分为预留的宽度相等的走道，则需要铺设草皮的面积为______平方米． 【变式训练】（25-26七年级下·湖南湘西·期中）某商场重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设一种红色的地毯．已知这种地毯的批发价为每平方米元，主楼梯的宽为米，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要______元． 考点十二 利用平移解决实际问题平移（作图） 【典例精讲】（25-26七年级下·福建龙岩·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点都在网格点上． (1)写出点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ； (2)将三角形向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到三角形，其中点，，分别为点A，B，C的对应点．在图中画出三角形，并求三角形的面积． (3)过B画y轴的平行线交线段于点D，直接写出点D的坐标_____________ 【变式训练】（25-26七年级下·湖北孝感·期中）如图，每个小正方形边长都相等，三角形的三个顶点都在格点（小正方形的顶点）上． (1)平移三角形使顶点平移到点的位置，得到三角形，请在图中画出三角形．（注：点的对应点为点，点的对应点为点） (2)若直线与直线相交于点，则与的大小关系是_____，依据是_______． 1．（24-25七年级上·山东聊城·期末）如图，O为直线上一点，是的平分线，在的内部，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·辽宁朝阳·期中）如图，将一张剪开的矩形纸片沿着所在直线错位拼接，点在一条直线上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·全国·期末）两个形状、大小完全相同的和完全重叠在一起，如图所示，固定不动，将向右平移，当点和点重合时，停止移动，设交于点，下列结论：①；②四边形的面积与四边形的面积相等；③若，，那么此时向右平移了2个单位长度．其中正确的有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（25-26七年级下·湖北省直辖县级单位·阶段检测）如图，已知，为上的两点，为上的两点，延长至点，平分，点在直线上，且平分，若．则下列结论： ； ；设，则； ，其中，正确的有（     ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·江苏盐城·期末）如图，在中，，，，将沿平移个单位长度得到，交于点，若，则四边形的面积是________． 6．（25-26七年级下·北京·期末）将一块三角板（，）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上．对于给出的四个条件：①，；②；③；④；⑤．能判断直线的有______（填序号）． 7．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）如图，在中，，，，将沿方向平移得到，且与相交于点G，连接，则阴影部分的周长为_______． 8．（24-25七年级下·河北石家庄·阶段检测）如图，直线，交于点，平分，，若，则的度数为_________． 9．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，，点在上，平分，则______． 10．（2026·河北张家口·三模）如图，，，分别平分，，且其所在直线交于点，则与的数量关系为______． 11．（25-26七年级下·上海·期中）如图，在中，，，点是边上一点，将沿直线翻折得到，如果与的一边互相平行，那么______ 12．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）如图为网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点O、点A、点B均在格点上，请利用网格，用无刻度的直尺根据下列要求完成画图． (1)画线段、； (2)过点A画线段的平行线； (3)过点O画线段的垂线，垂足为E； (4)在线段、、中，最短的线段为_______． 13．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，已知，射线交于点F，交于点D，从D点引一条射线，且． (1)求证：； (2)若命题“已知 ，则”是真命题，请填空，并说明理由． 14．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）如图，，，D、E分别在线段、上，、分别与交于点M、N，若，求证：．请补写解答过程和括号内相应的依据． 证明：（________）， （已知）． （等量代换）． （________，________）． （________，________）． ，（已知）， ∴______（__________） ________（内错角相等，两直线平行）． （________，________）． （________）． 15．（25-26七年级下·全国·期末）已知：如图1，直线，被直线所截，． (1)试说明：； (2)如图2，点E在，之间的直线上，P、Q分别在直线，上，连接、 ① 度； ②若平分，平分，猜想与之间的数量关系，并说明理由． 16．（25-26七年级下·全国·期末）如图，已知中，，将沿射线方向平移后，得到，连接． (1)若，求的长度； (2)若恰好平分，求的度数． 17．（25-26七年级上·福建福州·期末）已知：，，E，G是上的点，F，H是上的点． (1)如图①，求证：； (2)如图②，点M在的延长线上，其中，，射线以每秒的速度绕点E逆时针旋转，同时射线以每秒的速度绕点E顺时针旋转．当射线首次与重合时，两条射线都停止运动．在整个运动过程中，设运动时间为t．当时，求的度数； (3)如图③，作，的角平分线交于点N，交于点P，作的角平分线交于点Q，当，求的值． 18．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图1，直线与直线互相平行，、分别是和上的两个点，连接，在直线的右侧取一点，满足，． (1)如图1，若，则______； (2)如图2，在直线上方平面内取一点，直线交于，满足，，求． (3)如图3，作、的平分线、交于、，作射线和交于，且使得，，当四边形的一边与平行时，求的度数． 19．（25-26七年级下·河南周口·期中）已知． (1)如图1，若，，求的度数． (2)如图2，，，的平分线交于点． ①求的度数． ②已知，为射线上的一个动点，过点作交直线于点，连接．若，请直接写出的度数． 20．（25-26七年级下·上海·阶段检测）综合与实践 问题背景：图1是一种弹弓模型，在支架两端挂上弹力绳，拉动弹力绳可形成如图2所示的图形，弹弓支架的两边． (1)猜想与证明：如图2，当点在，之间时，请写出，与之间的数量关系，并说明理由． (2)问题解决：如图3，点在的上方，且，过点作直线交直线于点，使，过点作的平行线交的延长线于点，①找出图3中的弹弓模型，直接写出由（1）可以得到的结论．②求证：平分．（可直接使用①的结论） 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null