二项式定理有关题型训练--2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

**基本信息** 以“角度-典例-变式”架构系统覆盖二项式定理6大应用场景，融合构造法、导数法等跨模块技巧，突出逻辑推理与数学建模素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |构造二项式求值|1典例+1变式|赋值法、等比数列建模|基于二项式展开式的实际应用| |导数应用|1典例+1变式|函数求导+赋值法|导数工具与二项式系数的关联| |指定项系数|1典例+1变式|通项公式分类讨论|多项式乘法与组合数计算| |证明不等式|1典例+1变式|二项式放缩+单调性分析|代数推理与不等式证明| |换元法|1典例+1变式|整体代换简化展开式|变量替换与结构转化| |整除问题|1典例+1变式|二项式展开留余项|数论性质与多项式展开|

二项式定理应用 角度一：构造二项式求值 典例1：某银行在2024年初给出的大额存款的年利率为，某人存入大额存款元，按照复利计算10年后得到的本利和为，下列各数中与最接近的是（    ） A．1.31 B．1.32 C．1.33 D．1.34 变式1．已知，则（     ） A． B． C． D． 角度二：导数在二项式中的应用 典例2．已知，则_____________. 变式2：若，则（   ） A． B． C． D． 角度三：求指定项的系数 典例3：设实数满足.则展开式中含项的系数为 . 变式3在的展开式中，项的系数为__________.（结果用数值表示） 角度四：利用二项式证明不等式 典例4已知，解关于的不等式： 变式4：设数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)解关于的不等式：； 角度五：换元在二项定理中的应用 典例5若，则______． 变式5．，则______． 角度6：整除问题 典例6设，且，若能被4整除，则 变式6．已知恰能被1000整除，，则的最小值为________. 课后作业 1若，则（   ） A． B． C． D． 2．在的展开式中，项的系数为________（结果用数值表示）． 3．在的展开式中，项的系数为_________．(结果用数值表示) 4．已知，则的值为__________． 5.（多选）已知二项式的展开式，则（　　） A．常数项是 B．系数为有理数的项共有4项 C．第5项和第6项的二项式系数相等 D．奇数项的二项式系数和为256 6（多选）．设，则下列正确的是（   ） A． B．当时， C．当n为偶数时， D．当时，能被10整除． 7．若能被7整除，则的最小正整数取值为_____. 答案 典例1【答案】D 【详解】存入大额存款元，按照复利计算， 可得每年末本利和是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 可得， 故选：D. 变式1【答案】C 【详解】令，得，故A不正确； 令，得，所以，故B不正确； 令，得， 所以，故C正确； 令，得，所以D不正确. 故选：C 典例2【答案】4048 【详解】因为， 两边同时求导得， 令，可得， 由， 令，可得； 令，可得； 可得； 所以. 故答案为：4048. 变式2【答案】D 【详解】由， 得， 两边求导得， 令，得. 故选：D 典例3【答案】4704. 【详解】为了得到， ①提供项，提供，可得系数为：； ②提供常数项，提供，可得系数为：； ∴项的系数为：. 变式3【答案】45 【详解】， 项只能在展开式中，即为，系数为.故选：45. 典例4【答案】 【详解】因为，所以 因此原不等式化为， 而函数在上单调递增，又，则， 所以原不等式的解为. 变式4【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由知当，有， 两式相减得，即， 又，解得， 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以； （2）结合（1）知 ， 由于随着的增大而增大， 且， 所以正整数最大可取6， 即原不等式的解集为． 典例5【答案】405 【详解】设，则， 所以为二项式中含的系数，二项式展开式通项为， 令，得，所以， 故答案为：405 变式5【答案】45． 【详解】由， 则二项展开式通项为，， 则令，解得， 所以． 故答案为：45． 典例6【答案】3 【详解】首先对变形得， 根据二项式定理展开： ， 由于52是4的倍数，因此展开式中所有含52的项都能被4整除，仅最后一项不含因数4， 因此： ， 要使能被4整除，需能被4整除，结合且，可得，解得. 变式6【答案】1 【详解】， 前9项中都含有，因此都能被整除， 第10项，能被整除，第11项， 故的余数为1，即（为整数）， 因为恰能被1000整除，所以（为整数）， 又，所以最小值为1. 课后作业答案 1【答案】A 【分析】令二项展开式中的，即可求展开式中各项系数的和. 【详解】因为， 所以令，即，可得， 即.故选：A 2【答案】 【详解】试题分析：因为，所以项只能在展开式中，即为，系数为 3【答案】180 【详解】， 其通项为：， 显然，项仅可能来自于， 故令，得，则， 4【答案】28 【分析】由，利用二项展开的通项公式求解即可. 【详解】由， 则， 上式二项展开的通项为：. 令，可得. 故答案为：28. 5【答案】ACD 【详解】由题意二项式的展开式通项为， 对于A，令，得，所以常数项是，故A正确； 对于B，当且仅当时，这些项的系数为有理数，即系数为有理数的项共有5项，故B错误； 对于C，第5项和第6项的二项式系数满足，故C正确； 对于D，奇数项的二项式系数和为，故D正确 故选：ACD. 6【答案】ACD 【分析】令可判断A，令可得各项系数和判断B，令和，再解方程组即可判断C，代入展开式可判断D． 【详解】对于A：令，得，故A正确； 对于B：当时，， 令，可得，故B错误； 对于C：当n为偶数时，令，可得， 令，可得， 得：， 则，故C正确； 对于D：时，， 则当时，能被10整除，故D正确． 7【答案】5 【详解】因为，而，所以. 根据二项式定理，将展开可得 除了最后一项外，其余各项都含有因数，都能被整除. 所以（其中为整数）. 因为能被整除， 14k能被整除，所以只要能被整除即可. 当时，，此时取最小正整数. 故答案为：5. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $